第2章 特殊三角形单元精选精练（含解析）

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第2章 特殊三角形 单元精选精练 2023-2024学年浙教版八年级数学上册 （含解析）
一、单选题
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）下列垃圾分类图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·广东汕头·八年级统考期末）已知等腰三角形有两条边的长分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17 B．13 C．17或13 D．10
3．（2022秋·四川凉山·八年级统考期末）三角形中，最大角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）以下命题中（ ）是假命题
A．对顶角相等 B．同位角相等 C．三角形具有稳定性 D．等角对等边
5．（2023春·福建三明·八年级统考期末）下列定理有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．直角都相等
C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等
6．（2023春·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，在中，，且，则长为（　　）

A．4 B．8 C．10 D．16
7．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）已知的三边分别是，，，下列条件中不能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．，，
8．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，为中点，交的延长线于点，于点，连接，现有下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，，，点在上且，连结，则 .

10．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在中，，平分，E是上一点，且，连接，过E作，垂足为F，延长交于点G．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
11．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，，于点，于点，点在线段上，若，，则的度数为 ，的长度为 ．
12．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是 （写出一个条件即可）．
三、解答题
13．（2023秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在边长为个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题：

(1)已知，直线，画出关于直线对称的图形，分别标出、、三点的对称点、、． (用直尺画图）
(2)若，，求的度数．
14．（2023春·福建漳州·八年级统考期末）某同学制作了一个简易的形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由相互垂直的两根细棍，组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的，两点正好落在所分角的两条边，上，此时就会平分．
为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．

已知：如图，点，分别在的边上，经过点，__________，__________．
求证：__________．
证明：
15．（2023秋·重庆开州·八年级统考期末）在等边的两边、所在直线上分别有两点、，为外一点且，，．探究：当、分在直线、上移动时，、、之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

(1)如图1，当点、在边、上，且时，、、之间的数量关系是什么，此时与的比值为多少？
(2)如图2，点、在边、上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，当、分别在边、的延长线上时，若，，则__________．
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参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，即可．
【详解】解：A、 不是轴对称图形，不符合题意；
B、 不是轴对称图形，不符合题意；
C、 是轴对称图形，符合题意；
D、 不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的知识，解题的关键是学会识别轴对称图形．
2．A
【分析】分两种情况讨论，当腰长为分别为3和7时，利用三角形三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行验证三边是否能组成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当腰长为3时，三角形三边分别为3，3，7，，所以不能组成三角形；
当腰长为7时，三角形三边分别为3，7，7，且，所以能组成三角形，周长为17．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质及三角形三边关系，解题时注意如果题意没有明确腰和底边，则需要分情况进行讨论，并利用三角形三边关系进行验证是否能组成三角形，这是解题关键．
3．D
【分析】根据三角形的内角和定理，可得最大角，再由当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，即可求解．
【详解】解：根据题意得：最大角，
当三角形为等边三角形时，三角形的三个内角相等，且 ，
∴最大角的取值范围是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、三角形具有稳定性及等腰三角形的性质逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，
B、两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，
C、三角形具有稳定性是真命题，故该选项不合题意，
D、等角对等边是真命题，故该选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
【分析】分别写出下列定理的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是定理；故选项符合题意；
B、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，为假命题，故选项不符合题意．
C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，为假命题，故选项不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题．
6．B
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，代入求出即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出．
7．B
【分析】根据三角形内角和定理可得A、C是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、D是否是直角三角形．
【详解】解：A、∵，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形判断．
8．D
【分析】①由角平分线的性质即可证明；②由题意可知，可得，，从而可以证明；③如图三角形内角和得到，证明，得到，进而得到，推出，即可得到；④连接，证明，，得出，，即可证明．
【详解】解：如图所示，连接，

∵平分，，，
∴．
故①正确；
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
同理，
∴．
故②正确；
∵，，
∴，
∵是的中垂线，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即：．
故③正确；
∵是的垂直平分线，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴．
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．10
【分析】根据三角形的内角和定理求出度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出即可求出度数.
【详解】解：中，，，
.
，
.
，，
，
，
.
故答案为：10.
【点睛】本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式.
10．①③④
【分析】证明即可判断①；过D作，根据角平分线的性质求出即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；设，求出和，然后根据三角形外角的性质即可判断④．
【详解】解：如图，

∵平分，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，故①正确；
过D作，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
在中：，
∴，故②说法错误；
∵，，
∴，即，故③正确；
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点，并灵活运用是解题的关键．
11． /90
【分析】由全等三角形的性质得，，再证，则，然后求出即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12．或或
【分析】根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：，
，
即，
又∵，，
，
∴当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴；
当时，在和中，
，
∴．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定．题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出、、三点关于直线的对称点、、，依次连接即可；
（2）先根据三角形内角和定理，求得，再根据轴对称图形的性质，即可求出的度数．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：，，
，
和关于直线对称，
．
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称图形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
14．见解析
【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质得出平分．
【详解】已知：如图，点，分别在的边上，经过点，，（或是的中点），
求证：平分（或）．
证明：∵，，
∴垂直平分．
∴．
∵，点在上，
∴平分．
即平分．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)16
【分析】（1）先证，然后由直角三角形的性质，即可求得、进而说明，再求得的周长Q,最后将Q、L代入 计算即可；
（2）如图，延长至点，使，连接．可证，即可得，进而得到，则可证得，然后由全等三角形的性质，再求得的周长Q,最后将Q、L代入 计算即可；
（3）在上截取点，使，并连接，可证，即可得，然后证得，易证得，则可得；然后根据的周长，表示出AB的长，然后根据的周长，应用等量代换即可求解．
【详解】（1）解：、、之间的数量关系是，此时，理由如下：
，且，
，
又是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，，
即，
∴的周长，
又，
；
（2）解：猜想：结论仍然成立，证明如下：
如图，延长至点，使，连接，

，且，
，
又是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，的周长，
又，
；
（3）解：在上截取点，使，并连接，

由（1）得，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟知等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键．
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