2023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2022九上·邢台期中）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故答案为：B．
【分析】连接OF，设OA=OF=x，利用勾股定理可得x2=62+（x-3）2，再求出x的值，最后求出AB的长即可。
2．（2022九上·新昌期中）是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，
为的中点，
∴，
（1）如图①，顶点在线段上，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，顶点在的延长线上，
，
同理可得：，，，
∴，
∴；
综上，该菱形的边长为或，
故答案为：C.
【分析】设圆心为点O，过点B作直径，连接AC交BO于点E，连接OC，根据等腰三角形的性质可得BD⊥AC，当顶点D在线段BO上时，由题意可得BD=4，则OD=OB-BD=2，根据菱形的性质可得DE=2，则OE=OD+DE=4，利用勾股定理可得CE、CD；当顶点D在BO的延长线上时，BD=8，同理求解即可.
3．（2022九上·嘉兴期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
【答案】C
【知识点】正方形的性质；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OP，OQ，
∵DE，FG， ， 的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝ （AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18-14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13，
故答案为：C．
【分析】连接OP，OQ，根据垂径定理可得OP⊥AC，OQ⊥BC，H、I是AC、BC的中点，根据三角形的中位线定理易得OH+OI＝ （AC+BC）＝9，根据正方形的性质得MH+NI＝AC+BC＝18，结合已知可得PH+QI=4，从而即可AB的长.
4．（2022九上·金东月考）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有
解得，r＝4.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，则OP⊥AB，根据垂径定理可得CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，然后在Rt△CON、Rt△AOM中，利用勾股定理进行计算即可.
5．（2022九上·定海月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，OM，
∵点M为线段QP的中点，
∴CM⊥AP，
∠AMC=90°，
∴△AMC是直角三角形，
∵点A（-2，0），点C（2，0），
∴点O是AC的中点，
∴OM=OA=OC=2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的圆上，
∵两点之间线段最短，
∴当点O，M，N共线时，线段MN的长最小，
∵点N（4，3），
∴，
∴MN=ON-OM=5-2=3.
故答案为：B.
【分析】连接CM，OM，利用垂径定理可证得CM⊥AP，可知△AMC是直角三角形；利用点A，C的坐标可知点O是AC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OM的长，同时可知点M在以O为圆心，2为半径的圆上；再利用两点之间线段最短，可得到当点O，M，N共线时，线段MN的长最小，根据点N的坐标，利用勾股定理求出ON的长；然后根据MN=ON-OM，代入计算求出MN的长.
6．（2021九上·泗水期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝16，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．10 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝r，
根据作图过程可知：AO平分∠BAC，
∵AB＝AC＝4，BC＝16，
∴OA⊥BC于点D，BD＝CD＝BC＝8，
∴AD＝，
∴OD＝OA AD＝r 4，
在Rt△BDO中，根据勾股定理，得
OB2＝OD2＋BD2，
∴r2＝（r 4）2＋82，
解得r＝10．
故答案为：B．
【分析】连接OB，设OB＝OA＝r，则OD＝OA AD＝r 4，再利用勾股定理可得OB2＝OD2＋BD2，将数据代入可得r2＝（r 4）2＋82，最后求出r的值即可。
7．（2022九上·江北期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点.当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故答案为： D.
【分析】连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，由等腰三角形的性质可求ON＝1，FO＝OB＝GO＝OH＝2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH＝2PH=2，即可求解．
8．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
9．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
10．（2018九上·武昌期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H，根据垂径定理可得OQ⊥PA，即得∠AQO=90°，从而可判断点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，可得当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大.在Rt△OCH中，利用直角三角形的性质可求出OH、CH的长，在Rt△CKH中利用勾股定理求出CK的长，从而求出CQ的长.
二、填空题
11．（2022九上·哈尔滨月考）如图，的直径，CD是的弦，垂足为P，连接AC、AD，是等边三角形，则CD的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得：
，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，利用含30°角直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出PC的长，最后求出即可。
12．（2022九上·舟山月考）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为 。
【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：EF∥AB，EF=16，过点O作OC⊥AB于点C，交EF于点G，连接OE，
∴OC⊥EF，
∴∠OGE=∠OCB=90°，BC=AB=6，EG=EF=8，
在Rt△OCB中，；
在Rt△EOG中，
当EF和AB在圆心O的同侧时，CG=OC-OG=8-6=2；
当EF和AB在圆心O的两侧时，CG=OC+OG=8+6=14；
∴当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为2或14.
故答案为：2或14
【分析】EF∥AB，EF=16，过点O作OC⊥AB于点C，交EF于点G，连接OE，可证得OC⊥EF，利用垂直的定义和垂径定理可证得∠OGE=∠OCB=90°，同时可求出BC，EG的长；再利用勾股定理求出OC，OG的长；然后分情况讨论：当EF和AB在圆心O的同侧时；当EF和AB在圆心O的两侧时，列式计算求出结果.
13．（2021九上·大石桥期末）在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O 分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∴，
∵OE=OF，OH⊥EF，∠BAC=60°
∴，
∴∠OEH=30°，
∴，
∴，
∴，
∴要使EF要最小，即半径OE最小，即直径AD最小，
∴由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可得，利用等腰三角形的性质及圆周角定理可得，从而得出∠OEH=30°，继而得出，利用勾股定理求出，即得，从而可得
要使EF要最小，即半径OE最小，即直径AD最小，由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，求出此时AD的长即可.
14．（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
【答案】2.5
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
【分析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，利用垂径定理易证OM⊥CD，再证明∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，可推出四边形CPOM是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得PM=OC，从而可求出PM的长。
15．（2019九上·温州月考）如图，在△ABC中，AC=BC=5，AB=6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N，则MN的值为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，过O作OC交MN于H，连接OM，延长CO交AB于G，连接OA，
∵AC=BC，∴CG⊥AB，
CG==4，
设OA=x, 则OG=4-x,
由OA2=OG2+AG2，
x2=32+(4-x)2,
解得x=,
∴OM=OA=，
∵点C关于DE的对称点为点O，
∴OC是DE的垂直平分线，
∴OH=HC=OC=，
∴MH=,
∴MN=2MH=.
故答案为：.
【分析】过O作OC交MN于H，连接OM，延长CO交AB于G，连接OA，先根据等腰三角形的性质，结合三角形外心的特点，用勾股定理求出圆的半径，再根据对称的性质求出OH，然后在直角三角形OHM中，利用勾股定理即可求出MH的长，则由垂径定理可得MN的长.
三、解答题
16．（2022九上·柯城月考）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行.那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息： ①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成. ②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽. ③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少.
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径.
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由.（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（）和矩形的高（），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：，结果保留一位小数）
【答案】解：任务一：如图，设弓形所在圆的半径为，圆心为O，标注各点，
由题意可得：，，，，，
∴，
由勾股定理可得：，
解得：；
任务二：如图，过左侧作于，交弓形于，矩形是车辆模型，在上，连接，过作于，
由题意可得：米，米，（米），
由勾股定理可得：，
∴最小为：（米），
∴（米）.
任务三：如图，由题意可得：此时弓形所在的圆的圆心在矩形下方，
过作于，是左侧车辆边线的模型线，
结合题意可得：，，设，弓形所在圆的半径为，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此时弓形所在圆的半径调整为米.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）画出半径与圆心，根据垂径定理可得BC的长，用勾股定理解即可；
（2） 过左侧F作FG⊥BC于J，交弓形于G，矩形FHIE是车辆模型，H在FG上，连OG，过O作OK⊥GF于K，利用勾股定理求出GK，GF的最小高度是3.7m，为保证安全，所以车辆的高度减小0.2m，即车辆得到更多不能超过3.5m；
（3） 过O作OQ⊥NP于Q，QN是左侧车辆边线的模型线， 根据公共点来表示出BO2、NO2，根据二者相等建立方程，进而再根据勾股定理即可算出半径.
17．（2022九上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图.经测量，拱形跨度24m，拱顶离地面6m.
素材2 如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽3m，每条机动车道宽均3.5m.为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员.（限高即图中FC的高度）
素材3 如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条宽为1m的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽均不小于3.25m且相等，非机动车道最高高度不小于2.5m.
问题解决
任务1 确定桥拱所在圆弧的半径. 在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，求出桥拱所在圆弧的半径长.
任务2 探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求. 在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，计算确定机动车道一的限高高度.
任务3 拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度. 给出一对符合新方案要求的非机动车道和机动车道的道宽值. （参考数值：＝9.63，＝11.61）
【答案】解：任务一：如图2中，设OA＝OE＝r.
∵OE⊥AC，OE是半径，
∴AJ＝JC＝12m，
在Rt△AJO中，AO2＝AJ2+OJ2，
∴r2＝122+（r-6）2，
解得r＝15，
∴桥拱所在圆弧的半径长为15m.
任务二：如图3中，连接OF，过点F作FG⊥OE于点G，则四边形CFGJ是矩形.
由题意CJ＝FG＝9m，OF＝15m，
∴OG＝＝12（m），
∴CF＝GJ＝OG-OJ＝12-9＝3（m），
∴机动车道一的限高高度为3m.
任务三：如图4中，
当CF＝2.5m时，GJ＝CF＝2.5m，
∴OG＝OJ+JG＝11.5m，
∴FG＝＝9.62（m），
∴CJ＝FG＝9.62m，
∵9.62-1-2＝6.62（m），6.62÷2＝3.31（m），12-9.62＝2.38（m）
∴非机动车道和机动车道的道宽值分别为2.38m，3.31m.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】任务一， 设OA＝OE＝r. 根据垂径定理得AJ＝JC＝12m， 在Rt△AJO中， 利用勾股定理建立方程，求解即可；
任务二， 连接OF，过点F作FG⊥OE于点G，则四边形CFGJ是矩形 ，易得 CJ＝FG＝9m，OF＝15m， 根据勾股定理算出OG的长，进而根据CF＝GJ＝OG-OJ即可算出答案；
任务三， 当CF＝2.5m时，GJ＝CF＝2.5m， 根据OG＝OJ+JG算出OG的长，再利用勾股定理算出FG的长， 根据矩形的性质可得FG的长，据此就不难算出答案了.
四、综合题
18．（2022九上·沭阳月考）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
（3）【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为 °．
（4）已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作 条．
【答案】（1）8
（2）②
（3）90°
（4）2
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）连接OA，如图，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP=AB，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，
∴AB=2AP=8，
故答案为：8；
（2）解：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），
由（1）知，AB=2AP，
AP=，
，
∵二次项-4x2的系数-4＜0，
∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，
∵OP＞0，
∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，
即AB的长随OP的长增大而减小，
故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）解：连接OA，OB，
∵弦心距等于该弦长的一半，
∴OP=AP，
∴∠AOP=45°，
∴∠AOB=2∠AOP=90°，
故答案为：90；
（4）解：如图，作，则AB=EF，
根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，
故答案为：2.
【分析】（1）连接OA，由垂径定理可得AP=BP=AB，在Rt△OAP中，由勾股定理可得AP，进而可得AB的值；
（2）设⊙O的半径为r，OP=x，由（1）知AB=2AP，结合勾股定理可得AB2=4AP2=-4x2+4r2，则AB随x的增大而减小，据此判断；
（3）连接OA、OB，由题意可得OP=AP，则∠AOP=45°，然后根据∠AOB=2∠AOP就可得到圆心角的度数；
（4）作△PMF≌△OCB，则AB=EF，然后结合圆的轴对称性进行解答.
19．（2021九上·三台期中）如图，在半径为2的扇形OAB中，，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），，，垂足分别为D，E．
（1）当时，求线段OD的长；
（2）在中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，BC=2
∴
在中，
由勾股定理得：，即：
∵
∴；
即线段OD的长为．
（2）解：存在，．理由如下：
连接AB，如下图：
∵，
∴ 在中，
∵
∴
∵，
∴，
∴ DE是的中位线
∴
（3）解：存在，．理由如下：
连接OC，如下图：
∵，，且
∴，
∴
即：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得∠ODB=90°，BD=CD=BC=1，在中利用勾股定理求出OD的长即可；
（2）存在，理由：连接AB， 利用勾股定理求出，由垂径定理可得，，即得DE是的中位线，根据三角形中位线定理即可求解；
（3）存在，理由：连接OC，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，从而求出.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.3 垂径定理 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2022九上·邢台期中）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15 C．16 D．18
2．（2022九上·新昌期中）是以半径为的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段为邻边作菱形，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（ ）．
A．或 B．或 C．或 D．或
3．（2022九上·嘉兴期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG．DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
A． B． C．13 D．16
4．（2022九上·金东月考）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
5．（2022九上·定海月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为（-2，0），（2，0），（4，3），以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2021九上·泗水期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝16，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．10 C．5 D．4
7．（2022九上·江北期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点.当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
8．（2022九上·温州月考）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
9．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2018九上·武昌期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（ ）
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空题
11．（2022九上·哈尔滨月考）如图，的直径，CD是的弦，垂足为P，连接AC、AD，是等边三角形，则CD的长为 ．
12．（2022九上·舟山月考）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为 。
13．（2021九上·大石桥期末）在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O 分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值是 ．
14．（2020九上·嘉兴期中）如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM最大值是 ．
15．（2019九上·温州月考）如图，在△ABC中，AC=BC=5，AB=6，点D为AC上一点，作DE∥AB交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N，则MN的值为 。
三、解答题
16．（2022九上·柯城月考）根据以下素材，探索完成任务.
如何确定隧道的限高？
素材1 从小清家到附近山区的一条双行线公路上有一个隧道，在隧道口有一个限高标志（如图1），表示禁止装载高度（车顶最高处到地面）超过的车辆通行.那么这个限高是如何确定的呢？
素材2 小清通过实地调查和查阅相关资料，获得以下信息： ①隧道的横截面成轴对称，由一个矩形和一个弓形构成. ②隧道内的总宽度为，双行车道宽度为，隧道圆拱内壁最高处距路面，矩形的高为，车道两侧的人行道宽. ③为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道圆拱内壁在竖直方向上的高度差相差最少.
问题解决
任务1 计算半径 求图1中弓形所在圆的半径.
任务2 确定限高 如图2，在安全的条件下，的限高是如何确定的？请通过计算说明理由.（参考数据：，结果保留一位小数）
任务3 尝试设计 如果要使高度不超过，宽为的货车能顺利通过这个隧道，且不改变隧道内的总宽度（）和矩形的高（），如何设计隧道的弓形部分（求弓形所在圆的半径至少为多少米？）（参考数据：，结果保留一位小数）
17．（2022九上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段圆弧拱形结构，图2是它的示意图.经测量，拱形跨度24m，拱顶离地面6m.
素材2 如图3，某道路规划部门计划将左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽3m，每条机动车道宽均3.5m.为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员.（限高即图中FC的高度）
素材3 如图4，由于城市道路绿化需求，道路规划部门确定新方案为在非机动车道和机动车道一之间增加一条宽为1m的绿化带，中间绿化带宽度不变，每条机动车道道宽均不小于3.25m且相等，非机动车道最高高度不小于2.5m.
问题解决
任务1 确定桥拱所在圆弧的半径. 在图2中补好图形，标注字母、数据等信息，求出桥拱所在圆弧的半径长.
任务2 探究原计划该高架桥下方机动车道一的限高要求. 在图3中画出图形，标注字母、数据等信息，计算确定机动车道一的限高高度.
任务3 拟定新方案下非机动车道和机动车车道宽度. 给出一对符合新方案要求的非机动车道和机动车道的道宽值. （参考数值：＝9.63，＝11.61）
四、综合题
18．（2022九上·沭阳月考）【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距．
【数学理解】如图①，在中，AB是弦，，垂足为P，则OP的长是弦AB的弦心距．
（1）若的半径为5，OP的长为3，则AB的长为 ．
（2）若的半径确定，下列关于AB的长随着OP的长的变化而变化的结论：
①AB的长随着OP的长的增大而增大；②AB的长随着OP的长的增大而减小；③AB的长与OP的长无关．
其中所有正确结论的序号是 ．
（3）【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为 °．
（4）已知如图②给定的线段EF和，点Q是内一定点．过点Q作弦AB，满足，请问这样的弦可以作 条．
19．（2021九上·三台期中）如图，在半径为2的扇形OAB中，，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），，，垂足分别为D，E．
（1）当时，求线段OD的长；
（2）在中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）在中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故答案为：B．
【分析】连接OF，设OA=OF=x，利用勾股定理可得x2=62+（x-3）2，再求出x的值，最后求出AB的长即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；垂径定理
【解析】【解答】解：设圆心为点，过点作直径，连接交于点，连接，
为的中点，
∴，
（1）如图①，顶点在线段上，
∵点恰在该圆直径的三等分点上，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图②，顶点在的延长线上，
，
同理可得：，，，
∴，
∴；
综上，该菱形的边长为或，
故答案为：C.
【分析】设圆心为点O，过点B作直径，连接AC交BO于点E，连接OC，根据等腰三角形的性质可得BD⊥AC，当顶点D在线段BO上时，由题意可得BD=4，则OD=OB-BD=2，根据菱形的性质可得DE=2，则OE=OD+DE=4，利用勾股定理可得CE、CD；当顶点D在BO的延长线上时，BD=8，同理求解即可.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OP，OQ，
∵DE，FG， ， 的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝ （AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18-14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13，
故答案为：C．
【分析】连接OP，OQ，根据垂径定理可得OP⊥AC，OQ⊥BC，H、I是AC、BC的中点，根据三角形的中位线定理易得OH+OI＝ （AC+BC）＝9，根据正方形的性质得MH+NI＝AC+BC＝18，结合已知可得PH+QI=4，从而即可AB的长.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有
解得，r＝4.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OC，则OP⊥AB，根据垂径定理可得CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，然后在Rt△CON、Rt△AOM中，利用勾股定理进行计算即可.
5．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CM，OM，
∵点M为线段QP的中点，
∴CM⊥AP，
∠AMC=90°，
∴△AMC是直角三角形，
∵点A（-2，0），点C（2，0），
∴点O是AC的中点，
∴OM=OA=OC=2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的圆上，
∵两点之间线段最短，
∴当点O，M，N共线时，线段MN的长最小，
∵点N（4，3），
∴，
∴MN=ON-OM=5-2=3.
故答案为：B.
【分析】连接CM，OM，利用垂径定理可证得CM⊥AP，可知△AMC是直角三角形；利用点A，C的坐标可知点O是AC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出OM的长，同时可知点M在以O为圆心，2为半径的圆上；再利用两点之间线段最短，可得到当点O，M，N共线时，线段MN的长最小，根据点N的坐标，利用勾股定理求出ON的长；然后根据MN=ON-OM，代入计算求出MN的长.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝r，
根据作图过程可知：AO平分∠BAC，
∵AB＝AC＝4，BC＝16，
∴OA⊥BC于点D，BD＝CD＝BC＝8，
∴AD＝，
∴OD＝OA AD＝r 4，
在Rt△BDO中，根据勾股定理，得
OB2＝OD2＋BD2，
∴r2＝（r 4）2＋82，
解得r＝10．
故答案为：B．
【分析】连接OB，设OB＝OA＝r，则OD＝OA AD＝r 4，再利用勾股定理可得OB2＝OD2＋BD2，将数据代入可得r2＝（r 4）2＋82，最后求出r的值即可。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故答案为： D.
【分析】连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，由等腰三角形的性质可求ON＝1，FO＝OB＝GO＝OH＝2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH＝2PH=2，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H.
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H，根据垂径定理可得OQ⊥PA，即得∠AQO=90°，从而可判断点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，可得当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大.在Rt△OCH中，利用直角三角形的性质可求出OH、CH的长，在Rt△CKH中利用勾股定理求出CK的长，从而求出CQ的长.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得：
，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，利用含30°角直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出PC的长，最后求出即可。
12．【答案】2或14
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：EF∥AB，EF=16，过点O作OC⊥AB于点C，交EF于点G，连接OE，
∴OC⊥EF，
∴∠OGE=∠OCB=90°，BC=AB=6，EG=EF=8，
在Rt△OCB中，；
在Rt△EOG中，
当EF和AB在圆心O的同侧时，CG=OC-OG=8-6=2；
当EF和AB在圆心O的两侧时，CG=OC+OG=8+6=14；
∴当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为2或14.
故答案为：2或14
【分析】EF∥AB，EF=16，过点O作OC⊥AB于点C，交EF于点G，连接OE，可证得OC⊥EF，利用垂直的定义和垂径定理可证得∠OGE=∠OCB=90°，同时可求出BC，EG的长；再利用勾股定理求出OC，OG的长；然后分情况讨论：当EF和AB在圆心O的同侧时；当EF和AB在圆心O的两侧时，列式计算求出结果.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∴，
∵OE=OF，OH⊥EF，∠BAC=60°
∴，
∴∠OEH=30°，
∴，
∴，
∴，
∴要使EF要最小，即半径OE最小，即直径AD最小，
∴由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可得，利用等腰三角形的性质及圆周角定理可得，从而得出∠OEH=30°，继而得出，利用勾股定理求出，即得，从而可得
要使EF要最小，即半径OE最小，即直径AD最小，由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，求出此时AD的长即可.
14．【答案】2.5
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，
∵CD∥AB，CP⊥CD，
∴CP⊥AB
∵点M是CD的中点，OM过点O
∴OM⊥CD，
∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，
∴四边形CPOM是矩形，
∴PM=OC，
OC=AB=2.5
∴PM=2.5.
故答案为：2.5
【分析】当CD∥AB时，PM最长，连接OM，CO，利用垂径定理易证OM⊥CD，再证明∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，可推出四边形CPOM是矩形，利用矩形的对角线相等，可证得PM=OC，从而可求出PM的长。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，过O作OC交MN于H，连接OM，延长CO交AB于G，连接OA，
∵AC=BC，∴CG⊥AB，
CG==4，
设OA=x, 则OG=4-x,
由OA2=OG2+AG2，
x2=32+(4-x)2,
解得x=,
∴OM=OA=，
∵点C关于DE的对称点为点O，
∴OC是DE的垂直平分线，
∴OH=HC=OC=，
∴MH=,
∴MN=2MH=.
故答案为：.
【分析】过O作OC交MN于H，连接OM，延长CO交AB于G，连接OA，先根据等腰三角形的性质，结合三角形外心的特点，用勾股定理求出圆的半径，再根据对称的性质求出OH，然后在直角三角形OHM中，利用勾股定理即可求出MH的长，则由垂径定理可得MN的长.
16．【答案】解：任务一：如图，设弓形所在圆的半径为，圆心为O，标注各点，
由题意可得：，，，，，
∴，
由勾股定理可得：，
解得：；
任务二：如图，过左侧作于，交弓形于，矩形是车辆模型，在上，连接，过作于，
由题意可得：米，米，（米），
由勾股定理可得：，
∴最小为：（米），
∴（米）.
任务三：如图，由题意可得：此时弓形所在的圆的圆心在矩形下方，
过作于，是左侧车辆边线的模型线，
结合题意可得：，，设，弓形所在圆的半径为，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴（米），
答：此时弓形所在圆的半径调整为米.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）画出半径与圆心，根据垂径定理可得BC的长，用勾股定理解即可；
（2） 过左侧F作FG⊥BC于J，交弓形于G，矩形FHIE是车辆模型，H在FG上，连OG，过O作OK⊥GF于K，利用勾股定理求出GK，GF的最小高度是3.7m，为保证安全，所以车辆的高度减小0.2m，即车辆得到更多不能超过3.5m；
（3） 过O作OQ⊥NP于Q，QN是左侧车辆边线的模型线， 根据公共点来表示出BO2、NO2，根据二者相等建立方程，进而再根据勾股定理即可算出半径.
17．【答案】解：任务一：如图2中，设OA＝OE＝r.
∵OE⊥AC，OE是半径，
∴AJ＝JC＝12m，
在Rt△AJO中，AO2＝AJ2+OJ2，
∴r2＝122+（r-6）2，
解得r＝15，
∴桥拱所在圆弧的半径长为15m.
任务二：如图3中，连接OF，过点F作FG⊥OE于点G，则四边形CFGJ是矩形.
由题意CJ＝FG＝9m，OF＝15m，
∴OG＝＝12（m），
∴CF＝GJ＝OG-OJ＝12-9＝3（m），
∴机动车道一的限高高度为3m.
任务三：如图4中，
当CF＝2.5m时，GJ＝CF＝2.5m，
∴OG＝OJ+JG＝11.5m，
∴FG＝＝9.62（m），
∴CJ＝FG＝9.62m，
∵9.62-1-2＝6.62（m），6.62÷2＝3.31（m），12-9.62＝2.38（m）
∴非机动车道和机动车道的道宽值分别为2.38m，3.31m.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【分析】任务一， 设OA＝OE＝r. 根据垂径定理得AJ＝JC＝12m， 在Rt△AJO中， 利用勾股定理建立方程，求解即可；
任务二， 连接OF，过点F作FG⊥OE于点G，则四边形CFGJ是矩形 ，易得 CJ＝FG＝9m，OF＝15m， 根据勾股定理算出OG的长，进而根据CF＝GJ＝OG-OJ即可算出答案；
任务三， 当CF＝2.5m时，GJ＝CF＝2.5m， 根据OG＝OJ+JG算出OG的长，再利用勾股定理算出FG的长， 根据矩形的性质可得FG的长，据此就不难算出答案了.
18．【答案】（1）8
（2）②
（3）90°
（4）2
【知识点】勾股定理；垂径定理；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）连接OA，如图，
∵OP⊥AB，
∴AP=BP=AB，
在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP==4，
∴AB=2AP=8，
故答案为：8；
（2）解：设⊙O的半径为r（r＞0）（定值），OP=x（x＞0），
由（1）知，AB=2AP，
AP=，
，
∵二次项-4x2的系数-4＜0，
∴x＞0时，AB2随x的增大而减小，
∵OP＞0，
∴AB2随x的增大而减小，
∴AB也随x的增大而减小，
即AB的长随OP的长增大而减小，
故正确结论的序号是②，
故答案为：②；
（3）解：连接OA，OB，
∵弦心距等于该弦长的一半，
∴OP=AP，
∴∠AOP=45°，
∴∠AOB=2∠AOP=90°，
故答案为：90；
（4）解：如图，作，则AB=EF，
根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条，
故答案为：2.
【分析】（1）连接OA，由垂径定理可得AP=BP=AB，在Rt△OAP中，由勾股定理可得AP，进而可得AB的值；
（2）设⊙O的半径为r，OP=x，由（1）知AB=2AP，结合勾股定理可得AB2=4AP2=-4x2+4r2，则AB随x的增大而减小，据此判断；
（3）连接OA、OB，由题意可得OP=AP，则∠AOP=45°，然后根据∠AOB=2∠AOP就可得到圆心角的度数；
（4）作△PMF≌△OCB，则AB=EF，然后结合圆的轴对称性进行解答.
19．【答案】（1）解：∵，BC=2
∴
在中，
由勾股定理得：，即：
∵
∴；
即线段OD的长为．
（2）解：存在，．理由如下：
连接AB，如下图：
∵，
∴ 在中，
∵
∴
∵，
∴，
∴ DE是的中位线
∴
（3）解：存在，．理由如下：
连接OC，如下图：
∵，，且
∴，
∴
即：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得∠ODB=90°，BD=CD=BC=1，在中利用勾股定理求出OD的长即可；
（2）存在，理由：连接AB， 利用勾股定理求出，由垂径定理可得，，即得DE是的中位线，根据三角形中位线定理即可求解；
（3）存在，理由：连接OC，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，从而求出.
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