2023年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
2．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·云浮期末）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
6．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
8．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
9．（2021八上·和平期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
10．（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
12．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
13．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
14．（2021八上·潮州期末）如图所示，在中，于点，且，则 度．
15．（2020八上·高昌月考）在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL”证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 .
16．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
17．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
18．（2022八上·抚远期末）如图，若于B，于C，且，，，则 .
三、解答题（共7题，共60分）
19．（2023八上·岳池期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．
求证：∠DBE=∠DAC．
20．（2022八上·大兴期中）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证：平分．
21．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
22．（2023八上·平桂期末）如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
23．（2023八上·余姚期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且.求证：
（1）是等腰三角形；
（2）点D在的角平分线上.
24．（2022八上·青田期中）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.
（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP垂直平线段CD.
25．（2023八上·绍兴期末）如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明可得，再利用三角形的内角和求出即可。
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故答案为：B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，由角平分线的性质可得PD=PF，PE=PF，从而得出PD=PE，根据角平分线的判定即证.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
11．【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
13．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
14．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AC=AE，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴∠CDA=∠ADE=55°，∠CAD=∠DAE，
∵∠CAD=180°-90°-55°=35°，
∴∠CAE=70°，
∴∠B=180°-90°-70°=20°．
故答案为：20．
【分析】先利用“HL”证明△ACD≌△AED，可得∠CDA=∠ADE=55°，∠CAD=∠DAE，再求出∠CAE=70°，最后利用三角形的内角和可得∠B=180°-90°-70°=20°。
15．【答案】AB =AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：添加条件：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB=AC.
【分析】添加条件：AB=AC，由垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，然后结合HL进行解答.
16．【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
17．【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
18．【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵于B，于C，且，
∴是的平分线，
∵，
∴°，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出°，再利用三角形外角的性质可得。
19．【答案】解：∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC= 90° ．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)
∴∠DBE=∠DAC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据三角形高的定义得∠BDE=∠ADC= 90° ，从而利用HL判断Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应角相等得∠DBE=∠DAC．
20．【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得，再利用角平分线的判断方法可得平分。
21．【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
22．【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，由同角的补角相等可得∠CBD＝∠EAD，利用AAS证明△AED≌△BFD，得到DE＝DF，推出点D在∠BCE的角平分线上，据此证明.
23．【答案】（1）解：证明：是边上的中点，
，
又，，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形
（2）证明：，
，
又，，
∴点D在的角平分线上.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得DB=DC，由垂直的概念可得∠BFD=∠CED=90°，利用HL证明△BDF≌△CDE，得到∠B=∠C，据此证明；
（2）由全等三角形的性质可得DF=DE，据此证明.
24．【答案】（1）证明：∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC
（2）证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP垂直平线段CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得PC＝PD， 再利用等边对等角即得结论；
（2）证明Rt△POC≌Rt△POD（HL），可得OC＝OD，结合PC=PD，根据线段垂直平分线的判定即证结论.
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论；
（2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
2．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
3．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
4．（2021八上·云浮期末）如图，在和中，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC和△ADC均为直角三角形
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：D．
【分析】利用“HL”证明可得，再利用三角形的内角和求出即可。
5．（2021八上·瑞安期中）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC=DF，BC=EF B．∠A=∠D，AB=DE
C．AC=DF，AB=DE D．∠B=∠E，BC=EF
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵在两个直角三角形中AB、DE是斜边，
∴只有C中，AC=DF、AB=DE符合.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定定理“HL”：即两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等进行判断.
6．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
7．（2020八上·苍南期末）如图，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是（ ）
A．DC=BA B．EC=FA C．∠D=∠B D．∠DCE=BAF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F ，
∴∠DEC=∠BFA=90°，
∵DE=BF，
∴当添加斜边相等时，即DC=BA时， 可利用“HL”证明△DEC≌△BFA.
故选A.
【分析】 利用“HL”证明Rt△DEC≌Rt△BFA时，已知一对直角边相等（DE=BF），只需要添加斜边相等，据此判断即可.
8．（2019八上·江津期中）下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等。 B．斜边和一锐角对应相等。
C．斜边和一条直角边对应相等。 D．两锐角相等。
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故答案为：A正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS也可判断两三角形全等，故答案为：B正确.
如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL也可判断两三角形全等，故答案为：C正确.
如果在两个直角三角形中，两锐角相等，无法判断两三角形全等，故答案为：D错误.
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL即可一一判断得出答案.
9．（2021八上·和平期末）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故答案为：B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，由角平分线的性质可得PD=PF，PE=PF，从而得出PD=PE，根据角平分线的判定即证.
10．（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 ，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
二、填空题（每空3分，共30分）
11．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
13．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
14．（2021八上·潮州期末）如图所示，在中，于点，且，则 度．
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，∠C=90°，AC=AE，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴∠CDA=∠ADE=55°，∠CAD=∠DAE，
∵∠CAD=180°-90°-55°=35°，
∴∠CAE=70°，
∴∠B=180°-90°-70°=20°．
故答案为：20．
【分析】先利用“HL”证明△ACD≌△AED，可得∠CDA=∠ADE=55°，∠CAD=∠DAE，再求出∠CAE=70°，最后利用三角形的内角和可得∠B=180°-90°-70°=20°。
15．（2020八上·高昌月考）在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL”证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 .
【答案】AB =AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：添加条件：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB=AC.
【分析】添加条件：AB=AC，由垂直的概念可得∠ADB=∠ADC=90°，然后结合HL进行解答.
16．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
17．有 和一条 对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“ ”.
【答案】斜边；直角边；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”
【分析】根据直角三角形全等的判定定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边直角边”或用字母表示为“HL”即可得出答案。
18．（2022八上·抚远期末）如图，若于B，于C，且，，，则 .
【答案】150°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵于B，于C，且，
∴是的平分线，
∵，
∴°，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出°，再利用三角形外角的性质可得。
三、解答题（共7题，共60分）
19．（2023八上·岳池期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．
求证：∠DBE=∠DAC．
【答案】解：∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC= 90° ．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)
∴∠DBE=∠DAC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据三角形高的定义得∠BDE=∠ADC= 90° ，从而利用HL判断Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应角相等得∠DBE=∠DAC．
20．（2022八上·大兴期中）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证：平分．
【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得，再利用角平分线的判断方法可得平分。
21．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
22．（2023八上·平桂期末）如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.
【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°，
∴∠CBD＝∠EAD，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴点D在∠BCE的角平分线上，
∴CD平分∠ACB.
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，由同角的补角相等可得∠CBD＝∠EAD，利用AAS证明△AED≌△BFD，得到DE＝DF，推出点D在∠BCE的角平分线上，据此证明.
23．（2023八上·余姚期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且.求证：
（1）是等腰三角形；
（2）点D在的角平分线上.
【答案】（1）解：证明：是边上的中点，
，
又，，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形
（2）证明：，
，
又，，
∴点D在的角平分线上.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得DB=DC，由垂直的概念可得∠BFD=∠CED=90°，利用HL证明△BDF≌△CDE，得到∠B=∠C，据此证明；
（2）由全等三角形的性质可得DF=DE，据此证明.
24．（2022八上·青田期中）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D.
（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP垂直平线段CD.
【答案】（1）证明：∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC
（2）证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD，
∵PC＝PD，OC＝OD，
∴OP垂直平线段CD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得PC＝PD， 再利用等边对等角即得结论；
（2）证明Rt△POC≌Rt△POD（HL），可得OC＝OD，结合PC=PD，根据线段垂直平分线的判定即证结论.
25．（2023八上·绍兴期末）如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证：
（1）.
（2）.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论；
（2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了.
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