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第1章 三角形的初步认识 精选单元检测卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：A．∵1+2＜4，∴不能组成三角形，故A不符合题意；
B．∵2+4＝6，∴不能组成三角形，故B不符合题意；
C．∵2+6＞7，∴能组成三角形，故C符合题意
D．∵5+7＜13，∴不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：C．
2．在下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中AD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中BD不是AC边上的高，本选项不符合题意；
D、图中BD是AC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．
故选：C．
4．在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的两个角的度数即可求出第三个角的度数，即可判断三角形的种类．
【解答】解：∵∠A＝55°，∠B＝35°，
∴180°﹣35°﹣55°＝90°，
所以三角形是一个直角三角形．
故选：B．
5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝3，AC＝5，△ACD的周长与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不确定
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC，
∴△ACD和△ABD的周长的差，
＝（AC+BC+AD）﹣（AB+BC+AD）
＝AC﹣AB
＝5﹣3
＝2，
故选：A．
6．如图，已知∠BCA＝∠BDA＝90°，BC＝BD．则证明△BAC≌△BAD的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【分析】利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵∠BCA＝∠BDA＝90°，
在Rt△BAC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△BAC≌Rt△BAD（HL）．
故选：D．
7．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．80°
【分析】根据三角形外角的性质，即可求解．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，
∴∠CBD＝∠A+∠C＝100°．
故选：C．
8．如图是用尺规作一个角等于已知角的示意图，根据△O′C′D′≌△OCD，可得∠A′O′B′＝∠AOB，则说明ΔO'C'D'≌△OCD的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】利用基本作图得到OD＝OD′，OC＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．
【解答】解：由作图痕迹得OD＝OD′，OC＝OC′，CD＝C′D′，
所以△O′C′D′≌△OCD（SSS），
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：A．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm
【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．
【解答】解：当△BCA≌△PAQ时，
∴AP＝BC＝6cm，
当△BCA≌△QAP时，
∴PA＝AC＝12cm，
∴AP的值是6cm或12cm．
故选：C．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于点H．有下列结论：
①∠DAE＝∠F；
②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；
③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；
④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC＝∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB．
【解答】解：如图，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确；
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．命题“如果a b＝1，那么a、b互为倒数”，这是一个 真 命题．（填“真”或“假”）
【分析】根据倒数的概念判断即可．
【解答】解：“如果a b＝1，那么a、b互为倒数”是真命题；
故答案为：真．
13．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为 75° ．
【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
14．如图，在△ABC 中，分别以点A，B为圆心，大于AB的一半为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF交BC于点D，连接AD．若AC＝3，BC＝4，则△ACD的周长等于 7 ．
【分析】判断出DB＝DA，可得结论．
【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7．
故答案为：7．
15．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数＝ 70° ．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝30°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠CDA＝50°．
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣∠CFD﹣∠DCF＝70°．
故答案为：70°．
16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 64 ．
【分析】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可．
【解答】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF＝S△BDE，
∵，
∵BF＝×20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S△AFD＝×AD DF＝×12×16＝96，
∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．
故答案为：64．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，已知AB＝DF，∠B＝∠F，BE＝FC．求证△ABC≌△DFE．
【分析】先由BE＝FC得出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS）．
18．（6分）如图，数学小组想要估算河岸相对的两点A，B的距离即河的宽度，他们先在河岸边取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再过点D作DE⊥BF，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE＝60米，请你根据测量结果求出河宽AB．
【分析】利用ASA证明△ABC≌△EDC，可得AB＝DE＝60米．
【解答】解：由题意，得AB⊥BF，ED⊥AF，
∴∠B＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE＝60米，
答：河宽AB为60米．
19．（7分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．
【解答】（1）解：∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；
（2）解：∠CFE＝∠CEF，
理由是：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
20．（7分）如图，△ABC≌△DEF，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝2cm．
（1）判断线段BC与线段EF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）求线段CD的长度．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
（2）根据全等三角形的性质得AC＝DF，则AC﹣CF＝DF﹣CF，即CD＝AF＝2cm．
【解答】解：（1）BC＝EF，BC∥EF，理由：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF．
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AC﹣CF＝DF﹣CF，
∴CD＝AF＝2cm．
21．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【解答】解：（1）证明：
接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE，
∵AB＝8，AC＝6，
∴6+BE＝8﹣BE，
∴BE＝1，
∴AE＝8﹣1＝7．
即AE＝7，BE＝1．
22．（10分）在△ABC在中，∠B＝∠C，点D在边BC上．
（1）如图①，点E在线段AC上，若∠ADE＝∠AED，证明：∠BAD＝2∠CDE；
（2）如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC，∠DAC＝180°﹣∠ADE﹣∠AED，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED＝∠C+∠CDE，从而可以得到结论成立．
（2）如图2中，延长QF交AC于K．设∠P＝x，∠BFQ＝y．构建方程组解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠C，
∴在△ABC中，∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＝180°﹣2∠C﹣∠DAC
＝180°﹣2∠C﹣（180°﹣2∠AED）
＝180°﹣2∠C﹣180°+2∠AED
＝﹣2∠C+2（∠CDE+∠C）
＝2∠CDE；
（2）解：如图2中，延长QF交AC于K．设∠P＝x，∠BFQ＝y．
∵AH⊥QK，∠HAQ＝∠HAK，
∴∠QAH+∠AQH＝90°，∠HAK+∠AKQ＝90°，
∴∠AQK＝∠AKQ，
∴2∠2＝∠KFC+∠C＝y+2∠1，
∴∠2﹣∠1＝y，
∵∠1+x＝∠2+y，
∴x＝y+y，
∴2x＝3y，
∴2∠P＝3∠BFQ．
∴∠P与∠BFQ的度数之比为：．
23．（10分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；
（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．
【解答】解：
（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：
当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，
∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，
∵E为AB中点，且AB＝10厘米
∴BE＝5厘米，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE与△CQP全等，
∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，
当△BEP≌△CQP时，
则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，
设P点运动的时间为t秒，
则3t＝8﹣3t，解得t＝，
∴Q点的运动的速度＝5÷＝（厘米/秒），
当△BEP≌△CPQ时，
由（1）可知t＝1（秒），
∴BP＝CQ＝3厘米，
∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），
即当Q点每秒运动厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．
24．（12分）（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
【分析】图①，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图②根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图③求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图①，
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是：×15＝5，
由（2）中证出△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 三角形的初步认识 精选单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13
2．在下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE
4．在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝3，AC＝5，△ACD的周长与△ABD的周长差为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．不确定
6．如图，已知∠BCA＝∠BDA＝90°，BC＝BD．则证明△BAC≌△BAD的理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
7．如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠C＝60°，则∠CBD的大小是（ ）
A．180° B．120° C．100° D．80°
8．如图是用尺规作一个角等于已知角的示意图，根据△O′C′D′≌△OCD，可得∠A′O′B′＝∠AOB，则说明ΔO'C'D'≌△OCD的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（ ）
A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE的延长线于点M，交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于点H．有下列结论：
①∠DAE＝∠F；
②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；
③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；
④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是 ．
12．命题“如果a b＝1，那么a、b互为倒数”，这是一个 命题．（填“真”或“假”）
13．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为 ．
14．如图，在△ABC 中，分别以点A，B为圆心，大于AB的一半为半径作弧，两弧交于点E，F，直线EF交BC于点D，连接AD．若AC＝3，BC＝4，则△ACD的周长等于 ．
15．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数＝ ．
16．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，已知AB＝DF，∠B＝∠F，BE＝FC．求证△ABC≌△DFE．
18．（6分）如图，数学小组想要估算河岸相对的两点A，B的距离即河的宽度，他们先在河岸边取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再过点D作DE⊥BF，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE＝60米，请你根据测量结果求出河宽AB．
19．（7分）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
20．（7分）如图，△ABC≌△DEF，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF＝2cm．
（1）判断线段BC与线段EF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）求线段CD的长度．
21．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．
22．（10分）在△ABC在中，∠B＝∠C，点D在边BC上．
（1）如图①，点E在线段AC上，若∠ADE＝∠AED，证明：∠BAD＝2∠CDE；
（2）如图②，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，设∠ABC与∠AQF的角平分线交于点P，求∠P与∠BFQ的度数之比．
23．（10分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
24．（12分）（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
