(共32张PPT)
1.4.1 二次函数的应用（1）
浙教版九年级上册
教材分析
二次函数的应用本身是学习二次函数图象和性质后，检验学生应用所学知识处理实际问题能力一个综合考查。新课标中要求学生能经过对实际问题情境分析确定二次函数表达式，体会其意义，能依据图象性质处理简单实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识处理最常见、最有实际应用价值问题之一；对于面积问题、利润问题学生易于了解和接收。目标在于让学生经过掌握求最大值这一类题，学会用建模思想去处理其他和函数相关应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后巩固和延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实理论和思想方法基础。
教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
教学重难点
重点：
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
难点：
能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
新知导入
写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
y=x2-4x-5
解：y = x2-4x-5
= x2-4x+4-9
= (x-2)2-9.
开口方向：向上；
对称轴：x=2；
顶点坐标：(2，-9)；
最小值：-9.
新知导入
用长为 8 米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
在日常生活和生产实际中，二次函数的性质有着许多应用.
新知讲解
【例1】下图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下
部分是矩形. 如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大（结果精确到 0.01 m）？
新知讲解
解：如图，设半圆的半径为x(m)，窗框矩形部分的另一边长为y(m)，根据题意，有5x+πx+2x+2y=6，即
新知讲解
答：当窗户半圆的半径约为 0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为
1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05 m2.
新知讲解
总结归纳
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
新知讲解
用长为 8 米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
新知讲解
解：设矩形窗户的透光面积为Sm2，窗框的宽为xm，则窗框的高为
，根据题意，得
整理，
新知讲解
总结归纳：用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，理清题意.
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
新知讲解
【课内练习】
已知直角三角形的两直角边的和为 2，求斜边长可能达到的最小值，
以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长.
解：设直角三角形两直角边为：x，y，
则x+у=2，(x +у)2=x2+y2+ 2xy = 4，∴x2+y2= 4- 2xy,
∵x2+y2≥ 2xy，∴4-2xy ≥ 2xy，
即xy≤1，当x=y=1时，斜边长达到最小值为:
此时两直角边相等且都等于1.
课堂练习
1.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是（ ）cm2.
A.11.5
B.12.5
C.13.5
D.14.5
B
【知识技能类作业】
必做题：
课堂练习
2.如果一个矩形的周长是16，那么该矩形的面积的最大值是( ).
A．8
B．15
C．16
D．64
C
课堂练习
35
3
3.已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当－3≤x≤4时，y的最大值是______，最小值是_______．
课堂练习
4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB=x m，花园面积为 S m2.
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式；
解：(1)由题意得 AD=(28-x) m，
则 S=x(28-x)=-x2+28x(0课堂练习
4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB=x m，花园面积为 S m2.
(2)当 x 为何值时，S 有最大值？请求出最大值.
解：因为 S=-x2+28x=-(x-14)2+196，
所以当 x=14 时，S 有最大值，最大值是196.
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5.利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为( )
A.168m2，102m2
B.200m2，102m2
c.200m2，168m2
D.160m2，102m2
A
课堂练习
6.九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是( )
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.面积都一样
C
课堂练习
【综合实践类作业】
7.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用黑色围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米。
设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积;
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：
借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
板书设计
课题：1.4.1 二次函数的应用（1）
教师板演区
学生展示区
一、利用二次函数求几何图形面积的最值
二、例题讲解
三、总结归纳
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论:①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2;③菜园ABCD面积的最大值为200m2.
其中，正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
作业布置
2.如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边AD靠墙(无需篱笆)的矩形ABCD菜园，并且中间也用篱笆FF隔开，EF∥AB，墙长12m.
(1)设AB=xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式为___________________，x的取值范围为__________________.
(2)矩形ABCD面积的最大值为_______，此时BC的长为_________;
y=-3x2+30x
6≤x<10
72
12m
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙(墙足够长)围成一个长方形花园，设花园的宽AB为xcm，围成的花圃面积为ycm2，则y关于x的函数表达式为____________________.
y=-2x2+20x
作业布置
4.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2.
(1)求出y与x的函数关系式，并写出取值范围.
(2)当y=24时，求x的值.
y=-x2+10x ( 0当y=24时，-x2+10x=24，即x2-10x+24=0，
解得x=4或x=6.
【综合实践类作业】
作业布置
4.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2.
(3)当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少
解:∵y=-x2+10x=-(x-5)2+25，-1<0.
∴当x=5时，y最大，最大为25，
∴当边长为5cm时，矩形的面积最大，最大面积是25cm2.
谢谢
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1.4.1 二次函数的应用（1） 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 二次函数的应用本身是学习二次函数图象和性质后，检验学生应用所学知识处理实际问题能力一个综合考查。 新课标中要求学生能经过对实际问题情境分析确定二次函数表达式，体会其意义，能依据图象性质处理简单实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识处理最常见、 最有实际应用价值问题之一；对于面积问题、 利润问题学生易于了解和接收。目标在于让学生经过掌握求最大值这一类题，学会用建模思想去处理其他和函数相关应用问题。 此部分内容是学习一次函数及其应用后巩固和延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实理论和思想方法基础。
学习者分析 对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象和性质以后，对函数思想已经有初步认识，对分析问题方法已会初步模拟，能识别图象增减性和最值，但在变量超出两个实际问题中，还不能熟练地应用知识处理问题，本节课正是为了填补这一不足而设计，目标是深入培养学生利用所学知识构建数学模型，处理实际问题能力，这也符合新课标中知识和技能呈螺旋式上升规律。
教学目标 1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
教学重点 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
教学难点 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：教师出示问题：写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. y=x2-4x-5解：y = x2-4x-5= x2-4x+4-9= (x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.教师出示课本图片。用长为 8 米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？学生活动1：学生根据上节课所学知识，写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，教师订正答案。学生思考老师提出的问题。活动意图说明：通过做练习，学生复习上节课知识，为本节课所学内容做铺垫。环节二：探究图形的最大值问题教师活动2：教师出示课本问题：【例1】下图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形. 如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大（结果精确到 0.01 m）？解：如图，设半圆的半径为x(m)，窗框矩形部分的另一边长为y(m)，根据题意，有5x+πx+2x+2y=6，即答：当窗户半圆的半径约为 0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05 m2.总结归纳二次函数解决几何面积最值问题的方法：1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 学生活动2：学生思考，回答课本中的问题。学生在教师的引导下完成解题过程，教师讲解解题方法。学生观察函数图像，判断函数的最大值或最小值是由什么决定的。学生共同总结利用二次函数解决几何面积最值问题的方法。活动意图说明：数学不能脱离生活实际，通过例题，加深对知识了解，做到数和形完美结合，经过此题有意训练，学生肯定会对定义域意义有愈加深刻了解，这么既培养了学生思维严密性，又为以后能灵活地利用知识处理问题奠定了坚实基础。环节三：用二次函数解决实际问题教师活动3：教师出示导入问题。用长为 8 米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？解：设矩形窗户的透光面积为Sm2，窗框的宽为xm，则窗框的高为，根据题意，得整理，总结归纳：用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，理清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.学生活动3：学生通过上面的讲解完成导入时的题目。师生共同完成解题过程。学生在教师的引导下总结归纳。活动意图说明：本环节通过上面例题的讲解，完成导入部分的问题，老师主要通过引导启发学生得出解题过程，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。环节四：例题讲解教师活动4：教师出示课本练习题：已知直角三角形的两直角边的和为 2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长.解：设直角三角形两直角边为：x，y，则x+у=2，(x +у)2=x2+y2+ 2xy = 4，∴x2+y2= 4- 2xy,∵x2+y2≥ 2xy，∴4-2xy ≥ 2xy，即xy≤1，当x=y=1时，斜边长达到最小值为:此时两直角边相等且都等于1.学生活动4：师生互动，学生根据所学知识完成课本例题，教师讲解解题方法。活动意图说明：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识从特殊到一般的归纳，符合学生的认知规律，又缩小步子，从而培养学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论的认知过程。
板书设计 课题：1.4.1 二次函数的应用（1）一、利用二次函数求几何图形面积的最值二、例题讲解三、总结归纳
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题：1.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是（ C ）cm2.A.11.5 B.12.5 C.13.5 D.14.52.如果一个矩形的周长是16，那么该矩形的面积的最大值是( C ).A．8 B．15 C．16 D．643.已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当－3≤x≤4时，y的最大值是__35_，最小值是_3．4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD (篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB=x m，花园面积为 S m2.(1)求 S 与 x 之间的函数关系式；解：(1)由题意得 AD=(28-x) m，则 S=x(28-x)=-x2+28x(0课堂总结 本节课你学到了哪些知识？利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
作业布置 【知识技能类作业】必做题：1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论:①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2;③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个数是( C )A.0 B.1 C.2 D.3选做题：2.如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边AD靠墙(无需篱笆)的矩形ABCD菜园，并且中间也用篱笆FF隔开，EF∥AB，墙长12m.(1)设AB=xm，矩形ABCD的面积为ym2，则y关于x的函数关系式为y=-3x2+30x,x的取值范围为6≤x<10.(2)矩形ABCD面积的最大值为___72____，此时BC的长为_____12m____;3.如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙(墙足够长)围成一个长方形花园，设花园的宽AB为xcm，围成的花圃面积为ycm2，则y关于x的函数表达式为y=-2x2+20x.【综合实践类作业】4.用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2.(1)求出y与x的函数关系式，并写出取值范围.y=-x2+10x ( 0教学反思 因为本节课是应用问题，重在经过学习总结处理问题方法。故而本节课以“启发探究式”为根本开展教学活动。处理问题以学生动手动脑探究为主，充分调动学生学习主动性和主动性，突出学生主体地位，达成“不仅使学生学会，而且使学生会学”目标。为了提升课堂效率，展示学生学习效果，合适地辅以电脑多媒体技术。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。2.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，并能解决简单的实际问题。4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章的主要内容有:二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的应用。本章是在学习了正比例函数、一次函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线--抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流等有形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但是对函数概念理解不全面，不深刻，不系统，对二次函数的图象性质理解肤浅，思考缺乏条理性，对函数综合性问题无从下手，有畏难情绪。在计算能力、数形结合思想、函数方程思想、转化与化归中意识不强。本章的知识是在之前学习过一次函数和一元二次方程的基础之上学习的，又为以后学习反比例函数提供经验，在整个初中的数学学习中起到了承上启下的作用，抛物线作为学生第一条接触到的曲线，对它的性质的研究也对以后其它曲线的学习有很大的帮助。
单元目标 （一）教学目标①能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力。②能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。③会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。④能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和顶点坐标。⑤能根据已知条件确定二次函数的表达式。⑥能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。（二）教学重点、难点重点：理解二次函数的概念，会画二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析. 难点：二次函数与一次函数有关知识及二次函数的综合应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1二次函数11.2二次函数的图象31.3二次函数的性质11.4二次函数的应用3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务二次函数11.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.1.归纳出二次函数的定义及一般形式．2.理解二次函数系数、一次项系数和常数项的概念。3.会求二次函数的解析式。活动一：用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系。活动二：总结二次函数的定义，并能解决课本中的问题。二次函数的图象31.了解抛物线的有关概念,会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.1.会用描点法画出形如y =ax2的二次函数的图象.2.通过观察图象，掌握二次函数y =ax2的图象特征.活动一：用描点法画出y =ax2的的图象.活动二：探究二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系。1.能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.2.经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质。1.会画二次函数y=a(x- h)2的图象.2.掌握二次函数y=a(x- h)2与y=ax2图象的平移关系。活动一：用描点法画出y＝a(x—h)2的图象.活动二：探究二次函数y＝a(x—h)2的性质。1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系.活动一：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x—h)2+k之间的关系。2.画二次函数y=ax2+bx+c的图象.二次函数的性质11.能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性.2.能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质.1.能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题。3.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。活动一：探究二次函数与一元二次方程之间的关系。活动二：探究二次函数图象与x轴的交点个数问题。活动三：探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图形与a,b,c之间的关系。二次函数的应用31.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题。2.能利用二次函数的性质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题。活动一：探究二次函数的最值。活动二：探究图形的最值。
《二次函数》单元教学设计
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