2023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
3．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．（2022九上·西湖期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
5．（2022九上·舟山月考）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·定海月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
7．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·招远期末）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③ ＝ ；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
9．（2021九上·朝阳期末）如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④ .其中正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（2018九上·瑞安期末）如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
12．（2022·鞍山模拟）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为 ．
13．（2022九上·宁波期中）如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为 .
14．（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为 ．
15．（2017九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是 （填序号）．
16．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2021九上·无棣期中）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
18．（2021九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．
（1）求证：∠ADC＝∠BDO；
（2）若CD＝ ，AE＝2，求⊙O的半径．
19．（2021九下·厦门开学考）在扇形 中， ，点B在 上，且 ，点E在半径 上，以 ， 为邻边作平行四边形 ，当点C，B，F共线时，
（1）求 的度数；
（2）求证： .
20．（2020九上·柯桥期中）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形 内接于 ，对角线 ，且
（1）求证： .
（2）若 的半径为8，弧 的度数为120°，求四边形 的面积.
21．（2019九上·诸暨月考）如图，⊙O的直径AB=20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等.
（1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，求∠APD的大小；
（2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为 ，求AP的长.
22．（2017九上·哈尔滨期中）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= ，AB=3 ，求DN的长.
23．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接，如图，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，解得，
即的半径为5．
故答案为：A．
【分析】连接，设的半径为r，由弧的中点可得，从而得，根据弧、弦、圆心角的关系可得CD=BE=8，由垂径定理得，=4，在中，利用勾股定理可求出半径.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在Rt△BEO中，由勾股定理得：，
∴，
∴AB是OD的垂直平分线，
∴，
∴△OBD是等边三角形，
∴，
∴的度数为60°，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF， ＝ ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝ DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝ ，
∴AB＝2x＝15.
故答案为：C.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE＝EF，＝，由中点的概念可得＝，则＝，根据弦、弧的关系可得AC=DF=12，则EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，由勾股定理可得x，进而可得AB.
5．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵，
∴∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，
∴∠BOE=3∠COB=3×36°=108°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠BOE=∠A+∠OEA=108°，
∴∠OEA=54°.
故答案为：C.
【分析】利用在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，从而可求出∠BOE的度数；再利用等边对等角可证得∠A=∠OEA；然后利用三角形的外角的性质可求出∠OEA的度数.
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∵BC是直径，
∴OB=OC=OA=OD，故A符合题意；
B、在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠AOB=∠COD，故B不符合题意；
C、∵∠AOB=∠COD，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴AB=CD，
∴点O到AB，CD的距离相等，故D不符合题意；、
故答案为：A.
【分析】利用同一个圆的半径相等，结合已知条件，可对A作出判断；利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，可对B作出判断；利用在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弦相等，相等的弦的弦心距相等，可对C、D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE， ， ，
∴∠BOC=2∠A=40°， ，
即 ，故③符合题意；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②符合题意；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①不符合题意；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由 AB⊥CD可得① 错误；
由∠BAD＝25°及等弧所对的圆周角相等可得∠C＝40°，故② 正确；
由垂径定理及相等的弦所对的弧相等可得 ③ 正确；
由AE＜AD及OE＜OA可判断AD＞2OE故 ④ 错误。
9．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，
∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′；
∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，
∴弧BB′与弧CC′不相等.
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①②由旋转的性质“旋转前后两个图形的对应角相等，对应边相等”可得BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，③由①的结论可得∠BAB′＝∠CAC′；④根据弧相等的定义“能够完全重合的弧是相等的弧”可知弧BB′与弧CC′不相等.
10．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系
【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候 C E 2 + B E 2有最大值
∴EC⊥x轴，
∵AO⊥x轴
∴AO=EC=1
则BE2=BC2+CE2=5
C E 2 + B E 2=1+5=6
故答案选C。
【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为4．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】15
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，因为点D是弧的中点，
所以；
因为为的直径，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，
解得．
故答案为：15．
【分析】先求出，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，再求出即可。
13．【答案】67.5°或72°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
则，
解得：，
∴；
当时，，
则，
解得：，
∴，
DA=DB的情况不存在，
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为67.5°或72°，
故答案为：67.5°或72°.
【分析】连接OC，由同圆中相等的弦所对的弧相等得，由垂径定理OC⊥AB，由等腰三角形的性质得∠CAB=∠CBA，∠DCO=∠BCO，∠OBC=∠BCO，由三角形外角性质得∠ADB=3∠OBC，然后分BA=BD、AB=AD、DA=DB，三种情况根据三角形的内角和定理建立方程，求解即可.
14．【答案】 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
15．【答案】②③
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点，即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
16．【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
17．【答案】（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ + ＝ ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出 CD＝CE；
（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和 △OCE 的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.
18．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OD＝OC，E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
∴ ，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠BDO；
（2）解：
设⊙O半径为r，
∴OC＝OD＝OA＝r，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∵CD＝4 ，E点是CD的中点，
∴DE＝ CD＝2 ．
由（1）知，OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴在Rt OED中，OE2+DE2＝OD2，
即：（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，
解得：r＝3，
∴OO半径为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ∠ADC＝∠ABD， 最后求解即可；
（2）先求出 OE＝OA﹣AE＝r﹣2， 再利用勾股定理计算求解即可。
19．【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
，
点C，B，F共线，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
（2）证明：连接 ，
，
是等边三角形，
， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得 ， 从而求出∠BOC=20°，∠AOB=50°，由OB=OC可得∠OBC=∠OCB=80°，利用邻补角的定义可求出∠OBF=180°-∠OBC=100°，由平行四边形的性质可得EF∥OA，∠EOA=∠EFA=40°，利用平行线的性质可得∠BEF=∠EOA=40°，根据三角形内角和求出∠BFE=40°，利用∠CFA=∠BFE+∠AFE即可求解；
（2）连接AC， 易求△OAC是等边三角形，可得AC=OC，∠OAC=60°，由平行四边形的性质可得∠OAF=180°-∠EOA=140°，从而求出∠CAF=80°，即得 ，利用等角对等边可得 ，继而得出结论.
20．【答案】（1）证明： ，∴ ，
则 ， ；
（2）解：连接 、 ，作 于 ，
弧 的度数为120°，
， ，
∴OH= BO=4，
∵BO2=BH2+OH2，OB=8
∴ ，
，
则四边形 的面积 .
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得 ，由弧的运算可得 ，进而根据等弧所对的弦相等可得 ；
（2） 连接OB、OD，作 于 ，由弧BD的度数为120° 可得∠BOH=∠BOD=60°，可得∠OBH=30°，由30°所对直角边等于斜边的一半可得 OH= BO=4 ，由勾股定理可得BH的长，再由垂径定理可得BD的长，再根据题上定义可得“ 该四边形的面积等于对角线乘积的一半 ”可得结果.
21．【答案】（1）解：∵ ∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°， 由题意得： ∠APD=∠BPC =（180°-100）÷2=40°.
（2）解：延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，∵ ∠APD=∠BPC=（180°-90°）÷2=45°，∵∠APD=∠BPF， ∴ ∠FPB=∠BPC，则由圆的对称性知，PC=PF，∴FD=PC+PD，由题中定义可知， ∠DPC = ∠DOC=90°，∴DC=OC=10，∴FD=PD+PC=16+10-10=16，∵DH=FD=8，∵OH=，∴PO==6，∴AP=OA-OP=10-6.当A、B对调时，即P在OB之间时，AP=OA+OP=10+6.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据回旋角的定义， 即∠APD=∠BPC，结合平角的定义列式即可求出∠APD ；
（2）延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，当P在OA之间时，由圆的对称性知，PC=PF，由题中定义可知∠DPC = ∠DOC=90°，利用勾股定理求出DC的长. 结合△PCD的周长，则由PF=PD-PC求出PF，于是由垂径定理求出DH，在Rt△ODH中，运用勾股定理列式求出OH，则PO的长度可求，从而由PA=OA-OP求得PA的长；当P在OB之间时，AP=OA+OP，从而也求得AP的长.
22．【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，所以tan∠ACB= ，
所以 ，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= ，根据勾股定理得： ，
所以得： ， ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ，
根据相似三角形性质可得： ，
即 ，解得BN= ，
根据勾股定理可得：DN= = .
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。
（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。
（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，可得tan∠ACB= ，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
23．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，
∵∠BOC＋∠EOD＝180°，
而∠BOC＋∠BOF＝180°，
∴∠DOE＝∠BOF，
∴弧DE＝弧BF，
∴DE＝BF＝6，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH，
而CO＝OF，
∴OH为△CBF的中位线，
∴OH＝BF＝3．
故答案为：A.
【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．
2．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（ ）
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】连接，如图，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，解得，
即的半径为5．
故答案为：A．
【分析】连接，设的半径为r，由弧的中点可得，从而得，根据弧、弦、圆心角的关系可得CD=BE=8，由垂径定理得，=4，在中，利用勾股定理可求出半径.
3．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在Rt△BEO中，由勾股定理得：，
∴，
∴AB是OD的垂直平分线，
∴，
∴△OBD是等边三角形，
∴，
∴的度数为60°，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.
4．（2022九上·西湖期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF， ＝ ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AC＝DF＝12，
∴EF＝ DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝ ，
∴AB＝2x＝15.
故答案为：C.
【分析】连接OF，由垂径定理可得DE＝EF，＝，由中点的概念可得＝，则＝，根据弦、弧的关系可得AC=DF=12，则EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，由勾股定理可得x，进而可得AB.
5．（2022九上·舟山月考）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵，
∴∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，
∴∠BOE=3∠COB=3×36°=108°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠BOE=∠A+∠OEA=108°，
∴∠OEA=54°.
故答案为：C.
【分析】利用在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，从而可求出∠BOE的度数；再利用等边对等角可证得∠A=∠OEA；然后利用三角形的外角的性质可求出∠OEA的度数.
6．（2022九上·定海月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∵BC是直径，
∴OB=OC=OA=OD，故A符合题意；
B、在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠AOB=∠COD，故B不符合题意；
C、∵∠AOB=∠COD，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴AB=CD，
∴点O到AB，CD的距离相等，故D不符合题意；、
故答案为：A.
【分析】利用同一个圆的半径相等，结合已知条件，可对A作出判断；利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，可对B作出判断；利用在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弦相等，相等的弦的弦心距相等，可对C、D作出判断.
7．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.
8．（2020九上·招远期末）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（ ）
①CE＝OE；②∠C＝40°；③ ＝ ；④AD＝2OE
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE=DE， ， ，
∴∠BOC=2∠A=40°， ，
即 ，故③符合题意；
∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，
∴∠C=50°，故②符合题意；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①不符合题意；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP=90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由 AB⊥CD可得① 错误；
由∠BAD＝25°及等弧所对的圆周角相等可得∠C＝40°，故② 正确；
由垂径定理及相等的弦所对的弧相等可得 ③ 正确；
由AE＜AD及OE＜OA可判断AD＞2OE故 ④ 错误。
9．（2021九上·朝阳期末）如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④ .其中正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，
∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′；
∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，
∴弧BB′与弧CC′不相等.
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】①②由旋转的性质“旋转前后两个图形的对应角相等，对应边相等”可得BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，③由①的结论可得∠BAB′＝∠CAC′；④根据弧相等的定义“能够完全重合的弧是相等的弧”可知弧BB′与弧CC′不相等.
10．（2018九上·瑞安期末）如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE， BE，则 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系
【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候 C E 2 + B E 2有最大值
∴EC⊥x轴，
∵AO⊥x轴
∴AO=EC=1
则BE2=BC2+CE2=5
C E 2 + B E 2=1+5=6
故答案选C。
【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候 C E 2 + B E 2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为4．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2022·鞍山模拟）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为 ．
【答案】15
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，因为点D是弧的中点，
所以；
因为为的直径，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，
解得．
故答案为：15．
【分析】先求出，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，再求出即可。
13．（2022九上·宁波期中）如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为 .
【答案】67.5°或72°
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
则，
解得：，
∴；
当时，，
则，
解得：，
∴，
DA=DB的情况不存在，
综上所述，当是等腰三角形时，的度数为67.5°或72°，
故答案为：67.5°或72°.
【分析】连接OC，由同圆中相等的弦所对的弧相等得，由垂径定理OC⊥AB，由等腰三角形的性质得∠CAB=∠CBA，∠DCO=∠BCO，∠OBC=∠BCO，由三角形外角性质得∠ADB=3∠OBC，然后分BA=BD、AB=AD、DA=DB，三种情况根据三角形的内角和定理建立方程，求解即可.
14．（2019九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为 ．
【答案】 ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF= AC=3，
∵∠CAD=∠BAD，∴ ，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，
∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，
∵DO=5，∴DE=4，∴AD= ．
故答案为 ．
【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.
15．（2017九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是 （填序号）．
【答案】②③
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AB是直径，点D是 上一点，点C是 的中点，
故①错误；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故②正确；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点，即
又∵C为 的中点，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP.
∵AB为 的直径，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
故答案为：②③.
【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证 GP=GD ；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90° ，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.
16．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
三、解答题（共7题，共66分）
17．（2021九上·无棣期中）如图，在⊙O中， ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ + ＝ ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出 CD＝CE；
（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和 △OCE 的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.
18．（2021九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．
（1）求证：∠ADC＝∠BDO；
（2）若CD＝ ，AE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OD＝OC，E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
∴ ，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠BDO；
（2）解：
设⊙O半径为r，
∴OC＝OD＝OA＝r，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∵CD＝4 ，E点是CD的中点，
∴DE＝ CD＝2 ．
由（1）知，OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴在Rt OED中，OE2+DE2＝OD2，
即：（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，
解得：r＝3，
∴OO半径为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ∠ADC＝∠ABD， 最后求解即可；
（2）先求出 OE＝OA﹣AE＝r﹣2， 再利用勾股定理计算求解即可。
19．（2021九下·厦门开学考）在扇形 中， ，点B在 上，且 ，点E在半径 上，以 ， 为邻边作平行四边形 ，当点C，B，F共线时，
（1）求 的度数；
（2）求证： .
【答案】（1）解： ，
，
，
，
，
，
点C，B，F共线，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
（2）证明：连接 ，
，
是等边三角形，
， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得 ， 从而求出∠BOC=20°，∠AOB=50°，由OB=OC可得∠OBC=∠OCB=80°，利用邻补角的定义可求出∠OBF=180°-∠OBC=100°，由平行四边形的性质可得EF∥OA，∠EOA=∠EFA=40°，利用平行线的性质可得∠BEF=∠EOA=40°，根据三角形内角和求出∠BFE=40°，利用∠CFA=∠BFE+∠AFE即可求解；
（2）连接AC， 易求△OAC是等边三角形，可得AC=OC，∠OAC=60°，由平行四边形的性质可得∠OAF=180°-∠EOA=140°，从而求出∠CAF=80°，即得 ，利用等角对等边可得 ，继而得出结论.
20．（2020九上·柯桥期中）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形 内接于 ，对角线 ，且
（1）求证： .
（2）若 的半径为8，弧 的度数为120°，求四边形 的面积.
【答案】（1）证明： ，∴ ，
则 ， ；
（2）解：连接 、 ，作 于 ，
弧 的度数为120°，
， ，
∴OH= BO=4，
∵BO2=BH2+OH2，OB=8
∴ ，
，
则四边形 的面积 .
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得 ，由弧的运算可得 ，进而根据等弧所对的弦相等可得 ；
（2） 连接OB、OD，作 于 ，由弧BD的度数为120° 可得∠BOH=∠BOD=60°，可得∠OBH=30°，由30°所对直角边等于斜边的一半可得 OH= BO=4 ，由勾股定理可得BH的长，再由垂径定理可得BD的长，再根据题上定义可得“ 该四边形的面积等于对角线乘积的一半 ”可得结果.
21．（2019九上·诸暨月考）如图，⊙O的直径AB=20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等.
（1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，求∠APD的大小；
（2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为 ，求AP的长.
【答案】（1）解：∵ ∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°， 由题意得： ∠APD=∠BPC =（180°-100）÷2=40°.
（2）解：延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，∵ ∠APD=∠BPC=（180°-90°）÷2=45°，∵∠APD=∠BPF， ∴ ∠FPB=∠BPC，则由圆的对称性知，PC=PF，∴FD=PC+PD，由题中定义可知， ∠DPC = ∠DOC=90°，∴DC=OC=10，∴FD=PD+PC=16+10-10=16，∵DH=FD=8，∵OH=，∴PO==6，∴AP=OA-OP=10-6.当A、B对调时，即P在OB之间时，AP=OA+OP=10+6.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据回旋角的定义， 即∠APD=∠BPC，结合平角的定义列式即可求出∠APD ；
（2）延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，当P在OA之间时，由圆的对称性知，PC=PF，由题中定义可知∠DPC = ∠DOC=90°，利用勾股定理求出DC的长. 结合△PCD的周长，则由PF=PD-PC求出PF，于是由垂径定理求出DH，在Rt△ODH中，运用勾股定理列式求出OH，则PO的长度可求，从而由PA=OA-OP求得PA的长；当P在OB之间时，AP=OA+OP，从而也求得AP的长.
22．（2017九上·哈尔滨期中）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.
（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；
（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB= ，AB=3 ，求DN的长.
【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD， DE⊥BC于点E，所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，
所以∠ACB＝∠BDE，
又因为∠ACB=∠ADB，
所以∠BDE=∠ADB，
所以BD平分∠ADF
（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，所以∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，
又因为OC平分∠ACB，
所以∠OCB==∠OCA，
所以∠OBC=∠OAC，
在△AOC和△BOC中，
，
所以△AOC≌△BOC，
所以AC=BC
（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，所以tan∠ACB= ，
所以 ，可设BH=3x，CH=4x，
由勾股定理得：BC=5x，
则AC=5x，所以AH=x，
因为AB= ，根据勾股定理得： ，
所以得： ， ，解得：x=3，
所以BC=15，
设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得： ，
根据相似三角形性质可得： ，
即 ，解得BN= ，
根据勾股定理可得：DN= = .
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。
（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC， ∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。
（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB= ，可得tan∠ACB= ，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。
23．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 ；
（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是 的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）3
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE= AB=4 ，
则△BDC的周长=2BE+BC=8 +8．
故答案为：8+8 ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；阿基米德折弦定理模型
【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.
（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.
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