2023年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
2．（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
3．（2022八上·宝应期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
4．（2023八上·绍兴期末）如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．22
5．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020八上·中牟期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 ， 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八上·青岛期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
9．（2022八上·龙岗期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
10．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2015八上·南山期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
13．（2022八上·德惠期末）如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
14．（2022八上·新昌月考）如图，中，，，，是的中点，是上一动点，则的最小值为 .
15．（2023八上·开江期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米.
16．（2022八上·顺义期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023八上·西安期末）如图，一块四边形的空地，，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m.为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费30元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？
18．（2021八上·莲湖期中）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
19．（2023八上·凤翔期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）
20．（2023八上·新城期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
21．（2022八上·南城期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
22．（2022八上·吴兴期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．
（1）求风筝的高度CE；
（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？
23．（2022八上·仁寿月考）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
24．（2022八上·长兴月考）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM= 1，MN=2，BN=，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
25．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，点为边上异于，的一个动点，作点关于的对称点，连结，，交直线于点.
（1）若，，是边上的高线.
①求线段的长；
②当时，求线段的长；
（2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数.
26．（2022八上·代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①第一种情况，如下图所示.
则
∵点D是斜边EF中点，
∴EF=2BD=
②第二种情况，如下图所示.
则
∵点A是斜边EF中点，
∴EF=2AC=10
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是10或.
故答案为：C.
【分析】分情况画出原直角三角形，再根据勾股定理求出斜边上的中线长，即可求出斜边的长.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴，，
∵，
即，，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，根据同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，从而用AAS判断出△ACB≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2最后结合正方形的面积计算方法即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形可得：
故答案为：B.
【分析】根据等面积法先分别求出三角形的面积和、梯形的面积，从而证明勾股定理.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．
【分析】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
11．【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
12．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．【答案】78
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：78．
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，可得，再利用三角形的面积公式求出即可。
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点，连接，如图：
此时有最小值：，
∵，，，
∴，
∵点D是AC的中点，点是点C的对称点，
∴CD=，，
∴，
由勾股定理，得：
，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，此时有最小值C′D=CP+PD，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AC=2，根据中点的概念可得CD=AC=2，根据轴对称的性质可得BC′=BC=2，则C′C=4，再利用勾股定理求解即可.
15．【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3，
∴AC=，
∵AD＝1，
∴CD=AC-AD=3，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
故答案为：1.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.
16．【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。
17．【答案】解：连接AC，在中，
∴，，
在中，
∵，
∴，为直角三角形，
∴
∴
答：此块空地全部铺植草坪共需花费元.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，由勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出四边形ABCD的面积，再乘以每平方米的花费即可求出总费用.
18．【答案】证明：如图， ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】对图形进行点标注，根据全等三角形的性质可得AE=BF=CG=DH=a，AH=DG=CF=BE=b，HE=EF=FG=GH=c，根据面积间的和差关系可得S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形EFGH，然后结合正方形、三角形的面积公式进行证明.
19．【答案】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，
过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，
连接AB，
∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，
在Rt△AEB中，AB=（m），
故小鸟至少飞行m.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m， 过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形， 连接AB， 则得 EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m， 在Rt△AEB中， 用勾股定理算出AB的长即可.
20．【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等.
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可得DE＝CE，根据垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，据此解答.
21．【答案】（1）解：∵，，4个直角三角形的面积为：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据（1）有：，，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
即值为25．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据，可得，再化简可得；
（2）根据，，可得，再求出即可；
（3）先求出，，再求出，最后求出即可。
22．【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，
∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，
∴CD=18米，
又∵AB=1.68米，
∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，
∴风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图所示，连接MB，
∵CM=8米，CD=18米，
∴MD=CD-CM=18-8=10米
在Rt△MDB中，由勾股定理得：MB2=MD2+102+242=262，
∴MB=26，
∴往回收线的长度=BC-MB=30-26=4米.
答：他往回收线4米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得CD的长，再通过线段和差关系可得CE=CD+DE=CD+AB，代入数据求得CE的长，即可解答；
（2）如图所示，连接MB，易得MD=10米，再通过勾股定理求得MB的长，即可解答.
23．【答案】（1）解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2） 海港受台风影响，理由：利用三角形的面积公式可求出CE的长，与260km进行比较，可得出 海港受台风影响； 以为圆心，260km长为半径画弧，交于，， 则DE=EF=260km，利用勾股定理求出DE，进而求出DF的长，根据时间=路程÷速度即可求解.
24．【答案】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
∵ AM= 1，MN=2， BN=，
∴AM2 +BN2 =MN2
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴M，N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：
①MN为斜边时，有AM2+ BN2 = MN2
设BN=x，则52+x2=(7-x)2，
∴x=
②BN为斜边时，有BN2 =AM2 +MN2
设BN=x，则52+(7-x)2=x2，
∴x=，
综上，BN的长为或.-
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，理由如下：由于较小两边的平方和等于最大边长的平方，根据勾股定理的逆定理判断出以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，从而结合勾股分割点的定义即可得出答案；
（2）分类讨论：①MN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可；
②BN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
25．【答案】（1）解：①如图
在Rt△ABC中
，
即，
解之：
②∵点A关于CP的对称点为点A′，
∴CA=CA′=8，
∵∠PQA′=90°，
∴由①可知，
∴
（2）解：△A′PQ′是等腰三角形，
当A′P=A′Q时，∠A′PQ=∠A′QP，
∵点A和点A′关于CP对称。
∴∠CAQ=∠CA′P=35°，
∴∠A′PQ=×（180°-35°）=72.5°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=72.5°-35°=37.5°；
当A′Q=QP时，∠A′=∠QPA′，
∵点A和点A′关于CP对称。
∴∠CAQ=∠CA′P=∠A′PQ=35°，
∴∠A′QP=180°-35°-35°=110°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=110°°-35°=75°；
当PQ=PA′时，∠A′=∠PQA′，
∵点A和点A′关于CP对称，
∴∠CAQ=∠CA′P=∠PQA′=35°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=35°-35°=0°（舍去），
∴∠A′CA的度数为37.5°或75°
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①利用勾股定理求出AB的长，再利用同一个三角形的面积不变，可求出CE的长；②利用轴对称的性质可证得CA=CA′=8，利用∠PQA′=90°，可求出CQ的长，再根据A′Q=CA′-CQ，代入计算求出A′Q的长.
（2）利用等腰三角形的性质分情况讨论：当A′P=A′Q时，∠A′PQ=∠A′QP，利用对称轴的性质可得到∠CAQ=∠CA′P=35°，利用三角形的内角和定理求出∠A′PQ；再利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数；当A′Q=QP时，∠A′=∠QPA′，利用轴对称的性质可得到∠CAQ=∠CA′P=∠A′PQ=35°，即可求出∠A′QP的度数；再利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数；当PQ=PA′时，∠A′=∠PQA′，可求出∠PQA′的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数，综上所述可得到符合题意的∠A′CA的度数.
26．【答案】（1）解：，且，
即，
则．
（2）解：，
设，依题意有
，
解得，
．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，
由图得出，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后作答即可。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.7 探索勾股定理 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·内江期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断A、B选项；根据三角形的内角和定理算出最大内角的度数，如果等于90°就是直角三角形，否则就不是，据此可判断C、D选项.
2．（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
∴三条线段，，首尾相连拼三角形是直角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理分别求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理进行判断.
3．（2022八上·宝应期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①第一种情况，如下图所示.
则
∵点D是斜边EF中点，
∴EF=2BD=
②第二种情况，如下图所示.
则
∵点A是斜边EF中点，
∴EF=2AC=10
综上所述，原直角三角形纸片的斜边长是10或.
故答案为：C.
【分析】分情况画出原直角三角形，再根据勾股定理求出斜边上的中线长，即可求出斜边的长.
4．（2023八上·绍兴期末）如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ）
A．24 B．20 C．12 D．22
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴，，
∵，
即，，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
即，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，根据同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，从而用AAS判断出△ACB≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2最后结合正方形的面积计算方法即可得出答案.
5．（2021八上·高州月考）我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
故答案为：A．
【分析】根据赵爽弦图的概念直接得出答案。
6．（2020八上·中牟期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 ， 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由图形可得：
故答案为：B.
【分析】根据等面积法先分别求出三角形的面积和、梯形的面积，从而证明勾股定理.
7．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为；
B、B代表的正方形的面积为；
C、C代表的正方形的面积为；
D、D代表的正方形的面积为.
故答案为：A.
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
8．（2022八上·青岛期中）如图，在“庆国庆，手拉手”活动中，某小组从营地A出发，沿北偏东方向走了1200m到达B点，然后再沿北偏西方向走了500m到达目的地C点，此时A，C两点之间的距离为（ ）
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
即A，C两点之间的距离为1300m，
故答案为：D．
【分析】先求出∠ABC的度数，再利用勾股定理求出AC的长即可。
9．（2022八上·龙岗期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故答案为：B．
【分析】设秋千绳索的长度为，利用勾股定理可得，再求出即可。
10．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：，
设折断处离地面的高度是x尺，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度是x尺，利用勾股定理可得。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2015八上·南山期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于
【答案】6
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：∵AB=10，EF=2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，
∴a+b=14，
∵a﹣b=2，
解得：a=8，b=6，
∴AE=8，DE=6，
∴AH=8﹣2=6．
故答案为：6．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．（2022八上·德惠期末）如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
【答案】78
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：78．
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，可得，再利用三角形的面积公式求出即可。
14．（2022八上·新昌月考）如图，中，，，，是的中点，是上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点C关于AB的对称点，连接，如图：
此时有最小值：，
∵，，，
∴，
∵点D是AC的中点，点是点C的对称点，
∴CD=，，
∴，
由勾股定理，得：
，
∴的最小值为：.
故答案为：.
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，此时有最小值C′D=CP+PD，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=AC=2，根据中点的概念可得CD=AC=2，根据轴对称的性质可得BC′=BC=2，则C′C=4，再利用勾股定理求解即可.
15．（2023八上·开江期末）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE时，米，则BE＝ 米.
【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵AB=5， BC=3，
∴AC=，
∵AD＝1，
∴CD=AC-AD=3，
∴CE=，
∴BE=CE-CB=米，
故答案为：1.
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，则CD=AC-AD=3，然后在Rt△CDE中，由勾股定理求出CE的值，再根据BE=CE-CB进行计算.
16．（2022八上·顺义期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行 米．
【答案】4
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用线段的和差求解即可。
三、解答题（共10题，共72分）
17．（2023八上·西安期末）如图，一块四边形的空地，，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m.为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植草坪需要花费30元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？
【答案】解：连接AC，在中，
∴，，
在中，
∵，
∴，为直角三角形，
∴
∴
答：此块空地全部铺植草坪共需花费元.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AC的值，由勾股定理逆定理知△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD求出四边形ABCD的面积，再乘以每平方米的花费即可求出总费用.
18．（2021八上·莲湖期中）做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．
【答案】证明：如图， ， ， ，
∵ ，即
∴ ，
∴ ．
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】对图形进行点标注，根据全等三角形的性质可得AE=BF=CG=DH=a，AH=DG=CF=BE=b，HE=EF=FG=GH=c，根据面积间的和差关系可得S正方形ABCD=4S△AEB+S正方形EFGH，然后结合正方形、三角形的面积公式进行证明.
19．（2023八上·凤翔期末）如图，有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树相距5m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（结果精确到0.1m）
【答案】解：如图，设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m，
过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形，
连接AB，
∴EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m，
在Rt△AEB中，AB=（m），
故小鸟至少飞行m.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设大树高为AC=6m，小树高为BD=2m， 过B点作BE⊥AC于E，则EBDC是矩形， 连接AB， 则得 EC=2m，EB=5m，AE=AC-EC=6-2=4m， 在Rt△AEB中， 用勾股定理算出AB的长即可.
20．（2023八上·新城期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
【答案】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等.
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km.
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意可得DE＝CE，根据垂直的概念可得∠A＝∠B＝90°，由勾股定理可得AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝xkm，则BE＝(25-x)km，代入求解可得x的值，据此解答.
21．（2022八上·南城期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【答案】（1）解：∵，，4个直角三角形的面积为：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据（1）有：，，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
即值为25．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据，可得，再化简可得；
（2）根据，，可得，再求出即可；
（3）先求出，，再求出，最后求出即可。
22．（2022八上·吴兴期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为24米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；
③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．
（1）求风筝的高度CE；
（2）若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？
【答案】（1）解：在Rt△CDB中，BC=30米，BD=24米，
∴CD2=BC2-BD2=302-242=182，
∴CD=18米，
又∵AB=1.68米，
∴CE=CD+DE=CD+AB=18+1.68=19.68米，
∴风筝的高度CE为19.68米．
（2）解：如图所示，连接MB，
∵CM=8米，CD=18米，
∴MD=CD-CM=18-8=10米
在Rt△MDB中，由勾股定理得：MB2=MD2+102+242=262，
∴MB=26，
∴往回收线的长度=BC-MB=30-26=4米.
答：他往回收线4米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得CD的长，再通过线段和差关系可得CE=CD+DE=CD+AB，代入数据求得CE的长，即可解答；
（2）如图所示，连接MB，易得MD=10米，再通过勾股定理求得MB的长，即可解答.
23．（2022八上·仁寿月考）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，km，km，
（km），
答：监测点与监测点之间的距离为500km；
（2）解：海港受台风影响，
理由：，，
，
，
km，
以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
海港会受到此次台风的影响，
以为圆心，260km长为半径画弧，交于，，
则km时，正好影响港口，
在中，
（km），
km，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2） 海港受台风影响，理由：利用三角形的面积公式可求出CE的长，与260km进行比较，可得出 海港受台风影响； 以为圆心，260km长为半径画弧，交于，， 则DE=EF=260km，利用勾股定理求出DE，进而求出DF的长，根据时间=路程÷速度即可求解.
24．（2022八上·长兴月考）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM= 1，MN=2，BN=，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
【答案】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，理由如下：
∵ AM= 1，MN=2， BN=，
∴AM2 +BN2 =MN2
∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴M，N是线段AB的勾股分割点．
（2）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：
①MN为斜边时，有AM2+ BN2 = MN2
设BN=x，则52+x2=(7-x)2，
∴x=
②BN为斜边时，有BN2 =AM2 +MN2
设BN=x，则52+(7-x)2=x2，
∴x=，
综上，BN的长为或.-
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，理由如下：由于较小两边的平方和等于最大边长的平方，根据勾股定理的逆定理判断出以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，从而结合勾股分割点的定义即可得出答案；
（2）分类讨论：①MN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可；
②BN为斜边时，设BN=x，则MN=（7-x），根据勾股定理建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
25．（2023八上·嘉兴期末）如图，在中，，点为边上异于，的一个动点，作点关于的对称点，连结，，交直线于点.
（1）若，，是边上的高线.
①求线段的长；
②当时，求线段的长；
（2）在的情况下，当是等腰三角形时，直接写出的度数.
【答案】（1）解：①如图
在Rt△ABC中
，
即，
解之：
②∵点A关于CP的对称点为点A′，
∴CA=CA′=8，
∵∠PQA′=90°，
∴由①可知，
∴
（2）解：△A′PQ′是等腰三角形，
当A′P=A′Q时，∠A′PQ=∠A′QP，
∵点A和点A′关于CP对称。
∴∠CAQ=∠CA′P=35°，
∴∠A′PQ=×（180°-35°）=72.5°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=72.5°-35°=37.5°；
当A′Q=QP时，∠A′=∠QPA′，
∵点A和点A′关于CP对称。
∴∠CAQ=∠CA′P=∠A′PQ=35°，
∴∠A′QP=180°-35°-35°=110°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=110°°-35°=75°；
当PQ=PA′时，∠A′=∠PQA′，
∵点A和点A′关于CP对称，
∴∠CAQ=∠CA′P=∠PQA′=35°，
∵∠AQA′=∠CAQ+∠ACA′，
∴∠ACA′=35°-35°=0°（舍去），
∴∠A′CA的度数为37.5°或75°
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）①利用勾股定理求出AB的长，再利用同一个三角形的面积不变，可求出CE的长；②利用轴对称的性质可证得CA=CA′=8，利用∠PQA′=90°，可求出CQ的长，再根据A′Q=CA′-CQ，代入计算求出A′Q的长.
（2）利用等腰三角形的性质分情况讨论：当A′P=A′Q时，∠A′PQ=∠A′QP，利用对称轴的性质可得到∠CAQ=∠CA′P=35°，利用三角形的内角和定理求出∠A′PQ；再利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数；当A′Q=QP时，∠A′=∠QPA′，利用轴对称的性质可得到∠CAQ=∠CA′P=∠A′PQ=35°，即可求出∠A′QP的度数；再利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数；当PQ=PA′时，∠A′=∠PQA′，可求出∠PQA′的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠ACA′的度数，综上所述可得到符合题意的∠A′CA的度数.
26．（2022八上·代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值．
【答案】（1）解：，且，
即，
则．
（2）解：，
设，依题意有
，
解得，
．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，
由图得出，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后作答即可。
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