2023年浙教版数学七年级上册3.4 实数的运算 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·游仙模拟）与最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022八上·永春期中）如果、分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·元阳期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·肥西模拟）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·温岭竞赛）设P1、P2、P3、P4是不等于零的有理数，q1、q2、q3、q4是无理数，则下列四个数① ，②（P2+q2）2，③（P3+q3）q3，④P4（P4+q4）中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2021七下·台州期中）下列算式中能说明命题“两个无理数的和还是无理数”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
8．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第二章《实数》单元测试卷）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
9．（【3.05项目】初中数学北师大版八年级上册2.6 实数练习题）我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
10．（2020七下·景县期中）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2021七上·余姚期末）计算：
.
12．（2021七上·萧山期中）若 的整数部分为a，小数部分为b，则b= ，数轴上表示实数a，b的两点之间距离为 。
13．（2023七下·汉川期末）已知m，n是有理数，且m，n满足等式，则的立方根为 ．
14．（2023七下·合江期中）观察：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．思考，若的整数部分为a，小数部分为b，，则的值是 .
三、解答题（共6题，共70分）
15．（2021七上·宁波期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.
16．（2020七上·杭州月考）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a2n-1a2n（n≥1）的值.
17．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
18．（2023七下·南康期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为（1）．
解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a；的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知15x+y，出其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
19．（2022七上·鄞州期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
20．（2022七上·福田期中）阅读材料：求1+2+22+23+……+2100的值.
解：设S=1+2+22+23+……+2100
将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24……+2101
因此2S-S=（2+22+23+24……+2101） - （1+2+22+23+……+2100） =2101-1
所以S=2101-1
即1+2+22+23+……+2100=2101-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+25=
（2）求1+3+32+……+3101的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】，
∵，
∴，
∴最接近的整数是7，
故答案为：D.
【分析】利用实数运算的计算方法求解即可。
2．【答案】A
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∴，即，
∴的整数部分是，则小数部分是，
∴，
故答案为：．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，进而根据不等式的性质，在不等式的两边同时乘以-1得，在不等式的两边同时加4得，即，据此可气整数部分x为2，用原数减去整数部分可得其小数部分y，最后再根据实数减法运算法则算出结果.
3．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A．原式＝ ，结果为有理数；
B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．
故答案为：C．
【分析】利用实数的运算及有理数的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
∵a，b，c为互不相等的实数，
∴仅仅根据无法判断a，b，c之间的大小关系．
故A选项和B选项不符合题意．
将代入C选项得．
化简得a=b．
这与a，b，c为互不相等的实数有矛盾．
故C选项不符合题意．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、B可用去特殊值0、1的方法排除
将C、D中式子合并同类项化简可得出答案
5．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；实数的运算
【解析】【解答】解：①当p1=1，q1=时，
∴是有理数；
②当时，，
∴是有理数；
③当p3=2，q3=时（P3+q3）q3=，是有理数；
④ P4（P4+q4）中的P4、q4无论取何值时，原式都是无理数；
∴是无理数的只有④.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件：P1、P2、P3、P4是不等于零的有理数，q1、q2、q3、q4是无理数，分别取出相应的值，进行计算，可得到四个式子中是无理数的个数.
6．【答案】B
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ，为两个无理数的积为有理数的举例，错误；
B、 ，为两个无理数的和是有理数的举例，是两个无理数的和还是无理数的反例，正确；
C、 ，为两个无理数的和为无理数，错误；
D、 ，为两个有理数的和为有理数，错误；
故答案为：B.
【分析】 要说明命题“两个无理数的和还是无理数”是假命题 ，只要用一个反例说明即可，即为两个无理数的和也可为有理数.
7．【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
8．【答案】B
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
9．【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：∵a+（b*c）=a+ ，（a+b）*（a+c）= =a+ ，
∴选项①符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a+b）*c= ，
∴选项②符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a*b）+（a*c）= + =a+ ，
∴选项③不符合题意；
∵（a*b）+c= +c， +（b*2c）= + = +c，
∴选项④符合题意，
∴等式中对于任意实数a、b、c都成立的是：①②④．
故选：B．
【分析】根据*的含义，以及实数的运算方法，判断出对于任意实数a、b、c都成立的是哪个等式即可．
10．【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】观察该组数发现：1，，，，…
第n个数为，
当n=6时，== ．
故选C．
【分析】观察数据，发现第n个数为 ，再将n=6代入计算即可求解．
11．【答案】1
【知识点】实数的运算；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵3＜π＜4，
∴
=1，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值的非负性先去绝对值，再进行实数的加减混合运算，即得结果.
12．【答案】；
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵
∴a=2，b=；
数轴上表示实数a，b的两点之间距离为.
故答案为：，.
【分析】利用估算无理数的大小，可得到，由此可得到a，b的值；然后求出a-b的值即可.
13．【答案】2
【知识点】立方根及开立方；实数的运算
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵ m，n是有理数，
∴，
解得：m=9，n=5，
∴ =8，
∴的立方根为=2；
故答案为：2.
【分析】将原等式化为，根据m，n是有理数，可得
，解出m、n的值，再代入求解即可.
14．【答案】1或15/15或1
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∵，∴c=，
当c=时，原式=（2-+2）-4（-2）=1，
当c=-时，原式=-（2-+2）-4（--2）=15，
∴原式的值为1或15.
故答案为：1或15.
【分析】估算无理数的大小可得a、b的值，根据绝对值的意义求出c值，然后分别代入计算即可.
15．【答案】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将d，f代入公式，再进行计算，可求出v的值，然后将v与100比较大小，可作出判断.
16．【答案】解：由题可得：a≠0，a+b=0，
∴ =-1，b=1，
∴a=-1，
又∵2n-1为奇数，-1的奇数次方得-1；2n为偶数，-1的偶数次方得1，
∴a2n-1 a2n=（-1）2n-1×（-1）2n=-1×1=-1.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】由于 有意义，则a≠0，则应有a+b=0，则 =-1，故只能b=1，a=-1了，再代入代数式求解.
17．【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
18．【答案】（1）3；
（2）解：∵4＜6＜9，9＜13＜16，
∴2＜＜3，3＜＜4，
∴a=-2，b=3，
∴a+b-=-2+3-=1；
（3）解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴16＜15+＜17，
∴x=16，y=15+-16=-1，
∴x-y=16-+1=17-，
∴x-y的相反数为-17．
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是；
【分析】（1）根据题意先求出3＜＜4，再求解即可；
（2）先求出 2＜＜3，3＜＜4， 再求出 a=-2，b=3， 最后代入计算求解即可；
（3）先求出 16＜15+＜17， 再求出 x-y=16-+1=17-， 最后求相反数即可。
19．【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，建立等式并求解即可；
（2）先求出a、b的值，再代入等式中整理，利用有理数和有理数相等，无理数和无理数相等建立关于x、y的方程组并解之即可.
20．【答案】（1）26-1（或63）
（2）解：令
则
即
所以
则
所以
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
1 / 12023年浙教版数学七年级上册3.4 实数的运算 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·游仙模拟）与最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】，
∵，
∴，
∴最接近的整数是7，
故答案为：D.
【分析】利用实数运算的计算方法求解即可。
2．（2022八上·永春期中）如果、分别是的整数部分和小数部分，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∴，即，
∴的整数部分是，则小数部分是，
∴，
故答案为：．
【分析】根据估算无理数大小的方法可得，进而根据不等式的性质，在不等式的两边同时乘以-1得，在不等式的两边同时加4得，即，据此可气整数部分x为2，用原数减去整数部分可得其小数部分y，最后再根据实数减法运算法则算出结果.
3．（2022八下·元阳期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：A．原式＝ ，结果为有理数；
B．原式＝ ，结果为有理数；
C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数；
D．原式＝ ，结果为有理数．
故答案为：C．
【分析】利用实数的运算及有理数的定义求解即可。
4．（2022·肥西模拟）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
∵a，b，c为互不相等的实数，
∴仅仅根据无法判断a，b，c之间的大小关系．
故A选项和B选项不符合题意．
将代入C选项得．
化简得a=b．
这与a，b，c为互不相等的实数有矛盾．
故C选项不符合题意．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、B可用去特殊值0、1的方法排除
将C、D中式子合并同类项化简可得出答案
5．（2021八上·温岭竞赛）设P1、P2、P3、P4是不等于零的有理数，q1、q2、q3、q4是无理数，则下列四个数① ，②（P2+q2）2，③（P3+q3）q3，④P4（P4+q4）中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；实数的运算
【解析】【解答】解：①当p1=1，q1=时，
∴是有理数；
②当时，，
∴是有理数；
③当p3=2，q3=时（P3+q3）q3=，是有理数；
④ P4（P4+q4）中的P4、q4无论取何值时，原式都是无理数；
∴是无理数的只有④.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件：P1、P2、P3、P4是不等于零的有理数，q1、q2、q3、q4是无理数，分别取出相应的值，进行计算，可得到四个式子中是无理数的个数.
6．（2021七下·台州期中）下列算式中能说明命题“两个无理数的和还是无理数”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A、 ，为两个无理数的积为有理数的举例，错误；
B、 ，为两个无理数的和是有理数的举例，是两个无理数的和还是无理数的反例，正确；
C、 ，为两个无理数的和为无理数，错误；
D、 ，为两个有理数的和为有理数，错误；
故答案为：B.
【分析】 要说明命题“两个无理数的和还是无理数”是假命题 ，只要用一个反例说明即可，即为两个无理数的和也可为有理数.
7．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）在实数范围内定义运算“♀”，该运算同时满足下列条件：（1）x♀x=5，（x≠5）；（2）x♀（y♀z）=（x♀y）+z，则2015♀2017的值是（ ）
A．2 B．3 C．2015 D．2017
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：2015♀2017
=（2015♀2017+2017）﹣2017
=2015♀（2017♀2017）﹣2017
=2015♀5﹣2017
=2015♀（2015♀2015）﹣2017
=2015♀2015+2015﹣2017
=5﹣2
=3
故答案为：B
【分析】根据规定的运算法则运算即可。首先在2015♀2017添加2017构成（2）式进行推导，将（1）式代入进行求值，最后代入（2）式得出最终答案。
8．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第二章《实数》单元测试卷）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
9．（【3.05项目】初中数学北师大版八年级上册2.6 实数练习题）我们规定：a*b= ，则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
①a+（b*c）=（a+b）*（a+c） ②a*（b+c）=（a+b）*c
③a*（b+c）=（a*b）+（a*c） ④（a*b）+c= +（b*2c）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：∵a+（b*c）=a+ ，（a+b）*（a+c）= =a+ ，
∴选项①符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a+b）*c= ，
∴选项②符合题意；
∵a*（b+c）= ，（a*b）+（a*c）= + =a+ ，
∴选项③不符合题意；
∵（a*b）+c= +c， +（b*2c）= + = +c，
∴选项④符合题意，
∴等式中对于任意实数a、b、c都成立的是：①②④．
故选：B．
【分析】根据*的含义，以及实数的运算方法，判断出对于任意实数a、b、c都成立的是哪个等式即可．
10．（2020七下·景县期中）观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】观察该组数发现：1，，，，…
第n个数为，
当n=6时，== ．
故选C．
【分析】观察数据，发现第n个数为 ，再将n=6代入计算即可求解．
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2021七上·余姚期末）计算：
.
【答案】1
【知识点】实数的运算；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵3＜π＜4，
∴
=1，
故答案为：1.
【分析】根据绝对值的非负性先去绝对值，再进行实数的加减混合运算，即得结果.
12．（2021七上·萧山期中）若 的整数部分为a，小数部分为b，则b= ，数轴上表示实数a，b的两点之间距离为 。
【答案】；
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵
∴a=2，b=；
数轴上表示实数a，b的两点之间距离为.
故答案为：，.
【分析】利用估算无理数的大小，可得到，由此可得到a，b的值；然后求出a-b的值即可.
13．（2023七下·汉川期末）已知m，n是有理数，且m，n满足等式，则的立方根为 ．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方；实数的运算
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∵ m，n是有理数，
∴，
解得：m=9，n=5，
∴ =8，
∴的立方根为=2；
故答案为：2.
【分析】将原等式化为，根据m，n是有理数，可得
，解出m、n的值，再代入求解即可.
14．（2023七下·合江期中）观察：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．思考，若的整数部分为a，小数部分为b，，则的值是 .
【答案】1或15/15或1
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∵，∴c=，
当c=时，原式=（2-+2）-4（-2）=1，
当c=-时，原式=-（2-+2）-4（--2）=15，
∴原式的值为1或15.
故答案为：1或15.
【分析】估算无理数的大小可得a、b的值，根据绝对值的意义求出c值，然后分别代入计算即可.
三、解答题（共6题，共70分）
15．（2021七上·宁波期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数.在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了.
【答案】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将d，f代入公式，再进行计算，可求出v的值，然后将v与100比较大小，可作出判断.
16．（2020七上·杭州月考）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示0， ，b的形式，试求a2n-1a2n（n≥1）的值.
【答案】解：由题可得：a≠0，a+b=0，
∴ =-1，b=1，
∴a=-1，
又∵2n-1为奇数，-1的奇数次方得-1；2n为偶数，-1的偶数次方得1，
∴a2n-1 a2n=（-1）2n-1×（-1）2n=-1×1=-1.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】由于 有意义，则a≠0，则应有a+b=0，则 =-1，故只能b=1，a=-1了，再代入代数式求解.
17．（2023七下·江北期中）先阅读然后解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足，求ba的值．
解：由题意得，
因为a、b都是有理数，所以a-3，b+2也是有理数，
由于是无理数，所以a-3=0，b+2=0，
所以a=3，b=-2， 所以．
问题：设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴=0，=0
∴x=±4，y=3
当x=4时，x+y=4+3=7
当x=-4时，x+y=-4+3=-1
∴x+y的值是7或-1.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】将原式变形为， 根据阅读材料可得=0，=0 ，从而解出x、y的值，再代入计算即可.
18．（2023七下·南康期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于12，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为（1）．
解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a；的整数部分为b，求a+b的值；
（3）已知15x+y，出其中x是整数，且0＜y＜1，求x-y的相反数．
【答案】（1）3；
（2）解：∵4＜6＜9，9＜13＜16，
∴2＜＜3，3＜＜4，
∴a=-2，b=3，
∴a+b-=-2+3-=1；
（3）解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴16＜15+＜17，
∴x=16，y=15+-16=-1，
∴x-y=16-+1=17-，
∴x-y的相反数为-17．
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：（1）∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分是；
【分析】（1）根据题意先求出3＜＜4，再求解即可；
（2）先求出 2＜＜3，3＜＜4， 再求出 a=-2，b=3， 最后代入计算求解即可；
（3）先求出 16＜15+＜17， 再求出 x-y=16-+1=17-， 最后求相反数即可。
19．（2022七上·鄞州期中）先阅读下面材料，再解答问题：
材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则.
证明：∵，a为有理数
∴是有理数
∵b为有理数，是无理数
∴
∴
∴
（1）若，其中a、b为有理数，请猜想a= ，b= ，并根据以上材料证明你的猜想；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值.
【答案】（1）3；1；证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，；
（2）解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，，
代入得 ，
，
整理得 ，
∴，
解得.
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【分析】（1）根据有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，建立等式并求解即可；
（2）先求出a、b的值，再代入等式中整理，利用有理数和有理数相等，无理数和无理数相等建立关于x、y的方程组并解之即可.
20．（2022七上·福田期中）阅读材料：求1+2+22+23+……+2100的值.
解：设S=1+2+22+23+……+2100
将等式两边同时乘以2得
2S=2+22+23+24……+2101
因此2S-S=（2+22+23+24……+2101） - （1+2+22+23+……+2100） =2101-1
所以S=2101-1
即1+2+22+23+……+2100=2101-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+25=
（2）求1+3+32+……+3101的值.
【答案】（1）26-1（或63）
（2）解：令
则
即
所以
则
所以
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
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