2023年浙教版数学八年级上册第二章 特殊三角形 章末检测（A卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·宝应期中）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·宝应期中）如图，，平分，D是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·长春期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2022八上·曹县期中）如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·河北期末）如图所示，已知，点P在边OA上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
7．（2023八上·慈溪期末）如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
8．（2021八上·运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022八上·江岸开学考）工人师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，是任意一个角，在、上分别取点、，使，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，则过角尺的顶点的射线便是的平分线．其依据是（ ）
A． B． C． D．或
10．（2022八上·南海期中）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）
A．9 B．13 C．14 D．
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022八上·义乌月考）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
12．（2023八上·宁波期末）若等腰三角形中有两边长分别是3和6，则这个三角形的周长为 .
13．（2022八上·仪征月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，垂足分别为EF，则下列结论：①BD＝CD；②△BDE≌△CDF；③DE＝PE；④△BCP是等腰三角形．其中正确的有 ．（填序号）
14．（2022八上·灌阳期中）如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，△POQ是等边三角形．
15．（2022八上·宛城月考）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ，该逆命题为 命题（填“真”或“假”）.
16．（2022八上·吴兴期中）如图，在中，斜边上的中线CD=5，则 ．
三、作图题（共6分）
17．（2023八上·凤翔期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上.
（ 1 ）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（ 2 ）在y轴上作点D，使得AD＋BD最小，并求出最小值.
四、解答题（共6题，共63分）
18．（2020八上·高邑期末）某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线 的距离分别为 ， ， ，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．
19．（2022八上·北仑期中）两种不同的方法证明已知，如图，在的边上，，，
求证：.
方法一： ；
方法二： .
20．（2022八上·冠县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
21．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
22．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
23．（2022八上·宝应期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，．
（1）求证：为线段的中点．
（2）若，求的度数．
24．（2022八上·杭州期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°．点D在边AB上，AD＝AC，过点D作PD⊥AB交BC于点P．
（1）求证：点P在∠BAC的角平分线上；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PC的长．
25．（2022八上·榆树期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.据此判断A选项中的图形是轴对称图形；B、C、D选项中的图形不是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】此题根据轴对称图形的概念判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CB平分∠ACE，∠ACE=110°
∴∠BCE=∠BCA=55°
∵CE//AB
∴∠BCE=∠B=55°
∴∠BCA=∠B=55°
∴AC=AB
∵D为BC中点
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°
∴∠DAB=180°-∠B-∠ADB=180°-55°-90°=35°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以得出∠BCA=∠B=55°，从而得到AB=AC，再由点D是BC中点，跟等腰三角形三线合一的性质可知∠ADB=90°，最后根据∠DAB=180°-∠B-∠ADB，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
网格中满足条件的点C的个数为6个，
故答案为：B．
【分析】根据题意作图即可。
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：D．
【分析】先证明是等边三角形，可得，可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【解答】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，AD是角平分线，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵点E为中点，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BC=6，AD⊥BC，利用勾股定理求出AC的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AC，据此计算.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A选项不能证明勾股定理；
B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ；
C、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ；
D、通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ．
故答案为：A．
【分析】根据几何面积的不同表示方法即可得到表达式，根据此方法逐项判断即可。
9．【答案】C
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解： 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、 N重合，
，
在△OMP和△ONP中，
，
∴△OMP≌△ONP（SSS）
，
即OP是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】由题意可得PM=PN，结合OM=ON，利用SSS证明△OMP≌△ONP，得到∠MOP=∠NOP，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为，
恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为，宽为5，
∴，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故答案为：B．
【分析】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可。
11．【答案】5cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△MNP的周长等于P1P2＝5cm．
故答案为：5cm．
【分析】根据轴对称的性质得PM＝P1M，PN＝P2N，进而根据三角形周长的计算方法、相等的和差及等量代换即可得出答案.
12．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若3为腰，，不满足构成三角形的条件；
②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为.
故答案为15.
【分析】分3为腰、6为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
13．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，故①正确，
∴BP＝CP，
∴△BPC是等腰三角形，∠PBD＝∠PCD，故④正确，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），故②正确，
由题意无法证明DE＝PE，故③错误.
故答案为：①②④.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，BP＝CP，推出△BPC是等腰三角形，据此判断①④；根据全等三角形的判定定理可判断②.
14．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解： △POQ是等边三角形，∠AOB=60°
∴P在OB上，且OP=OQ
由题意得：OP=2t-6，OQ=t，
解得：
即当t=6s时，△POQ是等边三角形.
故答案为：6.
【分析】由于∠AOB=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得当OP=OQ时，△POQ是等边三角形，此时P在OB上，利用路程=速度×时间，可得OP=2t-6，OQ=t，从而奖励方程，求解即可.
15．【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形.
因为符合三角形内角和定理，故是真命题.
故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真.
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出原命题的逆命题，进而根据三角形的内角和定理及直角三角形的判定方法就可判断其真假.
16．【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5，
∴AB=2CD=10.
故答案为：10.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，即可求解.
17．【答案】解：（1）如图所示，
点A1的坐标是（2，﹣4）；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴交于点D，则此时AD＋BD最小，
∵AB′＝，
∴AD＋BD最小值是3.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接可得所求△A1B1C1，进而根据点A1的位置读出其坐标即可；
（2） 作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴交于点D，则此时AD＋BD最小为AB'，进而根据勾股定理计算出AB'即可.
18．【答案】解：作点B关于 的对称点C，连接 交 于点Q，则点Q为所建的出口；
此时A、B两城镇到出口Q的距离之和最短，最短距离为 的长．
作 于D，则 ，AE⊥MN，BF⊥MN
∴四边形AEFD为矩形
∴ ，
在 中， ， ，
∴由勾股定理得：
∴这个最短距离为 ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据题意求出AD=12，CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。
19．【答案】解：证法一：，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
证法二：过点作于，
，，
，
，，
，
，即，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】 证法一： 根据ASA证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE； 证法二：过点作于， 由等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，DF=EF，从而得出 ，即.
20．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用等边三角形的判定方法求解即可。
21．【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
22．【答案】解：连接AC，
∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，
，
是直角三角形且，
∴
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
23．【答案】（1）证明：连接AE ，如图所示，
∵EF垂直平分AB ，
，
，
，
△ACE是等腰三角形，
，
∴D是EC的中点，
（2）解：设 ；
，
，
，
，
，
在三角形ABC中， ，
解得 ，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，结合已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一可得ED=CD，即点D为CE的中点；
（2）设∠B=x°，由等边对等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等边对等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理建立方程，可求出x的值，从而得到答案.
24．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，PD⊥AB，
∴∠C=∠PDA=90°，
又∵AD=AC，PA=PA，
∴Rt△CPA≌Rt△DPA（HL），
∴PC=PD，
∴PA平分∠DAC，
∴点P在∠BAC的角平分线上.
（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
又∵AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
设PC=x，则PD=x，BP=8-x，
∴在Rt△BDP中，BP2=BD2+PD2，
∴（8-x）2=16+x2，
解得x=3，
∴PC=3.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”定理证明Rt△CPA≌Rt△DPA，得到PC=PD，再根据角平分线的判定定理，即在角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上，即可证明结论；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而求得BD的长，设PC=x，则PD=x，BP=8-x，在Rt△BDP中，利用勾股定理得：BP2=BD2+PD2，即（8-x）2=16+x2，解之即可求解.
25．【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AC×BC=AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）解：在Rt△BDC中，BD= =16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册第二章 特殊三角形 章末检测（A卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·宝应期中）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形.据此判断A选项中的图形是轴对称图形；B、C、D选项中的图形不是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】此题根据轴对称图形的概念判断即可.
2．（2022八上·宝应期中）如图，，平分，D是的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CB平分∠ACE，∠ACE=110°
∴∠BCE=∠BCA=55°
∵CE//AB
∴∠BCE=∠B=55°
∴∠BCA=∠B=55°
∴AC=AB
∵D为BC中点
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°
∴∠DAB=180°-∠B-∠ADB=180°-55°-90°=35°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以得出∠BCA=∠B=55°，从而得到AB=AC，再由点D是BC中点，跟等腰三角形三线合一的性质可知∠ADB=90°，最后根据∠DAB=180°-∠B-∠ADB，即可求解.
3．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
4．（2021八上·长春期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图：
网格中满足条件的点C的个数为6个，
故答案为：B．
【分析】根据题意作图即可。
5．（2022八上·曹县期中）如图，中，，，D是边上一点，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：D．
【分析】先证明是等边三角形，可得，可得，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
6．（2022八上·河北期末）如图所示，已知，点P在边OA上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【解答】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．（2023八上·慈溪期末）如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ）
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，AD是角平分线，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵点E为中点，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得CD=BC=6，AD⊥BC，利用勾股定理求出AC的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AC，据此计算.
8．（2021八上·运城期中）图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A选项不能证明勾股定理；
B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ；
C、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ；
D、通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式 ，可得 ．
故答案为：A．
【分析】根据几何面积的不同表示方法即可得到表达式，根据此方法逐项判断即可。
9．（2022八上·江岸开学考）工人师傅常用角尺平分任意一个角，做法如下：如图，是任意一个角，在、上分别取点、，使，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，则过角尺的顶点的射线便是的平分线．其依据是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解： 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、 N重合，
，
在△OMP和△ONP中，
，
∴△OMP≌△ONP（SSS）
，
即OP是∠AOB的角平分线.
故答案为：C.
【分析】由题意可得PM=PN，结合OM=ON，利用SSS证明△OMP≌△ONP，得到∠MOP=∠NOP，据此解答.
10．（2022八上·南海期中）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）
A．9 B．13 C．14 D．
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为，
恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为，宽为5，
∴，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故答案为：B．
【分析】将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出AB的长即可。
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022八上·义乌月考）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为 ．
【答案】5cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△MNP的周长等于P1P2＝5cm．
故答案为：5cm．
【分析】根据轴对称的性质得PM＝P1M，PN＝P2N，进而根据三角形周长的计算方法、相等的和差及等量代换即可得出答案.
12．（2023八上·宁波期末）若等腰三角形中有两边长分别是3和6，则这个三角形的周长为 .
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若3为腰，，不满足构成三角形的条件；
②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为.
故答案为15.
【分析】分3为腰、6为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
13．（2022八上·仪征月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，垂足分别为EF，则下列结论：①BD＝CD；②△BDE≌△CDF；③DE＝PE；④△BCP是等腰三角形．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，故①正确，
∴BP＝CP，
∴△BPC是等腰三角形，∠PBD＝∠PCD，故④正确，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），故②正确，
由题意无法证明DE＝PE，故③错误.
故答案为：①②④.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，BP＝CP，推出△BPC是等腰三角形，据此判断①④；根据全等三角形的判定定理可判断②.
14．（2022八上·灌阳期中）如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，△POQ是等边三角形．
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解： △POQ是等边三角形，∠AOB=60°
∴P在OB上，且OP=OQ
由题意得：OP=2t-6，OQ=t，
解得：
即当t=6s时，△POQ是等边三角形.
故答案为：6.
【分析】由于∠AOB=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得当OP=OQ时，△POQ是等边三角形，此时P在OB上，利用路程=速度×时间，可得OP=2t-6，OQ=t，从而奖励方程，求解即可.
15．（2022八上·宛城月考）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ，该逆命题为 命题（填“真”或“假”）.
【答案】如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形.
因为符合三角形内角和定理，故是真命题.
故答案为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形；真.
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出原命题的逆命题，进而根据三角形的内角和定理及直角三角形的判定方法就可判断其真假.
16．（2022八上·吴兴期中）如图，在中，斜边上的中线CD=5，则 ．
【答案】10
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD=5，
∴AB=2CD=10.
故答案为：10.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，即可求解.
三、作图题（共6分）
17．（2023八上·凤翔期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上.
（ 1 ）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（ 2 ）在y轴上作点D，使得AD＋BD最小，并求出最小值.
【答案】解：（1）如图所示，
点A1的坐标是（2，﹣4）；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴交于点D，则此时AD＋BD最小，
∵AB′＝，
∴AD＋BD最小值是3.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接可得所求△A1B1C1，进而根据点A1的位置读出其坐标即可；
（2） 作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴交于点D，则此时AD＋BD最小为AB'，进而根据勾股定理计算出AB'即可.
四、解答题（共6题，共63分）
18．（2020八上·高邑期末）某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线 的距离分别为 ， ， ，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．
【答案】解：作点B关于 的对称点C，连接 交 于点Q，则点Q为所建的出口；
此时A、B两城镇到出口Q的距离之和最短，最短距离为 的长．
作 于D，则 ，AE⊥MN，BF⊥MN
∴四边形AEFD为矩形
∴ ，
在 中， ， ，
∴由勾股定理得：
∴这个最短距离为 ．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】根据题意求出AD=12，CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。
19．（2022八上·北仑期中）两种不同的方法证明已知，如图，在的边上，，，
求证：.
方法一： ；
方法二： .
【答案】解：证法一：，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
证法二：过点作于，
，，
，
，，
，
，即，
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】 证法一： 根据ASA证明△ABD≌△ACE，可得BD=CE； 证法二：过点作于， 由等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，DF=EF，从而得出 ，即.
20．（2022八上·冠县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：为等边三角形．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用等边三角形的判定方法求解即可。
21．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
22．（2023八上·渭滨期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接AC，
∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，
，
是直角三角形且，
∴
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】连接AC，由勾股定理可求出AC的值，根据勾股定理逆定理知△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD结合三角形的面积公式进行计算.
23．（2022八上·宝应期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，于，．
（1）求证：为线段的中点．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：连接AE ，如图所示，
∵EF垂直平分AB ，
，
，
，
△ACE是等腰三角形，
，
∴D是EC的中点，
（2）解：设 ；
，
，
，
，
，
在三角形ABC中， ，
解得 ，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AE，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，结合已知可得AE=AC，进而根据等腰三角形的三线合一可得ED=CD，即点D为CE的中点；
（2）设∠B=x°，由等边对等角得∠BAE=∠B=x°，由三角形外角性质得∠AEC=∠B+∠BAE=2x°，再由等边对等角得∠C=∠AEC=2x°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理建立方程，可求出x的值，从而得到答案.
24．（2022八上·杭州期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°．点D在边AB上，AD＝AC，过点D作PD⊥AB交BC于点P．
（1）求证：点P在∠BAC的角平分线上；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵∠C=90°，PD⊥AB，
∴∠C=∠PDA=90°，
又∵AD=AC，PA=PA，
∴Rt△CPA≌Rt△DPA（HL），
∴PC=PD，
∴PA平分∠DAC，
∴点P在∠BAC的角平分线上.
（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
又∵AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
设PC=x，则PD=x，BP=8-x，
∴在Rt△BDP中，BP2=BD2+PD2，
∴（8-x）2=16+x2，
解得x=3，
∴PC=3.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”定理证明Rt△CPA≌Rt△DPA，得到PC=PD，再根据角平分线的判定定理，即在角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上，即可证明结论；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长，从而求得BD的长，设PC=x，则PD=x，BP=8-x，在Rt△BDP中，利用勾股定理得：BP2=BD2+PD2，即（8-x）2=16+x2，解之即可求解.
25．（2022八上·榆树期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【答案】（1）解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
152+202=252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∵AC×BC=AB×CD，
∴CD=AC×BC÷AB=12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）解：在Rt△BDC中，BD= =16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程=CD+BD=12+16=28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，再结合三角形的面积求出CD的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BD的长，再利用线段的和差求解即可。
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