2023年浙教版数学七年级上册2.6 有理数的混合运算 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2022七上·黄岛期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】根据题意这九个数的平均数为：，
∴正中间的数为-1，
∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是，
∴第二行左边的数为：，
∴，
故答案为：A
【分析】先求出九个数的平均数，再根据题意列出算式求出a的值即可。
2．（2021七上·长兴期末）如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次相遇所需时间为：（秒）
从第2此相遇起，相遇路程变成了正方形的周长，也就是24×4=96（厘米）
因此，之后每次相遇所需时间为：（秒）
2022-4=2018（秒）
所以，在第一次相遇后还有252此相遇
因此，总共相遇了252+1=253（次）
故答案为：B.
【分析】根据相遇问题的公式求出第一次和第二次之后的相遇时间，再根据周期规律，求解出相遇次数。
3．（2021七上·潍城期中）济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．110种 B．132种 C．55种 D．66种
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题知，只有一站的票有10×2种，
有两站的票有9×2种，
有三站的票有8×2种，
有四站的票有7×2种，
有11站的票有1×2种，
∴需要印制不同的火车票为：2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）=110（种）．
故答案为：A
【分析】根据题意列出算式2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）计算即可。
4．（2021七上·岳阳期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： ， ，则 ，用 十六进制可表示为（ ）
A．8C B．140 C．32 D．EO
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：∵A=10，E=14
∴A×E=10×14=140
∴140÷16=8 12
∵C=12
∴A×E=8C
故答案为：A.
【分析】 在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出A×B，用其积除以16求出其商和余数，对照表格即可得出用十六进制表示．
5．（2021七上·宝鸡期末） 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据题意得
=1.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把2021看作单位“1“，2021减去它的 后还剩下2019×（1 ），再减去余下的 后还剩下2019×（1 ）×（1 ），…减去剩下的12019后还剩下2019×（1 ）×（1 ）×…×（1 ），利用约分进行计算即可得出答案．
6．（2021七上·南浔期末）水池 都是长方体，深为 ，底部尺寸为 .1号阀门 可将无水A池注满；2号阀门用来从A池向B池放水， 可将A池中满池水放入B池；3号阀门用来从B池向C池放水， 可将B池中满池水放入C池.若开始 三池无水，同时打开1号、2号和3号阀门，那么当B池水深 时，A池有（ ） 的水.
A．1.2 B．3.2 C．6 D．16
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：长方形的体积= ，
1号阀门的进水效率=
2号阀门的进水效率=
3号阀门的进水效率=
当同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时，
用时为：
（分钟）
A池水深为：
故答案为：B.
【分析】先求出长方体的体积，再分别求出三个阀门的进水效率，然后求出同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时所用的时间，最后根据时间求出A池水深即可.
7．（2020七上·大冶月考）如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵有4个不同的正整数a、b、c、d满足 ，
∴四个括号内的值分别是： ， ，
不妨设： ， ， ， ，
解得： ， ， ， ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】该题的关键点是4个不同的数都是正整数，且，故得讨论整数相乘等于9的情况，据此分别讨论，根据a、b、c、d是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是：±1，±3，据此可得出结论.
8．（2020七上·运城期中）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（ ）
A．101 B．110 C．111 D．1101
【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111．
故答案为：C．
【分析】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数的结果.
9．（2020七上·嘉兴期中）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：依题可得，
6+2×7+3×7×7+1×7×7×7=510（天），
∴孩子出生后的天数为510天.
故答案为：C.
【分析】从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一， 所以从右到左的数分别为6，2×7，3×7×7，1×7×7×7，之后将它们相加即可得出答案.
10．（2019七上·厦门月考）已知 ， ，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
∵666>584>-64256
∴
故答案为：D.
【分析】根据有理数的混合运算，分别求出 的大小即可.
二、填空题
11．（2023七上·江北期末）已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 .
【答案】-1924
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵a，b，c为整数，，且满足，要求最小，
∴，，
∴
，
∴的最小值为：.
故答案为：-1924.
【分析】结合有理数乘方运算法则及题意得：a的绝对值尽量大，10b2及-100c3尽量小的时候，可使a+b+c最小，于是可得b=0，c=-1，进而代入即可算出a的最小值，最后求和a、b、c的和即可.
12．（2022七上·宁波期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b-a）3的值为 ．
【答案】0或-8
【知识点】有理数及其分类；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，
若 ＝1，a＝b，则a+b＝4，
则a＝b＝2，
则（b-a）3＝（2-2）3＝0；
若b＝1，a＝4或a+b＝4，
则a＝4时，a+b＝4+1＝5， ＝4（不合题意舍去）；
a+b＝4时，a＝4-1＝3， ＝3（不合题意舍去）；
则（b-a）3＝（1-3）3＝-8．
故（b-a）3的值为0或-8．
故答案为：0或-8．
【分析】 三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解.
13．（2021七上·西安期中）已知整数，，，满足，且，则的值为 .
【答案】-1或1
【知识点】有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：整数，，，满足，且，
，，，或，，，，
当，，，时，
；
当，，，时，
；
故答案为：-1或1.
【分析】由于整数，，，满足，且，可得，，，或，，，，然后分别代入原式计算即可.
14．（2021七上·鄞州期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中16+10=26，用十六进制表示为10+A=1A；十进制中25-15=10，用十六进制表示为19 F=A．由上可知，在十六进制中B×D= （运算结果用十六进制表示）．
【答案】8F
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：B×D用十进制表示为：11×13，
∵11×13=143，
∵143÷16=8······15，
143用十六进制8F.
故答案为：8F.
【分析】先把B×D用十进制表示，求出这两个数的乘积，然后把结果转化为十六进制表示即可.
15．（2020七上·平邑期末）中百超市推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过 100 元，不享受优惠
⑵一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折；
⑶一次性购物超过 300 元一律 8 折．某人两次购物分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 ．
【答案】288元或316元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折则在这个范围内最低付款，
90 元，因而第一次付款 80 元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280（符合超过 100 不高于 300）．
则两次共付款：80+280=360 元，超过 300 元，则一次性购买应付款：360×0.8=288 元；
当第二次付款是超过 300 元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过 300 元），则两次共应付款：80+315=395 元，则一次性购买应付款：395×0.8=316 元．
则一次性购买应付款：288 元或 316 元． 故答案是：288 元或 316 元．
【分析】根据所给的方案计算求解即可。
16．（2019七上·万州月考）为冲刺即将到来的2020年全面建成小康社会，小全同学在黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，而小康同学对它们进行了操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字.例如：擦掉7，13和1998后，添上8；若再擦掉8，6，38，添上2，等等.如果经过1009次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是2019，则另一个数是 .
【答案】1
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：这2020个数之和为1+2+3+…+2020=（1+2020）×2020÷2=2014210，
2014210-2019=2039191，因为它的个位为1
故另一个数为1，
故答案为：1.
【分析】根据题意，算出这2020个数的和，再用这个和减去2019，找出所得差的个位数字即可.
三、计算题
17．（2020七上·内江月考）不进行通分，计算：
．
【答案】解：设 ， ，
可得 ，
则原式 ．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】 设 ， ，可得 ，将原式换元整理即可求出结论.
18．（2020七上·安阳月考）请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： ， ， ，…… ， ，
所以：
计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式=
=
=
=
= .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）仿照阅读材料中提供的方法将各个加数进行拆项，再合并即可；
（2）先把原式变形为 ，再仿照阅读材料中提供的方法解答.
19．（2020七上·泰兴月考）观察 + =（1－ ）+（ － ）=1－ =
（1）计算： + + +……+ =
（2）计算：
【答案】（1）解： + + +……+
=（1－ ）+（ － ）+ （ － ）+……+（ － ）
=1－ + － + － +……+ －
=1－
= ；
（2）解：∵ ，
∴
= （ ）
= （ ）
= ×
=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）根据题中运算方法进行拆项后按有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据题中运算方法进行拆项后，逆用乘法分配律后，先计算括号内有理数的加减法，再计算乘法得出答案.
四、综合题
20．（2019七上·港闸期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次性购物不超过100元，则不予优惠；
（2）若一次性购物超过100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次性购物超过300元，其中300元以下部分（包括300元）给予九折优惠；超过300元部分给予八折优惠.
小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元.现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款多少元
【答案】解：∵小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元。所以有两种情况：
①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，
∴设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252，
∴0.9x=252，
∴x=280，
所以小李两次去该超市购物实际购物的款数为99+280=379，
∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，
他需付款300×0.9+79×0.8=333.2元；
②第一次付款99元享受了优惠，即打九折，
那么第一次实际购物的款数为99÷.9=110元，
第二次享受优惠，
设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252，
∴0.9x=252，
∴x=280，
∴小李两次去该超市购物实际购物的款数为110+280=390，
∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，
他需付款300×0.9+90×0.8=342元。
答：现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款342元或333.2元。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】由于小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元．所以有两种情况：
①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，并且根据已知条件得到只享受九折优惠，然后根据已知实际即可确定实际购物的款数；
②第一次付款99元享受了优惠，即打九折，第二次享受优惠，根据已知实际数据可以得到享受九折优惠，然后利用已知数据也可以确定实际购物的款数．
21．（2022七上·利川期末）今年以来，由于受国际天然气形势的影响，我国天然气市场总体呈现量紧价高的态势，为确保天然气保供稳价，提高居民生活用气的保障，某地决定从今年月开始调整居民用气价格，调整前后价格如下表（每月用气量为立方米）：
用气类别
第一档（） 第二档（） 第三档（）
调整前
调整后
注：该地天然气收费按月实行阶梯收费
（1）某用户月（调整前）缴天然气费元，求该用户这月用气量；
（2）若该用户月（调整后）用气量与月相同，则该用户月比月多缴费多少元？
（3）因天气转冷，该用户今年月因取暖用气量急剧增加，缴天然气费元，该用户今年月用气量是多少立方米？
【答案】（1）解：调整前第一档的最高收费为
（元）
∴该用户是第一档用气量，
（m3）
该用户月的用气量为 m3.
（2）解：由题知： 该用户月的用气量为 m3需要缴费的金额为：
（元）
故该用户月比月多缴费元
（3）解：调整后第1档的最高收费为：（元）
调整后第2档的最高收费为：（元）
（元）
故该用户月的用气量超过了 m3，
（m3）
∴月用气量为（m3）
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1） 解：调整前第一档的最高收费为
（元），156＞91，
∴该用户是第一档用气量，
（立方米）
该用户10月的用气量为35立方米.
（3） 解：调整后第1档的最高收费为：（元）
调整后第2档的最高收费为：（元）
（元），242＜283
故该用户12月的用气量超过了80立方米，
（立方米）
∴12月用气量为80+10=90（立方米）
【分析】（1）先计算每档单价的缴费上限，然后判断91元属于哪一档用气量，再计算用气量；
（2）按调整后的单价计算出11月应缴费，再做差可求出多缴费的数量；
（3）先计算每一档缴费上限，根据实际缴费金额确定，每档气量，最后相加可求出总用气量．
22．（2022七上·滦州期中）有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算： （直接写出结果）；
（2）若□，请推算□内的符号应是什么？
（3）请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□
【答案】（1）0
（2）解：∵ ，且 □ ， ，
∴□内的符号应是＋
（3）解：填上÷，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】【详解】（1）解：
故答案为：0
【分析】（1）利用有理数的加减法的计算方法求解即可；
（2）利用有理数的加减法和乘除法的计算方法求解即可；
（3）先将除法转换为乘法，再利用有理数的乘法运算律计算即可。
23．（2022七上·乐山期中）找规律并计算：
（1）计算：= ，= ；
= ，= ；
（2）猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：= ；
（3）试用你所猜想的结论计算：
…….
【答案】（1）3；3；21；21
（2）（x+y）（x-y）
（3）解：
.
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3；
52-22=5×5-2×2=21；（5+2）（5-2）=7×3=21.
故答案为：3，3；21，21；
（2）∵22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3，
∴22-12=（2+1）（2-1），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）.
故答案为：（x+y）（x-y）.
【分析】（1）根据有理数的乘方运算和乘法运算法则，分别计算即可；
（2）结合（1）中两种运算的结果可知，x2-y2=（x+y）（x-y），据此解答即可；
（3）先利用x2-y2=（x+y）（x-y），将原式变形，再把所得结果求和即可.
24．（2022七上·南开期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【答案】（1）解：（千米），
答：地在地的东边20千米；
（2）解：这一天走的总路程为：
（千米），
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）解：路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米），
最远处离出发点25千米．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果判断即可；
（2）将题干中的数据的绝对值相加，再乘以0.5即可得到答案；
（3）分别求出每一次离点A的距离，再比较大小即可。
25．（2022七上·晋州期中）规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如，．
类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的星3次方”；把记作，读作“的星4次方”．
一般地，把记作（其中，，，为整数），读作“的星次方”．
（1）直接写出计算结果： ， ， ；
（2）结合（1）中的运算，尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，可以归纳如下：
一个非零有理数的星，为整数）次方等于 （从以下四个选项中选择最合适的一个，填写序号即可）．
①这个数的相反数的次方；
②这个数的绝对值的次方；
③这个数的倒数的次方；
④这个数的次方．
（3）关于“除方”运算，下列说法错误的是____ ；
A．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数；
B．对于任何不小于3正整数，；
C．；
D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数．
（4）结合上述探究结果，计算下式的值．
．
【答案】（1）；；-64
（2）③
（3）C
（4）解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）
；
；
，
故答案为：；；；
（2）解：由题意得：
，
则一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方，
故答案为：③；
（3）．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数，故说法符合题意；
B．对于任何不小于3正整数，，故B说法符合题意；
C．，，故C说法不符合题意；
D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数，故D说法符合题意．
故答案为：C；
【分析】（1）根据除方的运算进行求解即可；
（2）结合（1）运算可知：一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方；
（3）根据除方的运算逐一分析即可；
（4）先计算除方，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加法即可.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册2.6 有理数的混合运算 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2022七上·黄岛期末）九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将，，，，，，，，填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七上·长兴期末）如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD的顶点D，B同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了（ ）
A．252 次 B．253次 C．254次 D．255次
3．（2021七上·潍城期中）济青高铁北线，共设有11个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．110种 B．132种 C．55种 D．66种
4．（2021七上·岳阳期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： ， ，则 ，用 十六进制可表示为（ ）
A．8C B．140 C．32 D．EO
5．（2021七上·宝鸡期末） 减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，....，以此类推，一直减到余下的 ，则最后剩下的数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021七上·南浔期末）水池 都是长方体，深为 ，底部尺寸为 .1号阀门 可将无水A池注满；2号阀门用来从A池向B池放水， 可将A池中满池水放入B池；3号阀门用来从B池向C池放水， 可将B池中满池水放入C池.若开始 三池无水，同时打开1号、2号和3号阀门，那么当B池水深 时，A池有（ ） 的水.
A．1.2 B．3.2 C．6 D．16
7．（2020七上·大冶月考）如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足 ，那么 的值为（ ）
A．0 B．9 C．8076 D．8090
8．（2020七上·运城期中）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（ ）
A．101 B．110 C．111 D．1101
9．（2020七上·嘉兴期中）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．84 B．336 C．510 D．1326
10．（2019七上·厦门月考）已知 ， ，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023七上·江北期末）已知整数a，b，c，且，满足，则的最小值为 .
12．（2022七上·宁波期中）设三个互不相等的有理数，既可表示为1、a+b、a的形式，又可表示为4、、b的形式，则（b-a）3的值为 ．
13．（2021七上·西安期中）已知整数，，，满足，且，则的值为 .
14．（2021七上·鄞州期中）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，十进制中16+10=26，用十六进制表示为10+A=1A；十进制中25-15=10，用十六进制表示为19 F=A．由上可知，在十六进制中B×D= （运算结果用十六进制表示）．
15．（2020七上·平邑期末）中百超市推出如下优惠方案：
⑴一次性购物不超过 100 元，不享受优惠
⑵一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折；
⑶一次性购物超过 300 元一律 8 折．某人两次购物分别付款 80 元、252 元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 ．
16．（2019七上·万州月考）为冲刺即将到来的2020年全面建成小康社会，小全同学在黑板上写有1，2，3，…，2019，2020这2020个自然数，而小康同学对它们进行了操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字.例如：擦掉7，13和1998后，添上8；若再擦掉8，6，38，添上2，等等.如果经过1009次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是2019，则另一个数是 .
三、计算题
17．（2020七上·内江月考）不进行通分，计算：
．
18．（2020七上·安阳月考）请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： ， ， ，…… ， ，
所以：
计算：
（1） ；
（2） .
19．（2020七上·泰兴月考）观察 + =（1－ ）+（ － ）=1－ =
（1）计算： + + +……+ =
（2）计算：
四、综合题
20．（2019七上·港闸期末）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次性购物不超过100元，则不予优惠；
（2）若一次性购物超过100元，但不超过300元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次性购物超过300元，其中300元以下部分（包括300元）给予九折优惠；超过300元部分给予八折优惠.
小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元.现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款多少元
21．（2022七上·利川期末）今年以来，由于受国际天然气形势的影响，我国天然气市场总体呈现量紧价高的态势，为确保天然气保供稳价，提高居民生活用气的保障，某地决定从今年月开始调整居民用气价格，调整前后价格如下表（每月用气量为立方米）：
用气类别
第一档（） 第二档（） 第三档（）
调整前
调整后
注：该地天然气收费按月实行阶梯收费
（1）某用户月（调整前）缴天然气费元，求该用户这月用气量；
（2）若该用户月（调整后）用气量与月相同，则该用户月比月多缴费多少元？
（3）因天气转冷，该用户今年月因取暖用气量急剧增加，缴天然气费元，该用户今年月用气量是多少立方米？
22．（2022七上·滦州期中）有个补充运算符号的游戏：在“1□2□□9”中的每个□内，填入+、-、×、÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算： （直接写出结果）；
（2）若□，请推算□内的符号应是什么？
（3）请在□内填上×、÷中的一个，使计算更加简便，然后计算□
23．（2022七上·乐山期中）找规律并计算：
（1）计算：= ，= ；
= ，= ；
（2）猜想：观察上述式子可猜想出的结论是：= ；
（3）试用你所猜想的结论计算：
…….
24．（2022七上·南开期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
25．（2022七上·晋州期中）规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如，．
类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的星3次方”；把记作，读作“的星4次方”．
一般地，把记作（其中，，，为整数），读作“的星次方”．
（1）直接写出计算结果： ， ， ；
（2）结合（1）中的运算，尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，可以归纳如下：
一个非零有理数的星，为整数）次方等于 （从以下四个选项中选择最合适的一个，填写序号即可）．
①这个数的相反数的次方；
②这个数的绝对值的次方；
③这个数的倒数的次方；
④这个数的次方．
（3）关于“除方”运算，下列说法错误的是____ ；
A．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数；
B．对于任何不小于3正整数，；
C．；
D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数．
（4）结合上述探究结果，计算下式的值．
．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】根据题意这九个数的平均数为：，
∴正中间的数为-1，
∴每行、每列、每条对角线上三个数的和都是，
∴第二行左边的数为：，
∴，
故答案为：A
【分析】先求出九个数的平均数，再根据题意列出算式求出a的值即可。
2．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：第一次相遇所需时间为：（秒）
从第2此相遇起，相遇路程变成了正方形的周长，也就是24×4=96（厘米）
因此，之后每次相遇所需时间为：（秒）
2022-4=2018（秒）
所以，在第一次相遇后还有252此相遇
因此，总共相遇了252+1=253（次）
故答案为：B.
【分析】根据相遇问题的公式求出第一次和第二次之后的相遇时间，再根据周期规律，求解出相遇次数。
3．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：由题知，只有一站的票有10×2种，
有两站的票有9×2种，
有三站的票有8×2种，
有四站的票有7×2种，
有11站的票有1×2种，
∴需要印制不同的火车票为：2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）=110（种）．
故答案为：A
【分析】根据题意列出算式2×（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）计算即可。
4．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：∵A=10，E=14
∴A×E=10×14=140
∴140÷16=8 12
∵C=12
∴A×E=8C
故答案为：A.
【分析】 在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出A×B，用其积除以16求出其商和余数，对照表格即可得出用十六进制表示．
5．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：根据题意得
=1.
故答案为：B.
【分析】根据题意，把2021看作单位“1“，2021减去它的 后还剩下2019×（1 ），再减去余下的 后还剩下2019×（1 ）×（1 ），…减去剩下的12019后还剩下2019×（1 ）×（1 ）×…×（1 ），利用约分进行计算即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：长方形的体积= ，
1号阀门的进水效率=
2号阀门的进水效率=
3号阀门的进水效率=
当同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时，
用时为：
（分钟）
A池水深为：
故答案为：B.
【分析】先求出长方体的体积，再分别求出三个阀门的进水效率，然后求出同时打开1号、2号和3号阀门， B池水深 时所用的时间，最后根据时间求出A池水深即可.
7．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：∵有4个不同的正整数a、b、c、d满足 ，
∴四个括号内的值分别是： ， ，
不妨设： ， ， ， ，
解得： ， ， ， ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】该题的关键点是4个不同的数都是正整数，且，故得讨论整数相乘等于9的情况，据此分别讨论，根据a、b、c、d是四个不同的正整数可知四个括号内的值分别是：±1，±3，据此可得出结论.
8．【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111．
故答案为：C．
【分析】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数的结果.
9．【答案】C
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：依题可得，
6+2×7+3×7×7+1×7×7×7=510（天），
∴孩子出生后的天数为510天.
故答案为：C.
【分析】从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一， 所以从右到左的数分别为6，2×7，3×7×7，1×7×7×7，之后将它们相加即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：
∵666>584>-64256
∴
故答案为：D.
【分析】根据有理数的混合运算，分别求出 的大小即可.
11．【答案】-1924
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵a，b，c为整数，，且满足，要求最小，
∴，，
∴
，
∴的最小值为：.
故答案为：-1924.
【分析】结合有理数乘方运算法则及题意得：a的绝对值尽量大，10b2及-100c3尽量小的时候，可使a+b+c最小，于是可得b=0，c=-1，进而代入即可算出a的最小值，最后求和a、b、c的和即可.
12．【答案】0或-8
【知识点】有理数及其分类；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，
∴这两个数组的数分别对应相等．
∴a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，
若 ＝1，a＝b，则a+b＝4，
则a＝b＝2，
则（b-a）3＝（2-2）3＝0；
若b＝1，a＝4或a+b＝4，
则a＝4时，a+b＝4+1＝5， ＝4（不合题意舍去）；
a+b＝4时，a＝4-1＝3， ＝3（不合题意舍去）；
则（b-a）3＝（1-3）3＝-8．
故（b-a）3的值为0或-8．
故答案为：0或-8．
【分析】 三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4、 、b的形式，这两个数组的数分别对应相等，a+b与a中有一个是4， 与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解.
13．【答案】-1或1
【知识点】有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：整数，，，满足，且，
，，，或，，，，
当，，，时，
；
当，，，时，
；
故答案为：-1或1.
【分析】由于整数，，，满足，且，可得，，，或，，，，然后分别代入原式计算即可.
14．【答案】8F
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：B×D用十进制表示为：11×13，
∵11×13=143，
∵143÷16=8······15，
143用十六进制8F.
故答案为：8F.
【分析】先把B×D用十进制表示，求出这两个数的乘积，然后把结果转化为十六进制表示即可.
15．【答案】288元或316元
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：一次性购物超过 100 元，但不超过 300 元一律 9 折则在这个范围内最低付款，
90 元，因而第一次付款 80 元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是 252÷0.9=280（符合超过 100 不高于 300）．
则两次共付款：80+280=360 元，超过 300 元，则一次性购买应付款：360×0.8=288 元；
当第二次付款是超过 300 元时：可得出原价是 252÷0.8=315（符合超过 300 元），则两次共应付款：80+315=395 元，则一次性购买应付款：395×0.8=316 元．
则一次性购买应付款：288 元或 316 元． 故答案是：288 元或 316 元．
【分析】根据所给的方案计算求解即可。
16．【答案】1
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：这2020个数之和为1+2+3+…+2020=（1+2020）×2020÷2=2014210，
2014210-2019=2039191，因为它的个位为1
故另一个数为1，
故答案为：1.
【分析】根据题意，算出这2020个数的和，再用这个和减去2019，找出所得差的个位数字即可.
17．【答案】解：设 ， ，
可得 ，
则原式 ．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】 设 ， ，可得 ，将原式换元整理即可求出结论.
18．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式=
=
=
=
= .
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）仿照阅读材料中提供的方法将各个加数进行拆项，再合并即可；
（2）先把原式变形为 ，再仿照阅读材料中提供的方法解答.
19．【答案】（1）解： + + +……+
=（1－ ）+（ － ）+ （ － ）+……+（ － ）
=1－ + － + － +……+ －
=1－
= ；
（2）解：∵ ，
∴
= （ ）
= （ ）
= ×
=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】（1）根据题中运算方法进行拆项后按有理数的加减法法则计算即可；
（2）根据题中运算方法进行拆项后，逆用乘法分配律后，先计算括号内有理数的加减法，再计算乘法得出答案.
20．【答案】解：∵小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元。所以有两种情况：
①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，
∴设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252，
∴0.9x=252，
∴x=280，
所以小李两次去该超市购物实际购物的款数为99+280=379，
∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，
他需付款300×0.9+79×0.8=333.2元；
②第一次付款99元享受了优惠，即打九折，
那么第一次实际购物的款数为99÷.9=110元，
第二次享受优惠，
设第二次实际购物的款数为x，而300×0.9=270>252，
∴0.9x=252，
∴x=280，
∴小李两次去该超市购物实际购物的款数为110+280=390，
∴在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，
他需付款300×0.9+90×0.8=342元。
答：现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品，他需付款342元或333.2元。
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】由于小李两次去该超市购物，分别付款99元和252元．所以有两种情况：
①第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠，并且根据已知条件得到只享受九折优惠，然后根据已知实际即可确定实际购物的款数；
②第一次付款99元享受了优惠，即打九折，第二次享受优惠，根据已知实际数据可以得到享受九折优惠，然后利用已知数据也可以确定实际购物的款数．
21．【答案】（1）解：调整前第一档的最高收费为
（元）
∴该用户是第一档用气量，
（m3）
该用户月的用气量为 m3.
（2）解：由题知： 该用户月的用气量为 m3需要缴费的金额为：
（元）
故该用户月比月多缴费元
（3）解：调整后第1档的最高收费为：（元）
调整后第2档的最高收费为：（元）
（元）
故该用户月的用气量超过了 m3，
（m3）
∴月用气量为（m3）
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】（1） 解：调整前第一档的最高收费为
（元），156＞91，
∴该用户是第一档用气量，
（立方米）
该用户10月的用气量为35立方米.
（3） 解：调整后第1档的最高收费为：（元）
调整后第2档的最高收费为：（元）
（元），242＜283
故该用户12月的用气量超过了80立方米，
（立方米）
∴12月用气量为80+10=90（立方米）
【分析】（1）先计算每档单价的缴费上限，然后判断91元属于哪一档用气量，再计算用气量；
（2）按调整后的单价计算出11月应缴费，再做差可求出多缴费的数量；
（3）先计算每一档缴费上限，根据实际缴费金额确定，每档气量，最后相加可求出总用气量．
22．【答案】（1）0
（2）解：∵ ，且 □ ， ，
∴□内的符号应是＋
（3）解：填上÷，
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】【详解】（1）解：
故答案为：0
【分析】（1）利用有理数的加减法的计算方法求解即可；
（2）利用有理数的加减法和乘除法的计算方法求解即可；
（3）先将除法转换为乘法，再利用有理数的乘法运算律计算即可。
23．【答案】（1）3；3；21；21
（2）（x+y）（x-y）
（3）解：
.
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3；
52-22=5×5-2×2=21；（5+2）（5-2）=7×3=21.
故答案为：3，3；21，21；
（2）∵22-12=2×2-1×1=3，（2+1）（2-1）=3×1=3，
∴22-12=（2+1）（2-1），
∴x2-y2=（x+y）（x-y）.
故答案为：（x+y）（x-y）.
【分析】（1）根据有理数的乘方运算和乘法运算法则，分别计算即可；
（2）结合（1）中两种运算的结果可知，x2-y2=（x+y）（x-y），据此解答即可；
（3）先利用x2-y2=（x+y）（x-y），将原式变形，再把所得结果求和即可.
24．【答案】（1）解：（千米），
答：地在地的东边20千米；
（2）解：这一天走的总路程为：
（千米），
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）解：路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米）；
（千米），
最远处离出发点25千米．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再根据结果判断即可；
（2）将题干中的数据的绝对值相加，再乘以0.5即可得到答案；
（3）分别求出每一次离点A的距离，再比较大小即可。
25．【答案】（1）；；-64
（2）③
（3）C
（4）解：
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】（1）
；
；
，
故答案为：；；；
（2）解：由题意得：
，
则一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方，
故答案为：③；
（3）．任何非零有理数的星3次方都等于它的倒数，故说法符合题意；
B．对于任何不小于3正整数，，故B说法符合题意；
C．，，故C说法不符合题意；
D．负数的星5次方的结果是负数，负数的星6次方的结果是正数，故D说法符合题意．
故答案为：C；
【分析】（1）根据除方的运算进行求解即可；
（2）结合（1）运算可知：一个非零有理数的星，为整数）次方等于这个数的倒数的次方；
（3）根据除方的运算逐一分析即可；
（4）先计算除方，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加法即可.
1 / 1
