2023年浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九上·杭州期中）如图，正方形的边长为6，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在上滑动，同时点F在上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·嘉兴期末）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
8．（2020九上·淮安期中）如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
9．（2020·昆明模拟）如图，将半径为 ，圆心角为120°的扇形 绕点 逆时针旋转60°，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·宿州模拟）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．4πcm C． D．
二、填空题
11．（2022九上·北仑期中）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
12．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
13．（2022·西安模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为 .
14．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
15．（2022九下·开封月考）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为 .
16．（2021九上·西湖期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是 ；此时 的长度是 .
17．（2021九上·平阳月考）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示.已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2 ）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2.
三、综合题
18．（2023·佳木斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
（1）画出，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
（3）求在旋转过程中扫过的面积．
19．（2023·唐山模拟）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．
（1）求证：；
（2）当与半圆A相切时，求弧的长；
（3）直接写出面积的最大值．
20．（2023九上·宁波期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
21．（2022九上·定海期中）如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
22．（2022九上·瑞安期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
23．（2021·临淄模拟）如图
如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？
24．（2020九上·阜南期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE ，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
2．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
3．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵M是线段QF的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是AF（QF）的中点，
∴，
∴，
同理可求得，
∴，
∴线段QF的中点M所经过的路线长，
故答案为：B.
【分析】连接BM，根据正方形的性质得∠QBF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BM的长，M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，当Q与A重合时，根据勾股定理算出AF的长，根据含30°直角三角形的性质可得∠BAF=30°，M是AF（QF）的中点，有等边对等角得∠ABM=30°，同理求出∠CBM1=30°，所以∠MBM1=30°，进而根据弧长计算公式算出即可.
4．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=.
则扇形FDE的面积是：.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=.
则阴影部分的面积是：-.
故答案为：D.
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DC=AB=1，易得四边形DMCN是正方形，DM=，根据扇形的面积公式可得扇形FDE的面积，由等腰三角形的性质可得CD平分∠BCA，根据角平分线的性质可得DM=DN，证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN=，据此不难求出阴影部分的面积.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝ ，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是： .
故答案为：C.
【分析】连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，则∠DCG＝90°，由勾股定理求出DG、CG，推出S阴影BEF=S扇形OEF，S阴影ACD=S扇形COD，S阴影=S半圆DCG，据此求解.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 、 ，
∵将半径为 ，圆心角为120°的扇形 绕点 逆时针旋转60°，
∴∠ =60°，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴∠ =∠ =60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠ =60°，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴∠ =60°，
∴∠ =120°，
∴∠ =120°，
∵ ，
∴∠ =∠ =30°，
∴图中阴影部分面积=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】如图，连接 、 ，利用旋转性质得出∠ =60°，之后根据同圆之中半径相等依次求得 是等边三角形以及 是等边三角形，据此进一步分析得出∠ =120°，最后利用图中阴影部分面积= 进一步计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：点 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到 ； 是由 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到，
， ， ， ，
点 翻滚到 位置时共走过的路径长 ．
故答案为： ．
【分析】根据旋转的定义得到点 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到 ； 是由 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到，由于 ， ， ， ，然后根据弧长公式计算即可．
11．【答案】2+2+π
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF-OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π.
故答案为：2+2+π.
【分析】连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.证明△BOF是等边三角形，利用直角三角形的性质求出OE，EF≥OF-OE＝2，当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出此时BT，FT，的长即可.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB===10，
如图，连接AP，BP，
AB是直径，
∠APB＝90°，APBP，
取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，
在△ACP，△BCP中，点E，F，Q为中点，
则EQ，FQ为中位线，
EQ=AP，FQ=BP，EQ∥AP，FQ∥BP，
EQFQ，∠EQF＝90°，
Q在以EF为直径的半圆上，EF=AB=5，
Q运动的路线长为=
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AB=10，连接AP，BP，由AB是直径可得∠APB＝90°，取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，根据三角形中位线定理可求出△EFM为直角三角形，从而判断Q在以EF为直径的半圆上，根据圆的周长公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意得：OC平分∠MON，
∴∠BOD=，
∴的长=，
作点D关于OM的对称点D'，连接BD'交OM于点E'，连接OD'，则BE'+ DE'= BE'+ D'E'=BD'，此时，BE+DE的最小值= BD'，
∵∠AOD'=∠AOD=∠BOD=20°，
∴∠BOD'=60 °，
∵OD'=OD=OB，
∴△BOD'是等边三角形，
∴BD'=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，
故答案为：.
【分析】由作图知OC平分∠MON，可得∠BOD=∠MON=20°，利用弧长公式求出的长=，作点D关于OM的对称点D'，连接BD'交OM于点E'，连接OD'，则BE'+ DE'= BE'+ D'E'=BD'，此时，BE+DE的最小值= BD'，易证△BOD'是等边三角形，可得BD'=OB=4，由于阴影部分周长的最小值= BD'+的长，据此计算即可.
16．【答案】7.5，；5π或 π
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝OA＝OB＝5，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝ AB＝ ，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：5×2＝10，
∴GE+FH的最大值为：10﹣ ＝7.5.
∵GH是直径，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴AC⊥GH或AC是直径，
当AC⊥GH时，BC是直径，
∴ 的长度是5π；
当AC是直径时，∠BOC＝120°，
∴ 的长度是 ＝ π；
故答案为：7.5，5π或 π.
【分析】连接OA、OB，由圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，推出△AOB为等边三角形，由中位线的性质可得EF＝AB＝ ，要求GE+FH的最大值，即求弦GH的最大值，当弦GH是圆的直径时取得最大值，据此得GE+FH的最大值；当AC⊥GH时，BC是直径，当AC是直径时，∠BOC＝120°，然后利用弧长公式计算即可.
17．【答案】2；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H.设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝ xcm.
设正八边形的边长为mcm，
则有4+2 ＝m+ m+ m，
∴m＝2 ，
∴A1A2＝2 （cm），AA1＝2（cm），
在Rt△HA1A2中，A1A22＝A1H2+A2H2，
∴8＝（ x）2+（x﹣ x）2，
∴x2＝8+4 ，
∴S弓形＝ ﹣ ×x× x＝ （cm2）.
故答案为：2， .
【分析】设圆心为O，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H，设OA1＝OA2＝xcm，则OH=A1H＝xcm，设正八边形的边长为mcm，根据AB-AC=4+可得m，进而可得A1A2，AA1，利用勾股定理可得x，接下来根据扇形、三角形的面积公式进行计算即可.
18．【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
由平移可知点 的坐标为 ．
（2）解：如图1， 即为所求；
（3）解：由题意知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由平移与旋转的性质可得 ， 均为等腰直角三角形， ， ，
∵ ，
∴ 在旋转过程中扫过的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形，再求点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）利用勾股定理先求出 是等腰直角三角形， ， 再利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴．
由旋转可得，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵与半圆A相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：面积的最大值=4
【知识点】三角形的面积；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，
过点D作于点Q，
∴，
当时，的高取得最大值，
此时也取得最大值．
∴．
【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）先求出，再利用弧长公式求出即可；
（3）过点D作于点Q，当时，的高取得最大值，再求出即可。
20．【答案】（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
.
∵是⊙O的直径，
.
，
.
（2）解：连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，
.
又
是等边三角形，
.
∵弧=弧，
.
∵OE=OC
是等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABE，由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据同角的余角相等得∠C=∠BAD，再等量代换得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边即得出FA=FB；
（2） 连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AO，易得△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义可得∠EOC=60°，则△EOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得OH的长，再用勾股定理算出EH的长，进而根据S阴影=S△BOE+S扇形EOC，结合扇形面积计算公式即可算出答案.
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，PC，证出△OPC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OE=PE；
（2）①连接PC，证出△CPH是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OHE=PE；
②根据题意得出H是在以BC为弦，圆周角的圆上运动，从而得出劣弧 即为H的运动轨迹，利用弧长公式求出的长度，即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面积＝ ＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
设CH＝NG＝y，
∵AB＝CD＝x，
∴CN＝x-y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x-y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（-1+ ）x，y2＝-1- （舍），
∴S＝ AB BG
＝ x （x+x+ x-x）
＝ （1+ ）x2
＝ x2．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠EAG＝90°，根据矩形的性质可得∠ABC＝∠BCD＝90°，由同角的余角相等可得∠G＝∠BAE，结合CF＝BE，利用AAS证明△ABE≌△GCF，据此可得结论；
（2）由同角的余角相等可得∠DAF＝∠BAE，由三角形的内角和定理得∠BAE＝20°，由等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DMA＝20°，由内角和定理可得∠ADM＝140°，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（3）根据全等三角形的性质可得S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，则S＝S△ABG，由等腰三角形的性质以及平行线的性质可推出MN＝NG，设CH＝NG＝y，则CN＝x-y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝x+2y，根据勾股定理可得DC2+CN2＝DN2，代入并化简可表示出y，然后根据三角形的面积公式可得S关于x的函数表达式.
23．【答案】（1）解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
（2）解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
(2)解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【分析】（1）重点要准确画出三次旋转后的图形，找到O点的行动轨迹
（2） 重点需要知道把正方形旋转四次后，O点的相对位置不变，把握住O点的规律.
24．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心．
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
（2）解：连接CD、OD．
∵∠BAD＝∠DAC，
∴ ，
∴BD＝CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DE ，
由（1）证得DB＝DE
∴DB＝DE=CD= ，
∴BC=6，OB=OC=OD=3，
∴△BCD为等腰直角三角形，O为BC的中点，
∴DO⊥BC，即∠DOC=90°，
∵FC是切线，
∴∠BCF＝90°，
∴∠CFD＝90°-45°=45°，∠DCF＝90°-45°=45°，
∴△CDF的等腰直角三角形，
∴DF＝CD＝BD＝3 ，
∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） 3 3 （ 3×3） ．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， 再求出 ∠DBE＝∠DEB， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD＝CD， 再求出 △CDF的等腰直角三角形， 最后利用扇形面积公式和三角形面积公式计算求解即可。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023·鄂州）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，点O为BC的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴BC=AB=，
∴OC=OD=OB=，
∴∠DOB=2∠C=60°，
∴S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB=×4×-×××-=-2π.
故答案为：C.
【分析】连接OD，易得BC=AB=，则OC=OD=OB=，根据圆周角定理可得∠DOB=2∠C=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△COD-S扇形ODB进行计算.
2．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
3．（2022九上·杭州期中）如图，正方形的边长为6，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在上滑动，同时点F在上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵M是线段QF的中点，
∴，
∴M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，
当Q与A重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是AF（QF）的中点，
∴，
∴，
同理可求得，
∴，
∴线段QF的中点M所经过的路线长，
故答案为：B.
【分析】连接BM，根据正方形的性质得∠QBF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BM的长，M在以B为圆心，以2的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为，当Q与A重合时，根据勾股定理算出AF的长，根据含30°直角三角形的性质可得∠BAF=30°，M是AF（QF）的中点，有等边对等角得∠ABM=30°，同理求出∠CBM1=30°，所以∠MBM1=30°，进而根据弧长计算公式算出即可.
4．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
5．（2021九上·鄂城期末）如图，菱形 中， ， .以A为圆心， 长为半径画 ，点P为菱形内一点，连 ， ， .若 ，且 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
如图，过点P作 于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥AB交于点M，根据菱形的性质可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根据等腰三角形的性质可得AM=1，∠APM=60°，则∠PAM=30°，∠PAD=30°，证明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根据含30°角的直角三角形的性质可得AP=2PM，根据勾股定理求出PM，然后根据S阴影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP进行计算.
6．（2022九上·嘉兴期末）如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=.
则扇形FDE的面积是：.
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
则在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=.
则阴影部分的面积是：-.
故答案为：D.
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，由直角三角形斜边上中线的性质可得DC=AB=1，易得四边形DMCN是正方形，DM=，根据扇形的面积公式可得扇形FDE的面积，由等腰三角形的性质可得CD平分∠BCA，根据角平分线的性质可得DM=DN，证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN=，据此不难求出阴影部分的面积.
7．（2021九上·慈溪期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）
A．π﹣ B．π﹣5 C．2π﹣5 D．3π﹣2
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接MH交FN于O，连接AM、OR，
∵PQ=HQ，FN⊥PH，
∴圆心在FN所在直线上，
∵∠MPH=90°，点M、P、H在圆上，
∴MN为直径，
∴点O为圆心，
∵AD=MC，∠D=∠C，DM=CH，
∴△ADM≌△MCH，
∴AM=MH，∠DAM=∠HMC，
∵∠DAM+∠AMD=90°，
∴∠HMC+∠AMD=90°，
∴∠AMH=90°，
∴∠MHA=45°，
∵OH=OR，
∴∠ROH=90°，
∵MH==，
∴OH=MH=，
∴S阴影=S扇形ORH-S△ORH=-=π﹣.
故答案为：A.
【分析】连接MH交FN于点O，连接AM、OR，则圆心在FN所在直线上，MN为直径，点O为圆心，易证明△ADM≌△MCH，得到AM=MH，∠DAM=∠HMC，结合∠DAM+∠AMD=90°可得到∠AMH=90°，则∠MHA=45°，ROH=90°，利用勾股定理可得MH，然后求出OH，再根据S阴影=S扇形ORH-S△ORH结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
8．（2020九上·淮安期中）如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．10π B．12π C． D．15π
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝ ，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是： .
故答案为：C.
【分析】连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，则∠DCG＝90°，由勾股定理求出DG、CG，推出S阴影BEF=S扇形OEF，S阴影ACD=S扇形COD，S阴影=S半圆DCG，据此求解.
9．（2020·昆明模拟）如图，将半径为 ，圆心角为120°的扇形 绕点 逆时针旋转60°，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接 、 ，
∵将半径为 ，圆心角为120°的扇形 绕点 逆时针旋转60°，
∴∠ =60°，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴∠ =∠ =60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠ =60°，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴∠ =60°，
∴∠ =120°，
∴∠ =120°，
∵ ，
∴∠ =∠ =30°，
∴图中阴影部分面积=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】如图，连接 、 ，利用旋转性质得出∠ =60°，之后根据同圆之中半径相等依次求得 是等边三角形以及 是等边三角形，据此进一步分析得出∠ =120°，最后利用图中阴影部分面积= 进一步计算求解即可.
10．（2020·宿州模拟）如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm B．4πcm C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：点 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到 ； 是由 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到，
， ， ， ，
点 翻滚到 位置时共走过的路径长 ．
故答案为： ．
【分析】根据旋转的定义得到点 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到 ； 是由 以 为旋转中心，以 为旋转角，顺时针旋转得到，由于 ， ， ， ，然后根据弧长公式计算即可．
二、填空题
11．（2022九上·北仑期中）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
【答案】2+2+π
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF-OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π.
故答案为：2+2+π.
【分析】连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.证明△BOF是等边三角形，利用直角三角形的性质求出OE，EF≥OF-OE＝2，当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出此时BT，FT，的长即可.
12．（2022九上·温州期中）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，长为半径画.以D为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，将题中图形简化，连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，
∵在正方形ABCD中，有，
∴四边形ABFE是矩形，
∵与的半径均为AD，正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴△ADG是等边三角形，
∴，
∵，
∴，平分，
∴矩形ABFE的面积为：，
∵在正方形ABCD中，，
∴，
∵在中，有，，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，
∴，
∴的面积为：，
同理可求得：，
∵，，
∴扇形ADG的面积为：，
∴弓形AG的面积为：，
∵，，
∴扇形BAG的面积为：，
∴异形BGF的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
∴，
即：，
故答案为：.
【分析】连接AG、DG，过G点作EF⊥AD于点E，交BC于F点，易得四边形ABFE是矩形，△ADG是等边三角形，根据等边三角形的性质得AE=ED=1，EG平分∠AGD，易得∠BAG=30°，根据勾股定理算出EG的长，用三角形的面积公式算出△AEG的面积S1，用扇形面积公式算出扇形ADG、扇形BAG的面积，根据算出弓形AG的面积，根据算出异形BGF的面积，最后根据图形的对称性，由代入计算即可得出答案.
13．（2022·西安模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC外以AB为直径的半圆上一动点，当点P从点A运动到点B时，线段CP的中点Q运动的路线长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB===10，
如图，连接AP，BP，
AB是直径，
∠APB＝90°，APBP，
取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，
在△ACP，△BCP中，点E，F，Q为中点，
则EQ，FQ为中位线，
EQ=AP，FQ=BP，EQ∥AP，FQ∥BP，
EQFQ，∠EQF＝90°，
Q在以EF为直径的半圆上，EF=AB=5，
Q运动的路线长为=
故答案为：.
【分析】由勾股定理求出AB=10，连接AP，BP，由AB是直径可得∠APB＝90°，取AC中点E，BC中点F，连接EQ，FQ，EF，根据三角形中位线定理可求出△EFM为直角三角形，从而判断Q在以EF为直径的半圆上，根据圆的周长公式计算即可.
14．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
15．（2022九下·开封月考）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由题意得：OC平分∠MON，
∴∠BOD=，
∴的长=，
作点D关于OM的对称点D'，连接BD'交OM于点E'，连接OD'，则BE'+ DE'= BE'+ D'E'=BD'，此时，BE+DE的最小值= BD'，
∵∠AOD'=∠AOD=∠BOD=20°，
∴∠BOD'=60 °，
∵OD'=OD=OB，
∴△BOD'是等边三角形，
∴BD'=OB=4，
∴阴影部分周长的最小值=，
故答案为：.
【分析】由作图知OC平分∠MON，可得∠BOD=∠MON=20°，利用弧长公式求出的长=，作点D关于OM的对称点D'，连接BD'交OM于点E'，连接OD'，则BE'+ DE'= BE'+ D'E'=BD'，此时，BE+DE的最小值= BD'，易证△BOD'是等边三角形，可得BD'=OB=4，由于阴影部分周长的最小值= BD'+的长，据此计算即可.
16．（2021九上·西湖期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为5，则GE+FH的最大值是 ；此时 的长度是 .
【答案】7.5，；5π或 π
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝OA＝OB＝5，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝ AB＝ ，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：5×2＝10，
∴GE+FH的最大值为：10﹣ ＝7.5.
∵GH是直径，点E、F分别是AC、BC的中点，
∴AC⊥GH或AC是直径，
当AC⊥GH时，BC是直径，
∴ 的长度是5π；
当AC是直径时，∠BOC＝120°，
∴ 的长度是 ＝ π；
故答案为：7.5，5π或 π.
【分析】连接OA、OB，由圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，推出△AOB为等边三角形，由中位线的性质可得EF＝AB＝ ，要求GE+FH的最大值，即求弦GH的最大值，当弦GH是圆的直径时取得最大值，据此得GE+FH的最大值；当AC⊥GH时，BC是直径，当AC是直径时，∠BOC＝120°，然后利用弧长公式计算即可.
17．（2021九上·平阳月考）工人师傅在正中间立着一根圆形排水管的正方形地面（如图①）铺瓷砖，先裁出四块全等直角三角形ABC的瓷砖如图②，再在AB边上各切割一个弓形（阴影部分），然后围着排水管拼接而成（不重叠，无缝隙）如图③所示.已知∠BAC＝90°，切割点分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，依次连接这8个点恰好组成正八边形，AB﹣AC＝（4+2 ）cm，则AA1＝ cm；如果π取3，那么切去的每块弓形面积为 cm2.
【答案】2；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H.设OA1＝OA2＝xcm，则OH＝A1H＝ xcm.
设正八边形的边长为mcm，
则有4+2 ＝m+ m+ m，
∴m＝2 ，
∴A1A2＝2 （cm），AA1＝2（cm），
在Rt△HA1A2中，A1A22＝A1H2+A2H2，
∴8＝（ x）2+（x﹣ x）2，
∴x2＝8+4 ，
∴S弓形＝ ﹣ ×x× x＝ （cm2）.
故答案为：2， .
【分析】设圆心为O，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于H，设OA1＝OA2＝xcm，则OH=A1H＝xcm，设正八边形的边长为mcm，根据AB-AC=4+可得m，进而可得A1A2，AA1，利用勾股定理可得x，接下来根据扇形、三角形的面积公式进行计算即可.
三、综合题
18．（2023·佳木斯模拟）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为， ，，将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．
（1）画出，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点O按逆时针方向旋转后的图形；
（3）求在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）解：如图1， 即为所求；
由平移可知点 的坐标为 ．
（2）解：如图1， 即为所求；
（3）解：由题意知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由平移与旋转的性质可得 ， 均为等腰直角三角形， ， ，
∵ ，
∴ 在旋转过程中扫过的面积为 ．
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形，再求点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）利用勾股定理先求出 是等腰直角三角形， ， 再利用三角形和扇形的面积公式计算求解即可。
19．（2023·唐山模拟）已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形，，以A为圆心，2为半径作半圆A，交所在直线于点M，N．点E是半圆A上仟意一点．连接，把绕点B顺时针旋转90°到的位置，连接，．
（1）求证：；
（2）当与半圆A相切时，求弧的长；
（3）直接写出面积的最大值．
【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，，
∴．
由旋转可得，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵与半圆A相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：面积的最大值=4
【知识点】三角形的面积；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：(3)根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，
过点D作于点Q，
∴，
当时，的高取得最大值，
此时也取得最大值．
∴．
【分析】（1）利用“SAS”证出即可；
（2）先求出，再利用弧长公式求出即可；
（3）过点D作于点Q，当时，的高取得最大值，再求出即可。
20．（2023九上·宁波期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，.
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
.
∵是⊙O的直径，
.
，
.
（2）解：连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，
.
又
是等边三角形，
.
∵弧=弧，
.
∵OE=OC
是等边三角形，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得∠C=∠ABE，由直径所对的圆周角是直角得∠BAC=90°，根据同角的余角相等得∠C=∠BAD，再等量代换得∠ABE=∠BAD，根据等角对等边即得出FA=FB；
（2） 连接AO、EO、EC，作EH⊥BC于H ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AO，易得△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义可得∠EOC=60°，则△EOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得OH的长，再用勾股定理算出EH的长，进而根据S阴影=S△BOE+S扇形EOC，结合扇形面积计算公式即可算出答案.
21．（2022九上·定海期中）如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。
（1）如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；
（2）如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE
②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。
【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，PC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠BPC=∠BAC=60° ，
∵圆O是△ABC的外接圆，
∴圆O是△ABCC三边的垂直平分线的交点，
∴∠BAC是等边三角形，BE⊥AC，
∴BE 在线段AC的垂直平分线上，
∴O在线段BP上，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴
（2）解：①如图所示，连接PC，
同理可得 ，
∵
∴
∴ =30°，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ HE=PE ；
②由①得 ，
∴
∵
∴H是在以 B C为弦，圆周角 的圆上运动，
如图所示，劣弧 即为H的运动轨迹，过点 作 于 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；垂径定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，PC，证出△OPC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OE=PE；
（2）①连接PC，证出△CPH是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出OHE=PE；
②根据题意得出H是在以BC为弦，圆周角的圆上运动，从而得出劣弧 即为H的运动轨迹，利用弧长公式求出的长度，即可得出答案.
22．（2022九上·瑞安期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
【答案】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面积＝ ＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
设CH＝NG＝y，
∵AB＝CD＝x，
∴CN＝x-y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x-y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（-1+ ）x，y2＝-1- （舍），
∴S＝ AB BG
＝ x （x+x+ x-x）
＝ （1+ ）x2
＝ x2．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠EAG＝90°，根据矩形的性质可得∠ABC＝∠BCD＝90°，由同角的余角相等可得∠G＝∠BAE，结合CF＝BE，利用AAS证明△ABE≌△GCF，据此可得结论；
（2）由同角的余角相等可得∠DAF＝∠BAE，由三角形的内角和定理得∠BAE＝20°，由等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DMA＝20°，由内角和定理可得∠ADM＝140°，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（3）根据全等三角形的性质可得S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，则S＝S△ABG，由等腰三角形的性质以及平行线的性质可推出MN＝NG，设CH＝NG＝y，则CN＝x-y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝x+2y，根据勾股定理可得DC2+CN2＝DN2，代入并化简可表示出y，然后根据三角形的面积公式可得S关于x的函数表达式.
23．（2021·临淄模拟）如图
如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 ？
【答案】（1）解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
（2）解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，
∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：
，
顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：
=1+π，
正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：
(2)解：∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：
，
根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程，
∴ π=10× π+ π，
∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转
【分析】（1）重点要准确画出三次旋转后的图形，找到O点的行动轨迹
（2） 重点需要知道把正方形旋转四次后，O点的相对位置不变，把握住O点的规律.
24．（2020九上·阜南期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE ，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积．
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心．
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
（2）解：连接CD、OD．
∵∠BAD＝∠DAC，
∴ ，
∴BD＝CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DE ，
由（1）证得DB＝DE
∴DB＝DE=CD= ，
∴BC=6，OB=OC=OD=3，
∴△BCD为等腰直角三角形，O为BC的中点，
∴DO⊥BC，即∠DOC=90°，
∵FC是切线，
∴∠BCF＝90°，
∴∠CFD＝90°-45°=45°，∠DCF＝90°-45°=45°，
∴△CDF的等腰直角三角形，
∴DF＝CD＝BD＝3 ，
∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD） 3 3 （ 3×3） ．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， 再求出 ∠DBE＝∠DEB， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD＝CD， 再求出 △CDF的等腰直角三角形， 最后利用扇形面积公式和三角形面积公式计算求解即可。
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