2023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·江北期末）如图，在中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：在中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据弦、弧的关系可得，进而推出，由圆周角定理可得∠CDB=∠ABD=25°，然后根据内角和定理进行计算.
2．（2023九上·东阳期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，若以AB为直径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点C一定在⊙O外 B．点C一定在⊙O上
C．点D一定在⊙O外 D．点D一定在⊙O上
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，BE⊥AC于E．则以AB为直径的⊙O经过点E，H，显然点C在⊙O外．
点D虽然是AC的中点，但由于△ABC的形状不确定，故点D的位置无法确定，可能在⊙O上，可能在⊙O内，可能在⊙O外．
故答案为：A.
【分析】如图，作AH⊥BC于H，BE⊥AC于E，则以AB为直径的⊙O经过点E，H，显然点C在⊙O外，由此即可判断.
3．（2023九上·温州期末）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线BP交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的弧BC上运动，
连接O'A交弧BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴弧BC所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝
∴AE′＝O'A O'E′＝5 4＝1．
故答案为：D.
【分析】如图，连接CE根据平行线的性质及同弧所对的圆周角相等得∠CEP＝∠CAP＝60°，则∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的弧BC上运动，连接O'A交弧BC于E′，此时AE′的值最小，根据圆周角定理可得∠BO'C＝120°，根据含30°角直角三角形的性质可得O′B＝O′C＝4，根据角的和差得∠ACO'＝90°，然后利用勾股定理算出OA'的长，最后根据AE′＝O'A O'E′算出答案.
4．（2022九上·慈溪期中）如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故答案为：B.
【分析】设∠ACB=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2x°，由平行线的性质可得∠OBD=∠ACB=x°，根据外角的性质可得∠AOB+∠OBD=∠ADB，据此求解.
5．（2022九上·舟山期中）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=DC，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2，
在等腰直角△ADC中
2AD2=4
解之：.
故答案为：A
【分析】连接AC，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆的直径，可求出AC的长；再利用勾股定理求出AD的长.
6．（2022九上·鄞州期中）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：，
，
，
是的直径，
，
，
故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
≌，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理以及弦、弧的关系可得，由圆周角定理可得∠CAD=∠CAB，∠ACB=90°，则∠CAD+∠ABC=90°，据此判断①；利用AAS证明△APD≌△CPE，得到AD=CE，然后结合OA=OB、ED=EB可判断②；连接OD，由弦、弧、圆心角的关系可得∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，推出△OBC为等边三角形，据此判断③；由勾股定理可得AD2+BD2=AB2=4，据此判断④.
7．（2022九上·鄞州期中）如图，已知是的直径，弦于点，是的中点，连结，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：是的直径，弦，
，成立；
是的中点，
，
，成立；
是的直径，弦，
，
，成立；
不成立，不成立.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理可得CE=DE，据此判断A；根据中点的概念可得，结合圆周角定理可判断B；根据垂径定理以及弦、弧的关系可得，结合圆周角定理可判断C.
8．（2022九上·杭州期中）如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，令，如图所示：
在中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），
，
又∵AB是直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
，
故答案为：A.
【分析】根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据角的和差即可得出结论.
9．（2022九上·富阳期中）如图，⊙O是是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴∠ODC=90°，BC=2CD，
∵弧BC=弧BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴∠C=（180°-120°）=30°，
∴OD=CO=1
在Rt△COD中
，
∴BC=.
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂直的定义和垂径定理可证得∠ODC=90°，BC=2CD，再利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠C的度数；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；利用勾股定理求出CD的长，从而可求出BC的长.
10．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·杭州期末）如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：当点P位于O点时，
，
则，此时的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；
由于点Р不与O，B重合，
于是.
故答案为：.
【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.
12．（2023九上·宁波期末）在圆中，四点在圆上，，，，则的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
，，，设圆O半径为，
，
在中，，则，
，解得，
∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=90°，
在中，，，则，
故答案为：.
【分析】连接AC，根据垂直定理得AD=4，设圆O半径为r，则OD=r-2，在Rt△ADC中，根据勾股定理算出AC，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求出圆的半径r；由直径所对的圆周角是直角得∠ACE=90°，在Rt△ACE中，用勾股定理可算出CE.
13．（2023九上·永嘉期末）已知D是内一点，E是的中点，，，，，则 .
【答案】4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：延长CD至F，使DF=DC，则，且，
∴，
∴A，F，B，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
故答案为：4.
【分析】延长CD到F、使CD＝DF知DE∥AF、DE＝AF，通过∠ABD＝∠DFA＝∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD＝∠BCD＝∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF＝∠BDF＝90°，在Rt△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．
14．（2022九上·长兴月考）如图，有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC=30°，将它放置在0O中，点A，B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数是 °．
【答案】120
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长AC交圆O于点D，连接BD，AO，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，
∵∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵，
∴∠AOB=2∠D=2×60°=120°，
∴劣弧AB的度数为120°.
故答案为：120
【分析】延长AC交圆O于点D，连接BD，AO，利用垂径定理可证得BC垂直平分AD，利用垂直平分线的性质可知AB=BD；再利用三角形的内角和定理求出∠CAB的度数，可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠D的度数；然后利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出劣弧AB的度数.
15．（2022九上·杭州月考）如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，作于，连接，，交于.
是直径，
，，
，
点是的中点，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
（负根已经舍弃），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
∴，
，
.
故答案为：.
【分析】作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F，根据圆周角定理可得∠AMB=∠ACB=90°，根据中点的概念以及同弧所对的圆周角相等可得∠CBM=∠ABM，由角平分线的概念可得∠CAD=∠BAD，则∠DAB+∠DBA=45°，结合内角和定理可得∠ADB=135°，推出MA=MD，BM=2AM，设AM=x，则BM=2x，利用勾股定理可得x，由等面积法可得MH，利用勾股定理可得OH，根据垂径定理可得AF=FC，则BC=2OF，证明△OAF≌△OMH，得到OF=OH，然后根据BC=2OF可得BC的长.
16．（2022九上·上城月考）如图，是的直径，C、D在上，，，则长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】连接，如图，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，有：，
∴，
故答案为：.
【分析】连接，由圆周角定理可得，∠ABC=∠D=60°，利用三角形内角和求出∠CAB=30°，可得，再利用勾股定理求出AC即可.
三、作图题（共8分)
17．（2022九上·舟山期中）如图，在8x8的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出一个∠ADC，使得∠ADC＝∠ABC，且点D为格点.
（2）在图2中画出一个∠CEB，使得∠CEB＝2∠CAB，且点E为格点．
【答案】（1）解：如图点D，D'，D"即为所求.：
（2）解：如图：
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；作图﹣轴对称；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，根据轴对称图形的性质及全等三角形的判定和性质，画出∠ADC使∠ADC=∠ABC，可得到符合题意的所有的点D.
（2）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行画图，可得到符合题意的点E.
四、解答题（共8题，共58分）
18．（2021九上·温州月考）如图，点E为 弦 的中点，过点O，E作直径 ，连接 ，过点C的弦 交 于G.求证： .
【答案】证明：如图，连接AD，
是 的直径，
，即 ，
点E为 弦 的中点，AB是过点E的直径，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
.
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由同角的余角相等可得∠ADC=∠B，由平行线的性质可得∠AGF=∠B，推出∠AGF=∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠F，据此证明.
19．（2023九上·长兴期末）如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；
（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.
20．（2023九上·义乌期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，即BC⊥AC， 根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得结论；
（2） 连接OC， 根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据二直线平行，同位角相等得 ∠AOD=∠B=70°， 进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案；
（3）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理算出BC的长，根据垂径定理得AE=CE，进而根据三角形的中位线定理可得OE的长，最后根据DE=OD-OE即可算出答案.
21．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=6. 连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.
（1）求证：∠CAD=∠CBA.
（2）求OE的长.
【答案】（1）证明：∵AE=ED，OC是半径
∴
∴∠CAD=∠CBA；
（2）解：设OE=x，则CE=5-x，
∵AE=ED，OC是半径
∴OC⊥AD
在Rt△ACE中，AE2=AC2-CE2=62-(5-x)2，
在Rt△AEO中，AE2=AO2-OE2=52-x2，
∴
∴OE=1.4
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBA；
（2）设OE=x，则CE=5-x，根据垂径定理得OC⊥AD，在Rt△ACE与Rt△AOE中，根据勾股定理分别表示出AE2，从而建立方程，求解可得答案.
22．（2022九上·余杭月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC，
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴ ＝ ，
∴AD＝CD；
（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8，
∴AE＝ AC＝4，
设⊙O的半径为r，
∵DE＝2，
∴OE＝OD-DE＝r-2，
在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2，
∴16+（r-2）2＝r2，
解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10，
在Rt△ACB中，BC＝ ＝ ＝6，
∴BC的长为6.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，由平行线的性质可得∠AEO＝∠ACB＝90°，则＝，然后根据弧、弦的关系进行证明；
（2）由垂径定理可得AE＝AC＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r-2，在Rt△AEO中，利用勾股定理可得r，然后求出AB，再在Rt△ACB中，利用勾股定理就可求出BC.
23．（2022九上·余杭月考）如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
【答案】（1）证明：连结BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°，
在△ABE与△ADC中，
由于∠ABE＝∠ADC＝90°，
∠AEB＝∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，
所以∠DAC＝∠BAE(三角形内角和定理)．
（2）证明：连结CE，
因为点C是 的中点，
所以AC＝CE，
因为∠DAC＝∠BAE(已证)，∠FCE＝∠BAE，
所以∠DAC＝∠FCE，
所以有△CFE≌△ADC，
所以FC＝AD．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连接BE，利用直径所对圆周角是直角和垂直的定义，可证得∠ABE=∠ADC=90°，利用同弧所对的圆周角相等，可推出∠AEB=∠ACD，由此可证得结论.
（2）连接CE，利用弧的中点可证得AC=CE，利用AAS可证得△CFE≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
24．（2022九上·鹿城期末）如图，中，，以为直径作⊙O，交于点，交于点.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）证明：连接，如图1所示：
∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图2所示：
∵是⊙O的直径，
∴是半径，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=∠CAD，根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等即可得出结论；
（2）连接OE，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠AOE=80°，进而根据圆心角、弧、弦的关系即可得出得出答案.
25．（2022九上·新昌月考）如图所示，在中，，以为直径的半圆与，分别交于点E，D，连结.
（1）若，求弧的度数.
（2）试判断与是否相等，并说明理由.
【答案】（1）解：连结，
∵为直径
∴
∵
∴
∴；
∴弧的度数为；
（2）解：
理由如下：连结，
∵为直径，
∴.
∴.
∵，
∴
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BE、OE，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，则∠ABE=90°-∠BAC=35°，由圆周角定理可得∠AOE=2∠ABE，据此计算；
（2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得AD平分∠CAB，则∠CAD=∠BAD，据此证明.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.5 圆周角 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·江北期末）如图，在中，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·东阳期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，若以AB为直径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点C一定在⊙O外 B．点C一定在⊙O上
C．点D一定在⊙O外 D．点D一定在⊙O上
3．（2023九上·温州期末）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线BP交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022九上·慈溪期中）如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·舟山期中）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
6．（2022九上·鄞州期中）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·鄞州期中）如图，已知是的直径，弦于点，是的中点，连结，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·杭州期中）如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022九上·富阳期中）如图，⊙O是是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·杭州期末）如图，为的直径，点C在上，点Р在线段上运动（不与O，B重合），若，设为，则的取值范围是 .
12．（2023九上·宁波期末）在圆中，四点在圆上，，，，则的值为 .
13．（2023九上·永嘉期末）已知D是内一点，E是的中点，，，，，则 .
14．（2022九上·长兴月考）如图，有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC=30°，将它放置在0O中，点A，B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数是 °．
15．（2022九上·杭州月考）如图，内接于半径为的半，为直径，点是的中点，连接交于点，平分交于点，且为的中点，则的长为 .
16．（2022九上·上城月考）如图，是的直径，C、D在上，，，则长为 .
三、作图题（共8分)
17．（2022九上·舟山期中）如图，在8x8的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出一个∠ADC，使得∠ADC＝∠ABC，且点D为格点.
（2）在图2中画出一个∠CEB，使得∠CEB＝2∠CAB，且点E为格点．
四、解答题（共8题，共58分）
18．（2021九上·温州月考）如图，点E为 弦 的中点，过点O，E作直径 ，连接 ，过点C的弦 交 于G.求证： .
19．（2023九上·长兴期末）如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
20．（2023九上·义乌期末）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，D为的中点，OD与AC交于点E.
（1）证明：
（2）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（3）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
21．（2023九上·杭州期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AB=10，AC=6. 连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.
（1）求证：∠CAD=∠CBA.
（2）求OE的长.
22．（2022九上·余杭月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC，
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.
23．（2022九上·余杭月考）如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠BAE；
（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．
24．（2022九上·鹿城期末）如图，中，，以为直径作⊙O，交于点，交于点.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
25．（2022九上·新昌月考）如图所示，在中，，以为直径的半圆与，分别交于点E，D，连结.
（1）若，求弧的度数.
（2）试判断与是否相等，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：在中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据弦、弧的关系可得，进而推出，由圆周角定理可得∠CDB=∠ABD=25°，然后根据内角和定理进行计算.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，BE⊥AC于E．则以AB为直径的⊙O经过点E，H，显然点C在⊙O外．
点D虽然是AC的中点，但由于△ABC的形状不确定，故点D的位置无法确定，可能在⊙O上，可能在⊙O内，可能在⊙O外．
故答案为：A.
【分析】如图，作AH⊥BC于H，BE⊥AC于E，则以AB为直径的⊙O经过点E，H，显然点C在⊙O外，由此即可判断.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的弧BC上运动，
连接O'A交弧BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴弧BC所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝
∴AE′＝O'A O'E′＝5 4＝1．
故答案为：D.
【分析】如图，连接CE根据平行线的性质及同弧所对的圆周角相等得∠CEP＝∠CAP＝60°，则∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的弧BC上运动，连接O'A交弧BC于E′，此时AE′的值最小，根据圆周角定理可得∠BO'C＝120°，根据含30°角直角三角形的性质可得O′B＝O′C＝4，根据角的和差得∠ACO'＝90°，然后利用勾股定理算出OA'的长，最后根据AE′＝O'A O'E′算出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故答案为：B.
【分析】设∠ACB=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2x°，由平行线的性质可得∠OBD=∠ACB=x°，根据外角的性质可得∠AOB+∠OBD=∠ADB，据此求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=DC，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2，
在等腰直角△ADC中
2AD2=4
解之：.
故答案为：A
【分析】连接AC，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆的直径，可求出AC的长；再利用勾股定理求出AD的长.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：，
，
，
是的直径，
，
，
故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
≌，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据垂径定理以及弦、弧的关系可得，由圆周角定理可得∠CAD=∠CAB，∠ACB=90°，则∠CAD+∠ABC=90°，据此判断①；利用AAS证明△APD≌△CPE，得到AD=CE，然后结合OA=OB、ED=EB可判断②；连接OD，由弦、弧、圆心角的关系可得∠AOD=∠COD=∠BOC=60°，推出△OBC为等边三角形，据此判断③；由勾股定理可得AD2+BD2=AB2=4，据此判断④.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：是的直径，弦，
，成立；
是的中点，
，
，成立；
是的直径，弦，
，
，成立；
不成立，不成立.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理可得CE=DE，据此判断A；根据中点的概念可得，结合圆周角定理可判断B；根据垂径定理以及弦、弧的关系可得，结合圆周角定理可判断C.
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，令，如图所示：
在中，（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵（同弧或等弧所对的圆周角相等），
，
又∵AB是直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
，
故答案为：A.
【分析】根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而根据角的和差即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴∠ODC=90°，BC=2CD，
∵弧BC=弧BC，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴∠C=（180°-120°）=30°，
∴OD=CO=1
在Rt△COD中
，
∴BC=.
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂直的定义和垂径定理可证得∠ODC=90°，BC=2CD，再利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠C的度数；再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；利用勾股定理求出CD的长，从而可求出BC的长.
10．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：当点P位于O点时，
，
则，此时的值最小；
当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；
由于点Р不与O，B重合，
于是.
故答案为：.
【分析】当点P位于O点时，OA=OC，由等腰三角形的性质可得∠CAB=α=30°；当点P位于B点时，根据直径所对的角是90°可得α=∠ACB=90°，据此不难得到α的范围.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
，，，设圆O半径为，
，
在中，，则，
，解得，
∵AE是圆O的直径，∴∠ACE=90°，
在中，，，则，
故答案为：.
【分析】连接AC，根据垂直定理得AD=4，设圆O半径为r，则OD=r-2，在Rt△ADC中，根据勾股定理算出AC，在Rt△AOD中，根据勾股定理建立方程，求出圆的半径r；由直径所对的圆周角是直角得∠ACE=90°，在Rt△ACE中，用勾股定理可算出CE.
13．【答案】4
【知识点】勾股定理；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解：延长CD至F，使DF=DC，则，且，
∴，
∴A，F，B，D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴.
又，
∴，
∴.
故答案为：4.
【分析】延长CD到F、使CD＝DF知DE∥AF、DE＝AF，通过∠ABD＝∠DFA＝∠EDC知点A、F、B、D四点共圆，从而得到∠BFD＝∠BCD＝∠BAD，证△BFD≌△BCD知∠BAF＝∠BDF＝90°，在Rt△BAF中根据勾股定理可得AF的长即可．
14．【答案】120
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：延长AC交圆O于点D，连接BD，AO，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AD，
∴BC垂直平分AD，
∴AB=BD，
∵∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∵，
∴∠AOB=2∠D=2×60°=120°，
∴劣弧AB的度数为120°.
故答案为：120
【分析】延长AC交圆O于点D，连接BD，AO，利用垂径定理可证得BC垂直平分AD，利用垂直平分线的性质可知AB=BD；再利用三角形的内角和定理求出∠CAB的度数，可证得△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出∠D的度数；然后利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，利用圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可求出劣弧AB的度数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，作于，连接，，交于.
是直径，
，，
，
点是的中点，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，设，则，
，
，
（负根已经舍弃），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
∴，
，
.
故答案为：.
【分析】作MH⊥AB于H，连接AM，OM，OM交AC于F，根据圆周角定理可得∠AMB=∠ACB=90°，根据中点的概念以及同弧所对的圆周角相等可得∠CBM=∠ABM，由角平分线的概念可得∠CAD=∠BAD，则∠DAB+∠DBA=45°，结合内角和定理可得∠ADB=135°，推出MA=MD，BM=2AM，设AM=x，则BM=2x，利用勾股定理可得x，由等面积法可得MH，利用勾股定理可得OH，根据垂径定理可得AF=FC，则BC=2OF，证明△OAF≌△OMH，得到OF=OH，然后根据BC=2OF可得BC的长.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】连接，如图，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，有：，
∴，
故答案为：.
【分析】连接，由圆周角定理可得，∠ABC=∠D=60°，利用三角形内角和求出∠CAB=30°，可得，再利用勾股定理求出AC即可.
17．【答案】（1）解：如图点D，D'，D"即为所求.：
（2）解：如图：
【知识点】三角形全等的判定；圆周角定理；作图﹣轴对称；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，根据轴对称图形的性质及全等三角形的判定和性质，画出∠ADC使∠ADC=∠ABC，可得到符合题意的所有的点D.
（2）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行画图，可得到符合题意的点E.
18．【答案】证明：如图，连接AD，
是 的直径，
，即 ，
点E为 弦 的中点，AB是过点E的直径，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得： ，
.
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，由同角的余角相等可得∠ADC=∠B，由平行线的性质可得∠AGF=∠B，推出∠AGF=∠ADC，由圆周角定理可得∠ADC=∠F，据此证明.
19．【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；
（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.
20．【答案】（1）证明：∵D为的中点，
∴，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴；
（2）解：如图所示，连接OC，
∵D为的中点，
∴OD⊥AC，，
∴
∵
∵∠AOD=∠B=70°，
∴；
（3）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB＝4，AC＝3，
∴，OA=OD=2，
∵D为的中点，
∴AE=CE，
∵OA=OB，
∴，
∴.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OD⊥AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，即BC⊥AC， 根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得结论；
（2） 连接OC， 根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据二直线平行，同位角相等得 ∠AOD=∠B=70°， 进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案；
（3）根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理算出BC的长，根据垂径定理得AE=CE，进而根据三角形的中位线定理可得OE的长，最后根据DE=OD-OE即可算出答案.
21．【答案】（1）证明：∵AE=ED，OC是半径
∴
∴∠CAD=∠CBA；
（2）解：设OE=x，则CE=5-x，
∵AE=ED，OC是半径
∴OC⊥AD
在Rt△ACE中，AE2=AC2-CE2=62-(5-x)2，
在Rt△AEO中，AE2=AO2-OE2=52-x2，
∴
∴OE=1.4
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得，根据等弧所对的圆周角相等得∠CAD=∠CBA；
（2）设OE=x，则CE=5-x，根据垂径定理得OC⊥AD，在Rt△ACE与Rt△AOE中，根据勾股定理分别表示出AE2，从而建立方程，求解可得答案.
22．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴ ＝ ，
∴AD＝CD；
（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8，
∴AE＝ AC＝4，
设⊙O的半径为r，
∵DE＝2，
∴OE＝OD-DE＝r-2，
在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2，
∴16+（r-2）2＝r2，
解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10，
在Rt△ACB中，BC＝ ＝ ＝6，
∴BC的长为6.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1） 根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，由平行线的性质可得∠AEO＝∠ACB＝90°，则＝，然后根据弧、弦的关系进行证明；
（2）由垂径定理可得AE＝AC＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r-2，在Rt△AEO中，利用勾股定理可得r，然后求出AB，再在Rt△ACB中，利用勾股定理就可求出BC.
23．【答案】（1）证明：连结BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°，
在△ABE与△ADC中，
由于∠ABE＝∠ADC＝90°，
∠AEB＝∠ACD(同弧所对的圆周角相等)，
所以∠DAC＝∠BAE(三角形内角和定理)．
（2）证明：连结CE，
因为点C是 的中点，
所以AC＝CE，
因为∠DAC＝∠BAE(已证)，∠FCE＝∠BAE，
所以∠DAC＝∠FCE，
所以有△CFE≌△ADC，
所以FC＝AD．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连接BE，利用直径所对圆周角是直角和垂直的定义，可证得∠ABE=∠ADC=90°，利用同弧所对的圆周角相等，可推出∠AEB=∠ACD，由此可证得结论.
（2）连接CE，利用弧的中点可证得AC=CE，利用AAS可证得△CFE≌△ADC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
24．【答案】（1）证明：连接，如图1所示：
∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图2所示：
∵是⊙O的直径，
∴是半径，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得∠BAD=∠CAD，根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等即可得出结论；
（2）连接OE，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠AOE=80°，进而根据圆心角、弧、弦的关系即可得出得出答案.
25．【答案】（1）解：连结，
∵为直径
∴
∵
∴
∴；
∴弧的度数为；
（2）解：
理由如下：连结，
∵为直径，
∴.
∴.
∵，
∴
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接BE、OE，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，则∠ABE=90°-∠BAC=35°，由圆周角定理可得∠AOE=2∠ABE，据此计算；
（2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得AD平分∠CAB，则∠CAD=∠BAD，据此证明.
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