第3章 实数单元练习题（含解析）

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第3章 实数 单元练习 2023-2024学年浙教版（2012）七年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．若，则x的平方根是（ ）
A．5 B． C． D．
2．下面四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根
C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个
4．无理数，c的整数部分为a，小数部分为b，则下列等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义运算：，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则或．④若，则．其中一定正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④是分数．其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．②
二、填空题
7．若，则的平方根是 ．
8．下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的平方根是；③的整数部分为；④只有个整数的算术平方根在．其中正确的有 （填序号即可）．
9．在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的：
（1）由，，确定立方根是位数．
（2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是．
（3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为．
请你仿照以上的方法，计算 ．
10．如果无理数m值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a，b连续正整数），我们则称无理数m的“博雅区间”为．例：，所以的“博雅区间”为．若某一无理数的“博雅区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、解答题
11．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，a、b到原点的距离相等，化简：．

12．先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
(1)如果，其中是整数，且，那么____________，____________；
(2)已知，其中是整数，且，求的值．
13．本学期我们在第六章《实数》中学方根和立方根．下表是平方根和立方根的部分内容．通过类比平方根和立方根的有关内容可以了解有关四次方根的知识请仔细阅读下表并解决下列问题：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么x叫做a 的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x 叫做a的立方根．
运算 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算．
特征 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数； 0的立方根是0； 负数的立方根是负数．
表示与读法 正数a的平方根可以用“”表示，读作“正负根号a”． 一个数a的立方根可以用“”表示，读作“三次根号a”
(1)类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：
一般地， ， 那么x叫作a的四次方根．
(2)思考与归纳
求一个数a的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算．
①探究∶
81的四次方根是 ；
0的四次方根是 ；
4 （填“有”或“没有”）四次方根．
②归纳∶
根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征： ；
③总结∶
我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫 ； 四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫______（填正确选项的代码）．
A．类比思想 B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想
(3)巩固与应用
①（将结果直接填到横线上）．
②比较大小： _______（填“>”或“=”或“<”）．
14．如果，那么称为的布谷数，记为，如．
(1)根据布谷数的定义填空：________，________．
(2)布谷数有以下运算性质：若m，n为正数，则，．根据运算性质填空：________（a为正数）；若，则________，________．（用小数表示）．
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参考答案：
1．C
【分析】先根据算术平方根相等可得，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴x的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据无理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：无理数是指无限不循环小数，所以是无理数，、、都是有理数．
故选：C．
【点睛】本题考查实数的概念和分类，熟练掌握并区分有理数和无理数的概念是解题的关键．
3．B
【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；
B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意；
C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意；
D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
4．D
【分析】根据，得出，进而得出的整数部分，小数部分，然后根据实数的混合运算法则，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
A、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
B、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
C、∵，，∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，故该选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了估算无理数的大小、实数的混合运算，解本题的关键在利用夹逼法正确估算出无理数的大小．
5．B
【分析】①根据新定义代入计算；②分别计算和，进行判断；③根据新定义列出方程，解方程，进行判断；④代入计算，判断是否正确．
【详解】解：①，所以此选项正确；
②，，所以此选项不正确；
③∵
即
即，
∴，
解得：或，所以此选项正确；
④，则或，所以此选项不正确；
其中正确结论的个数为2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义实数运算，根据平方根解方程，有理数的混合运算，整式的乘法混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得．
【详解】①在1和2之间的无理数有无限个，此说法错误；
②实数与数轴上的点一一对应，此说法正确；
③两个无理数的积不一定是无理数，如，此说法错误；
④是无理数，不是分数，此说法错误；
综上，说法正确的为②，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴，熟练掌握运算法则和定义是解题关键．
7．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
8．①②③
【分析】根据算术平方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；估算无理数的大小判断③；根据算术平方根的定义判断④．
【详解】解：，
，故①符合题意；
，
，
的平方根是，故②符合题意；
，
，
，
，
的整数部分为，故③符合题意；
，，
，，，的值在，故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．
【分析】根据题意的方法，确定个位数与百位数，再进行估算即可求解．
【详解】解：（1）由，，确定算术平方根是位数．
（2）由的个位数是，确定其算术平方根的个位数是．
（3）划去后面四位数，得到数，而，可以确定个位数是．
∵，，，
∴十位数字为，
因此可以得到，经检验
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的定义，根据题意找到规律是解题的关键．
10．33，127或353
【分析】根据某一无理数的“博雅区间”为，得出a、b为连续正整数，根据，
， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，得出符合条件的a，b有①，，；②，，；③，，，然后分别求出p的值即可．
【详解】解：∵某一无理数的“博雅区间”为，
∴a、b为连续正整数，
∵，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
∴符合条件的a，b有①，，；②，，；③，，，
①，，时，，，
，
∴，
②，，时，，，
，
∴，
③，，时，，，
，
∴，
故p的值为33，127或353
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，求出所有符合条件的a、b的值．
11．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和二次根式的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】由数轴可知：，
∴原式
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的概念是解题的关键.
12．(1)3；
(2)
【分析】（1）估算出 ，依此即可确定出，的值的取值范围，进而得出答案；
（2）根据题意确定出与的值，代入求出即可．
【详解】（1）解： ，其中是整数，且，
又
，
，．
故答案为；；
（2），其中是整数，且，
，，
．
的值为．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
13．(1)如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．这就是说，如果
(2)①，0，有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0；负数没有四次方根；③D
(3)①或；②
【分析】（1）仿照平方根，立方根的定义可得答案；
（2）①根据四次方根的含义求解即可；② 结合平方根的含义总结归纳即可；③ 根据探究的方法可得答案；
（3）①先求解四次方根，再计算加减即可；②先求解四次方根，再比较大小即可．
【详解】（1）解：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．这就是说，如果，那么x叫作a的四次方根．
故答案为：如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根．这就是说，如果；
（2）①81的四次方根是；
0的四次方根是0；
4有四次方根．
故答案为：，0，有；
②正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0；负数没有四次方根．
故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0；负数没有四次方根
③四次方根的特征是由81， ，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫由特殊到一般的思想，
故答案为：D；
（3）①，
．
故答案为：或；
②∵，
而，则
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平方根，立方根的含义，四次方根的含义，理解题意，进行探究性的学习与解决问题是解本题的关键．
14．(1)2；6
(2)；；
【分析】（1）按照新定义的运算方法计算解题；
（2）按照“布谷数”的运算性质进行运算解题．
【详解】（1）解：，
∴，，
故答案为: ．
（2）解：根据题目所给的运算性质可得
，
∴;
故答案为：；； ．
【点睛】本题考查实数的新定义运算，掌握新定义的性质是解题的关键．
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