2023年浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
2．（2022九上·北仑期中）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
3．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
4．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·汕尾模拟）在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
7．（2020·山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣
C．y＝ D．y＝
8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B． y= C． y= D．y=
9．（2019九上·大田期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
10．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·莱州期末）若函数是二次函数，则m的值为 ．
12．（2022九上·徐汇期中）已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为 ．
13．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
14．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
15．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
16．（2023·松江模拟）已知一个二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
18．（2022九上·蒙城月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点C．求抛物线的表达式．
19．（2022九上·通榆月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点求b，c的值．
20．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
21．（2022九上·杭州月考）如图，已知直线l：y1＝kx+b经过A（2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线y2＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为1.
（1）求点P的坐标．
（2）求a的值，并写出抛物线的解析式．
22．（2022九上·慈溪月考）定义：如图，若两条抛物线顶点相同，开口方向相反，我们就称这两条抛物线是“蝴蝶抛物线”.
（1）已知，若和是“蝴蝶抛物线”，且经过点（-1，0），求的解析式.
（2）根据（1）中的结论，已知抛物线，且和是“蝴蝶抛物线”，求的解析式.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y＝（2 a）x2 x是二次函数，
∴2 a≠0，即a≠2，
故答案为：B．
【分析】如“y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）”的函数，叫做二次函数，据此可得不等式，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故答案为：A．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a<0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可。
6．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
∴
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）利用待定系数法求出排球运动路线的函数解析式即可.
8．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC,求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
9．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为 ，每千克赚的钱为
则 .
故答案为：C.
【分析】设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
10．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
11．【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，
解得．
故答案为：0．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的值即可。
12．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴
解得：，或；
∵顶点在y轴上，
∴，
解得：
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的定义可得，求出m的值，再结合顶点在y轴上，可得，再求出m的值即可。
13．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
14．【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
16．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
17．【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
18．【答案】解：过点C作轴于点D，则，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴， 又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】过点C作轴于点D，则，先证明求出，，再求出点C的坐标，最后将点C的坐标代入求出b的值即可。
19．【答案】解：∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，3）．
将点A（3，0），C（0，3）的坐标代人y=-x2+bx+c，
得
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
20．【答案】（1）解：由题意得， ，解得m=
（2）解：由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- .
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可；
（2）形如 y=ax2+bx+c(a≠0）的函数叫做二次函数，据此解答即可.
21．【答案】（1）解： 直线 经过A（2，0）和B（0，2）两点，
解得：
直线 的解析式为： ，
设点 的坐标为 ，
的面积为1，
，
，
把 代入 得，
，
，
点 的坐标为（1，1）
（2）解：将点 的坐标代入 ，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出直线的解析式，设P点的坐标为（m，n），根据三角形的面积公式求出n的值，再把n的值代入直线的解析式，求出m的值，即可得出答案；
（2）把点P的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可得出答案.
22．【答案】（1）解： 的顶点坐标（2，6）
设
把 代入得
（2）解：设
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用“蝴蝶抛物线”的定义可知两条抛物线的顶点相同，开口方向相反，因此利用配方法求出抛物线y1的的坐标；再设y2=a（x-2）2+6，将点（-1，0）代入函数解析式，可求出a的值，即可求解.
（2）利用 和是“蝴蝶抛物线”，先求出y1+y3与x的函数解析式，利用（1）中y1的函数解析式，可求出y3与x的函数解析式，结合已知 ，利用对应项的系数相等，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到y3的函数解析式.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.1 二次函数 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
2．（2022九上·北仑期中）若关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵函数y＝（2 a）x2 x是二次函数，
∴2 a≠0，即a≠2，
故答案为：B．
【分析】如“y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）”的函数，叫做二次函数，据此可得不等式，求解即可.
3．（2022九上·顺义期末）下面两个问题中都有两个变量：
①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x；②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x．其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（ ）
A．①是反比例函数，②是二次函数
B．①是二次函数，②是反比例函数
C．①②都是二次函数
D．①②都是反比例函数
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；二次函数的定义
【解析】【解答】解：①∵矩形的周长为20，一边长x
∴另一边长为
∴为二次函数；
②∵矩形的面积为20，矩形的长x
∴是反比例函数．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质分别求出y与x的函数关系式，再根据反比例函数和二次函数的定义判断即可.
4．（2022九上·苍南期中）已知如图， 在正方形中， 点的坐标分别是， 点在抛物线 的图像上， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDF=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF
在△ADE和△DCF中
∴△ADE≌△DCF（AAS）
∴DE=CF，AE=DF，
设点D（a，b），
∵点A（-3，9），点C（2，0），
∴AE=a+3，DF=b，DE=9-b，CF=a-2，
解之：
∴点D（4，7），
∵点在抛物线 的图像上，
∴
解之：.
故答案为：A
【分析】过点D作FE⊥x轴于点F，过点A作AE⊥EF于点E，利用垂直的定义和正方形的性质可证得∠E=∠CFD=90°，AD=CD，∠ADC=90°，利用余角的性质可推出∠ADE=∠DCF；再利用AAS证明△ADE≌△DCF，利用全等三角形的性质可得到DE=CF，AE=DF，设点D（a，b），利用点A，C的坐标可表示出AE，DF，DE，CF的长，由此可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入二次函数解析式，可求出k的值.
5．（2022·汕尾模拟）在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得
解得；
最大为，
故答案为：A．
【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a<0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可。
6．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
7．（2020·山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣
C．y＝ D．y＝
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）
设排球运动路线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c
∵排球经过A、B、C三点
∴
解得：
∴排球运动路线的函数解析式为y＝﹣
故答案为：A．
【分析】由题意可知点A坐标为（﹣5，0.5），点B坐标为（0，2.5），点C坐标为（2.5，0）利用待定系数法求出排球运动路线的函数解析式即可.
8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y= B． y= C． y= D．y=
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案为：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性质得出BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a与x的关系，分别用含x的代数式表示出DE、DF、AC,求出梯形AEDC的面积即为四边形ABCD的面积。
9．（2019九上·大田期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为 ，每千克赚的钱为
则 .
故答案为：C.
【分析】设销售单价定为每千克x元,获得利润为y元,则可以根据成本,求出每千克的利润.以及按照销售价每涨1元,月销售量就减少10千克,可求出销量.从而得到总利润关系式.
10．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为（ ）
A．y=﹣10x2+100x+2000 B．y=10x2+100x+2000
C． y=﹣10x2+200x D．y=﹣10x2﹣100x+2000
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，
总销量为：（200﹣10x）件，
商品利润为：
y=（60﹣50+x）（200﹣10x），
=（10+x）（200﹣10x），
=﹣10x2+100x+2000．
故答案为：A．
【分析】设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，根据总利润=每件商品的利润×销售量列出函数关系式即可。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·莱州期末）若函数是二次函数，则m的值为 ．
【答案】0
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，
解得．
故答案为：0．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的值即可。
12．（2022九上·徐汇期中）已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴
解得：，或；
∵顶点在y轴上，
∴，
解得：
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次函数的定义可得，求出m的值，再结合顶点在y轴上，可得，再求出m的值即可。
13．（2020九上·顺昌月考）用一根长为80cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x的函数表达式为 （化为一般式）
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：矩形的另一边长=80÷2-x=40-x，
∴y=x（40-x）= ．
故答案为 ．
【分析】由矩形的一边长为xcm,周长为80cm，可求出矩形的另一边长=40-x，根据矩形的面积=长×宽解答即可.
14．（2019九上·大同期中）如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 （写出顶点式和一般式均可）．
【答案】
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由图象可知抛物线的对称轴为 ，所以顶点坐标为： ，
可设此抛物线的解析式为： ，①
又此抛物线过 点，
代入①式得： ，
解得： ．
所以此抛物线的解析式为： ．
故答案为：
【分析】由图知此抛物线的对称轴为x= =20，所以顶点为（20，16），可设 又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式．
15．（2023·徐汇模拟）如图，抛物线：与抛物线：组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果，那么抛物线的表达式是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：令y=0，则x2+2x -3=0，
解得x1= 1，x2=-3，
∴A(-3，0)，B(1，0)，
∵当x=0时，y =x2+2x-3 =-3，
∴C (0，-3)，
∵当x =0时，y =ax2+bx+c=c，
∴D (0，c)，
∴CD=c+3，
∴BD =，
∵BD = CD，
∴，
解得：，
∴抛物线C2： ，
将A(-3，0)，B(1，0)代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出(-3，0)，B(1，0)，再利用勾股定理和待定系数法求解即可。
16．（2023·松江模拟）已知一个二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
18．（2022九上·蒙城月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点C．求抛物线的表达式．
【答案】解：过点C作轴于点D，则，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴， 又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】过点C作轴于点D，则，先证明求出，，再求出点C的坐标，最后将点C的坐标代入求出b的值即可。
19．（2022九上·通榆月考）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点求b，c的值．
【答案】解：∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，C的坐标分别为A（3，0），C（0，3）．
将点A（3，0），C（0，3）的坐标代人y=-x2+bx+c，
得
解得
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可.
20．（2021九上·合肥月考）已知函数y=（m2-2）x2+（m+ ）x+8．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得， ，解得m=
（2）解：由题意得，m2-2≠0，解得m≠ 且m≠- .
【知识点】一次函数的定义；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，据此解答即可；
（2）形如 y=ax2+bx+c(a≠0）的函数叫做二次函数，据此解答即可.
21．（2022九上·杭州月考）如图，已知直线l：y1＝kx+b经过A（2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线y2＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为1.
（1）求点P的坐标．
（2）求a的值，并写出抛物线的解析式．
【答案】（1）解： 直线 经过A（2，0）和B（0，2）两点，
解得：
直线 的解析式为： ，
设点 的坐标为 ，
的面积为1，
，
，
把 代入 得，
，
，
点 的坐标为（1，1）
（2）解：将点 的坐标代入 ，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出直线的解析式，设P点的坐标为（m，n），根据三角形的面积公式求出n的值，再把n的值代入直线的解析式，求出m的值，即可得出答案；
（2）把点P的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可得出答案.
22．（2022九上·慈溪月考）定义：如图，若两条抛物线顶点相同，开口方向相反，我们就称这两条抛物线是“蝴蝶抛物线”.
（1）已知，若和是“蝴蝶抛物线”，且经过点（-1，0），求的解析式.
（2）根据（1）中的结论，已知抛物线，且和是“蝴蝶抛物线”，求的解析式.
【答案】（1）解： 的顶点坐标（2，6）
设
把 代入得
（2）解：设
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用“蝴蝶抛物线”的定义可知两条抛物线的顶点相同，开口方向相反，因此利用配方法求出抛物线y1的的坐标；再设y2=a（x-2）2+6，将点（-1，0）代入函数解析式，可求出a的值，即可求解.
（2）利用 和是“蝴蝶抛物线”，先求出y1+y3与x的函数解析式，利用（1）中y1的函数解析式，可求出y3与x的函数解析式，结合已知 ，利用对应项的系数相等，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到y3的函数解析式.
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