2023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
2．（2022九上·广州期末）下列说法中，正确的有（ ）．
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022九上·义乌期中）下列有关圆的一些结论：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③平分弧的直径垂直于弧所对的弦；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．①③④
4．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（2022九上·南开期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·苍南期中）如图， 在中， ， 则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
8．（2021九上·顺义期末）如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
9．（2021九上·旅顺口期中）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
10．（2021九上·吉林月考）如图， 为⊙O的直径，点C、D是 的三等分点， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·潍城期中）如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数 ．
12．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
13．（2022九上·淳安期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
14．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
15．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
16．（2021九上·长沙期末）如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·瑞安期中）已知：如图，，是的直径，C是上一点，且．
求证： ．
18．（2021九上·中山期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．
19．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
20．（2022九上·新昌期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
21．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
22．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD.
23．（2016九上·端州期末）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
24．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此①不符合题意；
垂径定理的推论是平分非直径弦的直径垂直于这条弦，也平分这条弦所对的两条弧，因此②不符合题意；
等弧是能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧.因此③不符合题意；
经过圆心的直线是圆的对称轴，将分成相等的两条弧.因此④符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系，等弧的概念，垂径定理分别判断即可.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
③平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，正确，符合题意．
正确的有③④，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理即可判断①③；根据确定圆的条件可判断②，根据圆心角、弧、弦三者的关系即可判断④.
4．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
5．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系可得，再利用邻补角求出即可。
6．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧AB，∠AOB=100°，
弧AB的度数为100°.
故答案为：C
【分析】 利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出弧AB的度数.
7．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ 的度数是140°，
∵D是 的中点，
∴ 和 的度数都是70°，
∴∠CAD＝ 70°＝35°，
故答案为：C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得弧ADC的度数，进而根据中点的定义可得弧AD与弧CD的度数，最后根据圆周角的度数等于所对弧的度数的一半即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故答案为：D．
【分析】取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2，由条件得出＝2 ，得出 ＝=，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，又在中，，根据三角形三边关系定理得出，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在半径为1的 中，弦 的长为1，如下图：
，
为等边三角形，
弦 所对的圆心角的度数为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 为等边三角形，再求解即可。
10．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
11．【答案】18°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
【分析】连接CD，先证明∠CDA=∠A=54°，再利用三角形的内角和求出∠ACD=180°-54°-54°=72°，最后利用角的运算可得∠DCE=90°-∠ACD=18°。
12．【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
13．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由题意可得这条弦所对的圆心角的度数为周角的，然后结合周角为360°进行计算.
14．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
16．【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA.
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE=∠COA=32°，然后根据∠COE=∠AOE+∠COA进行计算.
17．【答案】证明：∵，
∴．
又∵（已知），
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可知，同圆中相等的圆心角所对的弦相等可得BE=AD，结合已知得AD=CE，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等即可得出结论.
18．【答案】证明：如图，连接AC，
∵EA＝EC，
∴∠A=∠C，
由圆周角定理，由，
∴，
即，
∴AB=CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】利用圆周角定理可得，再利用弧的运算可得，再利用弧和弦的关系可得AB=CD。
19．【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
20．【答案】证明：∵M是弧AC的中点，
∴弧AM=弧CM，
∵AB=CD
∴弧AB=弧CD，
∴弧AB+弧AM=弧CD+弧CM，
∴弧MB=弧MD，
∴MB=MD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据中点的概念可得弧AM=弧CM，根据弦、弧之间的关系可得弧AB=弧CD，推出弧MB=弧MD，据此证明.
21．【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
22．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ，
∴AC＝BD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据AB=CD以及弦、弧的关系可得＝，推出＝，据此证明.
23．【答案】证明：连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
24．【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022九上·广州期末）下列说法中，正确的有（ ）．
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角性质是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此①不符合题意；
垂径定理的推论是平分非直径弦的直径垂直于这条弦，也平分这条弦所对的两条弧，因此②不符合题意；
等弧是能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧.因此③不符合题意；
经过圆心的直线是圆的对称轴，将分成相等的两条弧.因此④符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系，等弧的概念，垂径定理分别判断即可.
3．（2022九上·义乌期中）下列有关圆的一些结论：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③平分弧的直径垂直于弧所对的弦；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
②不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
③平分弧的直径垂直于弧所对的弦，正确，符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，正确，符合题意．
正确的有③④，
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理即可判断①③；根据确定圆的条件可判断②，根据圆心角、弧、弦三者的关系即可判断④.
4．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
5．（2022九上·南开期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系可得，再利用邻补角求出即可。
6．（2022九上·苍南期中）如图， 在中， ， 则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AB=弧AB，∠AOB=100°，
弧AB的度数为100°.
故答案为：C
【分析】 利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出弧AB的度数.
7．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ 的度数是140°，
∵D是 的中点，
∴ 和 的度数都是70°，
∴∠CAD＝ 70°＝35°，
故答案为：C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得弧ADC的度数，进而根据中点的定义可得弧AD与弧CD的度数，最后根据圆周角的度数等于所对弧的度数的一半即可得出答案.
8．（2021九上·顺义期末）如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，取弧的中点，连接，，
则＝2 ＝2
∵＝2
∴ ＝=
．
在中，，
，即．
故答案为：D．
【分析】取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2，由条件得出＝2 ，得出 ＝=，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，又在中，，根据三角形三边关系定理得出，即可得出答案。
9．（2021九上·旅顺口期中）在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在半径为1的 中，弦 的长为1，如下图：
，
为等边三角形，
弦 所对的圆心角的度数为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 为等边三角形，再求解即可。
10．（2021九上·吉林月考）如图， 为⊙O的直径，点C、D是 的三等分点， ，则 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·潍城期中）如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数 ．
【答案】18°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
【分析】连接CD，先证明∠CDA=∠A=54°，再利用三角形的内角和求出∠ACD=180°-54°-54°=72°，最后利用角的运算可得∠DCE=90°-∠ACD=18°。
12．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
13．（2022九上·淳安期中）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆心角的度数是 .
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为360°×＝60°.
故答案为：60°.
【分析】由题意可得这条弦所对的圆心角的度数为周角的，然后结合周角为360°进行计算.
14．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
16．（2021九上·长沙期末）如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为 度.
【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA.
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE=∠COA=32°，然后根据∠COE=∠AOE+∠COA进行计算.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·瑞安期中）已知：如图，，是的直径，C是上一点，且．
求证： ．
【答案】证明：∵，
∴．
又∵（已知），
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可知，同圆中相等的圆心角所对的弦相等可得BE=AD，结合已知得AD=CE，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等即可得出结论.
18．（2021九上·中山期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．
【答案】证明：如图，连接AC，
∵EA＝EC，
∴∠A=∠C，
由圆周角定理，由，
∴，
即，
∴AB=CD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】利用圆周角定理可得，再利用弧的运算可得，再利用弧和弦的关系可得AB=CD。
19．（2021九上·鹿城期中）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
【答案】证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据弦、弧的关系可得，推出，据此可得结论.
20．（2022九上·新昌期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．
【答案】证明：∵M是弧AC的中点，
∴弧AM=弧CM，
∵AB=CD
∴弧AB=弧CD，
∴弧AB+弧AM=弧CD+弧CM，
∴弧MB=弧MD，
∴MB=MD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据中点的概念可得弧AM=弧CM，根据弦、弧之间的关系可得弧AB=弧CD，推出弧MB=弧MD，据此证明.
21．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
22．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，求证：AC＝BD.
【答案】证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
即 ＝ ，
∴AC＝BD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据AB=CD以及弦、弧的关系可得＝，推出＝，据此证明.
23．（2016九上·端州期末）已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD=DC．
【答案】证明：连结OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
又∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连结OC，根据平行线的性质得到∠1=∠B，∠2=∠3，而∠B=∠3，所以∠1=∠2，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
24．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
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