2023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2023九上·诸暨期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BD的长，再利用勾股定理求出OB的长；然后根据DC=OC-OD，代入计算求出DC的长.
2．（2023九上·吴兴期末）常用水笔的笔尖是通过顶端的球座口内置一颗可以滚动带墨出水的球珠构成（轴截面如图所示），某工厂生产了一批直径均为的球珠和可以放置球珠的笔尖，要求笔头球珠探出部分的长度h不少于但不超过，以下生产的不同球座口宽度a中符合要求的是（ ）
A．0.45 B．0.35 C．0.25 D．0.15
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接，过点O作于点B，
∵直径均为，
∴，
当时，，
根据勾股定理可得：，
∴，
当时，，
根据勾股定理可得：，
∴，
综上：，
故答案为：B.
【分析】连接AO，过点O作OB⊥a于点B，根据题意可得OA=0.25mm，当h=0.05mm时，OB=0.2mm，利用勾股定理可得AB的值，由垂径定理可得a的值，同理求出h=0.1mm时AB的值，进而可得a的范围.
3．（2023九上·慈溪期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接 ，
设 的半径为x，则 ，
为 的直径，弦 ， 寸， 寸，
， ，
，
解得 ，
故 ，
，
故 的长为10寸.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AE=AB=3，由勾股定理可得x的值，据此解答.
4．（2022九上·中山期末）点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 且与这条直径垂直的弦，
∴ ， ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出OP的长即可。
5．（2022九上·平谷期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ）
A．5 B．12 C．13 D．26
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故答案为：C．
【分析】连接OA，先利用垂径定理可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
6．（2022九上·长兴月考）如图，AD是⊙O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，连结BC交AD于点E，若DE=2，BC=8，则⊙O的半径是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，
∴，
∵AD是直径，
∴AD⊥BC，
∴BE=BC=4，∠OEB=90°，
设圆的半径为r，则OE=r-2，
在Rt△OBE中，
OB2=OE2+BE2即r2=（r-2）2+42
解之：r=5.
故答案为：B
【分析】连接OB，利用已知作图可知，利用垂径定理可证得AD⊥BC，同时可求出BE的长，设圆的半径为r，可表示出OE的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
7．（2023九上·孝南期末）如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】 过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用直角三角形的两锐角互余，可求出OC的长，利用勾股定理求出BC的长；然后利用垂径定理可证得AB=2BC，代入计算求出AB的长.
8．（2023九上·韩城期末）某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OB
由题意可知DC=20cm，AB=80cm，
∴BD=AB=40cm，
设圆的半径为r，则OD=r-20，
在Rt△BOD中，BD2+OD2=OB2即402+（r-20）2=r2
解之：r=50.
故答案为：D
【分析】过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OB，利用已知可得到DC，AB的长，利用垂径定理可求出BD的长，设圆的半径为r，则OD=r-20，在Rt△BOD中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
9．（2022九上·良庆月考）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为.
故答案为：C.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，根据垂径定理可得BD=AD=12cm，由直径可得OB=OC=13cm，利用勾股定理可得OD，然后根据CD=OC-OD进行计算.
10．（2022九上·青田期中）如图，在圆中，弦，点在上移动，连接，过点做交圆于点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为2，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理可得，可知当的值最小时，的值最大，当时，最小，此时、两点重合，求出此时CD即可.
二、填空题
11．（2023九上·泰兴期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为的中点，D为弧的中点）.则桥拱所在圆的半径为 米.
【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴三点共线，且
，
在Rt中，根据勾股定理得
解得
故答案为：26.
【分析】桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接OC、OB，由题意可得O、C、D三点共线，且OC⊥AB，由垂径定理可得AC=CB=AB=24，则OC=OD-CD=R-16，然后在Rt△OCB中，利用勾股定理进行计算.
12．（2023九上·凤凰期末）如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，米，
∴，
设的半径为r，则，
在中，根据勾股定理得，
即，
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可得AD=AB=5，设半径为r，则OD=7-r，在Rt△ADO中，由勾股定理可得r的值.
13．（2023九上·武义期末）如图，的半径垂直于弦于点，连结并延长交于点，连结.若，则的长为 .
【答案】12
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的半径垂直于弦于点，，
∴，
在中，，
设，则，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据垂径定理可得AC=BC=8，设DO=AO=r，则OC=r-4，根据勾股定理可得r的值，然后求出OC的值，推出OC为△ABE的中位线，据此计算.
14．（2023九上·厦门期末）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，则的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，根据垂径定理得BC=2CF，进而根据线段的和差算出DO的长，再根据含30°角直角三角形的性质可得OF的长，最后在Rt△OCF中，利用勾股定理算出CF的长，从而即可得出答案.
15．（2022九上·莱州期末）已知直线m与半径为5cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且，若AB＝6cm，则直线m与弦AB之间的距离为 ．
【答案】1cm或9cm
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意：分两种情况进行分析，
①如图所示，当AB与直线位于圆心O的同侧时，连接OA，OP交AB于点E，
∵，，
∴，，
∵直线m为圆O的切线，
∴，
在中，
，
∴，
②如图所示，当AB与直线m位于圆心O的异侧时，连接，OP交于点F，
结合图形及①可得，
∴，
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①当AB与直线位于圆心O的同侧时，连接OA，OP交AB于点E，②当AB与直线m位于圆心O的异侧时，连接，OP交于点F，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。
16．（2022九上·利辛月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
【答案】26
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【分析】由垂径定理可得寸，设半径，则OD=r-1，在中，根据勾股定理建立方程求出r值，即的直径.
三、作图题
17．（2023九上·韩城期末）如图，是的直径，点P是上一点，且点P是弦的中点，利用尺规作图法作出弦.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，弦即为所求.
【知识点】垂径定理的应用；作图-垂线
【解析】【分析】过点P作线段AB的垂线，与圆交于C、D两点，连接C、D即可得到弦CD.
四、解答题
18．（2022九上·海淀期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
【答案】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，利用勾股定理可得，将数据代入可得，再求出即可。
五、综合题
19．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
20．（2022九上·青田期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【答案】（1）解：如图，作于点，交圆于点，
则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为5米；
（2）解：如上图，当米时，，
在中，，
，
米，
米，
答：水面下盛水筒的最大深度为2米.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）作于点，交圆于点，由垂径定理可得米 ，设圆的半径为米，则OE=（r-1）米，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之即可；
（2） 当米时， ， 在中 ，利用勾股定理求出OE的长，根据DE=半径-OE即可求解.
21．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r﹣3，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
22．（2022九上·嘉兴期中）【概念引入】
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.
（1）【概念理解】
如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 .
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：.
（3）【概念应用】
如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长.
【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】【概念理解】（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；
【分析】（1）连接OB，由垂径定理可得BC=AC=AB=4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）连接BO、OC，由垂径定理可得BM=AM，CN=DN，∠BMO=90°，∠CNO=90°，结合AB=CD可得BM=CN，利用HL证明△BOM≌△CON，据此可得结论；
（3）过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，则四边形GEHO是正方形，GE=GO，由垂径定理可得DG=8，由圆的直径可得DO=10，利用勾股定理可得GO，据此求解.
23．（2022九上·交城期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，其中1尺寸，求出直径的长．
解题过程如下：
连接，设寸，则寸．
∵尺，∴寸．
在中，，即，解得，
∴寸．
任务：
（1）上述解题过程运用了 定理和 定理．
（2）若原题改为已知寸，尺，请根据上述解题思路，求直径的长．
（3）若继续往下锯，当锯到时，弦所对圆周角的度数为 ．
【答案】（1）垂径；勾股
（2）解：连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（3）45°或135°
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，上述解题过程运用了 垂径定理和 勾股定理．
故答案是：垂径；勾股；
（3）∵AB⊥CD，
∴当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所对圆周角的度数为∠AOB=45°．
同理，优弧AB所对圆周角的度数为135°．
故答案是：45°或135°．
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸，利用勾股定理可得OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，再求出r的值即可；
（3）利用圆周角的性质求解即可。
24．（2022九上·嘉兴期中）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝ BC＝ ×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝ ＝4，
即线段OD的长为4．
（2）解：存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝ ＝5 ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝ AB＝ ，
∴DE保持不变．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得BD=3，在Rt△BDO中，根据勾股定理算出OD的长；
（2） 存在，DE保持不变． 理由：连接AB， 首先根据勾股定理算出AB的长，根据垂径定理可知 D和E分别是线段BC和AC的中点， 从而根据三角形的中位线定理得DE＝ AB ，故DE的长度保持不变.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2023九上·诸暨期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
2．（2023九上·吴兴期末）常用水笔的笔尖是通过顶端的球座口内置一颗可以滚动带墨出水的球珠构成（轴截面如图所示），某工厂生产了一批直径均为的球珠和可以放置球珠的笔尖，要求笔头球珠探出部分的长度h不少于但不超过，以下生产的不同球座口宽度a中符合要求的是（ ）
A．0.45 B．0.35 C．0.25 D．0.15
3．（2023九上·慈溪期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长？”依题意得的长为（ ）
A．4寸 B．5寸 C．8寸 D．10寸
4．（2022九上·中山期末）点是内一点，过点的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．5 D．4
5．（2022九上·平谷期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ）
A．5 B．12 C．13 D．26
6．（2022九上·长兴月考）如图，AD是⊙O的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，连结BC交AD于点E，若DE=2，BC=8，则⊙O的半径是（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2023九上·孝南期末）如图，在中，是弦，，半径为4，.则的长（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·韩城期末）某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（ ）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
9．（2022九上·良庆月考）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·青田期中）如图，在圆中，弦，点在上移动，连接，过点做交圆于点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．（2023九上·泰兴期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为的中点，D为弧的中点）.则桥拱所在圆的半径为 米.
12．（2023九上·凤凰期末）如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
13．（2023九上·武义期末）如图，的半径垂直于弦于点，连结并延长交于点，连结.若，则的长为 .
14．（2023九上·厦门期末）如图，内接于，连接并延长交于点D，交于点E，若，则的长为 .
15．（2022九上·莱州期末）已知直线m与半径为5cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且，若AB＝6cm，则直线m与弦AB之间的距离为 ．
16．（2022九上·利辛月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
三、作图题
17．（2023九上·韩城期末）如图，是的直径，点P是上一点，且点P是弦的中点，利用尺规作图法作出弦.（不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题
18．（2022九上·海淀期末）紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
五、综合题
19．（2023九上·温州期末）根据素材解决问题．
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y= x．
问题解决
任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径．
任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
20．（2022九上·青田期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
21．（2022九上·拱墅期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE＝2，CD＝8.
（1）求⊙O的半径长；
（2）连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长.
22．（2022九上·嘉兴期中）【概念引入】
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距.
（1）【概念理解】
如图1，在中，半径是5，弦，则这条弦的弦心距长为 .
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在中，，，，求证：.
（3）【概念应用】
如图3，在中，的直径为20，且弦垂直于弦于，请应用上面得出的结论求的长.
23．（2022九上·交城期中）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，其中1尺寸，求出直径的长．
解题过程如下：
连接，设寸，则寸．
∵尺，∴寸．
在中，，即，解得，
∴寸．
任务：
（1）上述解题过程运用了 定理和 定理．
（2）若原题改为已知寸，尺，请根据上述解题思路，求直径的长．
（3）若继续往下锯，当锯到时，弦所对圆周角的度数为 ．
24．（2022九上·嘉兴期中）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BD的长，再利用勾股定理求出OB的长；然后根据DC=OC-OD，代入计算求出DC的长.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接，过点O作于点B，
∵直径均为，
∴，
当时，，
根据勾股定理可得：，
∴，
当时，，
根据勾股定理可得：，
∴，
综上：，
故答案为：B.
【分析】连接AO，过点O作OB⊥a于点B，根据题意可得OA=0.25mm，当h=0.05mm时，OB=0.2mm，利用勾股定理可得AB的值，由垂径定理可得a的值，同理求出h=0.1mm时AB的值，进而可得a的范围.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图：连接 ，
设 的半径为x，则 ，
为 的直径，弦 ， 寸， 寸，
， ，
，
解得 ，
故 ，
，
故 的长为10寸.
故答案为：D.
【分析】连接OA，设半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AE=AB=3，由勾股定理可得x的值，据此解答.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点 且与这条直径垂直的弦，
∴ ， ，
∴ ，
由垂径定理得： ，
由勾股定理得： ，
故答案为：D．
【分析】根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出OP的长即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，，
，
而，
根据勾股定理得，
解得，
即的半径为13寸．
故答案为：C．
【分析】连接OA，先利用垂径定理可得，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵以A为圆心，弦AB为半径画弧交⊙O于点C，
∴，
∵AD是直径，
∴AD⊥BC，
∴BE=BC=4，∠OEB=90°，
设圆的半径为r，则OE=r-2，
在Rt△OBE中，
OB2=OE2+BE2即r2=（r-2）2+42
解之：r=5.
故答案为：B
【分析】连接OB，利用已知作图可知，利用垂径定理可证得AD⊥BC，同时可求出BE的长，设圆的半径为r，可表示出OE的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，作于点C，连接，
∵
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】 过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，利用直角三角形的两锐角互余，可求出OC的长，利用勾股定理求出BC的长；然后利用垂径定理可证得AB=2BC，代入计算求出AB的长.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OB
由题意可知DC=20cm，AB=80cm，
∴BD=AB=40cm，
设圆的半径为r，则OD=r-20，
在Rt△BOD中，BD2+OD2=OB2即402+（r-20）2=r2
解之：r=50.
故答案为：D
【分析】过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，连接OB，利用已知可得到DC，AB的长，利用垂径定理可求出BD的长，设圆的半径为r，则OD=r-20，在Rt△BOD中，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为.
故答案为：C.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，根据垂径定理可得BD=AD=12cm，由直径可得OB=OC=13cm，利用勾股定理可得OD，然后根据CD=OC-OD进行计算.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为2，
故答案为：B.
【分析】连接，由勾股定理可得，可知当的值最小时，的值最大，当时，最小，此时、两点重合，求出此时CD即可.
11．【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
∵C为的中点，D为弧的中点，
∴三点共线，且
，
在Rt中，根据勾股定理得
解得
故答案为：26.
【分析】桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接OC、OB，由题意可得O、C、D三点共线，且OC⊥AB，由垂径定理可得AC=CB=AB=24，则OC=OD-CD=R-16，然后在Rt△OCB中，利用勾股定理进行计算.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，米，
∴，
设的半径为r，则，
在中，根据勾股定理得，
即，
故答案为：.
【分析】根据垂径定理可得AD=AB=5，设半径为r，则OD=7-r，在Rt△ADO中，由勾股定理可得r的值.
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的半径垂直于弦于点，，
∴，
在中，，
设，则，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：12.
【分析】根据垂径定理可得AC=BC=8，设DO=AO=r，则OC=r-4，根据勾股定理可得r的值，然后求出OC的值，推出OC为△ABE的中位线，据此计算.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，
∵
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，根据垂径定理得BC=2CF，进而根据线段的和差算出DO的长，再根据含30°角直角三角形的性质可得OF的长，最后在Rt△OCF中，利用勾股定理算出CF的长，从而即可得出答案.
15．【答案】1cm或9cm
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意：分两种情况进行分析，
①如图所示，当AB与直线位于圆心O的同侧时，连接OA，OP交AB于点E，
∵，，
∴，，
∵直线m为圆O的切线，
∴，
在中，
，
∴，
②如图所示，当AB与直线m位于圆心O的异侧时，连接，OP交于点F，
结合图形及①可得，
∴，
故答案为：或．
【分析】分两种情况：①当AB与直线位于圆心O的同侧时，连接OA，OP交AB于点E，②当AB与直线m位于圆心O的异侧时，连接，OP交于点F，再利用垂径定理和勾股定理求解即可。
16．【答案】26
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：，
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【分析】由垂径定理可得寸，设半径，则OD=r-1，在中，根据勾股定理建立方程求出r值，即的直径.
17．【答案】解：如图所示，弦即为所求.
【知识点】垂径定理的应用；作图-垂线
【解析】【分析】过点P作线段AB的垂线，与圆交于C、D两点，连接C、D即可得到弦CD.
18．【答案】解：如图，连接．
∵过圆心，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得．
∴这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】连接OB，利用勾股定理可得，将数据代入可得，再求出即可。
19．【答案】解：任务1：记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO(如图1)，
设桥拱的半径为r，
∵AD=BD= AB=8，OD=r-4，
∴(r-4)2 +82=r2，∴r=10，
即圆形拱桥的半径为10米；
任务2： 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱 ，理由如下：
当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M(如图2)，
则EM= EH=5，
∴OM= ，
∴DM = -6<3，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱．
为了能顺利通过，
船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米．
∵y= x，∴x=100（9 - ）= (900- )吨，
：．至少需要增加(900-)吨的货物
【知识点】垂径定理的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）记圆心为点O，则点O在CD延长线上，连结AO，设桥拱的半径为r，则OD=r-4，根据垂径定理得AD=BD=8，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程，求解可得该圆形拱桥的半径；
（2）当EH是⊙O的弦时，记EH与OC的交点为M，根据垂径定理得EM=5，在Rt△EOM中，利用勾股定理建立方程，求解可得OM的长，进而由DM=OM-OD算出DM的长，再与3比大小即可判断能否正常通过；为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度y=3-( -6)=(9-)米，将y的值代入 y= x 即可求出需要添加货物的数量.
20．【答案】（1）解：如图，作于点，交圆于点，
则米，米，
设圆的半径为米，
在中，，
，
解得，
该圆的半径为5米；
（2）解：如上图，当米时，，
在中，，
，
米，
米，
答：水面下盛水筒的最大深度为2米.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）作于点，交圆于点，由垂径定理可得米 ，设圆的半径为米，则OE=（r-1）米，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之即可；
（2） 当米时， ， 在中 ，利用勾股定理求出OE的长，根据DE=半径-OE即可求解.
21．【答案】（1）解：连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，
∵AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DE＝CE＝CD＝×8＝4，
在Rt△ODE中，
∵OE＝r﹣3，OD＝r，DE＝4，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
即⊙O的半径长为5；
（2）解：在Rt△BCE中，
∵CE＝4，BE＝AB﹣AE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，
在Rt△OBF中，OF＝＝，
即OF的长为.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OD，设⊙O的半径长为r，由垂径定理可得DE＝CE＝CD＝4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理可得BC的值， 由垂径定理可得BF＝CF＝BC＝2，∠OFB＝90°，再在Rt△OBF中，利用勾股定理计算即可.
22．【答案】（1）3
（2）证明：连接、，
，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
（3）解：过点作交于，过点作交于，连接，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
的直径为20，
，
，
，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】【概念理解】（1）解：连接，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：3；
【分析】（1）连接OB，由垂径定理可得BC=AC=AB=4，然后利用勾股定理计算即可；
（2）连接BO、OC，由垂径定理可得BM=AM，CN=DN，∠BMO=90°，∠CNO=90°，结合AB=CD可得BM=CN，利用HL证明△BOM≌△CON，据此可得结论；
（3）过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，则四边形GEHO是正方形，GE=GO，由垂径定理可得DG=8，由圆的直径可得DO=10，利用勾股定理可得GO，据此求解.
23．【答案】（1）垂径；勾股
（2）解：连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（3）45°或135°
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，上述解题过程运用了 垂径定理和 勾股定理．
故答案是：垂径；勾股；
（3）∵AB⊥CD，
∴当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所对圆周角的度数为∠AOB=45°．
同理，优弧AB所对圆周角的度数为135°．
故答案是：45°或135°．
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解即可；
（2）设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸，利用勾股定理可得OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，再求出r的值即可；
（3）利用圆周角的性质求解即可。
24．【答案】（1）解：如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝ BC＝ ×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝ ＝4，
即线段OD的长为4．
（2）解：存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝ ＝5 ，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝ AB＝ ，
∴DE保持不变．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得BD=3，在Rt△BDO中，根据勾股定理算出OD的长；
（2） 存在，DE保持不变． 理由：连接AB， 首先根据勾股定理算出AB的长，根据垂径定理可知 D和E分别是线段BC和AC的中点， 从而根据三角形的中位线定理得DE＝ AB ，故DE的长度保持不变.
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