2023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
2．（2022九上·南宁月考）我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度CE＝1寸的时候，锯开的宽度AB＝1尺（1尺＝10寸），问木材的直径CD的长是（ ）
A．寸 B．10寸 C．13寸 D．26寸
3．（2022九上·瑞安期末）如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
4．（2022九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
5．（2022九上·桐乡市期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）.
A．2 B．3 C． D．
6．（2022九上·龙港期中）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
7．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021九上·惠州期末）如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽分米，，则水的最大深度CD为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·庐江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
二、填空题
11．（2023九上·宁波期末）如图，在中，是直径，是弦，于M，，则的长为 .
12．（2022九上·凉州期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于 .
13．（2022九上·义乌月考）如图，是的弦，C是弧AB的中点，交于点D.若cm， cm，则的半径为 cm.
14．（2022九上·龙港期中）在直径为60cm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图所示，若油面宽AB＝48cm，则油的最大深度为 cm.
15．（2022九上·鄞州月考）绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 m．
16．（2021九上·陵城期末）如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
三、作图题
17．（2021九上·古浪月考）一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心 .（要求：不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题
18．（2022九上·顺庆期末）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长.
19．（2022九上·东城期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
20．（2022九上·西城期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，求的面积．
21．（2022九上·黄埔期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
22．（2022九上·中山期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．求的长．
23．（2022九上·北仑期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
24．（2022九上·无为期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E ，
∴CE=CD=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，
即（10-x）2+42=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，根据垂径定理得CE=4，在Rt△CEO中，由勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，设OA＝OC＝r寸.
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝EB＝5寸，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r-1）2，
∴r＝13，
∴CD＝2r＝26寸，
故答案为：D.
【分析】：连接AO，设OA＝OC＝r寸，根据垂径定理可得AE＝EB＝5寸，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，，
∴，，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得AD=4，在Rt△OAD中，利用勾股定理算出OD即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
是直径，是弦，于，，
，
，
，
.
.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AM=4，在Rt△AMO中，利用勾股定理算出OM，进而根据DM=OD-OM即可算出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设的半径为r，则，，
，
在中，，
即，
解得，
，
.
故答案为：A.
【分析】在Rt△OEB中，根据勾股定理建立方程求出该圆的半径，进而CE=CD-DE即可算出答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB.
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5.
∴⊙O的半径等于5.
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得∠AMO=90°，AM=4，利用勾股定理算出OA，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB ，
∴AD=DB，
∵OC=OB=5，OD=4
∴在Rt △ODB中，由勾股定理得：BD=
∴AB=2BD=2×3=6.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理得AB=2DB，又又勾股定理可求得BD，再通过计算可求得AB.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10分米，
∴OA=5（分米），
∵OD⊥AB，AB＝8（分米），
∴
∴水的最大深度CD＝OC－OD＝5－3=2（分米），
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和勾股定理求出OD的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且
在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：
点P线段BC上，则，即
由对称性，当点P在线段AC上时，
∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故答案为：B
【分析】先作辅助线，取AB的中点O，分别连接OC、OB，取AB的中点O，根据垂径定理得OC⊥AB，且，然后在Rt△OBC中由勾股定理得OC=4，再由垂线段最短可得答案。
11．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵过O，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：2.
【分析】连接OB，根据垂直定理，AM=BM=4，在Rt△OBM中利用勾股定理算出OM的长，进而根据MD=OD-OM即可算出答案.
12．【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8，
在Rt△OAC中，OC＝==6（cm）.
故答案为：6.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得AC=8，进而根据勾股定理算出OC即可.
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，
∵C是弧中点，
∴，且平分，
设的半径为，
∵cm，cm，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴cm.
故答案为：5.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得CD⊥AB，且AD=4，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
14．【答案】12
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
由垂径定理得：AC＝AB＝×48＝24（cm），
在Rt△ACO中，AC2+OC2＝AO2，
∴242+OC2＝302，
解得：OC＝18，
∴CD＝OD-OC＝30-18＝12（cm）.
故油的最大深度是12cm.
故答案为：12.
【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，根据垂径定理得AC的长，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解可得OC的长，进而根据CD＝OD-OC算出答案.
15．【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8-5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝ ＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案为：8．
【分析】连接OA，根据垂径定理得AB=2AD，利用勾股定理算出AD的长即可得出答案.
16．【答案】垂径定理
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
这位同学确定点C所用的方法依据是：垂径定理，
即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，
故答案为：垂径定理．
【分析】结合题意，利用垂径定理，求解即可。
17．【答案】解：如图，点O即为所求.
【知识点】垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据垂径定理，圆心一定在该圆任意两条弦的垂直平分线上，故在圆上分别取点A、B、C，然后作线段AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
18．【答案】解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2BD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC-CD=26-16=10（cm），
由勾股定理知，
BD==24（cm），
∴AB=48cm.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得AB=2BD，在Rt△OBD中，利用勾股定理算出BD，即可得出答案.
19．【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。
20．【答案】解：设，则．
点是的中点，过圆心，
．
，，
，．
在中，，
．
解得，．
．
．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 设，则，，根据勾股定理可得，求出，再利用三角形的面积公式可得。
21．【答案】解：如图：连接，
的直径，
，
，
，
在中，，
，
的直径为，，
，
故的长为8．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OA，先利用勾股定理求出AM的长，再利用垂径定理可得。
22．【答案】证明：过点作，
，
，
又在中，
，
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过点作，得出，再推出，即可得解。
23．【答案】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x-4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x-4）2+82＝x2
解得：x＝10.
答：这个圆形截面的半径为10cm.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【分析】 过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，由垂径定理可得BD＝AB＝8cm，设半径为xcm，则OD＝（x-4）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理建立关于x方程并解之即得结论；
24．【答案】不解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】设半径为则，根据勾股定理可得，求出，利用线段的和差求出ON的长，再利用勾股定理求出A'N的长，最后比较大小即可。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023九上·杭州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，
∵ AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E ，
∴CE=CD=4，
在Rt△CEO中，由勾股定理得OE2+CE2=OC2，
即（10-x）2+42=x2，
解得x=5.8.
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，设圆OC=OB=x，则OE=BE-OB=10-x，根据垂径定理得CE=4，在Rt△CEO中，由勾股定理建立方程，求解可得x的值，从而即可得出答案.
2．（2022九上·南宁月考）我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度CE＝1寸的时候，锯开的宽度AB＝1尺（1尺＝10寸），问木材的直径CD的长是（ ）
A．寸 B．10寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，设OA＝OC＝r寸.
∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝EB＝5寸，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r-1）2，
∴r＝13，
∴CD＝2r＝26寸，
故答案为：D.
【分析】：连接AO，设OA＝OC＝r寸，根据垂径定理可得AE＝EB＝5寸，在Rt△AOE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
3．（2022九上·瑞安期末）如图，在中半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵半径OC与弦AB垂直于点D，，
∴，，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理得AD=4，在Rt△OAD中，利用勾股定理算出OD即可.
4．（2022九上·长顺期末）如图，在中，是直径，是弦，于，，，则的长为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
是直径，是弦，于，，
，
，
，
.
.
故答案为：D.
【分析】连接OA，根据垂径定理得AM=4，在Rt△AMO中，利用勾股定理算出OM，进而根据DM=OD-OM即可算出答案.
5．（2022九上·桐乡市期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）.
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设的半径为r，则，，
，
在中，，
即，
解得，
，
.
故答案为：A.
【分析】在Rt△OEB中，根据勾股定理建立方程求出该圆的半径，进而CE=CD-DE即可算出答案.
6．（2022九上·龙港期中）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
∵⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，
∴AM＝＝4，OM⊥AB.
在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，
∴OA＝＝5.
∴⊙O的半径等于5.
故答案为：C.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得∠AMO=90°，AM=4，利用勾股定理算出OA，即可得出答案.
7．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
8．（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，OD=4，则弦AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB ，
∴AD=DB，
∵OC=OB=5，OD=4
∴在Rt △ODB中，由勾股定理得：BD=
∴AB=2BD=2×3=6.
故答案为：D.
【分析】由垂径定理得AB=2DB，又又勾股定理可求得BD，再通过计算可求得AB.
9．（2021九上·惠州期末）如图，排水管截面的半径为5分米，水面宽分米，，则水的最大深度CD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10分米，
∴OA=5（分米），
∵OD⊥AB，AB＝8（分米），
∴
∴水的最大深度CD＝OC－OD＝5－3=2（分米），
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理和勾股定理求出OD的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可。
10．（2021九上·庐江期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（ ）
A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】如图，取AB的中点O，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且
在Rt△OBC中，OB=5，由勾股定理得：
点P线段BC上，则，即
由对称性，当点P在线段AC上时，
∴当点P在弦AB上时，
∵
∴选项B符合题意
故答案为：B
【分析】先作辅助线，取AB的中点O，分别连接OC、OB，取AB的中点O，根据垂径定理得OC⊥AB，且，然后在Rt△OBC中由勾股定理得OC=4，再由垂线段最短可得答案。
二、填空题
11．（2023九上·宁波期末）如图，在中，是直径，是弦，于M，，则的长为 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵过O，，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
故答案为：2.
【分析】连接OB，根据垂直定理，AM=BM=4，在Rt△OBM中利用勾股定理算出OM的长，进而根据MD=OD-OM即可算出答案.
12．（2022九上·凉州期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于 .
【答案】6
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8，
在Rt△OAC中，OC＝==6（cm）.
故答案为：6.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得AC=8，进而根据勾股定理算出OC即可.
13．（2022九上·义乌月考）如图，是的弦，C是弧AB的中点，交于点D.若cm， cm，则的半径为 cm.
【答案】5
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OA，
∵C是弧中点，
∴，且平分，
设的半径为，
∵cm，cm，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴cm.
故答案为：5.
【分析】连接OA，根据垂径定理可得CD⊥AB，且AD=4，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求解即可.
14．（2022九上·龙港期中）在直径为60cm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图所示，若油面宽AB＝48cm，则油的最大深度为 cm.
【答案】12
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
由垂径定理得：AC＝AB＝×48＝24（cm），
在Rt△ACO中，AC2+OC2＝AO2，
∴242+OC2＝302，
解得：OC＝18，
∴CD＝OD-OC＝30-18＝12（cm）.
故油的最大深度是12cm.
故答案为：12.
【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，根据垂径定理得AC的长，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解可得OC的长，进而根据CD＝OD-OC算出答案.
15．（2022九上·鄞州月考）绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为 m．
【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8-5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝ ＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案为：8．
【分析】连接OA，根据垂径定理得AB=2AD，利用勾股定理算出AD的长即可得出答案.
16．（2021九上·陵城期末）如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦垂直的方向走到上，就能找到的中点C，老师肯定了他的想法．这位同学确定点C所用方法的依据是 ．
【答案】垂径定理
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
这位同学确定点C所用的方法依据是：垂径定理，
即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，
故答案为：垂径定理．
【分析】结合题意，利用垂径定理，求解即可。
三、作图题
17．（2021九上·古浪月考）一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心 .（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点O即为所求.
【知识点】垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据垂径定理，圆心一定在该圆任意两条弦的垂直平分线上，故在圆上分别取点A、B、C，然后作线段AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O.
四、解答题
18．（2022九上·顺庆期末）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长.
【答案】解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2BD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC-CD=26-16=10（cm），
由勾股定理知，
BD==24（cm），
∴AB=48cm.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理得AB=2BD，在Rt△OBD中，利用勾股定理算出BD，即可得出答案.
19．（2022九上·东城期末）如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长.
【答案】解：如图，连接．
∵是的直径，弦于点E，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，再利用勾股定理可得，将数据代入求出即可。
20．（2022九上·西城期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，求的面积．
【答案】解：设，则．
点是的中点，过圆心，
．
，，
，．
在中，，
．
解得，．
．
．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 设，则，，根据勾股定理可得，求出，再利用三角形的面积公式可得。
21．（2022九上·黄埔期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，求的长.
【答案】解：如图：连接，
的直径，
，
，
，
在中，，
，
的直径为，，
，
故的长为8．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OA，先利用勾股定理求出AM的长，再利用垂径定理可得。
22．（2022九上·中山期末）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点，．求的长．
【答案】证明：过点作，
，
，
又在中，
，
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过点作，得出，再推出，即可得解。
23．（2022九上·北仑期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
【答案】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x-4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x-4）2+82＝x2
解得：x＝10.
答：这个圆形截面的半径为10cm.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【分析】 过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，由垂径定理可得BD＝AB＝8cm，设半径为xcm，则OD＝（x-4）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理建立关于x方程并解之即得结论；
24．（2022九上·无为期中）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
【答案】不解：设圆弧所在圆的圆心为，连结，，如图所示
设半径为则
由垂径定理可知，
∵，∴，且
在中，由勾股定理可得
即，解得
∴
在中，由勾股定理可得
∴
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】设半径为则，根据勾股定理可得，求出，利用线段的和差求出ON的长，再利用勾股定理求出A'N的长，最后比较大小即可。
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