2023年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·福绵期末）如图，已知 于点 ， 于点 ，且 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020八上·石屏期末）如图，点P到 、 、 的距离恰好相等，则点P的位置：①在 的平分线上；②在 的平分线上；③在 的平分线上；④恰好是 、 、 三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
4．（2021八上·奉化期末）如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
5．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
6．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·孝感期末）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于 交 的延长线于 于F，现有下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2019八上·赛罕期中）如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
12．（2021八上·江汉月考）如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
13．（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
14．（2023七下·莲湖月考）如图，已知等边和等边，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM；下列结论：①；②；③BM平分；④，其中正确的有 （填序号）．
15．（2021八上·苏州月考）如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AD=AE；④PD=PE；⑤BD+CE=BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
16．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
三、综合题（共8题，共66分）
17．（2022八上·宁波期末）定义：如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”.如图，在中，，，.请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积.（备注：要求尺规作图）
18．（2021八上·江汉期中）如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
19．（2021八上·宁波期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）证明：BM＝CN.
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 .
20．（2022七下·张家港期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
（1）求证：；
（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
21．（2022七下·香坊期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线BC上一点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF、AC交于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC的延长线上时，求证：AC＋CE＝BD；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点D是BC的中点，△AFE的面积为36，求AF的长．
22．（2021八上·抚顺期末）如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE 的交点.
（1）求证∶
BG=EG;
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立 若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
23．（2022七下·海陵期末）如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在∠MON内部．
（1）若OA=OB，
①如图1，若CA⊥OM，CB⊥ON．求证：CA=CB．
②如图2，若∠ACB=90°．求证：OC平分∠ACB．
（2）如图3，点A、B 分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且∠ACB=90°，AC=BC．P为OM上一定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？
请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法），并请简要说明理由．
24．（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的判定得出AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD=∠BAC=20°，从而求出∠CDA=70°，利用∠CDG=∠ADG-∠CDA，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到BE，BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①符合题意；
∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②符合题意；
∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③符合题意；
∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④符合题意；
综上可得①②③④都符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平分线性质的逆定理分析，由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考。首先到两边距离相等，得出结论，另外两边得出结论，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD= =4，
∴
∴12=10x+10x 3x，
∴x=
∴AO=4+ = .
故答案为：D.
【分析】由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再由三线合一得AO⊥BC，由勾股定理得AD=4，再根据 ，得到方程求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
7．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD、DC，
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ED=DF，
∴①正确；
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD=∠FAD=30°，
∵ DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED= AD，
同理：DF= ，
∴DE+DF=AD，
∴②正确；
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，
假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°，则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴ ∠EBM=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC是否等于90°不知道
∴不能判定MD平分∠ADF，
故③错误；
④∵ DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴ BE=FC，
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又∵AE=AF，BE=FC，
∴ AB+AC=2AE，
∴ 当AE=3时，AB+AC=6，
故④正确；
故答案为：C.
【分析】连接BD、DC，根据角平分线的性质可判断①的正误；根据角平分线的概念以及垂直的概念可求出∠EAD=30°，得到ED= AD，DF= ，据此可判断②的正误；假设MD平分∠ADF，可求出∠ABC=90°，据此可判断③的正误；证明Rt△BED≌Rt△CFD，推出 AB+AC=2AE，据此判断④的正误.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵DN⊥AC，
在Rt△DGN和Rt△DMN中，
∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL），
在Rt△DFA和Rt△DNA中，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL），
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5．
故答案为：B.
【分析】根据题意作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，构造全等三角形利用全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质进行分析求解.
11．【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
12．【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过P作于点，于点，延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：40°．
【分析】过P作于点，于点，延长线于点，由角平分线的性质（角平分线上的点，到角的两边的距离相等）及判定（到角两边距离相等的点，在角的角平分线上）可得CP平分，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的和）可推知∠APB=∠ACB，进而可求解.
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的应用；角平分线的判定
【解析】【解答】解： 和都是等边三角形，
，，，
，
， 正确；
，
，
，
，
，正确；
如图，作，，
，，，
，，
，
，
，
平分， 正确；
如图，在上截取，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，正确，
故答案为：.
【分析】利用手拉手模型证明三角形全等，进而得到对应边相等；
通过三角形的内角和求出角的度数；
分析题意作出合适的辅助线是解题关键，利用全等三角形的性质得到结论；
将BM进行分割构造手拉手全等模型是解题关键，利用全等三角形的性质得到线段的数量关系.
15．【答案】①②④⑤
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB= （180°-∠BAC）= （180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，①正确；
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴PF =PH，PG=PH，
∴PF=PG，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF=PG=PH，
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD与△PGE中， ，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中， ，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD=AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
【分析】①由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC＋∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数；
②由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知PF=PG，进而根据角平分线的判定可得AP是∠BAC的平分线；
③没有条件可得AD=AE；
④∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，用角边角可得△PFD≌△PGE，根据全等三角形的性质可得PD＝PE；
⑤由题意用HL定理可得△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，则可得出BH＝BD＋DF，CH＝CE GE，再由DF＝EG可得BC＝BD＋CE．
16．【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
17．【答案】解：∵ ， ， ，
∴AB= .
①如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠ABD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵BD平分∠ABC，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6，
∴AE=AB-BE=4，
在Rt△ADE中，AD=AC-CD=8-DE，根据勾股定理，得
AD2=DE2+AE2，
∴(8-DE)2=DE2+42，
解得DE=3，
∴S△ABD= ×AB DE= ×10×3=15；
∴这个“类直角三角形”的面积是15；
②如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=8，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BDE中，BD=BC-CD=6-DE，根据勾股定理，得
BD2=DE2+BE2，
∴(6-DE)2=DE2+22，
解得DE= ，
∴S△ABD= ×AB DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
③如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：CD平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ACD，
∵∠A+∠ACF=90°，
∴∠A+2∠ACD=90°，
∴△ACD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠ACF，DE⊥AC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF，
∵BC2-BF2=AC2-AF2，
∴62-BF2=82-(10-BF)2，
解得BF= ，
∵ ，
∴CF= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴DE= ，
∴S△ACD= ×AC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
④如图，过点D作DE⊥BC于点E，由③知，CF= ，BF= ，
根据题意可知：CD平分∠BCF，
∴∠BCF=2∠BCD，
∵∠B+∠BCF=90°，
∴∠B+2∠BCD=90°，
∴△BCD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠BCF，DE⊥BC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
∵ ，
∴ ，
∴DE= ，
∴S△BCD= ×BC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
综上可知，这个“类直角三角形”的面积是15或 或 或 .
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】首先由勾股定理算出AB的长， ①如图，作∠CBA的角平分线交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E， 根据“类直角三角形”的定义易得△ABD是“类直角三角形”；根据角平分线的性质得DC=DE，从而利用HL判断Rt△BCD≌Rt△BED ，根据全等三角形的对应边相等得BC=BE=6， 在Rt△ADE中 ，用勾股定理建立方程，求出DE，进而根据三角形的面积计算方法算出△ABD的面积； ②如图，作∠CAB的角平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△ABD是“类直角三角形”；由角平分线的性质得DC=DE，从而利用HL判断Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得 AC=AE=8， 在Rt△BDE中， 用勾股定理建立方程，求出DE，进而根据三角形的面积计算方法算出△ABD的面积； ③如图，过点C作CF⊥AB于点F，再作∠ACF的角平分线，交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△ACD是“类直角三角形”；根据角平分线的性质得DF=DE，从而利用HL判断Rt△CDE≌Rt△CDF ，根据全等三角形的对应边相等得CE=CF， 用勾股定理建立方程，求出BF，进而根据三角形的面积计算方法算出△ACD的面积； ④如图，过点C作CF⊥AB于点F，再作∠BCF的角平分线，交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△BCD是“类直角三角形”；由角平分线的性质得DE=DF，进而根据三角形的面积公式算出答案.
18．【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
【分析】（1）利用角平分线的性质可证得CD=DE，利用HL证明△DCF≌△DEB；
（2）在AB上截取AG=AF，连接DG，利用角平分线的定义可证得∠DAF=∠DAG，利用SAS证明△DAF≌△DAG，利用全等三角形的性质可得到DF=DG，可推出BD=DG；利用等腰三角形的性质可证得BE=GE，由此可证得结论；
（3）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，利用全等三角形的性质可得到FC=BE，设BD=DF=x，可表示出CD的长，利用勾股定理表示出FC的长；同时可表示出AF，BE的长，根据AB-AF=2EB，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DF的长.
19．【答案】（1）证明：连接BD，DC，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=70°，
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC= ∠BDC=55°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°，
∴∠DCB=35°.
（3）20
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3） Rt△DMA≌Rt△DNA
设 ，AB＝8，AC＝4，DE＝3，
解得
即
在 中
4DN2﹣BC2
故答案为：20.
【分析】（1）连接BD，DC，由角平分线的性质可得DM=DN，由垂直平分线的性质可得DB=DC，证明Rt△DMB≌Rt△DNC，据此可得结论；
（2） 由全等三角形的性质可得：∠BDM=∠CDN，由角平分线的性质得DM=DN，证Rt△DMA≌Rt△DNA，得∠ADM=∠ADN，根据∠BAC的度数可得∠MDN、∠ADM、∠ADN的度数，由垂直平分线的性质可得DB=DC，则∠EDC=∠BDC=55°，然后根据余角的性质进行计算；
（3）由全等三角形的性质得AM=AN，推出BM=CN，设CN=BM=x，则BM=8-x，AN=4+x，由BM=CN得x，在Rt△CDE、Rt△CDN中，由勾股定理可得CD2=CN2+DN2=CE2+DE2，据此求解.
20．【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①利用HL证明Rt△BDA≌Rt△BDC， 得出∠BAC=∠BCA，再由角平分线的定义得到∠BAM=∠BAC，等量代换即可证明∠BAM=∠BCA；
（2）①作BH⊥AM于M，利用AAS证明△AHB≌△ADB，得出BH=BD，由S△ABP＝S△BQC， 得出 ，依此建立关于t的方程求解即可；②分两种情况讨论，即点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上，以及点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上，利用三角形全等得出AP=CQ，依此建立方程求解即可.
21．【答案】（1）证明：如图1，
∵点D是射线BC上一点，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠ACD．∵BF⊥AD，∴∠AFE＝90°．在Rt△AFE中，∠1＝90°－∠AEF，在Rt△BCE中，∠2＝90°－∠BEC，又∵∠AEF＝∠BEC，∴∠1＝∠2．又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴CD＝CE，∴BD＝BC+CD＝AC+CE．
（2）证明：如图2，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，
∴∠CHA＝∠CKB＝90°．同（1），∠1＝∠2．又∵AC＝BC，∴△AHC≌△BKC（AAS），∴CH＝CK．又∵CH⊥AF，CK⊥FE，∴点C在∠AFE的平分线上，即FC平分∠AFE．
（3）解：如图3，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，过点F作FM⊥AE于M．
同（1）（2）问，∠1＝∠2，CH＝CK．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD．又∵AC＝BC，
∴AC＝2CD．∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（ASA）．∴CD＝CE，又∵AC＝2CD，∴AC＝2CE．
∵S△ACF＝AF·CH＝AC·FM，S△CFE＝FE·CK＝CE·FM，
∴AF：FE＝AC：CE＝2CE：CE＝2，
∵BF⊥AD，
∴S△AFE＝AF·FE＝AF·AF＝36，∴AF＝12．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BCE＝∠ACD ，再求出 ∠1＝∠2 ，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】（1）证明： ∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴BC＝EF
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴BC//EF
∴∠FEG=∠CBG
在△EFG和△BCG中
∴△EFG≌△BCG （ASA）
∴EG＝BG
（2）解：成立. 证明如下：
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴∠ACB＝∠DFE＝90°
∵AF＝CD
∴AF－FC＝CD－FC
∴AC＝DF
在Rt△ABC和Rt△DFE中
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）
∴∠A＝∠D
在△DEG和△ABG中
∴△DEG≌△ABG （AAS）
∴EG＝BG
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由ASA证明出△EFG≌△BCG （ASA）得出EG＝BG；
（2）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由AAS证明出△DEG≌△ABG （AAS）得出EG＝BG.
23．【答案】（1）证明：①连接OC，
∵ CA⊥OM，CB⊥ON，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
在Rt△AOC和Rt△BOC中
∴Rt△AOC≌Rt△BOC（HL）
∴CA=BC；
②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，
∴∠BDO=∠AEO=∠ACB=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
在△AOE和△BOD中
∴△AOE≌△BOD（AAS）
∴OD=OE
在Rt△EOC和Rt△COD中
∴Rt△EOC≌Rt△COD（HL）
∴∠EOC=∠DOC，
∴ OC平分∠ACB .
（2）解：如图
∵垂线段最短，
∴当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，
∴过点P作OC的垂线段.
【知识点】垂线；垂线段最短；直角三角形全等的判定（HL）；作图-垂线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①连接OC，利用垂直的定义可证得∠CAO=∠CBO；再利用HL证明Rt△AOC≌Rt△BOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠BDO=∠AEO=∠ACB，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CEOD是矩形；利用余角的性质，可证得∠AOE=∠BOD，利用AAS证明△AOE≌△BOD，利用全等三角形的对应边相等，可证得OD=OE；利用HL证明Rt△EOC≌Rt△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（3）利用垂线段最短，可知当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，利用尺规作图，过点P作OC的垂线段即可.
24．【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC AH，
∴AB BD＋AG＝AC AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB BD＝25 10＝15，
∴△ADF的面积＝
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·福绵期末）如图，已知 于点 ， 于点 ，且 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的判定得出AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD=∠BAC=20°，从而求出∠CDA=70°，利用∠CDG=∠ADG-∠CDA，即可求解.
2．（2020八上·石屏期末）如图，点P到 、 、 的距离恰好相等，则点P的位置：①在 的平分线上；②在 的平分线上；③在 的平分线上；④恰好是 、 、 三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到BE，BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①符合题意；
∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②符合题意；
∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③符合题意；
∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④符合题意；
综上可得①②③④都符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平分线性质的逆定理分析，由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考。首先到两边距离相等，得出结论，另外两边得出结论，即可得出答案。
3．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
4．（2021八上·奉化期末）如图，在等腰△ 中， ， ，O是△ 外一点，O到三边的垂线段分别为 ， ， ，且 ，则 的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】解：连接OA，OB，OC，
由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，
∵OE=OF，
∴AO为∠BAC的角平分线，
又∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴AD为△ABC的中线，
∴A、D、O三点共线，
∴BD=3，
在Rt△ABD中，
AD= =4，
∴
∴12=10x+10x 3x，
∴x=
∴AO=4+ = .
故答案为：D.
【分析】由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OF=4x，根据OE=OF，得到AO为∠BAC的角平分线，再由三线合一得AO⊥BC，由勾股定理得AD=4，再根据 ，得到方程求解即可.
5．（2021八上·宁波期中）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20° B．140° C．40°或140° D．20°或140°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
如图，DF=DF′=DE；
∵BD平分∠ABC，
，
，
△BDE≌△BDF，
∴∠DFB=∠DEB；
∵DE∥AB，∠ABC=40°，
∴∠DEB=180° 40°=140°；
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°.
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥BC，DG⊥AB，由角平分线的性质可得DG=DH，证明△FDG≌△EDH，△BDG≌△BDH，得到GF=EH，BG=BH，进而推出BF=BE，证明△BDE≌△BDF，得到∠DFB=∠DEB，由平行线的性质可得∠DEB=140°，则∠DFB=140°；当点F位于点F′处时，DF=DF′，由等腰三角形的性质可得∠DF′B的度数.
6．（2021八上·南通月考）如图， 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点P， 于E， 于F，下列结论：（1） ；（2）点P在 的平分线上；（3） ；（4）若 ，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AB，连接 ，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA， ， ，PG⊥AB，
∴ ；故（1）正确；
∴点 在 的平分线上；故（2）正确；
，
，
，
，
，
，
又 ，
∴ ；故（3）错误；
， ，
，
，
，
，
∴正确的选项有3个；
故答案为：C.
【分析】过点P作PG⊥AB，连接OP，由角平分线的性质得到PE= PG=PF，则可判断(1) (2)；由HL证明△PAE≌△PAG，△GPB≌△FPB，得出∠EPA=∠GPA，∠GPB=∠FPB，进而推出∠APB=∠EPF，∠EPF+∠AOB= 180°，则可得到∠APB=90°-∠AOB，可对(3)作判断；根据C△OAB=OA+ OB+ AB=OE+OF=17和OE=OF，求出OE可对(4)作判断 ，即可作答.
7．（2021八上·孝感期末）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 相交于 交 的延长线于 于F，现有下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：连接BD、DC，
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ED=DF，
∴①正确；
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD=∠FAD=30°，
∵ DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED= AD，
同理：DF= ，
∴DE+DF=AD，
∴②正确；
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，
假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°，则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴ ∠EBM=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC是否等于90°不知道
∴不能判定MD平分∠ADF，
故③错误；
④∵ DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴ BE=FC，
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又∵AE=AF，BE=FC，
∴ AB+AC=2AE，
∴ 当AE=3时，AB+AC=6，
故④正确；
故答案为：C.
【分析】连接BD、DC，根据角平分线的性质可判断①的正误；根据角平分线的概念以及垂直的概念可求出∠EAD=30°，得到ED= AD，DF= ，据此可判断②的正误；假设MD平分∠ADF，可求出∠ABC=90°，据此可判断③的正误；证明Rt△BED≌Rt△CFD，推出 AB+AC=2AE，据此判断④的正误.
8．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC
∴DE=DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴S△ADE=S△ADH=
∴S△ADF= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADE=S△ADH列出方程求解即可.
9．（2020八上·黄石港期中）如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B.
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.利用同角的补角相等，可证得∠EPF=∠MPN，从而可推出∠EPM=∠FPN，利用角平分线的性质可得到PE=PF，利用HL证明Rt△POE≌Rt△POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF；再利用AAS证明△PEM≌△PFN，利用全等三角形的性质可证得EM=NF，PM=PN，可对①作出判断；利用全等三角形的面积相等，可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，可对④作出判断；再证明OM+ON=2OE，可对②作出判断；在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。
10．（2019八上·赛罕期中）如图所示， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为49，40，则 的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵DN⊥AC，
在Rt△DGN和Rt△DMN中，
∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL），
在Rt△DFA和Rt△DNA中，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL），
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9，
S△DNM=S△DEF= S△MDG= ×9=4.5．
故答案为：B.
【分析】根据题意作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，构造全等三角形利用全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质进行分析求解.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·彭州开学考）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰上的一点，则当△EDP为以DE为腰的等腰三角形时，∠EDP的度数是 .
【答案】34°或53.5°或100°或134°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，
∴∠EDB＝23°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝73°，
∴∠EDP1＝180°﹣73°﹣73°＝34°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝73°，
∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EDP2＝134°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣80°＝100°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝ （180°﹣73°）＝53.5°.
故答案为：34°或53.5°或100°或134°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠EDB＝23°，①当点P在AB上时，由等腰三角形的性质可得∠DP1E＝∠AED＝73°，然后利用三角形内角和定理进行求解；②当点P在AC上时，易得∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，证明Rt△DEG≌Rt△DP2H，得到∠AP2D＝∠AED＝73°，据此求解；③当点P在AC上时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH，得到∠EDG＝∠P3DH，据此求解；④当点P在AB上时，EP＝ED，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解.
12．（2021八上·江汉月考）如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ．
【答案】40°
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵平分，平分，
∴，，
又∵，，
∴
∴
∴
如图示，过P作于点，于点，延长线于点，
∵平分，平分，
∴，，
即
∴平分，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：40°．
【分析】过P作于点，于点，延长线于点，由角平分线的性质（角平分线上的点，到角的两边的距离相等）及判定（到角两边距离相等的点，在角的角平分线上）可得CP平分，进而可求解∠ACB的度数，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角的度数等于与它不相邻的两个内角的和）可推知∠APB=∠ACB，进而可求解.
13．（2021八上·余杭月考）如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①过点 作 于 ，
平分 ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
，
又∵ ， ，
CP平分∠ACF，故①正确；
②∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
同理： ，
，
，
， ，
，
，
，②正确；
③∵ ， ，
∴ ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
即 ，③正确；
④由②可知 ， ，
， ，
，故④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】过点P作PD⊥AC于D，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出 CP平分∠ACF ，据此判断①；证△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四边形内角和为360°求出∠ABC+∠MPN的度数，据此判断②；由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分线的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，据此判断③；由全等三角形的面积相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，据此判断④.
14．（2023七下·莲湖月考）如图，已知等边和等边，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM；下列结论：①；②；③BM平分；④，其中正确的有 （填序号）．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的应用；角平分线的判定
【解析】【解答】解： 和都是等边三角形，
，，，
，
， 正确；
，
，
，
，
，正确；
如图，作，，
，，，
，，
，
，
，
平分， 正确；
如图，在上截取，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，正确，
故答案为：.
【分析】利用手拉手模型证明三角形全等，进而得到对应边相等；
通过三角形的内角和求出角的度数；
分析题意作出合适的辅助线是解题关键，利用全等三角形的性质得到结论；
将BM进行分割构造手拉手全等模型是解题关键，利用全等三角形的性质得到线段的数量关系.
15．（2021八上·苏州月考）如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AD=AE；④PD=PE；⑤BD+CE=BC；其中正确的结论为 ．（填写序号）
【答案】①②④⑤
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB= （180°-∠BAC）= （180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，①正确；
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴PF =PH，PG=PH，
∴PF=PG，
∴AP是∠BAC的平分线，②正确；
∴PF=PG=PH，
∵∠BPC=120°，
∴∠DPE=120°，
∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，
∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD与△PGE中， ，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，④正确；
在Rt△BHP与Rt△BFP中， ，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，
∴BC=BD+CE，⑤正确；
没有条件得出AD=AE，③不正确；
故答案为：①②④⑤．
【分析】①由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC＋∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数；
②由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知PF=PG，进而根据角平分线的判定可得AP是∠BAC的平分线；
③没有条件可得AD=AE；
④∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，用角边角可得△PFD≌△PGE，根据全等三角形的性质可得PD＝PE；
⑤由题意用HL定理可得△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，则可得出BH＝BD＋DF，CH＝CE GE，再由DF＝EG可得BC＝BD＋CE．
16．（2021八上·武昌期中）如图，在 ABC中，AH是高，AE BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若 ，BH＝1，则BC＝ .
【答案】2.5
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，
∵EF⊥AB，AH⊥BC，
∴∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，
∵AE BC，
∴∠EAF＝∠B，
在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵BH＝1，
∴CH＝1.5，
∴BC＝BH＋CH＝2.5.
故答案为：2.5.
【分析】过E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，由垂直的概念得∠EFA＝∠AHB＝∠AHC＝90°，由平行线的性质得∠EAF＝∠B，证△ABH≌△EAF，△ACH≌△EDF，得AH=EF，S△ABH=S△EAF，S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，则S△ABH=2S△ADE，S△ACH=3S△ADE，结合三角形的面积公式可得，由BH的值可得CH，然后根据BC＝BH＋CH进行计算.
三、综合题（共8题，共66分）
17．（2022八上·宁波期末）定义：如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”.如图，在中，，，.请把这个三角形分割成两个三角形，使得其中一个为“类直角三角形”，并求出这个“类直角三角形”的面积.（备注：要求尺规作图）
【答案】解：∵ ， ， ，
∴AB= .
①如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠ABD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵BD平分∠ABC，BC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6，
∴AE=AB-BE=4，
在Rt△ADE中，AD=AC-CD=8-DE，根据勾股定理，得
AD2=DE2+AE2，
∴(8-DE)2=DE2+42，
解得DE=3，
∴S△ABD= ×AB DE= ×10×3=15；
∴这个“类直角三角形”的面积是15；
②如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可知：AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“类直角三角形”，
∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE=8，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BDE中，BD=BC-CD=6-DE，根据勾股定理，得
BD2=DE2+BE2，
∴(6-DE)2=DE2+22，
解得DE= ，
∴S△ABD= ×AB DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
③如图，过点D作DE⊥AC于点E，
根据题意可知：CD平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ACD，
∵∠A+∠ACF=90°，
∴∠A+2∠ACD=90°，
∴△ACD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠ACF，DE⊥AC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF，
∵BC2-BF2=AC2-AF2，
∴62-BF2=82-(10-BF)2，
解得BF= ，
∵ ，
∴CF= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴DE= ，
∴S△ACD= ×AC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
④如图，过点D作DE⊥BC于点E，由③知，CF= ，BF= ，
根据题意可知：CD平分∠BCF，
∴∠BCF=2∠BCD，
∵∠B+∠BCF=90°，
∴∠B+2∠BCD=90°，
∴△BCD是“类直角三角形”，
∵CD平分∠BCF，DE⊥BC，DF⊥CF，
∴DE=DF，
∵ ，
∴ ，
∴DE= ，
∴S△BCD= ×BC DE= ；
∴这个“类直角三角形”的面积是 .
综上可知，这个“类直角三角形”的面积是15或 或 或 .
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】首先由勾股定理算出AB的长， ①如图，作∠CBA的角平分线交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E， 根据“类直角三角形”的定义易得△ABD是“类直角三角形”；根据角平分线的性质得DC=DE，从而利用HL判断Rt△BCD≌Rt△BED ，根据全等三角形的对应边相等得BC=BE=6， 在Rt△ADE中 ，用勾股定理建立方程，求出DE，进而根据三角形的面积计算方法算出△ABD的面积； ②如图，作∠CAB的角平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△ABD是“类直角三角形”；由角平分线的性质得DC=DE，从而利用HL判断Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得 AC=AE=8， 在Rt△BDE中， 用勾股定理建立方程，求出DE，进而根据三角形的面积计算方法算出△ABD的面积； ③如图，过点C作CF⊥AB于点F，再作∠ACF的角平分线，交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△ACD是“类直角三角形”；根据角平分线的性质得DF=DE，从而利用HL判断Rt△CDE≌Rt△CDF ，根据全等三角形的对应边相等得CE=CF， 用勾股定理建立方程，求出BF，进而根据三角形的面积计算方法算出△ACD的面积； ④如图，过点C作CF⊥AB于点F，再作∠BCF的角平分线，交AB于点D，过点D作DE⊥BC于点E，根据“类直角三角形”的定义易得△BCD是“类直角三角形”；由角平分线的性质得DE=DF，进而根据三角形的面积公式算出答案.
18．（2021八上·江汉期中）如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
【分析】（1）利用角平分线的性质可证得CD=DE，利用HL证明△DCF≌△DEB；
（2）在AB上截取AG=AF，连接DG，利用角平分线的定义可证得∠DAF=∠DAG，利用SAS证明△DAF≌△DAG，利用全等三角形的性质可得到DF=DG，可推出BD=DG；利用等腰三角形的性质可证得BE=GE，由此可证得结论；
（3）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，利用全等三角形的性质可得到FC=BE，设BD=DF=x，可表示出CD的长，利用勾股定理表示出FC的长；同时可表示出AF，BE的长，根据AB-AF=2EB，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DF的长.
19．（2021八上·宁波期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N.
（1）证明：BM＝CN.
（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数；
（3）若AB＝8，AC＝4，DE＝3，则4DN2﹣BC2的值为 .
【答案】（1）证明：连接BD，DC，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=70°，
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=110°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC= ∠BDC=55°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°，
∴∠DCB=35°.
（3）20
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（3） Rt△DMA≌Rt△DNA
设 ，AB＝8，AC＝4，DE＝3，
解得
即
在 中
4DN2﹣BC2
故答案为：20.
【分析】（1）连接BD，DC，由角平分线的性质可得DM=DN，由垂直平分线的性质可得DB=DC，证明Rt△DMB≌Rt△DNC，据此可得结论；
（2） 由全等三角形的性质可得：∠BDM=∠CDN，由角平分线的性质得DM=DN，证Rt△DMA≌Rt△DNA，得∠ADM=∠ADN，根据∠BAC的度数可得∠MDN、∠ADM、∠ADN的度数，由垂直平分线的性质可得DB=DC，则∠EDC=∠BDC=55°，然后根据余角的性质进行计算；
（3）由全等三角形的性质得AM=AN，推出BM=CN，设CN=BM=x，则BM=8-x，AN=4+x，由BM=CN得x，在Rt△CDE、Rt△CDN中，由勾股定理可得CD2=CN2+DN2=CE2+DE2，据此求解.
20．（2022七下·张家港期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
（1）求证：；
（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①利用HL证明Rt△BDA≌Rt△BDC， 得出∠BAC=∠BCA，再由角平分线的定义得到∠BAM=∠BAC，等量代换即可证明∠BAM=∠BCA；
（2）①作BH⊥AM于M，利用AAS证明△AHB≌△ADB，得出BH=BD，由S△ABP＝S△BQC， 得出 ，依此建立关于t的方程求解即可；②分两种情况讨论，即点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上，以及点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上，利用三角形全等得出AP=CQ，依此建立方程求解即可.
21．（2022七下·香坊期末）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是射线BC上一点，连接AD，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF、AC交于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC的延长线上时，求证：AC＋CE＝BD；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点D是BC的中点，△AFE的面积为36，求AF的长．
【答案】（1）证明：如图1，
∵点D是射线BC上一点，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠ACD．∵BF⊥AD，∴∠AFE＝90°．在Rt△AFE中，∠1＝90°－∠AEF，在Rt△BCE中，∠2＝90°－∠BEC，又∵∠AEF＝∠BEC，∴∠1＝∠2．又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（ASA），∴CD＝CE，∴BD＝BC+CD＝AC+CE．
（2）证明：如图2，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，
∴∠CHA＝∠CKB＝90°．同（1），∠1＝∠2．又∵AC＝BC，∴△AHC≌△BKC（AAS），∴CH＝CK．又∵CH⊥AF，CK⊥FE，∴点C在∠AFE的平分线上，即FC平分∠AFE．
（3）解：如图3，过点C分别作CH⊥AF于点H，CK⊥BE于点K，过点F作FM⊥AE于M．
同（1）（2）问，∠1＝∠2，CH＝CK．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD．又∵AC＝BC，
∴AC＝2CD．∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝180°－∠ACB＝180°－90°＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（ASA）．∴CD＝CE，又∵AC＝2CD，∴AC＝2CE．
∵S△ACF＝AF·CH＝AC·FM，S△CFE＝FE·CK＝CE·FM，
∴AF：FE＝AC：CE＝2CE：CE＝2，
∵BF⊥AD，
∴S△AFE＝AF·FE＝AF·AF＝36，∴AF＝12．
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠BCE＝∠ACD ，再求出 ∠1＝∠2 ，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式计算求解即可。
22．（2021八上·抚顺期末）如图①，C、F分别为线段AD上的两个动点，BC⊥AD，垂足为C，EF⊥AD，垂足为F，且AB==DE，AF=CD，点G是AD与BE 的交点.
（1）求证∶
BG=EG;
（2）当C、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立 若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明： ∵BC⊥AD，EF⊥AD，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在Rt△ABC和Rt△DFE中，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
∴BC＝EF
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴BC//EF
∴∠FEG=∠CBG
在△EFG和△BCG中
∴△EFG≌△BCG （ASA）
∴EG＝BG
（2）解：成立. 证明如下：
∵BC⊥AD，EF⊥AD
∴∠ACB＝∠DFE＝90°
∵AF＝CD
∴AF－FC＝CD－FC
∴AC＝DF
在Rt△ABC和Rt△DFE中
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）
∴∠A＝∠D
在△DEG和△ABG中
∴△DEG≌△ABG （AAS）
∴EG＝BG
【知识点】三角形全等的判定；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的应用
【解析】【分析】（1）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由ASA证明出△EFG≌△BCG （ASA）得出EG＝BG；
（2）由HL证明出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）得出BC＝EF，由AAS证明出△DEG≌△ABG （AAS）得出EG＝BG.
23．（2022七下·海陵期末）如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上，点C在∠MON内部．
（1）若OA=OB，
①如图1，若CA⊥OM，CB⊥ON．求证：CA=CB．
②如图2，若∠ACB=90°．求证：OC平分∠ACB．
（2）如图3，点A、B 分别在射线OM、ON上运动，点C随之运动，且∠ACB=90°，AC=BC．P为OM上一定点，当点C运动到何处时，PC的长度最短？
请用尺规作图作出PC最短时C点的位置（保留作图痕迹，不要写作法），并请简要说明理由．
【答案】（1）证明：①连接OC，
∵ CA⊥OM，CB⊥ON，
∴∠CAO=∠CBO=90°，
在Rt△AOC和Rt△BOC中
∴Rt△AOC≌Rt△BOC（HL）
∴CA=BC；
②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，
∴∠BDO=∠AEO=∠ACB=90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
在△AOE和△BOD中
∴△AOE≌△BOD（AAS）
∴OD=OE
在Rt△EOC和Rt△COD中
∴Rt△EOC≌Rt△COD（HL）
∴∠EOC=∠DOC，
∴ OC平分∠ACB .
（2）解：如图
∵垂线段最短，
∴当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，
∴过点P作OC的垂线段.
【知识点】垂线；垂线段最短；直角三角形全等的判定（HL）；作图-垂线；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①连接OC，利用垂直的定义可证得∠CAO=∠CBO；再利用HL证明Rt△AOC≌Rt△BOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；②连接OC，过点O作OD⊥CB交CB的延长线于点D，OE⊥AC于点E，利用垂直的定义可证得∠BDO=∠AEO=∠ACB，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形CEOD是矩形；利用余角的性质，可证得∠AOE=∠BOD，利用AAS证明△AOE≌△BOD，利用全等三角形的对应边相等，可证得OD=OE；利用HL证明Rt△EOC≌Rt△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（3）利用垂线段最短，可知当点C运动到CP⊥OA于点P时，PC的长最短，利用尺规作图，过点P作OC的垂线段即可.
24．（2021八上·余杭月考）在 中， .
（1）如图1、求证： ：
（2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作 于点E，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，连接AF，若 AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10 ，求 的面积
【答案】（1）证明：过点A作 于点 ，
，
，
在 和 中，
（2）证明： ，
，
为 中点，
在 和 中，
（3）解：过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵FH⊥AC，FG⊥DG，
∴∠FHA＝∠FHC＝∠G＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠GAF＝∠B，∠HAF＝∠ACB，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠GAF＝∠HAF，
∵FG⊥BA，FH⊥AC，
∴FG＝FH，
在Rt△AGF和Rt△AHF中，
∴Rt△AGF≌Rt△AHF（HL），
∴AG＝AH，
在Rt△GDF和Rt△HCF中，
∴Rt△GDF≌Rt△HCF（HL），
∴GD＝HC，
∴AD＋AG＝AC AH，
∴AB BD＋AG＝AC AH，
∵AB＝AC，AG＝AH，
∴2AH＝BD，
∵BD＝10，
∴AH＝AG＝5，
∵CH＝20，
∴AB＝AC＝AH＋CH＝5＋20＝25，
∵BD＝10，
∴AD＝AB BD＝25 10＝15，
∴△ADF的面积＝
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂直的概念可得∠AMB=∠AMC=90°，利用“HL”证明△AMB≌△AMC，据此可得结论；
（2）由垂直的概念可得∠FED=∠FEC=90°，由线段中点的概念可得DE=CE，利用“SAS”证明△FED≌△FEC，据此可得结论；
（3）过点F作FG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用平行线的性质及等腰三角形的性质可证得∠GAF＝∠HAF，利用角平分线的性质可得到FG＝FH，利用HL证明Rt△AGF≌Rt△AHF，利用全等三角形的性质可推出AG＝AH；再利用HL证明Rt△GDF≌Rt△HCF，可得到GD=HC；再证明2AH＝BD，可求出AH的长，即可得到GF的长；由此可求出AC的长，即可得到AB的长；根据AD＝AB BD，可求出AD的长；然后利用三角形的面积公式求出△ADF的面积.
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