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2023年浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·宁波模拟）如图，已知，的弧长之差为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
，
∵，的弧长之差为，
∴，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据“，的弧长之差为”建立方程即可求解.
2．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
3．（2023·瓯海模拟）六一儿童节到了，小亮在图纸上先画一个边长为的正方形，再以该正方形的四个顶点为圆心，长为半径作弧，则图中实线所表示的饰品轮廓长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵以该正方形的四个顶点为圆心，6cm的长为半径作弧，
∴图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2倍，
∴cm.
故答案为：C
【分析】观察图形，利用正方形的中心对称图形，可知图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2倍，利用弧长公式求出结果.
4．（2023九上·宁波期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为 ，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=OC=BC=2，进而根据弧长计算公式即可算出的长.
5．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m
C． m D．（ +2）m
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 ，
∴EB=AB=1，OE=BC=，
在Rt△OEB中，OB==2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长==m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式计算即可.
6．（2023·义乌模拟）如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A．1141平方厘米 B．2281平方厘米
C．3752平方厘米 D．4000平方厘米
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD中∠DAB＝125°，∠ABC＝115° ，
∴∠D+∠C=360°-125°-115°=120°，
∵ 车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米 ，
∴车轮的半径为：12×2.54=30·48cm，
∴挡水铁片的半径为：30·48+2·52=33cm，
∴需要铁皮的面积为：平方厘米.
故答案为：B.
【分析】先根据四边形的内角和定理算出∠D+∠C=120°，进而算出挡水铁片的半径，最后根据扇形面积计算公式算出需要铁皮的面积即可.
7．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点E，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OD，由垂径定理可得EC=DE=，根据内角和定理可得∠B=60°，推出△OBD是等边三角形，得到∠DOB=60°，由对顶角的性质可得∠COB=∠AOF=60°，然后求出OE、OC的值，再根据S阴影=S扇形OAF-△AOF结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．（2022九上·瑞安期末）如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC、AC，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴商标的面积；
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出CD、AC的长，然后根据三边相等的三角形是等边三角形判断出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠AOC=60°，进而根据阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△ODC的面积计算即可.
9．（2022九上·宁波月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接EB，
∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E
∴BE＝BC＝12cm=2AB，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12πcm2.
故答案为：C．
【分析】由矩形性质及以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E可得出BE＝BC＝12cm=2AB，∠A＝90°，AD∥BC，根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，由平行线性质求出∠CBE＝30°，最后根据扇形面积公式计算即可．
10．（2022九上·义乌月考）如图，扇形中，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：D.
【分析】 连接OO′，证明O，O′，A′三点共线，则阴影部分的面积为S扇形BOD S△OBO′．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·金华）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接AD、OD、OE，
∵AB是该半圆的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
在△ABC中， AB=AC=6cm，∠BAC=50°， AD⊥BC，
∴∠DAC=25°，
∴∠DOE=2∠DAC=50°，
∴弧DE的长为：.
故答案为：.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，即AD⊥BC，由等腰三角形的三线合一得∠DAC=25°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOE=2∠DAC=50°，最后根据弧长计算公式算出弧DE的长即可.
12．（2023·宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为气米，BC长度为米，圆心角，则裙长AB为 米。
【答案】0.8
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵弧 AD长度为气米，弧BC长度为米，∠AOD=60°，
∴，
解之：OA=1，，
∴.
故答案为：0.8
【分析】利用弧AD和弧BC的长及弧长公式，分别求出OA，OB的长，再根据AB=OB-AO，代入计算求出AB的长.
13．（2023九下·义乌开学考）如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上，顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为
【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AO，BO，AC，OF，
∵AB＝6，AO＝BO＝6，
∴AB＝AO＝BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°
同理：△FAO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∠FAB＝2×60°＝120°，
∵由正方形的性质得∠BAD=90°，
∴∠FAD＝∠FAB-∠DAB=120° 90°＝30°，
∵AD＝AF＝6，
∴点D运动的路径长为：.
故答案为：π.
【分析】连接AO，BO，OF，易证△AOB与△FAO是等边三角形，得∠FAB＝120°，∠FAD＝30°，再利用弧长公式计算即可．
14．（2023·宁波竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，以AC为直径的⊙O与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC、OE、OF、OG、OH，
∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠B=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，AO=2，
∴∠EAO=∠OCF=60°.
∵以AC为直径的圆O与菱形ABCD相交，
∴OA=OE=OF=OC=OG=OH=2，
∴∠EOF=∠FOC=∠COG=∠GOH=∠HOA=∠AOE=60°，
∴S阴影=4S△AOE+2S扇形OEF==.
故答案为：.
【分析】连接AC、OE、OF、OG、OH，由菱形的性质可得AB=BC，推出△ABC为等边三角形，AO=2，得到∠EAO=∠OCF=60°，由题意可得OA=OE=OF=OC=OG=OH=2，然后根据S阴影=4S△AOE+2S扇形OEF进行计算.
15．（2023九下·淳安期中）如图，菱形中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，AB=BC=CD=AD=4，
∴BO=AB=2，
∴S阴影=2S扇形BOE=2×=.
故答案为：.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠BAC=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BO的值，然后根据S阴影=2S扇形BOE结合扇形的面积公式进行计算.
16．（2023九上·江北期末）如图，是半圆的直径且.P为半圆上一点（不与点A、B重合），D为延长线上一点，、的角平分线相交于点C.在点P移动的过程中，线段扫过的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；圆周角定理；扇形面积的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作半圆弧的中点E，
∵是直径，
∴，
∵、是角平分线，
∴，
∴，
以E为圆心为半径作弧，
可知C在上运动，
注意到是的直径，因此，
，
故答案为：.
【分析】作半圆弧AB的中点E，由圆周角定理可得∠APB=90°，根据角平分线的概念以及外角的性质可得∠PBD=2(∠C+∠CAB)，则∠ACB=∠APB=45°，以E为圆心EA为半径作弧，可知C在上运动，则AF=2AE，然后根据S=S△ABE+S扇形BEF进行计算.
三、作图题（共9分）
17．（2022九上·镇海区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到.
（1）在正方形网格中，画出；
（2）求出点C经过的路线长度；
（3）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积.
【答案】（1）解：作图如下：即为所求；
（2）解：由图可知：，
点经过的路线为：；
（3）解：由图可知：，
线段在变换到的过程中扫过区域的面积为扇形面积.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）由图可知AC=AC′=4，∠CAC′=90°，易得点C经过的路径为半径为4，圆心角为90°的扇形的弧长，然后结合弧长公式进行计算；
（3）利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB′的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为90°的扇形的面积，据此计算.
四、解答题（共7题，共57分）
18．（2023九上·衢州期末）已知：如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，.求阴影部分的面积？
【答案】解：如图，连接、.
∵，是以为直径的半圆周的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
即：阴影部分的面积为.
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC、OD，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，可判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形性质可得∠OCD=∠AOC=60°，则CD∥AB，根据同底等高三角形面积相等得S△ACD=S△OCD，则S阴影=S扇形OCD，进而利用扇形面积计算公式即可算出答案.
19．（2023九上·宁波期末）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若，，求的长和扇形的面积.
【答案】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，即，
又∵D是中点，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，结合D为BC的中点可得AD是线段BC的中垂线，则AB=AC，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A=∠AEO=40°，由内角和定理可得∠AOE=100°，然后利用弧长公式可得的长， 易得∠EOD=40°，然后利用扇形的面积公式进行计算.
20．（2022九上·上城月考）如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得.
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段扫过的面积.
【答案】（1）解：由题意得，点B扫过的弧的长为，
∵，将绕点O顺时针旋转后得，
∴
；
（2）解：由题意得，线段扫过的面积为，
∵将绕点O顺时针旋转后得，
∴，
∴
.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 由题意得点B扫过的弧的长为，利用弧长公式计算即可；
（2） 由旋转的性质可得，可得线段扫过的面积为=， 据此进行计算即可.
21．（2022九上·定海期中）如图，O为半圆的圆心，直径AB=12，OD⊥AC于点D，OD=3.
（1）求弧AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积。
【答案】（1）解：如图，连结OC，
∵直径AB=12，OD⊥AC，OD=3，
∴OC=OA=OB=6，
∴OD= ，
∴∠OAC=∠OCA=30°，∠BOC=∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴ = ；
（2）解：
又∵
∴
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OC，求出∠AOC的度数，再利用弧长公式进行计算，即可得出答案；
（2）先求出S扇形ACO，再求出S△AOD+S△COD，利用，即可得出答案.
22．（2021九上·上虞期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使 ， .新建围墙为BCD.怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由.
【答案】（1）解：过点 作 于点 .
∵ ， ， ，
∴ ， .
设 ，则 ，
∴ ，
设储料场的面积为 ，则 ，
∴ .
∴当 时，储料场的面积最大，最大面积为 .此时 .
故当 米， 米时，所建储料场的面积最大，最大面积为 .
（2）解：小聪建议合理.理由如下：
由题意得 ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴小聪的建议是合理的.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，设CD=x ,由∠BAD=135° ，BC∥AD，∠C=90°，可得∠ABC=45° ,
CD⊥AD .则AH=BH=CD=x , 可得AD=HC=15-2x ,设储料场的面积为S , 可得S关于x的函数关系式，配方，当x=5时, 储料场的面积最大, 求出这个最大面积即可;
(2)由扇形弧长公式求出AD的长，求出这个扇形面积，再和37.5m2比较即可.
23．（2023九上·越城期末）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形ABED为平行四边形，则∠B=∠D，由圆周角定理可得∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，则∠AFC=∠ACF，据此证明；
（2）连接AO、CO，由（1）得∩AFC=∠ACF，结合内角和定理可得∠AFC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠AFC，然后利用弧长公式进行计算.
24．（2023九上·宁波期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
.
∵是⊙O的直径，
.
，
.
（2）解：连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，
.
又
是等边三角形，
.
∵弧=弧，
.
∵OE=OC
是等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABE，由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据同角的余角相等得∠C=∠BAD，再等量代换得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边即得出FA=FB；
（2） 连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AO，易得△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义可得∠EOC=60°，则△EOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得OH的长，再用勾股定理算出EH的长，进而根据S阴影=S△BOE+S扇形EOC，结合扇形面积计算公式即可算出答案.
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2023年浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·宁波模拟）如图，已知，的弧长之差为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．3
2．（2022九上·鹿城期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝20°，AC＝6，将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，当点B′第一次落在AB边上时，点A经过的路径长（即的长）为（ ）
A． B． C．2π D．
3．（2023·瓯海模拟）六一儿童节到了，小亮在图纸上先画一个边长为的正方形，再以该正方形的四个顶点为圆心，长为半径作弧，则图中实线所表示的饰品轮廓长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·宁波期末）如图，是半圆的直径，、是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图.已知矩形的宽为2m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． m B． m
C． m D．（ +2）m
6．（2023·义乌模拟）如图是小李上学用的自行车，型号是24英寸（车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安装时向车轮外延伸2.52厘米，那么预计需要的铁皮面积约是（ ）
A．1141平方厘米 B．2281平方厘米
C．3752平方厘米 D．4000平方厘米
7．（2023九上·镇海区期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点E，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·瑞安期末）如图，阴影部分是某个品牌商标的图案，为了研究它的面积，小明通过数学知识找到弧所在圆的圆心，经测量，，则商标的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·宁波月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·义乌月考）如图，扇形中，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·金华）如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm.
12．（2023·宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为气米，BC长度为米，圆心角，则裙长AB为 米。
13．（2023九下·义乌开学考）如图，已知正方形ABCD的顶点A，B在⊙O上，顶点C，D在⊙O内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，使点D落在⊙O上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm，则点D运动的路径长为
14．（2023·宁波竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，以AC为直径的⊙O与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2023九下·淳安期中）如图，菱形中，分别以点B，D为圆心，以长为半径画弧，分别交边于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
16．（2023九上·江北期末）如图，是半圆的直径且.P为半圆上一点（不与点A、B重合），D为延长线上一点，、的角平分线相交于点C.在点P移动的过程中，线段扫过的面积为 .
三、作图题（共9分）
17．（2022九上·镇海区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到.
（1）在正方形网格中，画出；
（2）求出点C经过的路线长度；
（3）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积.
四、解答题（共7题，共57分）
18．（2023九上·衢州期末）已知：如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，.求阴影部分的面积？
19．（2023九上·宁波期末）如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若，，求的长和扇形的面积.
20．（2022九上·上城月考）如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得.
（1）求点B扫过的弧的长；
（2）求线段扫过的面积.
21．（2022九上·定海期中）如图，O为半圆的圆心，直径AB=12，OD⊥AC于点D，OD=3.
（1）求弧AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积。
22．（2021九上·上虞期末）现有成135°角且足够长的墙角和可建总长为15m围墙的建筑用料来修建储料场.
（1）如图1，修建成四边形ABCD的一个储料场，使 ， .新建围墙为BCD.怎样修建围墙才能使储料场的面积最大？最大面积是多少？
（2）爱动脑筋的小聪建议：把新建的围墙建成如图2所示的以A为圆心的圆弧BD，这样修建的储料场面积会更大.聪明的你认为小聪的建议合理吗？请说明理由.
23．（2023九上·越城期末）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接.
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）.
24．（2023九上·宁波期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
，
∵，的弧长之差为，
∴，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据“，的弧长之差为”建立方程即可求解.
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B＝70°，
∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴BC＝B′C，
∴∠BB′C＝∠B＝70°，
∴∠BCB′＝40°，
∴∠ACA′＝40°，
∴点A经过的路径长＝＝，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形两锐角互余算出∠B的度数，根据旋转的性质得BC=B'C，根据等边对等角及三角形的内角和定理可得∠BCB'=40°，根据旋转的性质得∠ACA'=40°，从而利用弧长计算公式即可算出答案.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
∵以该正方形的四个顶点为圆心，6cm的长为半径作弧，
∴图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2倍，
∴cm.
故答案为：C
【分析】观察图形，利用正方形的中心对称图形，可知图中实线所表示的品牌轮廓线的长为弧AF长的2倍，利用弧长公式求出结果.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长为 ，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判断出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=OC=BC=2，进而根据弧长计算公式即可算出的长.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理的应用；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，
∵AB=2，BC= 2 ，
∴EB=AB=1，OE=BC=，
在Rt△OEB中，OB==2，
∴OB=2BE，
∴∠BOE=30°，
∴∠AOB=2∠BOE=60°，
∴的度数为300°，
∴改建后门洞的圆弧长==m.
故答案为：C.
【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB、OA，根据垂径定理和矩形的性质求出AB和BC长，再利用勾股定理求出OB长，求出∠BOE=30°，从而得出圆心角∠AOB的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD中∠DAB＝125°，∠ABC＝115° ，
∴∠D+∠C=360°-125°-115°=120°，
∵ 车轮的直径为24英寸，1英寸＝2.54厘米 ，
∴车轮的半径为：12×2.54=30·48cm，
∴挡水铁片的半径为：30·48+2·52=33cm，
∴需要铁皮的面积为：平方厘米.
故答案为：B.
【分析】先根据四边形的内角和定理算出∠D+∠C=120°，进而算出挡水铁片的半径，最后根据扇形面积计算公式算出需要铁皮的面积即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接.
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接OD，由垂径定理可得EC=DE=，根据内角和定理可得∠B=60°，推出△OBD是等边三角形，得到∠DOB=60°，由对顶角的性质可得∠COB=∠AOF=60°，然后求出OE、OC的值，再根据S阴影=S扇形OAF-△AOF结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC、AC，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴商标的面积；
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出CD、AC的长，然后根据三边相等的三角形是等边三角形判断出△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠AOC=60°，进而根据阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△ODC的面积计算即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接EB，
∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E
∴BE＝BC＝12cm=2AB，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠AEB＝30°，
∴∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴S扇形EBC＝＝12πcm2.
故答案为：C．
【分析】由矩形性质及以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E可得出BE＝BC＝12cm=2AB，∠A＝90°，AD∥BC，根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，由平行线性质求出∠CBE＝30°，最后根据扇形面积公式计算即可．
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：D.
【分析】 连接OO′，证明O，O′，A′三点共线，则阴影部分的面积为S扇形BOD S△OBO′．
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接AD、OD、OE，
∵AB是该半圆的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
在△ABC中， AB=AC=6cm，∠BAC=50°， AD⊥BC，
∴∠DAC=25°，
∴∠DOE=2∠DAC=50°，
∴弧DE的长为：.
故答案为：.
【分析】由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，即AD⊥BC，由等腰三角形的三线合一得∠DAC=25°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOE=2∠DAC=50°，最后根据弧长计算公式算出弧DE的长即可.
12．【答案】0.8
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵弧 AD长度为气米，弧BC长度为米，∠AOD=60°，
∴，
解之：OA=1，，
∴.
故答案为：0.8
【分析】利用弧AD和弧BC的长及弧长公式，分别求出OA，OB的长，再根据AB=OB-AO，代入计算求出AB的长.
13．【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：连接AO，BO，AC，OF，
∵AB＝6，AO＝BO＝6，
∴AB＝AO＝BO，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°
同理：△FAO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∠FAB＝2×60°＝120°，
∵由正方形的性质得∠BAD=90°，
∴∠FAD＝∠FAB-∠DAB=120° 90°＝30°，
∵AD＝AF＝6，
∴点D运动的路径长为：.
故答案为：π.
【分析】连接AO，BO，OF，易证△AOB与△FAO是等边三角形，得∠FAB＝120°，∠FAD＝30°，再利用弧长公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC、OE、OF、OG、OH，
∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠B=60°，
∴AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，AO=2，
∴∠EAO=∠OCF=60°.
∵以AC为直径的圆O与菱形ABCD相交，
∴OA=OE=OF=OC=OG=OH=2，
∴∠EOF=∠FOC=∠COG=∠GOH=∠HOA=∠AOE=60°，
∴S阴影=4S△AOE+2S扇形OEF==.
故答案为：.
【分析】连接AC、OE、OF、OG、OH，由菱形的性质可得AB=BC，推出△ABC为等边三角形，AO=2，得到∠EAO=∠OCF=60°，由题意可得OA=OE=OF=OC=OG=OH=2，然后根据S阴影=4S△AOE+2S扇形OEF进行计算.
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠ACD=30°，AB=BC=CD=AD=4，
∴BO=AB=2，
∴S阴影=2S扇形BOE=2×=.
故答案为：.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=4，∠BAC=∠ACD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BO的值，然后根据S阴影=2S扇形BOE结合扇形的面积公式进行计算.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；圆周角定理；扇形面积的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作半圆弧的中点E，
∵是直径，
∴，
∵、是角平分线，
∴，
∴，
以E为圆心为半径作弧，
可知C在上运动，
注意到是的直径，因此，
，
故答案为：.
【分析】作半圆弧AB的中点E，由圆周角定理可得∠APB=90°，根据角平分线的概念以及外角的性质可得∠PBD=2(∠C+∠CAB)，则∠ACB=∠APB=45°，以E为圆心EA为半径作弧，可知C在上运动，则AF=2AE，然后根据S=S△ABE+S扇形BEF进行计算.
17．【答案】（1）解：作图如下：即为所求；
（2）解：由图可知：，
点经过的路线为：；
（3）解：由图可知：，
线段在变换到的过程中扫过区域的面积为扇形面积.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）由图可知AC=AC′=4，∠CAC′=90°，易得点C经过的路径为半径为4，圆心角为90°的扇形的弧长，然后结合弧长公式进行计算；
（3）利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB′的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为90°的扇形的面积，据此计算.
18．【答案】解：如图，连接、.
∵，是以为直径的半圆周的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
即：阴影部分的面积为.
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OC、OD，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，可判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形性质可得∠OCD=∠AOC=60°，则CD∥AB，根据同底等高三角形面积相等得S△ACD=S△OCD，则S阴影=S扇形OCD，进而利用扇形面积计算公式即可算出答案.
19．【答案】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，即，
又∵D是中点，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB=90°，结合D为BC的中点可得AD是线段BC的中垂线，则AB=AC，据此证明；
（2）由等腰三角形的性质可得∠A=∠AEO=40°，由内角和定理可得∠AOE=100°，然后利用弧长公式可得的长， 易得∠EOD=40°，然后利用扇形的面积公式进行计算.
20．【答案】（1）解：由题意得，点B扫过的弧的长为，
∵，将绕点O顺时针旋转后得，
∴
；
（2）解：由题意得，线段扫过的面积为，
∵将绕点O顺时针旋转后得，
∴，
∴
.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1） 由题意得点B扫过的弧的长为，利用弧长公式计算即可；
（2） 由旋转的性质可得，可得线段扫过的面积为=， 据此进行计算即可.
21．【答案】（1）解：如图，连结OC，
∵直径AB=12，OD⊥AC，OD=3，
∴OC=OA=OB=6，
∴OD= ，
∴∠OAC=∠OCA=30°，∠BOC=∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=120°，
∴ = ；
（2）解：
又∵
∴
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连结OC，求出∠AOC的度数，再利用弧长公式进行计算，即可得出答案；
（2）先求出S扇形ACO，再求出S△AOD+S△COD，利用，即可得出答案.
22．【答案】（1）解：过点 作 于点 .
∵ ， ， ，
∴ ， .
设 ，则 ，
∴ ，
设储料场的面积为 ，则 ，
∴ .
∴当 时，储料场的面积最大，最大面积为 .此时 .
故当 米， 米时，所建储料场的面积最大，最大面积为 .
（2）解：小聪建议合理.理由如下：
由题意得 ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴小聪的建议是合理的.
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)过点A作AH⊥BC于点H，设CD=x ,由∠BAD=135° ，BC∥AD，∠C=90°，可得∠ABC=45° ,
CD⊥AD .则AH=BH=CD=x , 可得AD=HC=15-2x ,设储料场的面积为S , 可得S关于x的函数关系式，配方，当x=5时, 储料场的面积最大, 求出这个最大面积即可;
(2)由扇形弧长公式求出AD的长，求出这个扇形面积，再和37.5m2比较即可.
23．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形ABED为平行四边形，则∠B=∠D，由圆周角定理可得∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，则∠AFC=∠ACF，据此证明；
（2）连接AO、CO，由（1）得∩AFC=∠ACF，结合内角和定理可得∠AFC的度数，由圆周角定理可得∠AOC=2∠AFC，然后利用弧长公式进行计算.
24．【答案】（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
.
∵是⊙O的直径，
.
，
.
（2）解：连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，
.
又
是等边三角形，
.
∵弧=弧，
.
∵OE=OC
是等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABE，由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据同角的余角相等得∠C=∠BAD，再等量代换得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边即得出FA=FB；
（2） 连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AO，易得△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义可得∠EOC=60°，则△EOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得OH的长，再用勾股定理算出EH的长，进而根据S阴影=S△BOE+S扇形EOC，结合扇形面积计算公式即可算出答案.
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