2023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.
2．（2023九上·赵县期末）从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故答案为：B
【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案
3．（2023九上·宁波期末）如图，点，，，在⊙O上，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠CDA=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=70°，进而根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=70°.
4．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.
5．（2023九上·武义期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
6．（2023九上·靖江期末）如图，是直径，，则∠D为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是直径，，，
∴
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠D=∠BOC，据此计算.
7．（2022九上·门头沟期末）如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接BC，利用圆周角的性质求出即可。
8．（2022九上·晋中期末）如图，是的直径，，是上的两点，且，则的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
由圆周角定理得：，
故答案为：B．
【分析】利用圆周角的性质可得。
9．（2022九上·广平期末）以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接，
是直角三角板，
故点C在圆周上，
点E所对应的量角器上的读数为，
即
故答案为：C
【分析】连接OE，先求出，再利用圆周角的性质可得。
10．（2022九上·长兴月考）如图，点A，B，C在O⊙上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．75° C．80° D．85°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°.
故答案为：C
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOB的度数.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·鄞州期末）如图，是的直径，，则等于 .
【答案】64°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：64°.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可直接得出答案.
12．（2022九上·公安月考）如图，点在⊙O上，，则 度.
【答案】20
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，同弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：20.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A的度数，根据三角形的内角和定理及对顶角相等可得∠ODC的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出答案.
13．（2022九上·墨竹工卡期中）如图，的弦与直径相交，若，则= °.
【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠DBA=40°，
∴∠ACD=40°.
故答案为：40.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得∠ADB=90°，进而根据三角形的内角和定理得∠DBA=40°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得出答案.
14．（2022九上·宿豫开学考）如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则 ．
【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
则．
故答案为：30°.
【分析】由题意可得∠AOB=60°，根据圆周角定理可得∠APB=∠AOB，据此计算.
15．（2021九上·前进期末）如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．
【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝，
故答案为：4．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角的性质可得∠BOC＝90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。
16．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
三、作图题（共8分）
17．（2021九上·寻乌期末）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
【答案】（1）解：如图1，DE为所作：
（2）解：如图2，DE为所作：
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作图即可。
四、解答题（共8题，共58分）
18．（2021九上·思明期中）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC.
【答案】解：∵∠ABC与∠ADC是 对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=68°，∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解.
19．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.
【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
20．（2021九上·德州经济技术开发期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC为50°，求∠ABD、∠AED的度数．
【答案】解：如图，连接，
，，
，
弧BC为50°，
，
，
，
是的一个外角，
，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】做辅助线 连接， 根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠ABD是∠AOD的一半，∠BDE是∠BOC的一半，再根据三角形外交的性质，即可求得∠AED。
21．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
22．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
23．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
24．（2021九上·交城期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作 ．
（1）求证：AB是 的直径；
（2）延长CB交 于点E，连接DE，求证：DC=DE．
【答案】（1）证明：连接BD，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴AB是 的直径；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
由圆周角定理可得： ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，利用等腰三角形的性质可得，再利用圆周角的性质可得AB是 的直径；
（2）利用圆周角的性质可得∠E=∠A，再结合∠A=∠C，可得∠E=∠C，所以DE=DC。
25．（2021九上·单县期中）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵A，D，C，B四点共圆，
∴∠EAD=∠DCB，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC；
（2）解：如图，连接OB、OC、OD，
由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴△COB为等边三角形，
∴OC=BC=4，
∵DC=DB，∠CDB=30°，
∴∠DCB=75°，
∴∠DCO=15°，
∴∠COD=150°，
则劣弧的长=．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 (1)、 角平分线的性质可得 ∠EAD=∠CAD， 根据圆周角定理求得 ∠CAD=∠CBD， 即可证得.
(2)、 做辅助线，根据圆周角定理求得 △COB为等边三角形， 等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求得 ∠COD=150°。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·赵县期末）从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·宁波期末）如图，点，，，在⊙O上，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，点是优弧上一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·武义期末）如图，点A，B，C是⊙O上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·靖江期末）如图，是直径，，则∠D为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·门头沟期末）如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·晋中期末）如图，是的直径，，是上的两点，且，则的度数为（ ）
A．42° B．84° C．90° D．96°
9．（2022九上·广平期末）以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·长兴月考）如图，点A，B，C在O⊙上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．40° B．75° C．80° D．85°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·鄞州期末）如图，是的直径，，则等于 .
12．（2022九上·公安月考）如图，点在⊙O上，，则 度.
13．（2022九上·墨竹工卡期中）如图，的弦与直径相交，若，则= °.
14．（2022九上·宿豫开学考）如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则 ．
15．（2021九上·前进期末）如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．
16．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
三、作图题（共8分）
17．（2021九上·寻乌期末）等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
四、解答题（共8题，共58分）
18．（2021九上·思明期中）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC.
19．（2023九上·靖江期末）如图，已知四边形内接于.求证：.
20．（2021九上·德州经济技术开发期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC为50°，求∠ABD、∠AED的度数．
21．（2020九上·前郭尔罗斯期中）如图， 是 的直径，弦 与 相交于点 ．求 的度数．
22．（2020九上·东阿期中）如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交与点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．
23．（2020九上·宜春期中）如图， 内接于 ， ， ，则 的直径等于多少？
24．（2021九上·交城期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作 ．
（1）求证：AB是 的直径；
（2）延长CB交 于点E，连接DE，求证：DC=DE．
25．（2021九上·单县期中）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故答案为：B
【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠CDA=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=70°，进而根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=70°.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，据此计算.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是直径，，，
∴
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠D=∠BOC，据此计算.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接BC，利用圆周角的性质求出即可。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
由圆周角定理得：，
故答案为：B．
【分析】利用圆周角的性质可得。
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接，
是直角三角板，
故点C在圆周上，
点E所对应的量角器上的读数为，
即
故答案为：C
【分析】连接OE，先求出，再利用圆周角的性质可得。
10．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°.
故答案为：C
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠AOB的度数.
11．【答案】64°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：64°.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可直接得出答案.
12．【答案】20
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，同弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：20.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠A的度数，根据三角形的内角和定理及对顶角相等可得∠ODC的度数，最后再根据三角形的内角和定理即可算出答案.
13．【答案】40
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠DBA=40°，
∴∠ACD=40°.
故答案为：40.
【分析】根据直径所对的圆周角等于90°得∠ADB=90°，进而根据三角形的内角和定理得∠DBA=40°，最后根据同弧所对的圆周角相等可得出答案.
14．【答案】30°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
则．
故答案为：30°.
【分析】由题意可得∠AOB=60°，根据圆周角定理可得∠APB=∠AOB，据此计算.
15．【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝，
故答案为：4．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角的性质可得∠BOC＝90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。
16．【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
17．【答案】（1）解：如图1，DE为所作：
（2）解：如图2，DE为所作：
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作图即可。
18．【答案】解：∵∠ABC与∠ADC是 对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=68°，∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解.
19．【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴.
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OD、OB，由圆周角定理可得∠C=∠BOD，∠A=(360°-∠BOD)，据此证明.
20．【答案】解：如图，连接，
，，
，
弧BC为50°，
，
，
，
是的一个外角，
，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】做辅助线 连接， 根据等弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠ABD是∠AOD的一半，∠BDE是∠BOC的一半，再根据三角形外交的性质，即可求得∠AED。
21．【答案】解：∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠AOD=70°，
∴∠ODB=35°，
∵∠APD=60°，
∴∠ODC=∠AOD-∠APD=10°，
∴∠BDC=∠ODB-∠ODC=25°．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】先利用圆周角求出，再根据对顶角求出，最后利用三角形的外角求解即可。
22．【答案】解：连接 ，
是 直径，
，
∵ ，
∴ ，
．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接 BC ，根据圆周角定理即可得到结论．
23．【答案】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故答案为：12．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝6．
24．【答案】（1）证明：连接BD，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴AB是 的直径；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
由圆周角定理可得： ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BD，利用等腰三角形的性质可得，再利用圆周角的性质可得AB是 的直径；
（2）利用圆周角的性质可得∠E=∠A，再结合∠A=∠C，可得∠E=∠C，所以DE=DC。
25．【答案】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵A，D，C，B四点共圆，
∴∠EAD=∠DCB，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC；
（2）解：如图，连接OB、OC、OD，
由圆周角定理得，∠COB=2∠CAB=60°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴△COB为等边三角形，
∴OC=BC=4，
∵DC=DB，∠CDB=30°，
∴∠DCB=75°，
∴∠DCO=15°，
∴∠COD=150°，
则劣弧的长=．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 (1)、 角平分线的性质可得 ∠EAD=∠CAD， 根据圆周角定理求得 ∠CAD=∠CBD， 即可证得.
(2)、 做辅助线，根据圆周角定理求得 △COB为等边三角形， 等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求得 ∠COD=150°。
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