2023年浙教版数学九年级上册第三章 圆的基本性质 章末检测（A卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·台州月考）下列图形为圆的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·诸暨期末）点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·定海期中） 的外心在三角形的内部，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
4．（2021九上·慈溪期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九下·舟山月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2， DE=8，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
6．（2022九上·拱墅期中）下列语句中，正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；平分弦的直径垂直于弦；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023九下·萧山期中）如图，在中，是直径，是弦若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九下·义乌月考）如图，已知圆心角，则圆周角（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·杭州月考）若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
10．（2022九上·杭州月考）若扇形的半径是弧长是，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2020九上·通河期末）平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
12．（2022九上·鄞州月考）如图，把△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC＝ ．
13．（2022九上·鄞州期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则 .
14．（2022九上·舟山月考）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
15．（2023九上·慈溪期末）已知四边形内接于，若，则的度数为 .
16．（2023九下·衢江月考）若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为 .
三、作图题（共8分）
17．（2022九上·温州月考）如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．
（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．
（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022九上·永康月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”
19．（2022九上·慈溪期中）如图AB，CD为⊙O内两条相交的弦，AD＝BC，求证：AB=CD
20．（2022九上·海曙期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC.求证：AH＝CH.
21．（2022九上·永康月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
22．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥DE．
（2）求证：ME=AE．
23．（2020九上·杭州月考）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点.
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围.
24．（2021九上·慈溪期中）如图，A，B，C是⊙O上的点，其中，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝2，求的长和图中涂色部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A，此图形是圆，故A符合题意；
B、此图形不是圆，故B不符合题意；
C、此图形不是圆，故C不符合题意；
D、此图形是扇形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周，它的另一个端点运动的轨迹就是圆，再观察各选项中的图形，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点到圆的距离为6，若点在圆外 ，
∴r＜6，r＞0
∴圆O的半径r的取值范围为0＜r＜6.
故答案为：A
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外，据此可得到r的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状．
4．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A中两个三角形大小不一样，故错误；
B中两个三角形通过翻折可以得到，故错误；
C中两个三角形通过平移可以得到，故错误；
D中两个三角形可以通过旋转得到，故正确.
故答案为D.
【分析】首先分别判断出各个选项中两个三角形之间的位置关系，然后进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵∵CE=2，DE=8，
∴CD=CE+DE=2+8=10，
∴OB=×10=5，OE=OC-CE=5-2=3，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AB=2BE=2×4=8.
故答案为：D
【分析】利用已知可求出CD的长，可得到OB，OE的长；再利用勾股定理求出BE的长，利用垂径定理求出AB的长.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
平分弦的直径垂直于弦，错误，条件是弦不是直径.
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断①②；根据垂径定理可判断③；根据圆的对称性可判断④.
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BCD=44°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=46°，
∴∠ABD=∠ACD=46°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABD=∠ACD，然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD进行计算.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴劣弧所对的圆周角度数为：，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得：劣弧所对的圆周角度数为∠AOB=70°，由圆内接四边形的性质可得劣弧所对的圆周角度数+∠ACB=180°，据此计算.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图连接OA、OB，
∵正六边形的周长为24，
∴正六边形的边长为4，
是正六边形ABCDEF的外接圆，
，
，
是等边三角形，
，
，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故答案为：B.
【分析】如图连接OA、OB，先求出△ABC是等边三角形，可得OA=AB=OB=4，据此即得结论.
10．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的面积为：（）
故答案为：A.
【分析】根据扇形的面积=lr进行计算即可.
11．【答案】1个或3个或4个
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故答案为：1个或3个或4个．
【分析】分情况讨论，再结合不在同一条直线上的三个点确定一个圆求解即可。
12．【答案】77°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，
∴AB＝A′B，∠A′BA＝26°，∠BAC＝∠A′，
∴∠A′＝ （180°-26°）＝77°，
∴∠BAC＝77°，
故答案为：77°．
【分析】根据旋转的性质得AB＝A′B，∠A′BA＝26°，∠C＝∠C′，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠C'的数，从而得出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：作于，交于，连接，如图所示：
则，，，，
，
，
故答案为：.
【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理可得AB=2AC，由题意可得OA=OD=10cm，CD=5cm，则OC=OD-CD=5cm，利用勾股定理求出AC，进而可得AB.
14．【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，
∵OC是半径，
∴AD=DE，，
∴AE=2AD，，
∵，
∴，
∴AE=AB，
∴AB=2AD.
故答案为：=
【分析】延长AD交圆O于点E，利用垂径定理可证得AD=DE，，由此可推出AE=2AD，，结合已知可证得，利用圆心角，弦，弧之间的关系定理可证得AE=AB，由此可得到AB与2AD之间的数量关系.
15．【答案】50°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，据此计算.
16．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2π.
【分析】由扇形的弧长计算公式“”直接代值计算即可.
17．【答案】（1）解：如图1中，△A′B′C′即为所求.
（2）解：如图2中，△DEF即为所求．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，再顺次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质作出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△DEF，此时点P在△DEF．
18．【答案】解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，
∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝ AB＝5（寸），
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1寸，
∴OE＝（x-1）寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得，
OA2-OE2＝AE2，
即x2-（x-1）2＝52，
解得：x＝13（寸）
所以CD＝26（寸）．
答：这块圆形木材的直径为26寸．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=BE=5寸， 设圆O的半径OA的长为x寸 ，则OE＝（x-1）寸 ， 在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而即可得出该圆的直径.
19．【答案】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，由弦AD＝弦BC，可得弧AD＝弧BC，从而得弧AB＝弧CD，进而得到AB＝CD．
20．【答案】证明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得 ，则 ，根据等弧所对的弦相等得AD=BC，根据等弧所对的圆周角相等得∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C， 从而利用ASA判断出 △ADH≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等得AH=CH.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°-∠ADC＝180°-120°＝60°，
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据等弧所对的弦相等得AB=AC，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AB=BC，
∴∠CAB=∠BCA=36°，
∴∠EAC=108°﹣36°=72°，
∴∠DEA+∠EAC=108°+72°=180°，
∴AC∥DE；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=36°，∵∠EAC=72°，∴∠EMA=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠EAM=∠EMA，
∴ME=AE．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形求出∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AB=BC，求出∠CAB=∠BCA=36°，求出∠EAC=72°，最后求出∠DEA+∠EAC=180°即可；（2）求出∠EAM=∠EMA=72°，即可得出答案．
23．【答案】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB= ，CM= AB= ，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM= ＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4.
【知识点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果.
24．【答案】（1）证明：如图，延长BD交圆与E，
∵OC⊥BD，
∴BE＝2BD，弧BE＝2弧BC
∵弧AB＝2弧BC
∴弧AB＝弧BE
∴AB＝BE＝2BD
（2）解：如图，连接OB，
∵AB＝，
∴BD＝，
设半径为r，
∴OB=r，
∵CD＝2，
∴OD＝r－2
∴，得r＝4，
∴∠BOD＝60°，
∴弧BC的长=，
涂色部分的面积= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）延长BD交圆于E，由垂径定理得BE＝2BD，，由已知条件知 ，则，据此证明；
（2）连接OB，根据AB的值可得BD，设半径为r，则OD＝r-2，利用勾股定理可得r的值，然后根据涂色部分的面积=S扇形BOC-S△BDO及弧长公式进行计算.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册第三章 圆的基本性质 章末检测（A卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·台州月考）下列图形为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：A，此图形是圆，故A符合题意；
B、此图形不是圆，故B不符合题意；
C、此图形不是圆，故C不符合题意；
D、此图形是扇形，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周，它的另一个端点运动的轨迹就是圆，再观察各选项中的图形，可得答案.
2．（2023九上·诸暨期末）点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点到圆的距离为6，若点在圆外 ，
∴r＜6，r＞0
∴圆O的半径r的取值范围为0＜r＜6.
故答案为：A
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外，据此可得到r的取值范围.
3．（2022九上·定海期中） 的外心在三角形的内部，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：A.
【分析】三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状．
4．（2021九上·慈溪期末）下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：A中两个三角形大小不一样，故错误；
B中两个三角形通过翻折可以得到，故错误；
C中两个三角形通过平移可以得到，故错误；
D中两个三角形可以通过旋转得到，故正确.
故答案为D.
【分析】首先分别判断出各个选项中两个三角形之间的位置关系，然后进行判断即可.
5．（2023九下·舟山月考）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2， DE=8，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵∵CE=2，DE=8，
∴CD=CE+DE=2+8=10，
∴OB=×10=5，OE=OC-CE=5-2=3，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AB=2BE=2×4=8.
故答案为：D
【分析】利用已知可求出CD的长，可得到OB，OE的长；再利用勾股定理求出BE的长，利用垂径定理求出AB的长.
6．（2022九上·拱墅期中）下列语句中，正确的有（ ）
相等的圆心角所对的弧相等；等弦对等弧；平分弦的直径垂直于弦；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
平分弦的直径垂直于弦，错误，条件是弦不是直径.
经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可判断①②；根据垂径定理可判断③；根据圆的对称性可判断④.
7．（2023九下·萧山期中）如图，在中，是直径，是弦若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠BCD=44°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=46°，
∴∠ABD=∠ACD=46°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABD=∠ACD，然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD进行计算.
8．（2023九下·义乌月考）如图，已知圆心角，则圆周角（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴劣弧所对的圆周角度数为：，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得：劣弧所对的圆周角度数为∠AOB=70°，由圆内接四边形的性质可得劣弧所对的圆周角度数+∠ACB=180°，据此计算.
9．（2021九上·杭州月考）若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图连接OA、OB，
∵正六边形的周长为24，
∴正六边形的边长为4，
是正六边形ABCDEF的外接圆，
，
，
是等边三角形，
，
，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故答案为：B.
【分析】如图连接OA、OB，先求出△ABC是等边三角形，可得OA=AB=OB=4，据此即得结论.
10．（2022九上·杭州月考）若扇形的半径是弧长是，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：该扇形的面积为：（）
故答案为：A.
【分析】根据扇形的面积=lr进行计算即可.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2020九上·通河期末）平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
【答案】1个或3个或4个
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故答案为：1个或3个或4个．
【分析】分情况讨论，再结合不在同一条直线上的三个点确定一个圆求解即可。
12．（2022九上·鄞州月考）如图，把△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC＝ ．
【答案】77°
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，
∴AB＝A′B，∠A′BA＝26°，∠BAC＝∠A′，
∴∠A′＝ （180°-26°）＝77°，
∴∠BAC＝77°，
故答案为：77°．
【分析】根据旋转的性质得AB＝A′B，∠A′BA＝26°，∠C＝∠C′，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠C'的数，从而得出答案.
13．（2022九上·鄞州期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的应用
【解析】【解答】解：作于，交于，连接，如图所示：
则，，，，
，
，
故答案为：.
【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理可得AB=2AC，由题意可得OA=OD=10cm，CD=5cm，则OC=OD-CD=5cm，利用勾股定理求出AC，进而可得AB.
14．（2022九上·舟山月考）如图，在⊙O中，，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：延长AD交圆O于点E，
∵OC是半径，
∴AD=DE，，
∴AE=2AD，，
∵，
∴，
∴AE=AB，
∴AB=2AD.
故答案为：=
【分析】延长AD交圆O于点E，利用垂径定理可证得AD=DE，，由此可推出AE=2AD，，结合已知可证得，利用圆心角，弦，弧之间的关系定理可证得AE=AB，由此可得到AB与2AD之间的数量关系.
15．（2023九上·慈溪期末）已知四边形内接于，若，则的度数为 .
【答案】50°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，据此计算.
16．（2023九下·衢江月考）若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为 .
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2π.
【分析】由扇形的弧长计算公式“”直接代值计算即可.
三、作图题（共8分）
17．（2022九上·温州月考）如图，在6×6的方格中，有一格点△ABC（顶点都在小正方形的顶点上）及格点P，按下列要求画格点三角形．
（1）在图1中，画出△ABC绕点P顺时针旋转90°后的三角形△A'B'C'．
（2）在图2中，画出△ABC绕某一点顺时针旋转90°后的△DEF，且点P在△DEF内（不包括边界）．
【答案】（1）解：如图1中，△A′B′C′即为所求.
（2）解：如图2中，△DEF即为所求．
【知识点】作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′，再顺次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质作出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△DEF，此时点P在△DEF．
四、解答题（共7题，共58分）
18．（2022九上·永康月考）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”
【答案】解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，
∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝ AB＝5（寸），
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1寸，
∴OE＝（x-1）寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得，
OA2-OE2＝AE2，
即x2-（x-1）2＝52，
解得：x＝13（寸）
所以CD＝26（寸）．
答：这块圆形木材的直径为26寸．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=BE=5寸， 设圆O的半径OA的长为x寸 ，则OE＝（x-1）寸 ， 在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而即可得出该圆的直径.
19．（2022九上·慈溪期中）如图AB，CD为⊙O内两条相交的弦，AD＝BC，求证：AB=CD
【答案】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，由弦AD＝弦BC，可得弧AD＝弧BC，从而得弧AB＝弧CD，进而得到AB＝CD．
20．（2022九上·海曙期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC.求证：AH＝CH.
【答案】证明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得 ，则 ，根据等弧所对的弦相等得AD=BC，根据等弧所对的圆周角相等得∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C， 从而利用ASA判断出 △ADH≌△CBH ，根据全等三角形的对应边相等得AH=CH.
21．（2022九上·永康月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°-∠ADC＝180°-120°＝60°，
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC=60°，根据等弧所对的弦相等得AB=AC，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出答案.
22．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M．
（1）求证：AC∥DE．
（2）求证：ME=AE．
【答案】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AB=BC，
∴∠CAB=∠BCA=36°，
∴∠EAC=108°﹣36°=72°，
∴∠DEA+∠EAC=108°+72°=180°，
∴AC∥DE；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=36°，∵∠EAC=72°，∴∠EMA=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠EAM=∠EMA，
∴ME=AE．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）根据正多边形求出∠ABC=∠EAB=∠DCB=∠DEA==108°，AB=BC，求出∠CAB=∠BCA=36°，求出∠EAC=72°，最后求出∠DEA+∠EAC=180°即可；（2）求出∠EAM=∠EMA=72°，即可得出答案．
23．（2020九上·杭州月考）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点.
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围.
【答案】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M，
∴AB= ，CM= AB= ，
∵以点C为圆心，3为半径作⊙C，
∴AC=3，则A在圆上，CM= ＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外；
（2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外，
3＜r＜4，
故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4.
【知识点】点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；（2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果.
24．（2021九上·慈溪期中）如图，A，B，C是⊙O上的点，其中，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝2，求的长和图中涂色部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，延长BD交圆与E，
∵OC⊥BD，
∴BE＝2BD，弧BE＝2弧BC
∵弧AB＝2弧BC
∴弧AB＝弧BE
∴AB＝BE＝2BD
（2）解：如图，连接OB，
∵AB＝，
∴BD＝，
设半径为r，
∴OB=r，
∵CD＝2，
∴OD＝r－2
∴，得r＝4，
∴∠BOD＝60°，
∴弧BC的长=，
涂色部分的面积= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）延长BD交圆于E，由垂径定理得BE＝2BD，，由已知条件知 ，则，据此证明；
（2）连接OB，根据AB的值可得BD，设半径为r，则OD＝r-2，利用勾股定理可得r的值，然后根据涂色部分的面积=S扇形BOC-S△BDO及弧长公式进行计算.
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