1.1.2 认识三角形 三角形中的重要线段 课件(共27张PPT) 2023-2024学年八年级数学上册（浙教版）

(共27张PPT)
1.1.2 认识三角形
浙教版数学八年级上册
目 录
目 录
教学目的
1.了解三角形的角平分线、中线、高线的概念；
2.会利用量角器、刻度尺画三角形的角平分线、中线、和高线；
3.会利用三角形的角平分线、中线和高的性质，解决有关角度、面积计算等问题.
新课引入
已知右图的三角形图标面积为50cm ，底边边长为10cm，我们能得出什么结论？
底边上的高
==10（cm）
主体学习
三角形的高线
你还记得
“过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
D
从三角形一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
∵ AD ⊥ BC
∴ AD是△ ABC的BC
边上的高
几何语言：
分别画出上面3类三角形所有的高
你发现了什么
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
E
F
D
①三角形有3条高线；
②三角形的三条高线所在的直线相交于一点
这个交点称为三角形的垂心。
高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
条数
位置
垂足
交点
图形
A
B
C
P
Q
R
3
3
3
都在三角形
内部
直角边上的高分别与另一条直角边重合，还有一条高在三角形内部
夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部
在相应顶点的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
①在相应顶点的对边的延长线上
②在钝角的对边上
在三角形内部
在直角顶点
在三角形外部
D
E
F
三角形的角平分线
如图，若OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
怎样能得到一个角的平分线
用量角器或折纸的办法
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．
A
B
C
D
∵AD是△ABC (∠BAC )的角平分线，
∴∠BAD =∠CAD =
∠BAC.
三角形的角平分线是一条线段
几何语言：
任意剪一个三角形，用折叠的方法，画出这个三角形的三条角平分线，你发现了什么？
①三角形有3条角平分线且均在三角形的内部；
②三角形的三条角平分线相交于一点
这个交点称为三角形的内心。
三角形的中线
如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
A
B
C
D
·
线段AD叫做△ABC的BC边上的中线
任意画一个△ABC，用刻度尺画BC的中点D，连结AD。
在三角形中，连结三角形的一个顶点与该顶点对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
A
D
C
B
∴BD=CD= BC
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
三角形的中线是一条线段
几何语言：
任意剪一个三角形，用折叠的方法，找出三条边的中点，画出三条中线，你发现了什么？
①三角形有3条中线且均在三角形的内部；
②三角形的3条中线相交于一点
这个交点称为三角形的重心。
题型归纳
题型一 三角形的高线
D
E
A
B
C
F
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
A
B
C
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
斜边AC边上的高是 ;
AB
CB
BD
D
题型二 三角形的角平分线
A
B
C
D
已知AD是△ABC的一条角平分线
(1) ∠BAD= =
∠CAD
∠BAC
(2)若∠BAD= 25°，则∠BAC= °
50
(3)若∠B= 40°,∠C= 80°则∠BAD= °
30
如图，AE是在△ABC的角平分线。已知∠B=45°,
∠C=60°,求下列角的大小：
(1)∠BAE
解:(1)∵ AE是在△ABC的角平分线,
A
B
C
E
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC
∵ ∠BAC+∠B+∠C = 180°
∴ ∠BAC= 1800-∠B-∠C
=1800- 450-600= 750，
∴ ∠BAE= 750÷2= 37.50.
(2)∠AEB
(2)∵∠AEB+∠BAE+∠B=1800.
又∠BAE=37.50，∠B=450.
∴∠AEB =1800-37.50-450
=97.50
题型三 三角形的中线
已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
AB < AC
AB > AC
解: ∵ AD是△ABC的中线,
∴BD=CD
∵△ABD的周长=AB+BD+AD,
△ACD的周长=AC+CD+AD,
∴△ABD的周长-
△ACD的周长=AB-AC,
当AB＞AC时，
AB-AC=2cm，
∵ AC=5cm,
当AC＞AB时，
AC-AB=2cm，
同理得,
AB=5-2=3(cm)
∴AB=7cm,
题型四 三角形重要线段的综合运用
在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线.
已知∠BAC=80°,∠C=40°, 求∠DAE的大小.
A
B
D
E
C
解：∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=80°，
∴∠EAC= ∠BAC=40°.
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°.
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°，∠C=40°
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°.
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-40°=10°.
如图，在△ABC中,AE、AD分别是BC边上的中线和高.试判断△ABE和△AEC的面积有何关系？
解：相等。
∵ AE是BC边上的中线，∴BE=EC。
∵ AD是△ABC 的BC边上的高,
∴ AD也是△ABE 的BE边上的高和△AEC 的EC边上的高。
∵S △ABE = ×BE×AD,
S △ACE = ×BE×AD,
∴ S △ABE = S △ABE
等底同高或同底等高的两个三角形面积相等。
三角形一边上的中线把该三角形分成面积相等的两部分。
知识总结
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形的 角平分线
三角形 的中线
三角形 的高线
∵AD是△ABC的BC上的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= BC.
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
三角形的角平分线、中线和高线
1
2
1
2
课后习题
1.在如图所示的网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A,B两点在格点上，若点C也在格点上，那么以A,B,C为顶点面积为2的三角形有_____个.
2.已知：在 △ABC中，E为BC上一点，EC=2BE,D为AC的中点，若S△ABC = 12，
则S△ADF - S△BEF=______
.A
.B
A
B
C
D
E
F
C1
C2
4
2
如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O。
(1)当∠ABC=600,∠ACB=800时，求∠BOC的度数.
解: (1)∵ BD,CE分别是△ABC的角平分线,
∴∠OBC= ∠ABC
∴∠OBC= ∠ACB
∵∠ABC=600，∠ACB=800.
∴∠OBC= 600÷2= 300.
∴∠OCB= 800÷2= 400.
∵∠OBC+∠BOC+∠BOC=1800.
∴∠OBC= 1800-300-400 =1100
(2)当∠A=400时，求∠BOC的度数.
解: (2)∵ BD,CE分别是△ABC的角平分线,
∴∠OBC= ∠ABC
∠OBC= ∠ACB
∵∠ABC+∠ACB+∠A=1800. ∠A=400
∴∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-400=1400.
∴∠OBC+∠OCB=
∠ABC+
∠ACB
(∠ABC+∠ACB)
= 1400÷2= 700.
(3)当∠A=x0时，求∠BOC的度数(用含 x的代数式表示).
解: (3)∵ BD,CE分别是△ABC的角平分线,
∴∠OBC= ∠ABC
∴∠OBC= ∠ACB
∵∠ABC+∠ACB+∠A=1800. ∠A=x0
∴∠ABC+∠ACB=1800-∠A=(180-x)0.
∴∠OBC+∠OCB=
∠ABC+
∠ACB
(∠ABC+∠ACB)
(180-x)0
=(90- x)0
谢谢大家！