2023年浙教版数学七年级上册第三章 实数 章末检测（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．8的立方根是±2
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、4的平方根是±2，故本选项错误；
B、8的立方根是2，故本选项错误；
C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0，1，故本选项正确；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根；若a3=b，则a为b的立方根，据此判断.
2．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
3．（2022七上·鄞州期中）已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．-4 C．4或-4 D．2或-2
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵|x|＝6，y2＝4，
∴x＝±6，y＝±2，
又∵xy＜0，
∴x＝6，y＝-2或x＝-6，y＝2，
当x＝6，y＝-2时，x+y＝4，
当x＝-6，y＝2时，x+y＝-4，
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的概念可得x＝±6，根据平方根的概念可得y＝±2，结合xy＜0可得x＝6，y＝-2或x＝-6，y＝2，然后根据有理数的加法法则进行计算.
4．（2022七上·萧山期中）若，，且，则的值是（ ）
A．1或7 B．-1或7 C．1或-7 D．-1或-7
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ， ，
， .
，
当 ，则 不存在；
当 ，则 或 ，此时 或-1.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的概念可得a=±4，根据平方根的概念可得b=±3，结合a+b<0可得a=-4，b=3或-3，然后根据有理数的减法法则进行计算.
5．（2022七上·萧山期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0 B．5.2 C．5.5 D．
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴（负值舍去）
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方，反之正方形的边长等于面积的算术平方根，从而直接开方得出正方形的边长，然后利用估算无理数大小的方法估算出正方形边长的取值范围即可.
6．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
7．（2021七上·腾冲期末）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由a、b的数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本小题不符合题意；
②∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+b＞0，故本小题不符合题意；
③∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴b﹣1＞0，a+1＞0，
∴（b﹣1）（a+1）＞0，故本小题符合题意；
④∵b＞1，
∴b﹣1＞0，
∵|a﹣1|＞0，
∴ ，故本小题符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出a、b的正负和大小，再逐项判定即可。
8．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
9．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0,2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
10．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2022七上·义乌期中）若一个正数的平方根是3a-2和5，则这个正数是 ．
【答案】25
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的平方根是3a-2和5，
∴这个正数是52=25.
故答案为：25
【分析】利用已知一个正数的平方根是3a-2和5，可得到这个正数就是52，然后求出其结果.
12．（2022七上·宁波期中）若某个正数的两个平方根分别为与， 则的值是 .
【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方根
【解析】【解答】解：∵某个正数的两个平方根分别为与，
∴+=0，
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出+=0，即可得出a的值.
13．（2022八上·鄞州月考）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是 ．
【答案】
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是.
故答案为：
【分析】利用互为相反数的两个实数的和为0，可举出反例.
14．（2022七上·苍南期中）如图，是一个计算程序.若输入的值为，则输出的结果为 .
【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，
则取4的算术平方根为2，2是有理数，取立方根为
所以输出的y的结果为，
故答案为：.
【分析】如果x3=a，则x就是a的立方根，常用符号表示为：；x2=a（x＞0），则x就是a的算术平方根，常用符号表示为：；根据开放开不尽的数是无理数，按照计算程序进行判断及计算即可得出答案.
15．（2022七上·宁波期中）如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示，则点A表示的数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点B表示1，点C表示，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等
设点A表示的数为x，
∴1-x=-1
解之：x=.
故答案为：
【分析】设点A表示的数为x，再利用数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
16．（2022七上·鄞州期中）如图．方格的每一方格的边长为1个单位．依次连接各边的中点．则数轴上点对应的数是 ，线段长是 ．以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ．
【答案】1；；
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：依题意，每一方格的边长为1个单位．
∴C对应的数是1，
∵四边形ABCD的面积等于4个小正方形的面积的一半，
∴正方形ABCD的面积为2，
∴ ，
以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交数轴于点P ，
∴ ，
∴P点对应的无理数是 ．
故答案为： ．
【分析】易知点C到原点的距离等于正方形的边长1，根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出第一空的答案；根据图形易得正方形ABCD的面积，进而根据正方形的面积等于边长的平方知，边长就等于面积的算术平方根，据此可得第二空的答案；根据同圆的半径相等得CP=CD= ，进而由OP=OC+CP算出OP的长度，最后根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出第三空的答案.
17．（2020七上·宁波期中）任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4， ，现对72进行如下操作：72→ =8→ → =1，类似地：
（ 1 ）对64只需进行 次操作后变为1；
（ 2 ）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】3；255
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
64→ =8→ → =1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为：3；
（ 2 ）与上面过程类似，有256→ =16→ → =2→ ，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→ =15→ → =1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为：255.
【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案.
三、解答题（共8题，共70分）
18．（2022七上·鄞州期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
.
【知识点】实数的运算；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先将除法统一成乘法，再约分即得；
（3）先去绝对值，再计算加减即可；
（4）先开方，再计算加法即可.
19．（2022七上·萧山期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，；其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”.
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 .
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
【答案】（1）甲
（2）解：，，
填写如下：
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：（1）是分数，是有理数，
与是无理数，
故甲说错了，
故答案为：甲；
【分析】（1）无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有：①开方开不尽的数，②与π有关的数，据此即可判断；
（2）首先根据绝对值及算术平方根的定义将需要化简的数进行化简，再根据整数分为正整数、负整数、零完成第一空；再根据负分数就是小于0的分数，可完成第二空的答案.
20．（2022七上·宁波期中）已知4的算术平方根是的平方根是是 的整数部分，
（1）求的值.
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵4的算术平方根是2a-1，3a+b-1是平方根是±3，c是-1的整数部分，
∴2a-1=2，3a+b-1=9，c=2，
∴；
（2）解：∵，
∴ ，
∴平方根为 .
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，平方根的定义，估算无理数的大小得出2a-1=2，3a+b-1=9，c=2，解方程即可得出a，b，c的值；
（2）把a，b，c的值代入原式进行计算，再根据平方根的定义即可得出答案.
21．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么 ＞ ．”然后讲了下面的一个例题：比较 和 的大小．
方法一： = = ， = = ，
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
方法二： = ×200=8， =4×3=12．
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较 和 的大小；
（2）比较 ﹣1与 ﹣ 的大小．
【答案】（1）解：（﹣5 ）2=150，（﹣6 ）2=180，150＜180，
∴
（2）解：（ ﹣1）2=8﹣2 ，（ ）2=8﹣2 ，
∵ ，
∴
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意，比较
和 的大小 ，可先将其平方，再进行比较大小。
（2）根据题意，可将 ﹣1与 ﹣ 进行平方，根据完全平方公式，进行化简运算，再进行比较大小。
22．（2022七下·铁东期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（-1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵＜＜，即∵2＜＜3，
∴的整数部分是2，小数部分为（-2）．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）的小数部分为a，的整数部分为b，则a＋b-的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）；4
（2）解：∵，，
∴的小数部分，的整数部分b=3，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵， 其中x是整数，且，
∴x=11，，
∴.
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
【分析】（1）利用算术平方根的定义估算无理数的大小求解即可；
（2）先估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）先估算的大小，再结合题意求出x、y的值，最后代入计算求解即可。
23．（2023七下·贵州期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
【答案】（1）7
（2）37
（3）解：，，，
，
的个位上的数是2，只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2，
的个位数字是8．
如果划去后面的三位592得到数110，而，，，
，
，即的十位数字是4．
，
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）∵4913的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴4913的个位数字是7，
故答案为：7；
（2）∵103=1000，1003=1000000，1000<50653<1000000，
∴，
∵50653的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
如果划去50653后面的三位653得到数50，而33=27，43=64，27<50<64，
∴30<<40，
∴30<<40，
即的十位数字是3.
∴，
故答案为：37.
【分析】（1）根据上述的方法计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出的个位数字是7，的十位数字是3，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 的个位数字是8，的十位数字是4，最后求解即可。
24．（2022七上·杭州期中）观察下边图形，每个小正方形的边长为1.
（1）则图中阴影部分的面积是 ，边长是 .
（2）已知阴影正方形的边长为，且，若和是相邻的两个整数，那么 ， .
（3）若设如图阴影正方形的边长为，请在下面的数轴上准确地作出数所表示的点，若还有一个点与它的距离为1，则这个点在数轴上所表示的数为 .
【答案】（1）10；
（2）3；4
（3） 或
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中阴影部分的面积为 ：，
所以图中阴影部分的边长为 ；
故答案为：10； ；
（2）∵ ， a 和b是相邻的两个整数
而 ， ，
， ；
故答案为：3，4；
（3）如图，点A为所作， B点表示的数为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）利用阴影部分的面积＝边长为4的正方形的面积减去4个两直角边分别是1与3的直角三角形的面积，列式计算即可；根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就是面积的算术平方根，据此直接开方即可；
（2）由于9＜10＜16，根据被开方数越大，其算术平方根就越大可得，据此即可得出答案；
（3）以数轴的单位长度为长度单位，作一个两直角边分别为1与3的直角三角形，其斜边的长就是x，然后以数轴上的原点为圆心，x的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点A，则点A所表示的数就是x，进而分点B在点A的左边与右边两种情况，可得点B所表示的数.
25．（2019八上·宝丰月考）如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
【答案】（1）解：①a在原点左边为负数，且a的绝对值为圆的周长.即 .
②把 代入 得， ，则4的算数平方根为2
（2）解：①第一次滚动后距离原点2周，第二次滚动为2-1=1，距离原点一周，第三次滚动为2-1+3=4，距离原点4周，第四次转动为2-1+3-4=0，即在原点位置，距离原点为0，第五次转动2-1+3-4-3=-3，距离原点3周.所以综上所述：第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远.
②总路程为： .
所表示的数：
故答案为：(1) ①②2 (2) ①第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远
【知识点】无理数在数轴上表示；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）①先求出圆的周长为π，可得QQ'=π，由于a在原点左边，可得；
②将代入中，先化简求出值，再求其算术平方根；
（2）①根据记录的数据分别求出每次滚动距原点的距离，然后判断即可；
②将记录数据的绝对值相加，将结果乘以π即得总路程；将记录的数据相加，将结果乘以π即得Q表示的数.
1 / 12023年浙教版数学七年级上册第三章 实数 章末检测（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七上·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2
B．8的立方根是±2
C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1
D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0
2．（2019七下·柳州期末）下列四个式子：
① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5．
其中大小关系正确的式子的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022七上·鄞州期中）已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．-4 C．4或-4 D．2或-2
4．（2022七上·萧山期中）若，，且，则的值是（ ）
A．1或7 B．-1或7 C．1或-7 D．-1或-7
5．（2022七上·萧山期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0 B．5.2 C．5.5 D．
6．（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2021七上·腾冲期末）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，以下结论：①a﹣b＞0；②a+b＜0；③（b﹣1）（a+1）＞0；④ ．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
8．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
9．（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空2分，共20分）
11．（2022七上·义乌期中）若一个正数的平方根是3a-2和5，则这个正数是 ．
12．（2022七上·宁波期中）若某个正数的两个平方根分别为与， 则的值是 .
13．（2022八上·鄞州月考）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是 ．
14．（2022七上·苍南期中）如图，是一个计算程序.若输入的值为，则输出的结果为 .
15．（2022七上·宁波期中）如图，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，若点B表示1，点C表示，则点A表示的数是 ．
16．（2022七上·鄞州期中）如图．方格的每一方格的边长为1个单位．依次连接各边的中点．则数轴上点对应的数是 ，线段长是 ．以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ．
17．（2020七上·宁波期中）任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4， ，现对72进行如下操作：72→ =8→ → =1，类似地：
（ 1 ）对64只需进行 次操作后变为1；
（ 2 ）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
三、解答题（共8题，共70分）
18．（2022七上·鄞州期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）
（4）
19．（2022七上·萧山期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，；其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”.
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 .
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：
20．（2022七上·宁波期中）已知4的算术平方根是的平方根是是 的整数部分，
（1）求的值.
（2）求的平方根.
21．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么 ＞ ．”然后讲了下面的一个例题：比较 和 的大小．
方法一： = = ， = = ，
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
方法二： = ×200=8， =4×3=12．
又∵8＜12，
∴ ＜ ．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较 和 的大小；
（2）比较 ﹣1与 ﹣ 的大小．
22．（2022七下·铁东期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．于是小明用（-1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵＜＜，即∵2＜＜3，
∴的整数部分是2，小数部分为（-2）．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）的小数部分为a，的整数部分为b，则a＋b-的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
23．（2023七下·贵州期中）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
24．（2022七上·杭州期中）观察下边图形，每个小正方形的边长为1.
（1）则图中阴影部分的面积是 ，边长是 .
（2）已知阴影正方形的边长为，且，若和是相邻的两个整数，那么 ， .
（3）若设如图阴影正方形的边长为，请在下面的数轴上准确地作出数所表示的点，若还有一个点与它的距离为1，则这个点在数轴上所表示的数为 .
25．（2019八上·宝丰月考）如图，直径为1个单位长度的圆片上有一点 与数轴上的原点重合.（所有结果均保留 ）
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点 到达点 ，设点 表示的数为 .
①求 的值；
②求 的算术平方根.
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：+2，-1，+3，-4，-3.
①第几次滚动后，点 距离原点最近？第几次滚动后，点 距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点 运动的路程共有多少？此时点 所表示的数是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、4的平方根是±2，故本选项错误；
B、8的立方根是2，故本选项错误；
C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0，1，故本选项正确；
D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】若(±a)2=b，则±a为b的平方根；若a3=b，则a为b的立方根，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ① 、∵8<10,∴ ，符合题意；
② 、∵65>64,∴ ，不符合题意；
③④ 、∵2<<3,∴ ,③④符合题意；
故答案为：C
【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。
3．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵|x|＝6，y2＝4，
∴x＝±6，y＝±2，
又∵xy＜0，
∴x＝6，y＝-2或x＝-6，y＝2，
当x＝6，y＝-2时，x+y＝4，
当x＝-6，y＝2时，x+y＝-4，
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的概念可得x＝±6，根据平方根的概念可得y＝±2，结合xy＜0可得x＝6，y＝-2或x＝-6，y＝2，然后根据有理数的加法法则进行计算.
4．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根；有理数的减法法则
【解析】【解答】解： ， ，
， .
，
当 ，则 不存在；
当 ，则 或 ，此时 或-1.
故答案为：D.
【分析】根据绝对值的概念可得a=±4，根据平方根的概念可得b=±3，结合a+b<0可得a=-4，b=3或-3，然后根据有理数的减法法则进行计算.
5．【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴（负值舍去）
∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】由正方形的面积等于边长的平方，反之正方形的边长等于面积的算术平方根，从而直接开方得出正方形的边长，然后利用估算无理数大小的方法估算出正方形边长的取值范围即可.
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ，
，
，
即 ，
又 、 是正整数，
的最大值为28，
比36更接近28，
的值比较接近 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：由a、b的数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0，b＞1，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，故本小题不符合题意；
②∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴a+b＞0，故本小题不符合题意；
③∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴b﹣1＞0，a+1＞0，
∴（b﹣1）（a+1）＞0，故本小题符合题意；
④∵b＞1，
∴b﹣1＞0，
∵|a﹣1|＞0，
∴ ，故本小题符合题意．
故答案为：B．
【分析】先利用数轴判断出a、b的正负和大小，再逐项判定即可。
8．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
9．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0,2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】平方根；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2, 再列方程解出x即可。
11．【答案】25
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的平方根是3a-2和5，
∴这个正数是52=25.
故答案为：25
【分析】利用已知一个正数的平方根是3a-2和5，可得到这个正数就是52，然后求出其结果.
12．【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方根
【解析】【解答】解：∵某个正数的两个平方根分别为与，
∴+=0，
∴a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出+=0，即可得出a的值.
13．【答案】
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是.
故答案为：
【分析】利用互为相反数的两个实数的和为0，可举出反例.
14．【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：输入的x值为64，取立方根为4，4是有理数，
则取4的算术平方根为2，2是有理数，取立方根为
所以输出的y的结果为，
故答案为：.
【分析】如果x3=a，则x就是a的立方根，常用符号表示为：；x2=a（x＞0），则x就是a的算术平方根，常用符号表示为：；根据开放开不尽的数是无理数，按照计算程序进行判断及计算即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点B表示1，点C表示，数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等
设点A表示的数为x，
∴1-x=-1
解之：x=.
故答案为：
【分析】设点A表示的数为x，再利用数轴上点A到点B的距离与点B到点C的距离相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
16．【答案】1；；
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：依题意，每一方格的边长为1个单位．
∴C对应的数是1，
∵四边形ABCD的面积等于4个小正方形的面积的一半，
∴正方形ABCD的面积为2，
∴ ，
以顶点C为圆心，CD长为半径画圆交数轴于点P ，
∴ ，
∴P点对应的无理数是 ．
故答案为： ．
【分析】易知点C到原点的距离等于正方形的边长1，根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出第一空的答案；根据图形易得正方形ABCD的面积，进而根据正方形的面积等于边长的平方知，边长就等于面积的算术平方根，据此可得第二空的答案；根据同圆的半径相等得CP=CD= ，进而由OP=OC+CP算出OP的长度，最后根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出第三空的答案.
17．【答案】3；255
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
64→ =8→ → =1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为：3；
（ 2 ）与上面过程类似，有256→ =16→ → =2→ ，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→ =15→ → =1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为：255.
【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案.
18．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
.
【知识点】实数的运算；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先将除法统一成乘法，再约分即得；
（3）先去绝对值，再计算加减即可；
（4）先开方，再计算加法即可.
19．【答案】（1）甲
（2）解：，，
填写如下：
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：（1）是分数，是有理数，
与是无理数，
故甲说错了，
故答案为：甲；
【分析】（1）无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有：①开方开不尽的数，②与π有关的数，据此即可判断；
（2）首先根据绝对值及算术平方根的定义将需要化简的数进行化简，再根据整数分为正整数、负整数、零完成第一空；再根据负分数就是小于0的分数，可完成第二空的答案.
20．【答案】（1）解：∵4的算术平方根是2a-1，3a+b-1是平方根是±3，c是-1的整数部分，
∴2a-1=2，3a+b-1=9，c=2，
∴；
（2）解：∵，
∴ ，
∴平方根为 .
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，平方根的定义，估算无理数的大小得出2a-1=2，3a+b-1=9，c=2，解方程即可得出a，b，c的值；
（2）把a，b，c的值代入原式进行计算，再根据平方根的定义即可得出答案.
21．【答案】（1）解：（﹣5 ）2=150，（﹣6 ）2=180，150＜180，
∴
（2）解：（ ﹣1）2=8﹣2 ，（ ）2=8﹣2 ，
∵ ，
∴
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【分析】（1）根据题意，比较
和 的大小 ，可先将其平方，再进行比较大小。
（2）根据题意，可将 ﹣1与 ﹣ 进行平方，根据完全平方公式，进行化简运算，再进行比较大小。
22．【答案】（1）；4
（2）解：∵，，
∴的小数部分，的整数部分b=3，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵， 其中x是整数，且，
∴x=11，，
∴.
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
【分析】（1）利用算术平方根的定义估算无理数的大小求解即可；
（2）先估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）先估算的大小，再结合题意求出x、y的值，最后代入计算求解即可。
23．【答案】（1）7
（2）37
（3）解：，，，
，
的个位上的数是2，只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2，
的个位数字是8．
如果划去后面的三位592得到数110，而，，，
，
，即的十位数字是4．
，
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）∵4913的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴4913的个位数字是7，
故答案为：7；
（2）∵103=1000，1003=1000000，1000<50653<1000000，
∴，
∵50653的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
如果划去50653后面的三位653得到数50，而33=27，43=64，27<50<64，
∴30<<40，
∴30<<40，
即的十位数字是3.
∴，
故答案为：37.
【分析】（1）根据上述的方法计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出的个位数字是7，的十位数字是3，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 的个位数字是8，的十位数字是4，最后求解即可。
24．【答案】（1）10；
（2）3；4
（3） 或
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中阴影部分的面积为 ：，
所以图中阴影部分的边长为 ；
故答案为：10； ；
（2）∵ ， a 和b是相邻的两个整数
而 ， ，
， ；
故答案为：3，4；
（3）如图，点A为所作， B点表示的数为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】（1）利用阴影部分的面积＝边长为4的正方形的面积减去4个两直角边分别是1与3的直角三角形的面积，列式计算即可；根据正方形的面积等于边长的平方，反之边长就是面积的算术平方根，据此直接开方即可；
（2）由于9＜10＜16，根据被开方数越大，其算术平方根就越大可得，据此即可得出答案；
（3）以数轴的单位长度为长度单位，作一个两直角边分别为1与3的直角三角形，其斜边的长就是x，然后以数轴上的原点为圆心，x的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点A，则点A所表示的数就是x，进而分点B在点A的左边与右边两种情况，可得点B所表示的数.
25．【答案】（1）解：①a在原点左边为负数，且a的绝对值为圆的周长.即 .
②把 代入 得， ，则4的算数平方根为2
（2）解：①第一次滚动后距离原点2周，第二次滚动为2-1=1，距离原点一周，第三次滚动为2-1+3=4，距离原点4周，第四次转动为2-1+3-4=0，即在原点位置，距离原点为0，第五次转动2-1+3-4-3=-3，距离原点3周.所以综上所述：第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远.
②总路程为： .
所表示的数：
故答案为：(1) ①②2 (2) ①第四次滚动后距离原点最近，第三次滚动后距离原点最远
【知识点】无理数在数轴上表示；正数、负数的实际应用
【解析】【分析】（1）①先求出圆的周长为π，可得QQ'=π，由于a在原点左边，可得；
②将代入中，先化简求出值，再求其算术平方根；
（2）①根据记录的数据分别求出每次滚动距原点的距离，然后判断即可；
②将记录数据的绝对值相加，将结果乘以π即得总路程；将记录的数据相加，将结果乘以π即得Q表示的数.
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