2023年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·淮南月考）圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：A
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
2．（2020九上·天河期末）一个圆的半径为 ，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，圆的半径为 ，AB=BC，结合勾股定理，进而即可求解．
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2×4=8，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴2AB2=64，解得：AB=4 ，
故答案为：C．
【分析】根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可。
3．（2020九上·斗门期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角为60°，再计算求解即可。
4．（2022九上·新昌期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C
， ，圆的半径为4，
∴OC=2，
∴BC= ，
∴AB=2BC= ，
∴阴影部分的周长为： .
故答案为：D.
【分析】根据内接正三角形的性质，求出正三角形的一边，即可求出阴影部分的周长.
5．（2022九上·江干月考）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接OA，OC，OB，根据正多边形中心角的定义得∠AOB=90°，∠COB=60°，进而根据角的和差算出∠AOC的度数，即可得出答案.
6．（2021九上·龙泉期中）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，
∴∠AOB= =90°，∠AOC= =120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴n= =12.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，易得∠AOB=90°，∠AOC=120°，求出∠BOC的度数，然后利用360°除以∠BOC的度数可得n的值.
7．（2021九上·连山期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（ ）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
当点P不在弧AB上时，
∠APB＝ ∠AOB＝30°，
当点P在弧AB上时，
∠APB＝180°﹣ ∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOB＝ ＝60°，再分类讨论计算求解即可。
8．（2020九上·铜官期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，已知 的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH= AB=1，
∴OH= AH= ，
故答案为：C．
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得出∠AOB= =60°，根据等腰三角形的性质得出∠AOH=30°，AH= AB=1，即可得出结论。
9．（2020九上·张店期末）如图，有一个半径为 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= ，
∴∠AOC= ，
∵OA=4cm，
∴AC=2cm，
∴OC= cm，
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，可知△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出结果。
10．（2020九上·龙口期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故答案为：C．
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·杭州期末）一个边长为2的正六边形，其外接圆的半径为 .
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60°，
∴正六边形外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为2的正六边形的外接圆的半径为2.
故答案为：2.
【分析】根据正六边形的外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可解决问题.
12．（2023九上·苍溪期末）如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠AOD的度数是 .
【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°.
故答案为：90°.
【分析】根据正n多边形的中心角等于代入计算即可得出答案.
13．（2022九上·镇海区期中）正六边形内接于，，则的半径是 .
【答案】10
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的半径为：.
故答案为：10.
【分析】连接AO、BO，根据正多边形与圆的关系可得∠AOB=60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的三边相等即可得出答案.
14．（2022九上·中山期末）已知的半径为6，则的内接正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示， 的半径为6
∵四边形 为正方形，
∴ 为 的直径，
∴
在 中，
∴
解得，
即 的内接正方形的边长为
故答案为：
【分析】利用勾股定理可得，再将数据代入求出，即可得到正方形的边长。
15．（2023九上·韩城期末）如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数为 .
【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE是的内接正五边形，
∴中心角∠COD=360°÷5=72°.
故答案为：72°
【分析】利用圆的内接正n边形的中心角为，将n=5代入计算，可求解.
16．（2022九上·河东期末）正方形的中心角为 ．
【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的中心为点O，
则∠AOB=360°÷4=90°，
故答案为：90°．
【分析】设正方形ABCD的中心为点O，再列出算式求出中心角即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
18．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
19．（2021九上·永城月考）如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
20．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
21．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
22．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
23．（2020九上·吴江期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值.
【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）解：连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1） 如图，连接BD，根据圆内接四边形对角互补，得出∠BAD=60°，由AB=AD，可得△ABD是等边三角形，即得∠ABD=60°，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠AED的度数；
（2）连接OA，根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=120°，从而求出∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， 利用正多边形与圆的性质即可求出结论.
24．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P= ∠BOC=45°
（2）解：∵OB=OC=8，∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
∴BC=
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据正方形的中心角的计算方法得出∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠P的度数；
（2）直接利用勾股定理即可算出答案。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.7 正多边形 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·淮南月考）圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
2．（2020九上·天河期末）一个圆的半径为 ，则该圆的内接正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·斗门期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
4．（2022九上·新昌期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（ ）
A． B． C．24 D．
5．（2022九上·江干月考）如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．
A．六 B．八 C．十 D．十二
6．（2021九上·龙泉期中）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．（2021九上·连山期中）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（ ）
A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
8．（2020九上·铜官期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，已知 的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（2020九上·张店期末）如图，有一个半径为 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2020九上·龙口期末）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·杭州期末）一个边长为2的正六边形，其外接圆的半径为 .
12．（2023九上·苍溪期末）如图，正方形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠AOD的度数是 .
13．（2022九上·镇海区期中）正六边形内接于，，则的半径是 .
14．（2022九上·中山期末）已知的半径为6，则的内接正方形的边长为 ．
15．（2023九上·韩城期末）如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数为 .
16．（2022九上·河东期末）正方形的中心角为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
18．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
19．（2021九上·永城月考）如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
20．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
21．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
22．（2021九上·武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE=DE；
（2）若CE=1，求四边形AECD的面积.
23．（2020九上·吴江期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值.
24．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：A
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
2．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，圆的半径为 ，AB=BC，结合勾股定理，进而即可求解．
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2×4=8，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴2AB2=64，解得：AB=4 ，
故答案为：C．
【分析】根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可。
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4.
故答案为：C.
【分析】先求出正六边形的中心角为60°，再计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C
， ，圆的半径为4，
∴OC=2，
∴BC= ，
∴AB=2BC= ，
∴阴影部分的周长为： .
故答案为：D.
【分析】根据内接正三角形的性质，求出正三角形的一边，即可求出阴影部分的周长.
5．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接OA，OC，OB，根据正多边形中心角的定义得∠AOB=90°，∠COB=60°，进而根据角的和差算出∠AOC的度数，即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，
∴∠AOB= =90°，∠AOC= =120°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，
∴n= =12.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，易得∠AOB=90°，∠AOC=120°，求出∠BOC的度数，然后利用360°除以∠BOC的度数可得n的值.
7．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
当点P不在弧AB上时，
∠APB＝ ∠AOB＝30°，
当点P在弧AB上时，
∠APB＝180°﹣ ∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOB＝ ＝60°，再分类讨论计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH= AB=1，
∴OH= AH= ，
故答案为：C．
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得出∠AOB= =60°，根据等腰三角形的性质得出∠AOH=30°，AH= AB=1，即可得出结论。
9．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= ，
∴∠AOC= ，
∵OA=4cm，
∴AC=2cm，
∴OC= cm，
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，可知△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出结果。
10．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故答案为：C．
【分析】首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案。
11．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形的中心角为：360°÷6=60°，
∴正六边形外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
∴边长为2的正六边形的外接圆的半径为2.
故答案为：2.
【分析】根据正六边形的外接圆的半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可解决问题.
12．【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝ ×360°＝90°.
故答案为：90°.
【分析】根据正n多边形的中心角等于代入计算即可得出答案.
13．【答案】10
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AO、BO，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的半径为：.
故答案为：10.
【分析】连接AO、BO，根据正多边形与圆的关系可得∠AOB=60°，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABO是等边三角形，再根据等边三角形的三边相等即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示， 的半径为6
∵四边形 为正方形，
∴ 为 的直径，
∴
在 中，
∴
解得，
即 的内接正方形的边长为
故答案为：
【分析】利用勾股定理可得，再将数据代入求出，即可得到正方形的边长。
15．【答案】72°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE是的内接正五边形，
∴中心角∠COD=360°÷5=72°.
故答案为：72°
【分析】利用圆的内接正n边形的中心角为，将n=5代入计算，可求解.
16．【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的中心为点O，
则∠AOB=360°÷4=90°，
故答案为：90°．
【分析】设正方形ABCD的中心为点O，再列出算式求出中心角即可。
17．【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
18．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
19．【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 的值 .
20．【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
21．【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= ：2.
（2）解：T1：T2的边长比是 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴ .
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴AE=DE.
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC.
∵∠EDF=90°，
∴∠F=90°﹣45°=45°，
∴DE=DF.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形AECD=S△DEF.
∵EF= DE=EC+DE，EC=1，
∴1+DE= DE，
∴DE= +1，
∴S△DEF= DE2= .
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=CD，可推出弧AB=弧CD，再根据E是 的中，可推出弧AE=弧DE，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论；
（2）连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.，利用正方形的性质可知∠DBC=∠DEC=45°，DA=DC，再证明DE=DF，∠ADE=∠CDF；再利用AAS证明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得AE=CF，S△ADE=S△CDF，可推出S四边形AECD=S△DEF；据此建立关于DE的方程，解方程求出DE的长，根据 S△DEF= DE2，代入计算求出△DEF的面积.
23．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）解：连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1） 如图，连接BD，根据圆内接四边形对角互补，得出∠BAD=60°，由AB=AD，可得△ABD是等边三角形，即得∠ABD=60°，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠AED的度数；
（2）连接OA，根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=120°，从而求出∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， 利用正多边形与圆的性质即可求出结论.
24．【答案】（1）解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠P= ∠BOC=45°
（2）解：∵OB=OC=8，∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
∴BC=
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）连接OB，OC，根据正方形的中心角的计算方法得出∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠P的度数；
（2）直接利用勾股定理即可算出答案。
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