2023年浙教版数学九年级上册3.6 圆内四边形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，
则，
四边形ABCM是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出∠CBD的度数.
2．（2023九上·长兴期末）如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
为的内接四边形，
，
，
为弧的中点，
，
，
设，
则，，
，
，
在中，，
解得：，
，
故答案为：A.
【分析】由邻补角的性质可得∠BAD=180°-∠DAE=66°，由圆内接四边形的性质可得∠BCD=180°-∠BAD=114°，根据题意可得∠DAC=∠DCA，设∠DAC=∠DCA=x，则∠BAC=66°-x，∠BCA=114°-x，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BCA=114°-x，然后根据内角和定理进行计算.
3．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得∠D=180°-m，由圆周角定理可得∠AOB=2∠D，据此计算.
4．（2023九上·杭州期末）如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵ ∠AOB=140° ，
∴∠ADB= ∠AOB=70° ，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=110°.
故答案为：C.
【分析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ADB=70°，进而根据圆内接四边形的对角互补可算出∠ACB的度数.
5．（2023九上·温州期末）如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴弧CD＝弧BC，
∴AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
由勾股定理得：AF2＝AC2 CF2，AE2＝AC2 CE2，
∴AF＝AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FBC＝∠D，∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
在△FBC和△EDC中，
∠FBC＝∠D，∠BFC＝∠DEC，CF＝CE
∴△FBC≌△EDC（AAS），
∴BF＝DE，
∵AB＝3，AD＝5，
∴AF＋AE＝AB＋BF＋AD DE＝3＋BF＋5 DE＝3＋5＝8，
∴AF＝AE＝4，
∵∠BAC＝30°，∠AFC＝90°，
∴AC＝2CF，
∴CF2＋42＝（2CF）2，
解得：CF＝
∴AC＝2CF＝.
故答案为：B.
【分析】过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，根据等弧所对的圆周角相等得AC平分∠BAD，根据角平分线的性质得CF＝CE，根据勾股定理得AF=AE，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠D，∠BAD＋∠BCD＝180°，求出∠BAC＝30°，用AAS判断出△FBC≌△EDC，根据全等求出BF＝DE，求出AF长，根据含30度角直角三角形的性质及勾股定理求出CF即可．
6．（2022九上·余杭月考）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（ ）
A．22° B．44° C．23° D．46°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝44°，
∴∠B＝90°-∠BAC＝46°，
∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°-∠B＝134°，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°-∠D）＝23°，
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＝90°-∠BAC＝46°，由圆内接四边形的性质可得∠D=180°-∠B＝134°，由中点的概念以及弧、弦的关系可得AD＝DC，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可.
7．（2022九上·金华期中）如图，点、、在上，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥OC，
∴∠A+∠AOC=180°，
∴∠AOC=180°-70°=110°，
∴∠D=55°，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=180°-55°=125°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得出∠AOC=110°，从而得出∠D=55°，再根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°，即可得出答案.
8．（2022九上·萧山期中）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
∵
，
点、、、都是上的点，
，
故答案为：C.
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质可得∠CAE+∠D=180°，结合∠D的度数可求出∠CAE的度数，然后根据圆周角定理以及内角和定理可得∠ACE=∠AEC=65°，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠B=180°，据此计算.
9．（2022九上·温州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠C＝180°-∠A＝180°-50°＝130°，
∵点C为弧BD的中点，
∴CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠CBD＝×（180°-130°）＝25°.
故答案为：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠C＝180°-∠A，求出∠C的度数，再由点C为弧BD的中点得∠CBD＝∠CDB，最后根据等腰三角形的性质计算∠CBD的度数即可.
10．（2022九上·慈溪期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的角平分线的交点，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56 ° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的角平分线交点，
∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠IAC+∠ICA=180°-∠AIC=56°，
∴∠B＝180°-（∠BAC+∠ACB）＝180°-2（∠IAC+∠ICA）＝180°-2×56°＝68°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°.
故答案为：C.
【分析】由点I是△ABC的角平分线交点得∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，利用三角形内角和定理求得∠IAC+∠ICA=56°，从而求得∠B＝180°-（∠BAC+∠ACB）＝180°-2（∠IAC+∠ICA）∠AIC），代入数据求出∠B的度数，最后利用圆内接四边形的外角等于内对角即可求解．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·富阳期末）如图，四边形的顶点、、在上，若，则 .
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点D，连接、，
∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为100°.
【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD、DC，由圆内接四边形的性质可得∠ADC=180°-∠ABC=50°，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC，据此计算.
12．（2023九上·温州期末）如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【分析】设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，∠E＝90° x，根据对称的性质得AD＝AC，AB垂直平分CD，则可判断AB平分∠CAD，则∠CAB＝∠DAB＝2x，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CAB＝2x，根据三角形的内角和定理得∠ACB＝180° 4x，利用圆内接四边形的性质得180° 4x＋90° x＝180°，然后解方程即可．
13．（2022九上·舟山月考）如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则 °．
【答案】35
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形AFBD是圆内接四边形，
∴∠F+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-×110°=125°，
∵的度数为40°，
∴∠CBD=20°，
∴∠DEB=180°-∠ADB-∠CBD=180°-125°-20°=35°.
故答案为：35.
【分析】如图，连接BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠ADB的度数，再根据的度数为40°，得出∠CBD的度数，再根据三角形内角和定理得出DEB=180°-∠ADB-∠CBD，即可得出答案.
14．（2022九上·杭州期中）在等边中，以边的中点O为圆心，长为半径画圆，分别交边，于点D，E；P是圆上一动点（与点D、E不重合），连接，则 .
【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴
连接，
则：，
∴均为等边三角形；
∴，
∴，
∴当点P在优弧DBE上时，
当点P在劣弧DE上时，∠DPE=180°-30°=150°.
故答案为：30°或150°.
【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，连接OD、OE，易得△BOD与△COE都是等边三角形，再根据等边三角形的性质及平角的定义可得∠DOE=60°，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
15．（2022九上·杭州期中）如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为 .
【答案】64°或116°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OC、BC，在弧AC上取点E，并连接AE、CE，
∵，
∴，
∴，
∴∠E=180°-∠B=116°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为64°或116°.
故答案为：64°或116°.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠AOC的度数，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出弦AC所对的优弧上的圆周角∠B的度数，进而根据圆内接四边形对角互补即可得出∠E的度数，从而即可得出答案.
16．（2022九上·新昌期中）半径为的圆中有一条弦长为的弦，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 .
【答案】60°或120°
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：过O作，
则．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
又∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120°．
故答案为：60°或120°.
【分析】过O作OH⊥AB，由垂径定理可得AH=AB=，利用勾股定理求出OH，推出∠OAH=30°，∠AOH=60°，则∠AOB=120°，根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，根据圆内接四边形的性质可得∠ADB+∠ACB=180°，据此解答.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
18．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
19．（2022九上·余杭月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4∶5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ．
（2）解：∵ + =180°， 与 的度数之比为4：5，
∴ =80°， =100°，
∴ = =50°，
∴ = + =130°，
∴∠BAE＝ ＝50°，∠B＝ ＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接AD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠BAD=∠CAD，利用在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.
（2）观察图形可知 ，的度数之和为180° ，由此可分别求出，的度数，同时可求出、、 的度数， 利用圆周角定理求出∠BAE，∠B的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠AED和∠EDB的度数.
20．（2022九上·瑞安期末）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点.
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形.
【答案】（1）解：∵
∵
∴
（2）证明：连结
∵点为的中点
∴弧弧
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC+∠B=180°，进而结合∠ADC=2∠B，可得∠B的度数；
（2）连接OD，根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=∠COD=60°，然后判断出△AOD、△COD是等边三角形，从而得出AO=CO=AD=CD，根据四边相等的四边形是菱形即可得出答案.
21．（2022九上·舟山期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD。
（1）求证：∠ABC＝45°；
（2）求证：∠DEC＝DEA；
（3）若点D的坐标为（0，9），求AE的长．
【答案】（1）证明：∵对应圆周角分别为∠ABE和∠ADE
又∵DE平分∠ADC且∠ADC=90
∴∠ABE=∠ADE=45°
即∠ABC=45°
（2）证明：∵OM⊥AB，OA=OB
∴AD=BD
∴∠DAB=∠DBA
∵∠DEB=∠DAB
∴∠DBA=∠DEB
∵D、B、A、E四点共圆
∴∠DBA+∠DEA=180°
又∵∠DEB+∠DEC=180°
∴∠DEA=∠DEC
（3）解：连结ME、MA
∵D的坐标为（0，9），则OM=9-R
又∵OM2+OA2=MA2，则
解得R=5 即圆M的半径为5
∴∠EMA=90°
∴EA2=MA2+ME2=25+25=50
∴EA=
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用∠ADC=90°及角平分线的性质可求出∠ADE=45°，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠ADE，即可求出∠ABC的度数.
（2）利用已知可证得DO垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角，可证得∠DAB=∠DBA，利用同弧所对的圆周角相等，可推出∠DBA=∠DEB；再利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠DBA+∠DEA=180°，然后根据补角的性质可证得结论.
（3）连结ME、MA，设圆M的半径为R，利用点D的坐标，可表示出OM的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的长；再利用圆周角定理可证得∠EMA=90°，利用勾股定理求出AE的长.
22．（2022九上·桐庐期中）如图，在半径为6的扇形中，，C是上的一个动点（不与A，B重合），，垂足分别为点D，E.
（1）求的长.
（2）求四边形各内角的度数.
【答案】（1）解：如图所示，连接，过点O作于F，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴由垂径定理得：，
∵，
∴D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图所示，在优弧上取一点H，连接，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接AB，过点O作OF⊥AB于点F，由等腰三角形的性质及三角形内角和得∠ABO=30°，由含30°直角三角形的性质得OF=3，在Rt△AOF中，利用勾股定理算出AF，根据垂径定理得AB=2AF，据此求出AB的长，再根据垂径定理得 D、E分别是AC、BC的中点 ，根据三角形的中位线定理求出ED；
（2） 在优弧AB上取一点H，连接AH、BH， 根据圆周角定理得∠H=60°，根据圆内接四边形的性质得∠C的度数，根据垂直定义得∠ODC=∠OEC=90°，最后根据四边形的内角和定理即可算出∠DOE的度数.
23．（2022九上·鹿城期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接.
（1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：.
（2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时.
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接.求证：.
【答案】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（2）证明：①∵分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形.
②延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE＋DE＝AG，由图知：AE＋EG＝AG，可证DE＝EG；
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．
24．（2022九上·定海月考）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角， 连接、 试说明与是偏等三角形．
（2）如图2，与是偏等三角形，其中 猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角 ．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)；
（3）如图3，内接于 若点在上，且与是偏等三角形， 求的值．
【答案】（1）解：∵点是弧的中点，
∴BC=CD，．
又∵AC=AC，
∴与是偏等三角形
（2）解：互补；
如图，在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．
由题意可知在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即另一组等边的对角互补．
（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，
∵BC=CD，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴AD>CD符合题意，
∴ AD=AC=6；
②当AB=CD时，如图，过点D作于点E，
∵AB=CD，，
∴，
∴，，
∴，
∴，符合题意．
设CE=x，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴．
综上可知AD的值为6或．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）点C是弧BD的中点，可证得弧BC=弧CD，可证得BC=CD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠BAC=∠DAC，再利用偏等三角形的定义，可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG，利用AAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质，可证得∠B=∠DGF，BC=GF，从而可推出EF=GF，利用等边对等角可知∠E=∠FGE；再利用邻补角的定义可证∠DGF+∠FGE=180°，代入可得到∠B+∠E=180°，由此可得结论.
（3）①分情况讨论：当BC=CD时，可得到弧BC=弧CD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CAB=∠DAC=30°，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用圆内接四边形的对角互补，可知∠ABC+∠ADC=180°，即可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数，由此可推出∠ADC=∠ACD，∠ACD＞∠DAC，利用在同一个三角形中，大角对大边，可知AD＞CD，即可得到AD的长；当AB=CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可得到弧AC=弧CD，利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠DAC的度数，在△ADC中，利用三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，可知∠ACD＞∠DAC，利用在同一个三角形中，大角对大边，可推出AD＞CD，符合题意；设CE=x，利用勾股定理表示出AE，DE的长；根据AC=AE+EC=6，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，代入可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.6 圆内四边形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·宁波期末）如图，在中，点A、B、C在圆上，点D在AB的延长线上，已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·长兴期末）如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·滨江期末）如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·杭州期末）如图，已知圆心角∠AOB=140°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．40° B．70° C．110° D．120°
5．（2023九上·温州期末）如图，四边形内接于，，，，点为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·余杭月考）如图，AB是半圆O的直径，点D是弧AC的中点，若∠BAC＝44°，则∠DAC等于（ ）
A．22° B．44° C．23° D．46°
7．（2022九上·金华期中）如图，点、、在上，，，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·萧山期中）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·温州期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
10．（2022九上·慈溪期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的角平分线的交点，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56 ° B．62° C．68° D．78°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·富阳期末）如图，四边形的顶点、、在上，若，则 .
12．（2023九上·温州期末）如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
13．（2022九上·舟山月考）如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则 °．
14．（2022九上·杭州期中）在等边中，以边的中点O为圆心，长为半径画圆，分别交边，于点D，E；P是圆上一动点（与点D、E不重合），连接，则 .
15．（2022九上·杭州期中）如图，在⊙O中，直径，则弦AC所对圆周角为 .
16．（2022九上·新昌期中）半径为的圆中有一条弦长为的弦，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
18．（2023九上·诸暨期末）如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
19．（2022九上·余杭月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，OD．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为4∶5时，求四边形ABDE四个内角的度数．
20．（2022九上·瑞安期末）如图，四边形是的内接四边形，，点是的中点.
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形.
21．（2022九上·舟山期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD。
（1）求证：∠ABC＝45°；
（2）求证：∠DEC＝DEA；
（3）若点D的坐标为（0，9），求AE的长．
22．（2022九上·桐庐期中）如图，在半径为6的扇形中，，C是上的一个动点（不与A，B重合），，垂足分别为点D，E.
（1）求的长.
（2）求四边形各内角的度数.
23．（2022九上·鹿城期末）已知钝角三角形内接于分别为的中点，连接.
（1）如图1，当点在同一条直线上时，求证：.
（2）如图2，当不在同一条直线上时，取的中点，连接交于点，当时.
①求证：是等腰三角形；
②如图3，连并延长交于点，连接.求证：.
24．（2022九上·定海月考）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点是弧的中点，是弧所对的圆周角， 连接、 试说明与是偏等三角形．
（2）如图2，与是偏等三角形，其中 猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角 ．请填写结论，并说明理由．(以与为例说明)；
（3）如图3，内接于 若点在上，且与是偏等三角形， 求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点M，连接AM、CM，
则，
四边形ABCM是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠AMC的度数，进而根据圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，最后根据邻补角定义即可算出∠CBD的度数.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
为的内接四边形，
，
，
为弧的中点，
，
，
设，
则，，
，
，
在中，，
解得：，
，
故答案为：A.
【分析】由邻补角的性质可得∠BAD=180°-∠DAE=66°，由圆内接四边形的性质可得∠BCD=180°-∠BAD=114°，根据题意可得∠DAC=∠DCA，设∠DAC=∠DCA=x，则∠BAC=66°-x，∠BCA=114°-x，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BCA=114°-x，然后根据内角和定理进行计算.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】优弧上找一点D，连接AD、DB，根据圆内接四边形的性质可得∠D=180°-m，由圆周角定理可得∠AOB=2∠D，据此计算.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵ ∠AOB=140° ，
∴∠ADB= ∠AOB=70° ，
∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=110°.
故答案为：C.
【分析】如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠ADB=70°，进而根据圆内接四边形的对角互补可算出∠ACB的度数.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴弧CD＝弧BC，
∴AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
由勾股定理得：AF2＝AC2 CF2，AE2＝AC2 CE2，
∴AF＝AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FBC＝∠D，∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
在△FBC和△EDC中，
∠FBC＝∠D，∠BFC＝∠DEC，CF＝CE
∴△FBC≌△EDC（AAS），
∴BF＝DE，
∵AB＝3，AD＝5，
∴AF＋AE＝AB＋BF＋AD DE＝3＋BF＋5 DE＝3＋5＝8，
∴AF＝AE＝4，
∵∠BAC＝30°，∠AFC＝90°，
∴AC＝2CF，
∴CF2＋42＝（2CF）2，
解得：CF＝
∴AC＝2CF＝.
故答案为：B.
【分析】过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，根据等弧所对的圆周角相等得AC平分∠BAD，根据角平分线的性质得CF＝CE，根据勾股定理得AF=AE，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠D，∠BAD＋∠BCD＝180°，求出∠BAC＝30°，用AAS判断出△FBC≌△EDC，根据全等求出BF＝DE，求出AF长，根据含30度角直角三角形的性质及勾股定理求出CF即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝44°，
∴∠B＝90°-∠BAC＝46°，
∵四边形ABCD是半⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°-∠B＝134°，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ＝ ，
∴AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝ （180°-∠D）＝23°，
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠B＝90°-∠BAC＝46°，由圆内接四边形的性质可得∠D=180°-∠B＝134°，由中点的概念以及弧、弦的关系可得AD＝DC，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥OC，
∴∠A+∠AOC=180°，
∴∠AOC=180°-70°=110°，
∴∠D=55°，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=180°-55°=125°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得出∠AOC=110°，从而得出∠D=55°，再根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
∵
，
点、、、都是上的点，
，
故答案为：C.
【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质可得∠CAE+∠D=180°，结合∠D的度数可求出∠CAE的度数，然后根据圆周角定理以及内角和定理可得∠ACE=∠AEC=65°，根据圆内接四边形的性质可得∠AEC+∠B=180°，据此计算.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°，
∴∠C＝180°-∠A＝180°-50°＝130°，
∵点C为弧BD的中点，
∴CD＝CB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠CBD＝×（180°-130°）＝25°.
故答案为：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠C＝180°-∠A，求出∠C的度数，再由点C为弧BD的中点得∠CBD＝∠CDB，最后根据等腰三角形的性质计算∠CBD的度数即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的角平分线交点，
∴∠BAC＝2∠IAC，∠ACB＝2∠ICA，
∵∠AIC＝124°，
∴∠IAC+∠ICA=180°-∠AIC=56°，
∴∠B＝180°-（∠BAC+∠ACB）＝180°-2（∠IAC+∠ICA）＝180°-2×56°＝68°，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B＝68°.
故答案为：C.
【分析】由点I是△ABC的角平分线交点得∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，利用三角形内角和定理求得∠IAC+∠ICA=56°，从而求得∠B＝180°-（∠BAC+∠ACB）＝180°-2（∠IAC+∠ICA）∠AIC），代入数据求出∠B的度数，最后利用圆内接四边形的外角等于内对角即可求解．
11．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，在优弧上取一点D，连接、，
∵，
又∵，
∴，
∴，
故答案为100°.
【分析】在优弧AC上取一点D，连接AD、DC，由圆内接四边形的性质可得∠ADC=180°-∠ABC=50°，由圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC，据此计算.
12．【答案】18
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【分析】设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，∠E＝90° x，根据对称的性质得AD＝AC，AB垂直平分CD，则可判断AB平分∠CAD，则∠CAB＝∠DAB＝2x，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CAB＝2x，根据三角形的内角和定理得∠ACB＝180° 4x，利用圆内接四边形的性质得180° 4x＋90° x＝180°，然后解方程即可．
13．【答案】35
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形AFBD是圆内接四边形，
∴∠F+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-×110°=125°，
∵的度数为40°，
∴∠CBD=20°，
∴∠DEB=180°-∠ADB-∠CBD=180°-125°-20°=35°.
故答案为：35.
【分析】如图，连接BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得出∠ADB的度数，再根据的度数为40°，得出∠CBD的度数，再根据三角形内角和定理得出DEB=180°-∠ADB-∠CBD，即可得出答案.
14．【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵是等边三角形，
∴
连接，
则：，
∴均为等边三角形；
∴，
∴，
∴当点P在优弧DBE上时，
当点P在劣弧DE上时，∠DPE=180°-30°=150°.
故答案为：30°或150°.
【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，连接OD、OE，易得△BOD与△COE都是等边三角形，再根据等边三角形的性质及平角的定义可得∠DOE=60°，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可．
15．【答案】64°或116°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接OC、BC，在弧AC上取点E，并连接AE、CE，
∵，
∴，
∴，
∴∠E=180°-∠B=116°，
∴弦AC所对的圆周角的度数为64°或116°.
故答案为：64°或116°.
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠AOC的度数，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出弦AC所对的优弧上的圆周角∠B的度数，进而根据圆内接四边形对角互补即可得出∠E的度数，从而即可得出答案.
16．【答案】60°或120°
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：过O作，
则．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
又∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120°．
故答案为：60°或120°.
【分析】过O作OH⊥AB，由垂径定理可得AH=AB=，利用勾股定理求出OH，推出∠OAH=30°，∠AOH=60°，则∠AOB=120°，根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，根据圆内接四边形的性质可得∠ADB+∠ACB=180°，据此解答.
17．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
18．【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
19．【答案】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ．
（2）解：∵ + =180°， 与 的度数之比为4：5，
∴ =80°， =100°，
∴ = =50°，
∴ = + =130°，
∴∠BAE＝ ＝50°，∠B＝ ＝65°，
∵∠AED+∠B＝180°，∠BDE+∠A＝180°，
∴∠AED＝115°，∠BDE＝130°，
∴∠BAE＝50°，∠B＝65°，∠BDE＝130°，∠AED＝115°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接AD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠BAD=∠CAD，利用在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论.
（2）观察图形可知 ，的度数之和为180° ，由此可分别求出，的度数，同时可求出、、 的度数， 利用圆周角定理求出∠BAE，∠B的度数；再利用圆内接四边形的性质可求出∠AED和∠EDB的度数.
20．【答案】（1）解：∵
∵
∴
（2）证明：连结
∵点为的中点
∴弧弧
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，为等边三角形，
∴，
∴四边形为菱形.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠ADC+∠B=180°，进而结合∠ADC=2∠B，可得∠B的度数；
（2）连接OD，根据等弧所对的圆心角相等得∠AOD=∠COD，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOD=∠COD=60°，然后判断出△AOD、△COD是等边三角形，从而得出AO=CO=AD=CD，根据四边相等的四边形是菱形即可得出答案.
21．【答案】（1）证明：∵对应圆周角分别为∠ABE和∠ADE
又∵DE平分∠ADC且∠ADC=90
∴∠ABE=∠ADE=45°
即∠ABC=45°
（2）证明：∵OM⊥AB，OA=OB
∴AD=BD
∴∠DAB=∠DBA
∵∠DEB=∠DAB
∴∠DBA=∠DEB
∵D、B、A、E四点共圆
∴∠DBA+∠DEA=180°
又∵∠DEB+∠DEC=180°
∴∠DEA=∠DEC
（3）解：连结ME、MA
∵D的坐标为（0，9），则OM=9-R
又∵OM2+OA2=MA2，则
解得R=5 即圆M的半径为5
∴∠EMA=90°
∴EA2=MA2+ME2=25+25=50
∴EA=
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用∠ADC=90°及角平分线的性质可求出∠ADE=45°，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠ADE，即可求出∠ABC的度数.
（2）利用已知可证得DO垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角，可证得∠DAB=∠DBA，利用同弧所对的圆周角相等，可推出∠DBA=∠DEB；再利用圆内接四边形的对角互补，可证得∠DBA+∠DEA=180°，然后根据补角的性质可证得结论.
（3）连结ME、MA，设圆M的半径为R，利用点D的坐标，可表示出OM的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的长；再利用圆周角定理可证得∠EMA=90°，利用勾股定理求出AE的长.
22．【答案】（1）解：如图所示，连接，过点O作于F，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴由垂径定理得：，
∵，
∴D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（2）解：如图所示，在优弧上取一点H，连接，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接AB，过点O作OF⊥AB于点F，由等腰三角形的性质及三角形内角和得∠ABO=30°，由含30°直角三角形的性质得OF=3，在Rt△AOF中，利用勾股定理算出AF，根据垂径定理得AB=2AF，据此求出AB的长，再根据垂径定理得 D、E分别是AC、BC的中点 ，根据三角形的中位线定理求出ED；
（2） 在优弧AB上取一点H，连接AH、BH， 根据圆周角定理得∠H=60°，根据圆内接四边形的性质得∠C的度数，根据垂直定义得∠ODC=∠OEC=90°，最后根据四边形的内角和定理即可算出∠DOE的度数.
23．【答案】（1）证明：∵是的中点，点在同一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴.
（2）证明：①∵分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形.
②延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；
（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE＋DE＝AG，由图知：AE＋EG＝AG，可证DE＝EG；
②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．
24．【答案】（1）解：∵点是弧的中点，
∴BC=CD，．
又∵AC=AC，
∴与是偏等三角形
（2）解：互补；
如图，在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG．
由题意可知在和中，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，即另一组等边的对角互补．
（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，
∵BC=CD，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴AD>CD符合题意，
∴ AD=AC=6；
②当AB=CD时，如图，过点D作于点E，
∵AB=CD，，
∴，
∴，，
∴，
∴，符合题意．
设CE=x，则，
∵，即，
∴，
∴，
∴．
综上可知AD的值为6或．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）点C是弧BD的中点，可证得弧BC=弧CD，可证得BC=CD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠BAC=∠DAC，再利用偏等三角形的定义，可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG=AB，连接FG，利用AAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质，可证得∠B=∠DGF，BC=GF，从而可推出EF=GF，利用等边对等角可知∠E=∠FGE；再利用邻补角的定义可证∠DGF+∠FGE=180°，代入可得到∠B+∠E=180°，由此可得结论.
（3）①分情况讨论：当BC=CD时，可得到弧BC=弧CD，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CAB=∠DAC=30°，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用圆内接四边形的对角互补，可知∠ABC+∠ADC=180°，即可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数，由此可推出∠ADC=∠ACD，∠ACD＞∠DAC，利用在同一个三角形中，大角对大边，可知AD＞CD，即可得到AD的长；当AB=CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可得到弧AC=弧CD，利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠DAC的度数，在△ADC中，利用三角形的内角和定理求出∠ACD的度数，可知∠ACD＞∠DAC，利用在同一个三角形中，大角对大边，可推出AD＞CD，符合题意；设CE=x，利用勾股定理表示出AE，DE的长；根据AC=AE+EC=6，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，代入可求出AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
1 / 1
