2023年浙教版数学八年级上册3.4 一元一次不等式组 同步测试（培优版）

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2023年浙教版数学八年级上册3.4 一元一次不等式组 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·齐齐哈尔模拟）闻宏商店计划用不超过元的货款，购进、两种单价分别为元、元的商品共件，据市场行情，销售、商品各一件分别可获利元、元，两种商品均售完若所获利润大于元，则该商店进货方案有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（2023·凤庆模拟）若关于x的不等式组有且只有7个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·佳木斯模拟）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
4．（2023·鄂州模拟）已知不等式组的解集是，则的值是的(　　)
A．-2 B．4 C．2 D．-4
5．（2023·旌阳模拟）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A．6 B．10 C．11 D．15
6．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．24 B．12 C．6 D．4
7．（2023八上·安顺期末）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是（　　）
A．-2 B．0 C．3 D．5
8．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
9．（2021八上·金东期中）不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（　　）
A．2 B．3 C． D．8
二、填空题（每空4分，共24分）
11．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是　 　．
12．（2023·龙岗模拟）定义新运算“”，规定：，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　 　.
13．（2022·绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
14．（2021·重庆模拟）经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液.已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支.脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶.在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费　 　元.
15．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是　 　元．
16．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023八下·平遥期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式 的解集．
小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式解集为或．请你仿照上述方法，求不等式的的解集．
18．深化理解：
新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+ ，则＜x＞=n；
反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣ ≤x＜n+ ．
例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=　 　（π为圆周率）； ②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为　 　．
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围．
（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数x的值．
19．（2023八下·惠来期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式.
解∵，∴，可化为.
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①，②
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
∴的解集为或
即一元二次不等式的解集为x>2或.
（1）一元二次不等式的解集为　 　；
（2）试解一元二次不等式；
（3）试解不等式.
20．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
21．（2020八上·重庆开学考）对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
22．（2022·乐清模拟）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元.某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根.
规格 A型 B型 C型
单价（元/条） 4 6 9
（1）求三种型号跳绳的长度.
（2）若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量.
（3）若购买的跳绳长度总长度不少于100米，则A型跳绳最多买几条？
23．（2021八上·来宾期末）某中学在某商场购进 ， 两种品牌的足球，已知 品牌的足球每个50元， 品牌的足球每个80元.
（1）若购买 品牌足球的数量是 品牌足球数量的2倍，购买 品牌足球比购买 品牌足球多花500元.求购买 品牌足球和购买 品牌足球分别花了多少元？
（2）该中学为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次从该商场购进 ， 两种品牌足球共50个，此时恰逢商场对这两种品牌足球的售价进行调整， 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%， 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果该中学此次购买这两种品牌足球的总费用不超过3240元，且 品牌足球的数量比 品牌足球的数量多，那么该中学此次购买足球有多少种方案，哪种方案费用最少？
24．（2022八上·余姚期中）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　；
（3）活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购进商品件，购进商品件，
，解得，
，
是正整数，
，
故有5种方案，
故答案为：B.
【分析】先根据条件所给不等量关系列出不等式组，解得解集后求出x的整数解即可得到方案.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤4，
解②得，
∵关于x的不等式组有且只有7个整数解，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先分别解出不等式①和②，再结合题意即可得到，进而即可求解。
3．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购买x本A种笔记本，
当购买4本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x≤，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，7，
∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案；
当购买5本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x≤，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，
∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案；
当购买6本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x ≤5，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，
∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案；
当购买7本B种笔记本时， 可得：，
不等式组无解，即不存在该种情况，
综上所述，购买方案共有4+3+2=9（种），
故答案为：C.
【分析】根据题意找出数量关系，列出一元一次不等式组求解即可。
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x-a<1可得x<，
解不等式x-2b>3可得x>2b+3，
∴不等式组的解集为2b+3∵不等式组的解集为-1∴2b+3=-1，=1，
∴a=1，b=-2，
∴(a+1)(b+1)=(1+1)(-2+1)=2×(-1)=-2.
故答案为：A.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合题意可得关于a、b的方程，求出a、b的值，然后代入进行计算.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于y的分式方程的解为非负数解，
∴，
∴且，
∴综上所述，且，
∴满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数m的和为，
故答案为：B.
【分析】解不等式①得，解不等式②得，由于原不等式组有解且至多有3个整数解，可得，即得，解分式方程可得，由分式方程的解为非负数解，可得，据此可求出m的整数解，再相加即可.
6．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式 ≤1，得：x≤m+3，
解不等式x-4＞3（x-2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得m≥-2，
解分式方程，得：x=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
∴-2≤m＜3且m≠2，
∴所有符合条件的整数m的值之和=-2-1+0+1＝-2．
故答案为：A．
【分析】先解不等式组解集，根据不等式组的解集为x＜1，确定出m的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，确定出满足条件m范围，再把符合条件的整数m的值求和即可．
8．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
9．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】当a>0时，不等式组的解集为：≤x≤-1a，此时不等式组没有正整数解；当a<0时，不等式组的解集为-1a≤x≤-5a，结合不等式组的整数解可得0<-1a≤1、4≤-5a<5，联立可得a的范围.
10．【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
11．【答案】-3
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】由，可得x>-2.5，
由x+a≤3，可得x≤3-a，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤3-a，
∵一元一次不等式组至少有2个整数解，
∴3-a≥-1，
∴a≤4，
∵，
∴，
∵分式方程的解是正整数，
∴且，
解得：a＞-3且a≠1，
∵分式方程的解是正整数，
∴a的值为-1或3，
∴所有满足条件的整数a的值之积是（-1）×3=-3，
故答案为：-3.
【分析】先求出不等式组的解集，再求出a≤4，再结合分式方程的解为正整数可得a＞-3且a≠1，从而可得a的值为-1或3，最后求出答案即可。
12．【答案】a≤2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】根据 ，可将 的不等式组 转变为 ，解得，由于该不等式组的解集为 ，所以，即a≤2。
【分析】根据定义新运算的法则进行分析。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥-3+m，
解不等式②得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴-3+m≥2
解之：m≥5
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集，然后求出的取值范围.
14．【答案】1320
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元，
则士力架的单价为22-10-m=（12-m）元，
依题意，得：x（12-m）+ym-160=xm+y（12-m），
整理，得： ，
∵x≤ y，x≥30，则y≥2x，
∴ ，
又∵x，y，m均为正整数，
∴m-6=1或m-6=2，
∴m=7或m=8，
∵x+y+50≤200，
∴x+y≤150，
当m=7时，12-m=5， ，
∴ ，
∴30≤x≤35，
此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+35×7+5×（35+80）=1320元，
当m=8时，12-m=4， ，
∴ ，
∴30≤x≤40，
此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+40×8+4×（40+40）=1140元，
∴实际购买这三种书最多需要花费1320元.
故答案为：1320.
【分析】设购买脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元，依据实际购买时，总费用比预算多了160元列出方程，化简得到 ，根据题中不等关系得到m值，分情况讨论，由购买三种物品数量总共不超过200及x，y之间的关系，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，利用总价=单价×数量求出此时实际购买三种物品花费最多的费用.
15．【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
16．【答案】175
【知识点】解一元一次不等式组；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n.
17．【答案】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得
① 或② ，
解不等式组①可得不等式组无解，
解不等式组②得 ，
综上所述，原不等式的解集为 ．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】本题考查多项式相乘积的正负问题，根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负"，把多项式的积拆解成两个多项式同号或异号，注意要考虑全面。题目中，两个多项式相乘积为负，说明两个多项式，一正一负，所以有两种情况。
18．【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5
（2）解：解不等式组得：﹣1≤x＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a≤2.5
（3）解：∵x≥0， x为整数，
设 x=k，k为整数，则x= k，
∴＜ k＞=k，
∴k﹣ ≤ k＜k+ ，k≥o，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0， ，
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x﹣1＞=3，
∴2.5≤x﹣1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
【分析】(1)根据题意“四舍五入”即可求解。
(2)首先解不等式组，再根据题意求出a的取值范围。
(3)根据题意得x≥0， x为整数，设 x=k且k为整数，等量代换求出k值，从而求出x的值。
19．【答案】（1）或
（2）解：∵，∴可化为.
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴的解集为或，
∴一元二次不等式的解集为或；
（3）解：由有理数的乘法法则：两数相乘.异号得负，得：①②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，不等式组无解，
∴不等式的解集为.
【知识点】因式分解的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：∵x2-9=（x+3)(x-3）
∴x2-9＞0，可化为（x+3)(x-3）＞0
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①， ②
解不等式组①，得，解不等式组②，得
即一元二次不等式x2-9＞0的解集为或；
故正确答案为或.
【分析】（1）先将原式因式分解，然后分类讨论即可；
（2）先将原式因式分解，然后分类讨论即可；
（3）先将原分式因式分解，然后分类讨论即可.
20．【答案】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）解：∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再求出， 最后作答即可；
（3）根据题意先求出 种客车越少，费用越低， 再计算求解即可。
21．【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)①根据题目所给的运算顺序，将已知的两值代入即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；②将已知的运算代入不等式组即可得关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，再根据不等式组恰好有3个整数解，即可求出k的取值范围；
(2)根据题意可得出以a、b为系数关于x、y的关系式，由题意可求出a、b所满足的关系式即可.
22．【答案】（1）解：设A型x米，则B型，由题意可得
，
解得
∴A型跳绳长4米，B型跳绳长8米， C型跳绳长12米.
（2）解：设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条，由题意可得：
得
解得
∴购买A型跳绳5条.
（3）解：设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条，
由题意可得
得
化简得
所以
解得，
∴购买A型跳绳最多20条.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型x米，则B型2x米，由题意可得用80米绳子制作A型的数量为条，用120米绳子制作B型的数量为条，结合“ 用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根 ”可得关于x的方程，求解即可；
（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条 ，根据总长度为120米可得4a+8a+12b=120，根据购买跳绳经费最多95元可得4a+6a+9b=95，联立求解即可；
（3）设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条， 根据总长度不少于100米可得4m+8n+12t≥100，根据购买跳绳经费最多95元可得4m+6n+9t≤95，联立求出2n+3t的范围，求出m的范围，据此解答.
23．【答案】（1）解：方法一：设购买 品牌足球花费 元，则购买 品牌足球花费 元.
则 .
解得 ， 则 元
方法二：设购买 品牌足球 个，则购买 品牌足球 个，依题意：
解得：
∴
元
答：购买 品牌足球花费2000元，购买 品牌足球花费2500元.
（2）解：设该中学此次购买 品牌足球 个，则
解得
根据题意， 为正整数26、27、28、29、30，共5种方案
调整后 品牌单价 元； 品牌单价 元，
所以 品牌越少，费用越少，即当 品牌24个， 品牌26个时费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 方法一:设购买 品牌足球花费 元，则购买 品牌足球花费 元,根据购买 品牌足球的数量是 品牌足球数量的2倍 ，列出方程，解之即可；
方法二： 设购买 品牌足球 个，则购买 品牌足球 个， 根据购买 品牌足球比购买 品牌足球多花500元，列出方程，解之即可；
（2）设该中学此次购买 品牌足球 个，根据“该中学此次购买这两种品牌足球的总费用不超过3240元，且 品牌足球的数量比 品牌足球的数量多”，列出不等式组，求出其整数解即可.
24．【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）θ3＝4θ
（4）解：由题意得： ，
∴15°≤θ＜18°．
【知识点】解一元一次不等式组；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），小棒两端分别落在射线AB、AC上，
∴小棒能无限摆下去.
故答案为：能
（2）∵AA1＝A1A2＝A2A3，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，∠A1A2A3=90°，
∴∠A=∠AA1A2，∠A2A1A3=∠A2A3A1=45°，
∵∠A2A1A3=∠A+∠AA1A2=2θ=45°，
∴θ=22.5°.
故答案为：22.5°
（3）∵从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，
∴AA1＝A1A2＝A2A3=A3A4，
∴∠A=∠AA1A2=θ，∠A2A1A3=∠A2A3A1=θ1=2θ，∠A3A2A4=∠A3A4A2=θ2=3θ，
∵θ1=∠A+∠AA1A2=2θ，θ2=∠A+∠A2A3A1=θ+θ1=3θ，θ3=∠A+∠A3A4A2=θ+θ2=4θ，
∴θ3=4θ.
故答案为：θ3＝4θ
【分析】（1）利用已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），小棒两端分别落在射线AB、AC上，可得答案.
（2）从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，可得到∠A1A2A3=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠A=∠AA1A2，∠A2A1A3=∠A2A3A1=45°，利用三角形的外角的性质可得到θ的值.
（2）利用从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，可知AA1＝A1A2＝A2A3=A3A4，利用等边对等角可证得∠A=∠AA1A2=θ，∠A2A1A3=∠A2A3A1=θ1=2θ，∠A3A2A4=∠A3A4A2=θ2=3θ，然后利用三角形的外角的性质可求出θ3.
（4）利用（3）中的规律及利用三角形的外角的性质，可得到关于θ的不等式组，然后求出不等式组的解集.
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2023年浙教版数学八年级上册3.4 一元一次不等式组 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·齐齐哈尔模拟）闻宏商店计划用不超过元的货款，购进、两种单价分别为元、元的商品共件，据市场行情，销售、商品各一件分别可获利元、元，两种商品均售完若所获利润大于元，则该商店进货方案有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购进商品件，购进商品件，
，解得，
，
是正整数，
，
故有5种方案，
故答案为：B.
【分析】先根据条件所给不等量关系列出不等式组，解得解集后求出x的整数解即可得到方案.
2．（2023·凤庆模拟）若关于x的不等式组有且只有7个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤4，
解②得，
∵关于x的不等式组有且只有7个整数解，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先分别解出不等式①和②，再结合题意即可得到，进而即可求解。
3．（2023·佳木斯模拟）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设购买x本A种笔记本，
当购买4本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x≤，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，7，
∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案；
当购买5本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x≤，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，
∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案；
当购买6本B种笔记本时，可得：，
解得：4≤x ≤5，
∵x为正整数，
∴x可以为4，5，
∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案；
当购买7本B种笔记本时， 可得：，
不等式组无解，即不存在该种情况，
综上所述，购买方案共有4+3+2=9（种），
故答案为：C.
【分析】根据题意找出数量关系，列出一元一次不等式组求解即可。
4．（2023·鄂州模拟）已知不等式组的解集是，则的值是的(　　)
A．-2 B．4 C．2 D．-4
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式2x-a<1可得x<，
解不等式x-2b>3可得x>2b+3，
∴不等式组的解集为2b+3∵不等式组的解集为-1∴2b+3=-1，=1，
∴a=1，b=-2，
∴(a+1)(b+1)=(1+1)(-2+1)=2×(-1)=-2.
故答案为：A.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合题意可得关于a、b的方程，求出a、b的值，然后代入进行计算.
5．（2023·旌阳模拟）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程的解为非负数解，则满足条件的所有整数m的和为（　　）
A．6 B．10 C．11 D．15
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，
∴，
∴；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于y的分式方程的解为非负数解，
∴，
∴且，
∴综上所述，且，
∴满足题意的m的值可以为0，1，2，3，4，
∴满足条件的所有整数m的和为，
故答案为：B.
【分析】解不等式①得，解不等式②得，由于原不等式组有解且至多有3个整数解，可得，即得，解分式方程可得，由分式方程的解为非负数解，可得，据此可求出m的整数解，再相加即可.
6．（2023八下·南溪期中）若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
7．（2023八上·安顺期末）如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负数解，则所有符合条件的整数的值之和是（　　）
A．-2 B．0 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式 ≤1，得：x≤m+3，
解不等式x-4＞3（x-2），得：x＜1，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴m+3≥1，
解得m≥-2，
解分式方程，得：x=，
∵分式方程有非负数解，
∴≥0且≠1，
解得m＜3且m≠2，
∴-2≤m＜3且m≠2，
∴所有符合条件的整数m的值之和=-2-1+0+1＝-2．
故答案为：A．
【分析】先解不等式组解集，根据不等式组的解集为x＜1，确定出m的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，确定出满足条件m范围，再把符合条件的整数m的值求和即可．
8．（2022九上·铜梁开学考）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
9．（2021八上·金东期中）不等式 的整数解是1，2，3，4.则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
显然：
当 时，不等式的解集为： ，
不等式没有正整数解，不符合题意，
当 时，不等式的解集为：
不等式 的整数解是1，2，3，4，
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】当a>0时，不等式组的解集为：≤x≤-1a，此时不等式组没有正整数解；当a<0时，不等式组的解集为-1a≤x≤-5a，结合不等式组的整数解可得0<-1a≤1、4≤-5a<5，联立可得a的范围.
10．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（　　）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、±3，
解得：a=3或5或-1或1，
又a＜5，所以a只能为-1、1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是　 　．
【答案】-3
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】由，可得x>-2.5，
由x+a≤3，可得x≤3-a，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤3-a，
∵一元一次不等式组至少有2个整数解，
∴3-a≥-1，
∴a≤4，
∵，
∴，
∵分式方程的解是正整数，
∴且，
解得：a＞-3且a≠1，
∵分式方程的解是正整数，
∴a的值为-1或3，
∴所有满足条件的整数a的值之积是（-1）×3=-3，
故答案为：-3.
【分析】先求出不等式组的解集，再求出a≤4，再结合分式方程的解为正整数可得a＞-3且a≠1，从而可得a的值为-1或3，最后求出答案即可。
12．（2023·龙岗模拟）定义新运算“”，规定：，若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是　 　.
【答案】a≤2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】根据 ，可将 的不等式组 转变为 ，解得，由于该不等式组的解集为 ，所以，即a≤2。
【分析】根据定义新运算的法则进行分析。
13．（2022·绵阳）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥-3+m，
解不等式②得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴-3+m≥2
解之：m≥5
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集，然后求出的取值范围.
14．（2021·重庆模拟）经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液.已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支.脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶.在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费　 　元.
【答案】1320
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元，
则士力架的单价为22-10-m=（12-m）元，
依题意，得：x（12-m）+ym-160=xm+y（12-m），
整理，得： ，
∵x≤ y，x≥30，则y≥2x，
∴ ，
又∵x，y，m均为正整数，
∴m-6=1或m-6=2，
∴m=7或m=8，
∵x+y+50≤200，
∴x+y≤150，
当m=7时，12-m=5， ，
∴ ，
∴30≤x≤35，
此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+35×7+5×（35+80）=1320元，
当m=8时，12-m=4， ，
∴ ，
∴30≤x≤40，
此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+40×8+4×（40+40）=1140元，
∴实际购买这三种书最多需要花费1320元.
故答案为：1320.
【分析】设购买脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元，依据实际购买时，总费用比预算多了160元列出方程，化简得到 ，根据题中不等关系得到m值，分情况讨论，由购买三种物品数量总共不超过200及x，y之间的关系，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，利用总价=单价×数量求出此时实际购买三种物品花费最多的费用.
15．（2020八上·历下期末）邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是　 　元．
【答案】5.6
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
【分析】由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，设其中一个信封装x份答卷，根据重量小于等于100列出方程组求出x的取值范围，然后分情况计算所贴邮票的总金额即可.
16．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　.
【答案】175
【知识点】解一元一次不等式组；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023八下·平遥期中）阅读下面解题过程，再解答后面的问题．
学习了一元一次不等式组的解法，老师给同学们布置了一个任务，请大家探究并求出不等式 的解集．
小丽类比有理数的乘法法则，根据“同号两数相乘，积为正”可以得到：①或②，解不等式组①得，解不等式组②得，所以原不等式解集为或．请你仿照上述方法，求不等式的的解集．
【答案】解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”可得
① 或② ，
解不等式组①可得不等式组无解，
解不等式组②得 ，
综上所述，原不等式的解集为 ．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】本题考查多项式相乘积的正负问题，根据有理数乘法法则“同号得正，异号得负"，把多项式的积拆解成两个多项式同号或异号，注意要考虑全面。题目中，两个多项式相乘积为负，说明两个多项式，一正一负，所以有两种情况。
18．深化理解：
新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+ ，则＜x＞=n；
反之，当n为非负整数时，如果＜x＞=n，则n﹣ ≤x＜n+ ．
例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=　 　（π为圆周率）； ②如果＜x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为　 　．
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围．
（3）求满足＜x＞= x 的所有非负实数x的值．
【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5
（2）解：解不等式组得：﹣1≤x＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a≤2.5
（3）解：∵x≥0， x为整数，
设 x=k，k为整数，则x= k，
∴＜ k＞=k，
∴k﹣ ≤ k＜k+ ，k≥o，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0， ，
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x﹣1＞=3，
∴2.5≤x﹣1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
【分析】(1)根据题意“四舍五入”即可求解。
(2)首先解不等式组，再根据题意求出a的取值范围。
(3)根据题意得x≥0， x为整数，设 x=k且k为整数，等量代换求出k值，从而求出x的值。
19．（2023八下·惠来期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式.
解∵，∴，可化为.
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①，②
解不等式组①，得，解不等式组②，得，
∴的解集为或
即一元二次不等式的解集为x>2或.
（1）一元二次不等式的解集为　 　；
（2）试解一元二次不等式；
（3）试解不等式.
【答案】（1）或
（2）解：∵，∴可化为.
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴的解集为或，
∴一元二次不等式的解集为或；
（3）解：由有理数的乘法法则：两数相乘.异号得负，得：①②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，不等式组无解，
∴不等式的解集为.
【知识点】因式分解的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】（1）解：∵x2-9=（x+3)(x-3）
∴x2-9＞0，可化为（x+3)(x-3）＞0
由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①， ②
解不等式组①，得，解不等式组②，得
即一元二次不等式x2-9＞0的解集为或；
故正确答案为或.
【分析】（1）先将原式因式分解，然后分类讨论即可；
（2）先将原式因式分解，然后分类讨论即可；
（3）先将原分式因式分解，然后分类讨论即可.
20．（2023·怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【答案】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）解：∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意找出等量关系求出，再求出， 最后作答即可；
（3）根据题意先求出 种客车越少，费用越低， 再计算求解即可。
21．（2020八上·重庆开学考）对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)①根据题目所给的运算顺序，将已知的两值代入即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；②将已知的运算代入不等式组即可得关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，再根据不等式组恰好有3个整数解，即可求出k的取值范围；
(2)根据题意可得出以a、b为系数关于x、y的关系式，由题意可求出a、b所满足的关系式即可.
22．（2022·乐清模拟）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元.某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根.
规格 A型 B型 C型
单价（元/条） 4 6 9
（1）求三种型号跳绳的长度.
（2）若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量.
（3）若购买的跳绳长度总长度不少于100米，则A型跳绳最多买几条？
【答案】（1）解：设A型x米，则B型，由题意可得
，
解得
∴A型跳绳长4米，B型跳绳长8米， C型跳绳长12米.
（2）解：设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条，由题意可得：
得
解得
∴购买A型跳绳5条.
（3）解：设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条，
由题意可得
得
化简得
所以
解得，
∴购买A型跳绳最多20条.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型x米，则B型2x米，由题意可得用80米绳子制作A型的数量为条，用120米绳子制作B型的数量为条，结合“ 用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根 ”可得关于x的方程，求解即可；
（2）设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条 ，根据总长度为120米可得4a+8a+12b=120，根据购买跳绳经费最多95元可得4a+6a+9b=95，联立求解即可；
（3）设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条， 根据总长度不少于100米可得4m+8n+12t≥100，根据购买跳绳经费最多95元可得4m+6n+9t≤95，联立求出2n+3t的范围，求出m的范围，据此解答.
23．（2021八上·来宾期末）某中学在某商场购进 ， 两种品牌的足球，已知 品牌的足球每个50元， 品牌的足球每个80元.
（1）若购买 品牌足球的数量是 品牌足球数量的2倍，购买 品牌足球比购买 品牌足球多花500元.求购买 品牌足球和购买 品牌足球分别花了多少元？
（2）该中学为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次从该商场购进 ， 两种品牌足球共50个，此时恰逢商场对这两种品牌足球的售价进行调整， 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%， 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果该中学此次购买这两种品牌足球的总费用不超过3240元，且 品牌足球的数量比 品牌足球的数量多，那么该中学此次购买足球有多少种方案，哪种方案费用最少？
【答案】（1）解：方法一：设购买 品牌足球花费 元，则购买 品牌足球花费 元.
则 .
解得 ， 则 元
方法二：设购买 品牌足球 个，则购买 品牌足球 个，依题意：
解得：
∴
元
答：购买 品牌足球花费2000元，购买 品牌足球花费2500元.
（2）解：设该中学此次购买 品牌足球 个，则
解得
根据题意， 为正整数26、27、28、29、30，共5种方案
调整后 品牌单价 元； 品牌单价 元，
所以 品牌越少，费用越少，即当 品牌24个， 品牌26个时费用最少.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 方法一:设购买 品牌足球花费 元，则购买 品牌足球花费 元,根据购买 品牌足球的数量是 品牌足球数量的2倍 ，列出方程，解之即可；
方法二： 设购买 品牌足球 个，则购买 品牌足球 个， 根据购买 品牌足球比购买 品牌足球多花500元，列出方程，解之即可；
（2）设该中学此次购买 品牌足球 个，根据“该中学此次购买这两种品牌足球的总费用不超过3240元，且 品牌足球的数量比 品牌足球的数量多”，列出不等式组，求出其整数解即可.
24．（2022八上·余姚期中）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　；
（3）活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）θ3＝4θ
（4）解：由题意得： ，
∴15°≤θ＜18°．
【知识点】解一元一次不等式组；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），小棒两端分别落在射线AB、AC上，
∴小棒能无限摆下去.
故答案为：能
（2）∵AA1＝A1A2＝A2A3，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，∠A1A2A3=90°，
∴∠A=∠AA1A2，∠A2A1A3=∠A2A3A1=45°，
∵∠A2A1A3=∠A+∠AA1A2=2θ=45°，
∴θ=22.5°.
故答案为：22.5°
（3）∵从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，
∴AA1＝A1A2＝A2A3=A3A4，
∴∠A=∠AA1A2=θ，∠A2A1A3=∠A2A3A1=θ1=2θ，∠A3A2A4=∠A3A4A2=θ2=3θ，
∵θ1=∠A+∠AA1A2=2θ，θ2=∠A+∠A2A3A1=θ+θ1=3θ，θ3=∠A+∠A3A4A2=θ+θ2=4θ，
∴θ3=4θ.
故答案为：θ3＝4θ
【分析】（1）利用已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°），小棒两端分别落在射线AB、AC上，可得答案.
（2）从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，可得到∠A1A2A3=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠A=∠AA1A2，∠A2A1A3=∠A2A3A1=45°，利用三角形的外角的性质可得到θ的值.
（2）利用从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，可知AA1＝A1A2＝A2A3=A3A4，利用等边对等角可证得∠A=∠AA1A2=θ，∠A2A1A3=∠A2A3A1=θ1=2θ，∠A3A2A4=∠A3A4A2=θ2=3θ，然后利用三角形的外角的性质可求出θ3.
（4）利用（3）中的规律及利用三角形的外角的性质，可得到关于θ的不等式组，然后求出不等式组的解集.
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