2023年浙教版数学八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·越城期末） 与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的的边角可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，且斜边为5.
∵△ABC与三边长分别为3，4，5的三角形全等，
∴满足条件的△ABC的边角可以是∠A=90°，AB=3，BC=5；或∠B=90°，AC=5，BC=3；或∠C=90°，AC=3，AB=5；或∠C=90°，AB=5，BC=3.
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，且斜边为5，进而根据直角三角形全等的判定定理HL，即可一一判断得出答案.
2．（2021八上·太和月考）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
3．（2021八上·盐都期末）如图，在四边形 中， ， ，点P是 边上的一动点，连接 ，若 ，则DP的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵∠A=∠BDC=90° ，
又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，根据三角形内角和定理以及角平分线的概念可得BD是∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质得到AD＝DH=3，确定出DP的最小值，据此判断即可.
4．（2021八上·襄州期末）在 中， ，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在 ， 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P， 交边 于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． 垂直平分 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图.
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，BD⊥AC，即BD垂直平分AC，
故A、B、C三个选项正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，
故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，根据角平分线的判定可得BP平分∠ABC，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD=DC，BD垂直AC，据此判断即可.
5．（2020八上·滦州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均错误
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
6．（2022八上·余杭月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠BEG=∠CFE，
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC，
∴EG=CE，
在Rt△BCE和Rt△BGE中
∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL）
∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF=EG，
在Rt△ABC中
，
∴AG=AB-BG=5-1=4，
设CF=x，则AE=3-x，
在Rt△AEG中
AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2，
解之：，
∴.
故答案为：C
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，易证EG∥CD，利用平行线的性质可得到∠BEG=∠CFE；利用角平分线的性质可推出EG=CE，利用HL可证得Rt△BCE≌Rt△BGE，利用全等三角形的性质可知BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，可推出CE=CF=EG；利用勾股定理求出AB的长，即可得到AG的长；设CF=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CF的长.
7．（2022八上·瑞安月考）如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴∠CFD=90°，
∵∠ABD=∠DBC，
∴DE=DF；
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL）
∴BE=BF；
在Rt△ABD中
；
∵
∴，
在Rt△BDE中，
∴.
故答案为：D
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用角平分线的性质可证得DE=DF，利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFB，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=BF；利用勾股定理求出BD的长，利用三角形的面积公式求出DF，DE的长；再利用勾股定理求出DF的长，从而可求出CF的长；然后根据BC=BF-CF，代入计算求出BC的长.
8．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
与的和为，
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠BDF=∠ADC=90°，由已知条件可知BF=AC，DF=DC，利用HL证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF∠2，BD=AD，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠DAB=45°，然后根据∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA进行计算.
9．（2022八上·海曙期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G ，
， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
设 ，则 ， ， ，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】过点F作FG⊥AB于点G ，根据角平分线的定义得∠CAF=∠FAD，结合等角的余角相等及对顶角相等得∠CFA=∠AED=∠CEF，根据等角对等边得FC=CE，根据角平分线的性质定理得FC=FG，利用勾股定理算出BC，用HL判断Rt△ACF≌Rt△AGF，根据全等三角形对应边相等得AC=AG=9，设CE=x，则FC=FG=x，BF=12-x，BG=6，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
10．（2022八上·海曙期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠OMP=∠ONP=90°，利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等可得到∠MOP=∠NOP，即可证得OP平分∠AOB.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022八上·安定期中）如图，点O是 的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到的三边的距离相等；④点O在的平分线上.其中结论正确的是 （填序号）.
【答案】②③④
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过点O作于E，于F，作于G，
∵点O是的两外角平分线的交点，
∴，
∴，
∴点O到的距离相等；点O到的三边的距离相等；
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
若，
∵，
∴F为的中点，但是F不能确定就是 的中点，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，根据角平分线的性质可得OE=OF=OG，据此判断②③④；若BO=CO，由等腰三角形的性质可得F为BC的中点，据此判断①.
12．（2021八上·西山期中）如图，点O在ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
【答案】119
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义可得∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+×58°＝119°。
13．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
14．（2022八上·龙港期中）如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝ 度.
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AD，CE是△ABC的两条高线，
∴AD⊥CB，CE⊥AD，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠CAD＝∠ACE＝25°，
∵∠ACD＝90°-∠CAD＝90°-25°＝∠65°，
∴∠OCD＝∠ACD-∠ACE＝65°-25°＝40°，
故答案为：40.
【分析】利用HL判断出Rt△ADC≌Rt△CEA，根据全等三角形的对应角相等得∠CAD＝∠ACE＝25°，进而根据三角形的内角和定理及角的和差，由∠ACD＝90°-∠CAD，∠OCD＝∠ACD-∠ACE即可算出答案.
15．（2022八上·富阳期中）在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，AD是△ 的角平分线， ⊥ 于点E.若△ 的面积为9，则△ 的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，
设AC=5x，BC=12x，AB=13x，
∴AC2+BC2=25x2+144x2=169x2，AB2=169x2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，
∴BE=AB-AE=13x-5x=8x，
∴
∴
解之：S△ADC=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=CD，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质可证得AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，同时可表示出BE的长；利用三角形的面积公式可求出，由此可得到，代入计算求出△ACD的面积.
16．（2022八上·京山期中）如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，交于M，交于N， 交点O；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分∠.其中一定正确的是 （只需填写序号）.
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
①∵和都是等边三角形，
在和中，
，
；①正确；
②
在和中，
∴为等边三角形；②正确；
③
而
；③错误；
④如图：作于H ，于Q；
∴平分；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以CM=CN；加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形；
③根据三角形内角和定理可得∠CAD＋∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE＋∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD＝120°；
④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CO平分∠BOD．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·蜀山期末）如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F．
（1）在图1中画出正确的图形，并证明；
（2）当时，求证：平分．
【答案】（1）解：如图1
，
，
在和中
（2）证明：如图2，
由（1）得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出，即可得到 平分。
18．（2022八上·青田期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中， ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AE+BE=AF+CD， 即AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，
又∵AD是△ABC的角平分线，BC=6，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∵AB=5，
∴，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴S△ABD=BD AD=AB DE，
∴.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF， 利用HL判断Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，进而根据线段的和差，由等量加等量和相等得AB=AC ，从而根据两边相等的三角形就是等腰三角形得出结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=CD=3，AD⊥BC，根据勾股定理算出AD的长，根据等面积法得 BD AD=AB DE ，代入数据，求解即可.
19．（2022八上·顺义期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：
①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐；
②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐；
如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线．射线是的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
……
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法符合题意吗？如果正确，请说明依据，如果错误，请说明理由；
（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程．
【答案】（1）解：小惠的做法正确，理由如下：
由作图可知，点P到的距离均为尺子的宽度，
∵两把完全相同的尺子，
∴尺子的宽度相同，
即点P到角两边的距离相等，
根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到：为的角平分线．
（2）解：在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点P，则射线即为的角平分线．
∵，
又∵，
∴，
∴，
即：即为的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定方法求解即可；
（2）先利用“HL”证明，可得，即可证出为的角平分线。
20．（2022八上·江油月考）如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD＝CD，BE＝CF.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC＝2AE，请你帮他写出证明过程.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠E＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵BE＝CF，
∴AB+AC＝AE-BE+AF+CF＝AE-CF+AE+CF＝2AE.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先用HL判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的对应边相等得DE=DF，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AD平分∠BAC；
（2）首先用HL判断出Rt△AED≌Rt△AFD ，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，结合BE=CF，根据线段的和差即可得出结论.
21．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，平分交于点，作于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，．
①求的长度；
②求的面积．
【答案】（1）解： ， 平分 交 于点 ，作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：① ， ， ，
，
由（1）知， ，
；
② ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
，
的面积 ．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线上的点到角两边的距离相等得BD=DE，利用HL判断Rt△ABD≌Rt△AED，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠EAD，根据等边对等角得∠DAC=∠ACD，故∠C=∠BAD=∠EAD，根据直角三角形两锐角互余得∠BAC+∠C=90°，从而即可得出答案；
（2）①根据勾股定理算出AC的长，由全等三角形对应边相等得AE=AB=6；②根据CE=AC-AE算出CE的长，设BD=DE=x，则CD=8-x，根据勾股定理建立方程，求解得x的值，即得DE的长，最后根据三角形面积计算公式计算即可.
22．（2022八上·杭州期中）如图，在中，、分别是边、上的高线.
（1）如果，那么是等腰三角形，请说明理由；
（2）取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点，求证：；
（3）在（2）的条件下，如果，求的长度.
【答案】（1）证明：在 中， 、 分别是边 、 上的高线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ 是等腰三角形.
（2）证明：在 中， 、 分别是边 、 上的高线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵G是 中点，
∴ ；
（3）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
’
∴ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE，可得∠BCD=∠CBE，利用等角对等边可得AB=AC，根据等腰三角形的判定即证；
（2）先证△DEF为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）先证△DEF为等边三角形，可得∠GFD=30°，根据直角三角形斜边中线的性质可得DF=BC=8，利用含30°角的直角三角形的性质可得DG=DF=4，根据勾股定理求出FG即可.
23．（2021八上·拱墅期中）已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC．
（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
（2）解：成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO＝∠FCO．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠EBO＋∠OBC＝∠FCO＋∠OCB．
即∠ABC＝∠ACB．
∴AB＝AC．
（3）解：不一定成立，如右图．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用HL证明Rt△OBE≌Rt△OCF，根据全等三角形的性质得∠B=∠C，最后根据等角对等边，即可得出结论；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用HL证明Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等边对等角得到∠OBC=∠OCB，根据角的和差关系得出∠ABC=∠ACB，从而得出AB=AC；
（3）根据题意，点O是BC的垂直平分线上与∠BAC的角平分线的交点，先根据题意画图，通过作图可知AB=AC不一定成立.
24．（2022八上·拱墅期中）如图1，中，作的角平分线相交于点O，过点O作分别交于E、F.
（1）①求证：；
②若的周长是25，，试求出的周长.
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，试探求与的数量关系式.
【答案】（1）解：①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵的周长是25，，
∴的周长；
（2）解：延长，作，垂足分别为N，F，M，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义得∠EBO=∠OBC，根据平行线的性质得∠EOB=∠OBC，故∠EOB=∠EBO，根据等角对等边即可得出OE=BE；②同①可得OF=FC，根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换即可算出△AEF的周长；
（2） 延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，垂足分别为N，F，M， 根据角平分线上的点到线段两个端点的距离相等得PM=PN，PF=PN，故PF=PM，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得∠FAP=∠PAC，即∠FAC=2∠PAC，进而根据邻补角的定义即可得出结论.
25．（2022八上·交城期中）综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：
过点P作，，垂足分别为E，F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：过点P作，垂足分别为，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分线，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得；
（2）过点P作，，垂足分别为E，F，利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，垂足分别为，利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.8直角三角形全等的判定 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·越城期末） 与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的的边角可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2021八上·太和月考）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
3．（2021八上·盐都期末）如图，在四边形 中， ， ，点P是 边上的一动点，连接 ，若 ，则DP的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2021八上·襄州期末）在 中， ，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在 ， 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P， 交边 于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． 平分 B．
C． 垂直平分 D．
5．（2020八上·滦州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均错误
6．（2022八上·余杭月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2022八上·瑞安月考）如图，△ABD和△CBD，∠ADB=90°，∠ABD=∠DBC，AD=DC=1，若AB=4，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
8．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八上·海曙期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
10．（2022八上·海曙期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022八上·安定期中）如图，点O是 的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到的三边的距离相等；④点O在的平分线上.其中结论正确的是 （填序号）.
12．（2021八上·西山期中）如图，点O在ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
13．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
14．（2022八上·龙港期中）如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝ 度.
15．（2022八上·富阳期中）在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，AD是△ 的角平分线， ⊥ 于点E.若△ 的面积为9，则△ 的面积为 .
16．（2022八上·京山期中）如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，交于M，交于N， 交点O；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分∠.其中一定正确的是 （只需填写序号）.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·蜀山期末）如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F．
（1）在图1中画出正确的图形，并证明；
（2）当时，求证：平分．
18．（2022八上·青田期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长.
19．（2022八上·顺义期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：
①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐；
②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐；
如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线．射线是的平分线．
小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
……
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法符合题意吗？如果正确，请说明依据，如果错误，请说明理由；
（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程．
20．（2022八上·江油月考）如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD＝CD，BE＝CF.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC＝2AE，请你帮他写出证明过程.
21．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，平分交于点，作于点．
（1）若，求的度数．
（2）若，．
①求的长度；
②求的面积．
22．（2022八上·杭州期中）如图，在中，、分别是边、上的高线.
（1）如果，那么是等腰三角形，请说明理由；
（2）取F为中点，连接点D，E，F得到，G是中点，求证：；
（3）在（2）的条件下，如果，求的长度.
23．（2021八上·拱墅期中）已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB＝OC．
（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．
24．（2022八上·拱墅期中）如图1，中，作的角平分线相交于点O，过点O作分别交于E、F.
（1）①求证：；
②若的周长是25，，试求出的周长.
（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，试探求与的数量关系式.
25．（2022八上·交城期中）综合与实践：
问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接．
（1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ；
（2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；
（3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，且斜边为5.
∵△ABC与三边长分别为3，4，5的三角形全等，
∴满足条件的△ABC的边角可以是∠A=90°，AB=3，BC=5；或∠B=90°，AC=5，BC=3；或∠C=90°，AC=3，AB=5；或∠C=90°，AB=5，BC=3.
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，且斜边为5，进而根据直角三角形全等的判定定理HL，即可一一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【分析】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵∠A=∠BDC=90° ，
又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥BC交BC于点H，根据三角形内角和定理以及角平分线的概念可得BD是∠ABC的角平分线，进而根据角平分线的性质得到AD＝DH=3，确定出DP的最小值，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图.
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，BD⊥AC，即BD垂直平分AC，
故A、B、C三个选项正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB=2AD，
故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，根据角平分线的判定可得BP平分∠ABC，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD=DC，BD垂直AC，据此判断即可.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵CD⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠BEG=∠CFE，
∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°即AC⊥BC，
∴EG=CE，
在Rt△BCE和Rt△BGE中
∴Rt△BCE≌Rt△BGE（HL）
∴BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，
∴CE=CF=EG，
在Rt△ABC中
，
∴AG=AB-BG=5-1=4，
设CF=x，则AE=3-x，
在Rt△AEG中
AG2+EG2=AE2即12+x2=（3-x）2，
解之：，
∴.
故答案为：C
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，易证EG∥CD，利用平行线的性质可得到∠BEG=∠CFE；利用角平分线的性质可推出EG=CE，利用HL可证得Rt△BCE≌Rt△BGE，利用全等三角形的性质可知BC=BG=4，∠BEG=∠BEC=∠CFE，可推出CE=CF=EG；利用勾股定理求出AB的长，即可得到AG的长；设CF=x，则AE=3-x，在Rt△AEG中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CF的长.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，
∴∠CFD=90°，
∵∠ABD=∠DBC，
∴DE=DF；
在Rt△DEB和Rt△DFB中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFB（HL）
∴BE=BF；
在Rt△ABD中
；
∵
∴，
在Rt△BDE中，
∴.
故答案为：D
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，利用角平分线的性质可证得DE=DF，利用HL证明Rt△DEB≌Rt△DFB，利用全等三角形的对应边相等，可证得BE=BF；利用勾股定理求出BD的长，利用三角形的面积公式求出DF，DE的长；再利用勾股定理求出DF的长，从而可求出CF的长；然后根据BC=BF-CF，代入计算求出BC的长.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
与的和为，
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠BDF=∠ADC=90°，由已知条件可知BF=AC，DF=DC，利用HL证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF∠2，BD=AD，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠DAB=45°，然后根据∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA进行计算.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G ，
， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
设 ，则 ， ， ，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】过点F作FG⊥AB于点G ，根据角平分线的定义得∠CAF=∠FAD，结合等角的余角相等及对顶角相等得∠CFA=∠AED=∠CEF，根据等角对等边得FC=CE，根据角平分线的性质定理得FC=FG，利用勾股定理算出BC，用HL判断Rt△ACF≌Rt△AGF，根据全等三角形对应边相等得AC=AG=9，设CE=x，则FC=FG=x，BF=12-x，BG=6，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠OMP=∠ONP=90°，利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等可得到∠MOP=∠NOP，即可证得OP平分∠AOB.
11．【答案】②③④
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过点O作于E，于F，作于G，
∵点O是的两外角平分线的交点，
∴，
∴，
∴点O到的距离相等；点O到的三边的距离相等；
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
若，
∵，
∴F为的中点，但是F不能确定就是 的中点，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④.
故答案为：②③④.
【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，根据角平分线的性质可得OE=OF=OG，据此判断②③④；若BO=CO，由等腰三角形的性质可得F为BC的中点，据此判断①.
12．【答案】119
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义可得∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+×58°＝119°。
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
14．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵AD，CE是△ABC的两条高线，
∴AD⊥CB，CE⊥AD，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠CAD＝∠ACE＝25°，
∵∠ACD＝90°-∠CAD＝90°-25°＝∠65°，
∴∠OCD＝∠ACD-∠ACE＝65°-25°＝40°，
故答案为：40.
【分析】利用HL判断出Rt△ADC≌Rt△CEA，根据全等三角形的对应角相等得∠CAD＝∠ACE＝25°，进而根据三角形的内角和定理及角的和差，由∠ACD＝90°-∠CAD，∠OCD＝∠ACD-∠ACE即可算出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，
设AC=5x，BC=12x，AB=13x，
∴AC2+BC2=25x2+144x2=169x2，AB2=169x2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，
∴BE=AB-AE=13x-5x=8x，
∴
∴
解之：S△ADC=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=CD，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质可证得AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，同时可表示出BE的长；利用三角形的面积公式可求出，由此可得到，代入计算求出△ACD的面积.
16．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，
①∵和都是等边三角形，
在和中，
，
；①正确；
②
在和中，
∴为等边三角形；②正确；
③
而
；③错误；
④如图：作于H ，于Q；
∴平分；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD＝∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，所以CM=CN；加上∠MCN＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△CMN为等边三角形；
③根据三角形内角和定理可得∠CAD＋∠CDA＝60°，而∠CAD＝∠CBE，则∠CBE＋∠CDA＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD＝120°；
④作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图，由△ACD≌△BCE得到CQ＝CH，于是根据角平分线的判定定理即可得到CO平分∠BOD．
17．【答案】（1）解：如图1
，
，
在和中
（2）证明：如图2，
由（1）得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出，即可得到 平分。
18．【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中， ，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵BE=CF，
∴AE+BE=AF+CD， 即AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
（2）解：由（1）可知△ABC是等腰三角形，
又∵AD是△ABC的角平分线，BC=6，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∵AB=5，
∴，
∵DE⊥AB，AD⊥BC，
∴S△ABD=BD AD=AB DE，
∴.
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF， 利用HL判断Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，进而根据线段的和差，由等量加等量和相等得AB=AC ，从而根据两边相等的三角形就是等腰三角形得出结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=CD=3，AD⊥BC，根据勾股定理算出AD的长，根据等面积法得 BD AD=AB DE ，代入数据，求解即可.
19．【答案】（1）解：小惠的做法正确，理由如下：
由作图可知，点P到的距离均为尺子的宽度，
∵两把完全相同的尺子，
∴尺子的宽度相同，
即点P到角两边的距离相等，
根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到：为的角平分线．
（2）解：在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点P，则射线即为的角平分线．
∵，
又∵，
∴，
∴，
即：即为的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的判定方法求解即可；
（2）先利用“HL”证明，可得，即可证出为的角平分线。
20．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵∠E＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵BE＝CF，
∴AB+AC＝AE-BE+AF+CF＝AE-CF+AE+CF＝2AE.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）首先用HL判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的对应边相等得DE=DF，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AD平分∠BAC；
（2）首先用HL判断出Rt△AED≌Rt△AFD ，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，结合BE=CF，根据线段的和差即可得出结论.
21．【答案】（1）解： ， 平分 交 于点 ，作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：① ， ， ，
，
由（1）知， ，
；
② ， ，
，
设 ，
，
，
，
解得 ，
，
的面积 ．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由角平分线上的点到角两边的距离相等得BD=DE，利用HL判断Rt△ABD≌Rt△AED，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠EAD，根据等边对等角得∠DAC=∠ACD，故∠C=∠BAD=∠EAD，根据直角三角形两锐角互余得∠BAC+∠C=90°，从而即可得出答案；
（2）①根据勾股定理算出AC的长，由全等三角形对应边相等得AE=AB=6；②根据CE=AC-AE算出CE的长，设BD=DE=x，则CD=8-x，根据勾股定理建立方程，求解得x的值，即得DE的长，最后根据三角形面积计算公式计算即可.
22．【答案】（1）证明：在 中， 、 分别是边 、 上的高线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ 是等腰三角形.
（2）证明：在 中， 、 分别是边 、 上的高线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵G是 中点，
∴ ；
（3）解：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
’
∴ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE，可得∠BCD=∠CBE，利用等角对等边可得AB=AC，根据等腰三角形的判定即证；
（2）先证△DEF为等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质即可求解；
（3）先证△DEF为等边三角形，可得∠GFD=30°，根据直角三角形斜边中线的性质可得DF=BC=8，利用含30°角的直角三角形的性质可得DG=DF=4，根据勾股定理求出FG即可.
23．【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
（2）解：成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO＝∠FCO．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
∴∠EBO＋∠OBC＝∠FCO＋∠OCB．
即∠ABC＝∠ACB．
∴AB＝AC．
（3）解：不一定成立，如右图．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用HL证明Rt△OBE≌Rt△OCF，根据全等三角形的性质得∠B=∠C，最后根据等角对等边，即可得出结论；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用HL证明Rt△OBE≌Rt△OCF，得到∠EBO=∠FCO，由等边对等角得到∠OBC=∠OCB，根据角的和差关系得出∠ABC=∠ACB，从而得出AB=AC；
（3）根据题意，点O是BC的垂直平分线上与∠BAC的角平分线的交点，先根据题意画图，通过作图可知AB=AC不一定成立.
24．【答案】（1）解：①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵的周长是25，，
∴的周长；
（2）解：延长，作，垂足分别为N，F，M，如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义得∠EBO=∠OBC，根据平行线的性质得∠EOB=∠OBC，故∠EOB=∠EBO，根据等角对等边即可得出OE=BE；②同①可得OF=FC，根据三角形周长的计算方法、线段的和差及等量代换即可算出△AEF的周长；
（2） 延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，垂足分别为N，F，M， 根据角平分线上的点到线段两个端点的距离相等得PM=PN，PF=PN，故PF=PM，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得∠FAP=∠PAC，即∠FAC=2∠PAC，进而根据邻补角的定义即可得出结论.
25．【答案】（1）PC=PD
（2）解：还成立，理由如下：
过点P作，，垂足分别为E，F，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：过点P作，垂足分别为，
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵是的平分线，，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得；
（2）过点P作，，垂足分别为E，F，利用“ASA”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，垂足分别为，利用“ASA”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
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