2023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023·济南模拟）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
3．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
5．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
6．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C．2.4 D．
7．（2021九上·拱墅期中）如图，半径为5的 中，弦 ， 所对的圆心角分别是 ， .已知 ， ，则弦 的弦心距等于
A． B． C．4 D．3
8．（2021·恩施模拟）如图， 是 的直径， ， 是 的半径， ，点D在 上， ，点P是半径 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2021·海南模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
10．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·北仑期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为 ．
12．（2021九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为 ．
13．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
14．（2021九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
15．（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
16．（2021九上·北京月考）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
① ，
② ，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝ AB，
所有正确结论的序号是 ．
三、作图题
17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
四、解答题（共8题，共66分）
18．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
19．（2021九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
20．（2022九上·舟山月考）如图所示，是的一条弦， ，垂足为，交于点、．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若， ，求的半径长；
21．（2022九上·莲都期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小.
22．（2022九上·大安期中）如图，在中，B、C是的三等分点，弦相交于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
23．（2022九上·北京市期中）如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．
（1）求证： ；
（2）连接，若，求的长．
24．（2021九上·寿光期中）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
25．（2021九上·上城期中）如图， ， 是 的两条弦，点 分别在 ， 上，且 ， 是 的中点.
求证：
（1） .
（2）过 作 于点 .当 ， 时，求 的半径.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由作法得：，，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
作半径，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，
∴，
∵，
∴，
∴选项符合题意；
故答案为：．
【分析】利用圆周角、弧和弦的关系逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，
由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，
，
，
是的中点，
，
，
连接OD'，过点O作OE⊥CD'，
则OE垂直平分CD'，
∴CD'.
故答案为：C.
【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故答案为：C．
【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
6．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作 于 ，作直径 ，连接 ，如图，
，
而 ，
，
，
，
，
，
而 ，
为 的中位线，
.
故答案为：D.
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，由邻补角的性质结合已知条件可得∠DAE=∠BAF，则 ，DE=BF=6，由等腰三角形的性质可得CH=BH，推出AH为△CBF的中位线，据此求解.
8．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD，AD.
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP＋PD的最小值，
∵ ，弧AC的度数是90°的弧，
∴ 的度数是60°，即：∠B＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
而AB=2，
∴BD= .
故AP＋PD的最小值是 .
故答案为：B.
【分析】连接BD，AD，根据已知得B是A关于OC的对称点，则BD为AP＋PD的最小值，易得∠B＝30°，∠ADB＝90°，据此可求得BD的值，进而得到AP＋PD的最小值.
9．【答案】A
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，在⊙ O中，
∵ ，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A= .
故答案为：A.
【分析】根据定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弧相等，可得出∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，即可得出∠AOE=78°，OA=OE，在等腰三角形AEO中，即可求出∠AEO=∠A的度数.
10．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
11．【答案】90°或270°
【知识点】勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：半径r＝1，弦长为，
根据勾股定理的逆定理可知：，
∴的弦与半径围成的三角形是直角三角形，
∵长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，
∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．
故答案为：90°或者270°．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形，再结合一条弦所对的弧有优弧与劣弧，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝CD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝ ﹣4＝ ，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝.
故答案为：.
【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.
15．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
16．【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝ OM＝ ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴ ，所以②符合题意；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①符合题意；③不符合题意；
∵MN＝CD＝ OA+ OB＝ AB，
∴④符合题意．
故答案为：①②④
【分析】连接OM、ON，如图，易得OC＝OD＝ OM＝ ON，利用含30度的直角三角形三边关系得出∠OMC＝∠OND＝30°，得出MC＝ND，可对①进行判断；再计算出∠COM＝∠DON＝60°，则∠MON＝60°，根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形CDNM为矩形，对③进行判断；由四边形CDNM为矩形，得出MN＝CD，则MN＝CD＝ OA+ OB＝ AB，对④进行判断。
17．【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
18．【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
19．【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴ = ，
∴ ．
（2）解：设半径是 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，半径是 ，
∴ ，
则 ，
解得 ，
∴ ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得，利用等弧所对的圆心角相等，可求出∠DOB的度数.
（2）设圆的半径为r，利用垂径定理可求出AE的长，同时可表示出OE的长；再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
21．【答案】（1）解：连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半径为8；
（2）解：设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E， 由弧弦圆心角的关系及垂径定理可推出∠BAC＝2∠BAE，由OA=OB可得∠ABD＝∠BAE，易得 ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 从而推出∠ABD＝∠BAC＝30°， 即得∠CBD=30°，从而得解；
（2）分两种情况： ①若BD＝BC， ②若BC＝CD， 根据等腰三角形的性质、三角形内角和及外角和分别解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用弧的运算可得，再根据弧与弦的关系可得；
（2）先求出，再结合，求出即可。
23．【答案】（1）证明：∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧和圆周角的关系可得，再结合，可得；
（2）连接OC，先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得。
24．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知OC⊥AD，
∵AD＝8，
∴，
∵OE＝2，
∴，
∴⊙O的半径为．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC=∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据垂径定理求得AE=4，再利用勾股定理求出OA的长，即可得到⊙O的半径为。
25．【答案】（1）证明：∵ 为 的中点
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（2）解：连接OM，
∵ ，
∴ ，
∵
根据勾股定理得：
∴半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得，根据弦、弧的关系可得 ，进而推出 ，据此证明；
（2）连接OM，由垂径定理可得ME=MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．（2023·济南模拟）如图，已知锐角，按如下步骤作图：（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；③连接，，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由作法得：，，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
作半径，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴选项的结论不符合题意；
∵圆周角所对的弧为，圆心角所对的弧为，
∴，
∵，
∴，
∴选项符合题意；
故答案为：．
【分析】利用圆周角、弧和弦的关系逐项判断即可。
3．（2023九下·德化月考）如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，，是的中点，动点在线段上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，
由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，
，
，
是的中点，
，
，
连接OD'，过点O作OE⊥CD'，
则OE垂直平分CD'，
∴CD'.
故答案为：C.
【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接CD'，由轴对称确定最短路线问题，CD'与AB的交点即为所求的点P，CD'的长度为PC+PD的最小长度，根据弧、弦、圆心角之间的关系可得∠COD'=120°，连接OD'，过点O作OE⊥CD'，由垂径定理得OE垂直平分CD'，从而根据含30°角直角三角形的性质即可解决问题.
4．（2022·聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故答案为：C．
【分析】连接OB，OD，AC，根据圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系定理解答即可。
5．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
6．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C．2.4 D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
7．（2021九上·拱墅期中）如图，半径为5的 中，弦 ， 所对的圆心角分别是 ， .已知 ， ，则弦 的弦心距等于
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作 于 ，作直径 ，连接 ，如图，
，
而 ，
，
，
，
，
，
而 ，
为 的中位线，
.
故答案为：D.
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，由邻补角的性质结合已知条件可得∠DAE=∠BAF，则 ，DE=BF=6，由等腰三角形的性质可得CH=BH，推出AH为△CBF的中位线，据此求解.
8．（2021·恩施模拟）如图， 是 的直径， ， 是 的半径， ，点D在 上， ，点P是半径 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BD，AD.
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP＋PD的最小值，
∵ ，弧AC的度数是90°的弧，
∴ 的度数是60°，即：∠B＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
而AB=2，
∴BD= .
故AP＋PD的最小值是 .
故答案为：B.
【分析】连接BD，AD，根据已知得B是A关于OC的对称点，则BD为AP＋PD的最小值，易得∠B＝30°，∠ADB＝90°，据此可求得BD的值，进而得到AP＋PD的最小值.
9．（2021·海南模拟）如图，AB是⊙O的直径， = = ，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【答案】A
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】如图，在⊙ O中，
∵ ，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙ O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A= .
故答案为：A.
【分析】根据定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弧相等，可得出∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，即可得出∠AOE=78°，OA=OE，在等腰三角形AEO中，即可求出∠AEO=∠A的度数.
10．（2023·庐江模拟）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】A：连接OC，OA=OC， 点是的中点 ，则 ，故A正确
B：点E时弧AD的中点
OM是三角形ABD的中位线
故B错误
C：连接AD交OE， 点是的中点 ，所以
因为，所以
故C正确
D： 点D是弧AC的中点
故D正确
故答案为B
【分析】A：等腰三角形角平分线垂直第三边
B：利用三角形中位线性质，判断OE与BD大小关系
C：同旁内角互补，两直线平行
D：证明三角形相似，对应边的比相等即可得出答案。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·北仑期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为 ．
【答案】90°或270°
【知识点】勾股定理的逆定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：半径r＝1，弦长为，
根据勾股定理的逆定理可知：，
∴的弦与半径围成的三角形是直角三角形，
∵长度等于的弦所对的弧有优弧、劣弧，
∴长度等于的弦所对弧的度数为90°或者270°．
故答案为：90°或者270°．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，的弦与半径围成的三角形是直角三角形，再结合一条弦所对的弧有优弧与劣弧，即可得出答案.
12．（2021九上·前进期末）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【分析】连接AD，PA，PD，OD．根据垂直的性质得出△OBD是等边三角形，再根据PB+PD=PA+PD≥AD，得出PD+PB≥2，即可得出结论。
13．（2021九上·鹿城期中）如图，
为 的直径， 点 是弧 的中点， 过点 作 于点 ， 延长 交 于点 ， 若 ， 则 的半径长为
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF.
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x= .
故答案为：.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE=EF，，根据点D是弧AC的中点可得，推出，根据等弧所对的弦相等得AC=DF=12，由垂径定理可得EF，设OA=OF=x，然后在Rt△OEF中，应用勾股定理求解即可.
14．（2021九上·上城期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD.若AC＝10，DE＝4，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD＝CD，
∴ ，
∴OD⊥AC，
∴AE＝CE＝ AC＝5，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣4，
在Rt△OAE中，52+（r﹣4）2＝r2，解得r＝
∴OE＝ ﹣4＝ ，
∵OB＝OA，AE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝.
故答案为：.
【分析】根据弧、弦的关系可得，根据垂径定理得OD⊥AC，AE＝CE＝5，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r-4，在Rt△OAE中，由勾股定理可得r，进而求出OE，推出OE为△ABC的中位线，据此求解.
15．（2021·巨野模拟）如图所示，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在PM以及⊙O的半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连结AO.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCO=90°.
∵∠POM=45°，
∴∠CDO=45°，
∴CD=CO，
∴BO=BC+CO=BC+CD，
∴BO=2AB.
∵MN=10，
∴AO=5.
在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即AB2+(2AB)2=52，
∴AB= .
【分析】先得出三角形CDO是等腰直角三角形，可知CD=CO，再直角三角形OAB中依据勾股定理即可解决问题。
16．（2021九上·北京月考）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论：
① ，
② ，
③四边形MCDN是正方形，
④MN＝ AB，
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OC＝OD＝ OM＝ ON，
∴∠OMC＝∠OND＝30°，
∴∠COM＝∠DON＝60°，
∴∠MON＝60°，
∴ ，所以②符合题意；
∴△OMN为等边三角形，
∴MN＝CD，∠OMN＝60°
∴MN∥CD，
∴四边形CDNM为矩形，
∴MC＝ND，所以①符合题意；③不符合题意；
∵MN＝CD＝ OA+ OB＝ AB，
∴④符合题意．
故答案为：①②④
【分析】连接OM、ON，如图，易得OC＝OD＝ OM＝ ON，利用含30度的直角三角形三边关系得出∠OMC＝∠OND＝30°，得出MC＝ND，可对①进行判断；再计算出∠COM＝∠DON＝60°，则∠MON＝60°，根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形CDNM为矩形，对③进行判断；由四边形CDNM为矩形，得出MN＝CD，则MN＝CD＝ OA+ OB＝ AB，对④进行判断。
三、作图题
17．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
四、解答题（共8题，共66分）
18．（2021九上·黄埔期末）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：OE＝OF．
【答案】解：分别连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴AE＝CF ，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据＝，可得AB=CD，再利用垂径定理可得AE＝ AB，CF＝ CD，∠AEO＝∠CFO＝90°，再利用“HL”证明Rt△OAE≌Rt△OCF，再利用全等三角形的性质可得OE=OF。
19．（2021九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
20．（2022九上·舟山月考）如图所示，是的一条弦， ，垂足为，交于点、．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若， ，求的半径长；
【答案】（1）解：∵ ，
∴ = ，
∴ ．
（2）解：设半径是 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，半径是 ，
∴ ，
则 ，
解得 ，
∴ ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得，利用等弧所对的圆心角相等，可求出∠DOB的度数.
（2）设圆的半径为r，利用垂径定理可求出AE的长，同时可表示出OE的长；再利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的值.
21．（2022九上·莲都期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.
（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小.
【答案】（1）解：连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC，
∴AE平分∠BAC，BE＝BC＝4，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝BAC＝30°，
∴∠CBD＝30°，
∴OB＝8，
故⊙O的半径为8；
（2）解：设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E， 由弧弦圆心角的关系及垂径定理可推出∠BAC＝2∠BAE，由OA=OB可得∠ABD＝∠BAE，易得 ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， 从而推出∠ABD＝∠BAC＝30°， 即得∠CBD=30°，从而得解；
（2）分两种情况： ①若BD＝BC， ②若BC＝CD， 根据等腰三角形的性质、三角形内角和及外角和分别解答即可.
22．（2022九上·大安期中）如图，在中，B、C是的三等分点，弦相交于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵B，C是的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）利用弧的运算可得，再根据弧与弦的关系可得；
（2）先求出，再结合，求出即可。
23．（2022九上·北京市期中）如图，为的直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．
（1）求证： ；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧和圆周角的关系可得，再结合，可得；
（2）连接OC，先证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得。
24．（2021九上·寿光期中）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知OC⊥AD，
∵AD＝8，
∴，
∵OE＝2，
∴，
∴⊙O的半径为．
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质证明∠OBC=∠CBD，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）根据垂径定理求得AE=4，再利用勾股定理求出OA的长，即可得到⊙O的半径为。
25．（2021九上·上城期中）如图， ， 是 的两条弦，点 分别在 ， 上，且 ， 是 的中点.
求证：
（1） .
（2）过 作 于点 .当 ， 时，求 的半径.
【答案】（1）证明：∵ 为 的中点
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
（2）解：连接OM，
∵ ，
∴ ，
∵
根据勾股定理得：
∴半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得，根据弦、弧的关系可得 ，进而推出 ，据此证明；
（2）连接OM，由垂径定理可得ME=MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.
1 / 1
