2023年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017九上·顺义月考）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】∵a＞0，b＞0，
∴二次函数y=ax2的图像是开口向上，经过原点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线；一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三三个象限的直线.
故答案为：C.
【分析】先由a>0，那么抛物线开口向上可排除B，D，根据A，C可知抛物线过点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线，从而可求得一次函数所在象限.
2．（2019九上·辽源期末）已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y= ，则k的值为3。
【分析】利用顶点式及取值范围，可画出函数图象，从而得出x=3时满足题意，进而解得k。
3．（2019·霞山模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝ ，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵在正方形ABCD中， AB= ，
∴AC＝4，AD＝DC＝ ，∠DAP＝∠DCA＝45o，
当点Q在AD上时，PA＝PQ，
∴DP=AP=x，
∴S＝ ；
当点Q在DC上时，PC＝PQ
CP＝4－x，
∴S＝ ；
所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故答案为：B.
【分析】分点Q在AD和DC上讨论，分别写出两种情况的一元二次函数表达式，再根据函数图象的开口方向可得答案
4．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
5．（2022·石城模拟）若平面直角坐标系内的点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．例如： 、 都是“整点”．抛物线 与 轴交于A、 两点，若该抛物线在A、 之间的部分与线段 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝mx2-4mx+4m-2＝m(x-2)2-2，且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内．
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个点符合题意．
将(1，-1)代入y＝mx2-4mx+4m-2得，-1＝m-4m+4m-2，
解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2-4x+2．
当 时， ．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．（m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大）．
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意．
此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
将(0，0)代入y＝mx2-4mx+4m-2得到0＝0-4m+0-2．解得 ．
此时抛物线解析式为 ．
当x＝1时，得 ．
∴点(1，-1)符合题意．
当x＝3时，得 ．
∴点(3，-1)符合题意．
综上可知：当 时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-2)、(2，-1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴ 不符合题．
∴ ．
综合①②可得：当 时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，再分别求出m的值，即可得到答案。
6．（2021九上·温岭期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1A．4a-2b+c=0
B．当x< 时，y随x增大而增大
C．当x> 时，y随x增大而减小
D．a【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵图象与x轴的交点为（-2，0），∴当x=-2时，y=4a-2b+c=0，正确；
B、 ∵图象与x轴的另一个交点是（-2，0），且1-，∴当x< 时，y随x增大而增大，正确；
C、∵对称轴x大于且小于0，∴当x>-，图象的增减趋势不确定，错误；
D、∵图象的开口向下，∴a<0，∵x=-=>-，∴<1，∴b>a，∵a<0，∴对称轴x=-<0，∴b<0，∴a故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标由一个是（-2，0），则可得出4a-2b+c=0，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点坐标，得出对称轴x>-，结合图象即可判断B；由于对称轴x大于且小于0，则可得出图象的增减趋势不确定，即可判断C；根据图象开口得出a<0，结合对称轴的位置得出b>a，b<0，从而得出a7．（2022·禹城模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a-b＋1＞0，其中符合题意结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故符合题意；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②不符合题意；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论符合题意，
④由4a-2b+c＝0得2a-b，而0＜c＜2，
∴，
∴-1＜2a-b＜0，
∴2a-b+1＞0，所以结论符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．（2021九上·诸暨月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac B．abc＞0
C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线与坐标轴有两个交点，∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，正确；
B、∵抛物线的开口向上，∴a>0，-=-1，∴b>0，c>0，∴abc>0，正确；
C、∵-=-1，∴b=-2a，当x=-1，a-b+c<0，∴-a+c<0，∴a-c>0，错误；
D、当x=m时，y=am2+bm+c，∵y最小=a-b+c，∴am2+bm+c≥a-b+c，即am2+bm≥a﹣b ，正确；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数与系数的关系判断a、b、c的符号，进而判断出abc的符号，根据抛物线与坐标轴的交点个数，结合△=b2-4ac判断A；由对称轴得出b=-2a，代入顶点坐标，结合顶点在x轴下方，即可判断；利用顶点坐标和抛物线上任意点的函数值比较判断D.
9．（2021·宝应模拟）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)2+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+2a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣2a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣1≤0，即m≤4，
∴m的最大值为4，
故答案为：D.
【分析】先求出关于x轴对称点的坐标特征，得出原二次函数的顶点（1，﹣2a），即得原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，从而得出b＝﹣2a，c＝﹣a，将其代入(m﹣1)a+b+c≤0中，得出
（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，据此即可求出结论.
10．（2020·西安模拟）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
∴抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），
解（x+1）2+2＝﹣（x+1）2+k，得x＝﹣1± ，
根据题意得，2 ＝k﹣2，解得k1＝4，k2＝2（舍去），
∴抛物线l2的顶点为（﹣1，4），
∴P点坐标为（﹣1，3），
故答案为：B．
【分析】由抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），得出抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），联立方程求得交点横坐标，根据正方形的性质得出2 ＝k﹣2，解得k＝4，则抛物线l2的顶点为（﹣1，4），正方形的中心即为P点．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2019九上·天台月考）已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 .
【答案】y=1 2x2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2x2+bx+1=(x+)2+,
的顶点坐标是( ,)，
设x= ,y=，
∴b= 4x，
∴y===1 2x2.
∴所求抛物线的解析式为：y=1 2x2.
故答案为：y=1 2x2.
【分析】用含b的代数式表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．
12．（2021九上·长沙开学考）如图，已知二次函数 （a≠0（的图象，且关于x的一元二次方程 没有实数根，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有 .
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2 4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0， ＝1，c＜0，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2＋bx＋c m＝0没有实数根，
∴m＜ 3，③正确；
∵a＞0，b＝ 2a，
∴3a＋b＝a＞0，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数判断 ① ；由抛物线开口方向判断a的正负性，结合对称轴方程判断b的正负性，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负性，最后判断abc的正负性，即可判断 ② ；当 二次函数 的图象向上移动多于3个单位时，抛物线与x轴无交点，则得m<-3时， 没有实数根，则可判断③ ；由于b+2a=0，结合a>0，即可判断 ④ .
13．（2021九上·诸暨期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线 .有以下结论：① ，② ，③若点 和 在该图象上，则 ，④设 ， 是方程 的两根，若 ，则 .其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）.
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y轴交于正半轴，
∴a＜0， b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ ，
∴b=-2a；
∵ c+a+b＞0，
∴c-a＞0，
∴a-c＜0，
∴结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，
∵点 和 在该图象上，
∴ 与x=1的距离比 与x=1的距离远；
∴ ，
∴结论③正确；
∵ ， ， 是方程 的两根，
当 时， ；
∴ ；
当p=0时，
当p＜0时，
∴
∴结论④正确；③④
【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可.
14．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）, y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
15．（2021·庐阳模拟）已知函数 与y轴交于点C，顶点为D．直线 交x轴于点E，点F在直线 上，且橫坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 总有公共点．抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
【答案】36；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数 与y轴交于点C，顶点为D，
∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1， ），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为 ，
当y=0时， ，
解得x= -8，
∴点E（-8，0），
当x=4时，y= ，
∴点F（4，6），
设最多上移n个单位，此时解析式为 ，
∴当x=-8时， ，
∵抛物线与直线有公共点，
∴y≤0
∴ ≤0，
∴n≤36，
∴抛物线最多上移36个单位，
设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得 ，
∴ ，
整理，得 ，
当△=0时，有一个公共点，
∴ ，
解得m= ；
故答案为：36；
【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可
16．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 .
【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．
【答案】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵ ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵ ＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－ b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a，b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P，Q的值，再利用作差法，即可得出P，Q的大小。
18．（2020九上·长乐期中）如图，已知二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，点 （与顶点 不重合）在该函数的图象上.
（1）当 时，求 的值；
（2）当 时，若点 在第三象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围；
（3）作直线 与 轴相交于点 .当点 在 轴下方，且在线段 上时，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ；
（2）解：当 时，将 代入函数解析式
，得 ，
解得 或1.
∵点 在第三象限，
∴ .此时抛物线的对称轴 .
∵ 点坐标为 ，根据抛物线的对称性可知，
当 时， 或 .
∴ 的取值范围为 ；
（3）解：∵点 与点 不重合，
∴ .
当 时， .
∴点 的坐标为 .
当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动.
当点 与点 重合时， ，解得 或 .
当点 与点 重合时，如图，顶点 也与 ， 重合，点 到达最低点.
∴ ，解得 .
当抛物线继续向右平移时，点 不在线段 上.
∴ 点在线段 上时， 的取值范围是： 或 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）把m=3代入函数式得出 ，再将x=-1代入函数式即可求出n的值；
（2）当 时，将P点坐标代入函数解析式求解，结合顶点A在第三象限求出m的值，然后根据二次函数图象的性质求出x的范围即可；
（3）首先令x=0，把点B的坐标用含m的代数式表示， 由于当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动，当点B与点C重合时，当点B与C重合时，分别求出m的值，得出m的最大值和最小值，结合m≠-1，即可确定m的范围.
19．（2022·云南）已知抛物线 经过点（0，2），且与 轴交于A、B两点．设k是抛物线 与 轴交点的横坐标；M是抛物线 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）且接写出T的值；
（3）求 的值．
【答案】（1）解：当x=0时，
y=c=2.
（2）解： 由(1)得，抛物线的解析式为 ，
∵当S=m时恰好有三个点M满足S=m，
∴必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，
当x=-=-时，=，
则另外两点的纵坐标为：，
∴
.
（3）解：由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)把x=0代入函数式求c即可；
(2)根据当S=m时恰好有三个点M满足S=m，得出必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，依此先求出顶点坐标，则可求出另外两点的纵坐标，再求纵坐标之和，即可解答；
(3)由题意得到，根据配方法求出，，然后将原式变形，最后代值计算即可解答.
20．（2021九上·西安月考）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴ ，
解得，a=﹣1，c=3，
即抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）解：∵物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE=4，BE=2，
∴ ，
即BD的长是 ；
（3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4．
设点M的坐标为（1，m），
由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3，
即点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0），
∴BC=3﹣（﹣1）=4，
∵△MBC的面积是4，
∴ ，
解得，m=±2，
即点M的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求出点D和点E的坐标，从而求出DE和BE的长，然后根据勾股定理求BD长即可；
（3） 设点M的坐标为（1，m）， 令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，从而求出BC长，根据 △MBC的面积是4， 建立关于m的方程求解，即可求出点M的坐标.
21．（2021九上·萧山月考）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（1）解：
点 向右平移2个单位长度，得到点 ；
（2）A与B关于对称轴直线 对称，
抛物线对称轴直线 ；
（3）∵对称轴直线 ，
，
，
时， 如图 ，
当x=2时，，
当y= 时，= ，
解得x=0或2，
观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点；
②若a<0时，
当y=2时，2= ，
解得：x=或，
如图，
当≤2时，
观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
综上，a的取值范围是：a≤.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可；
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式；
(3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可.
22．（2022九上·惠水期中）
（1）如图所示分别是二次函数与的图象.用“”或“”填空： ， .
（2）在本学期我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①；
②；
③；
④.
【答案】（1）＞；＜
（2）解：利用因式分解法：，
，
，
或，
，；
利用开平方法：，
，
，
或，
，；
利用公式法：；
，，，
，
，
，；
利用因式分解法：，
，
或，
，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）由抛物线开口方向可以判定，，
；
由抛物线与轴交点可以判断，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）由抛物线开口方向可确定a、a'的符号，由抛物线与轴交点的位置可确定c、c'的符号；
（2）选①：利用因式分解法解方程即可；选②：利用直接开平方法解方程即可；选③利用公式法法解方程即可；选④：利用因式分解法解方程即可.
23．（2021九上·硚口月考）抛物线C：y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在第四象限的抛物线C上，将绒段DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点E恰好落在y轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，已知点P(0，－2)，将抛物线C向左平移1个单位长度﹐向上平移4个单位长度，得到抛物线C1．直线y＝kx＋2（k＞0）交抛物线C1于M，N两点（M在N的左边），直线NP交抛物线C1于另－点Q，求证：点M与点Q关于y轴对称．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥y轴于H，
∴∠DHO=∠DGB=∠DGO=∠GOH=90°，
∴四边形OHDG是矩形，
∴∠GDH=90°，
∴∠HDE+∠GDE=90°
∵∠EDB=∠EDG+∠BDG=90°，
∴∠HDE=∠GDB，
∵DE=DB，
∴△HDE≌△GDB（AAS），
∴DG=DH，
设，
∴，，
∴即，
解得或（舍去）
∴；
（3）解：
由题意得：平移后的抛物线的解析式为，
设，，，
联立整理得，
∴
设直线PN的解析式为，
联立整理得，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，，
∴点M与点Q关于y轴对称．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2+2ax-3a=ax2+bx-3，则-3a=-3，b=2a，联立求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥y轴于H，则四边形OHDG是矩形，∠GDH=90°，根据同角的余角相等可得∠HDE=∠GDB，证明△HDE≌△GDB，得到DG=DH，设D（m，m2-2m-3），表示出DG、DH，根据DG=DH可得m的值，据此可得点D的坐标；
（3）由题意得：平移后的抛物线C1的解析式为y=x2，设N（n，n2），M（m，m2），Q（q，q2），联立直线与抛物线解析式并结合根与系数的关系可得mn=-2，设直线PN的解析式为y=tx-2，同理可得qn=2，则mn+qn=n(m+q)=0，推出m+q=0，则m2=q2，M（m，m2），Q（-m，m2），据此解答.
24．（2023·宁波模拟）如图，已知二次函数的图象经过点，点。
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上，当时，求n的值。
（3）已知，，若将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围。
【答案】（1）解：将点，代入
得，解得，
∴二次函数解析式为
∴二次函数的顶点坐标为
（2）解：当时，点P（4，n），
∴-16+16-2=n
解之：n=-2
（3）解：当x=0时y=-2，抛物线与y轴的交点为（0，-2），
∵将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，
设平移后的函数解析式为y=-（x-2）2+2+k，
当顶点在线段AB上时，抛物线的顶点为（2，3），
∴2+k=3，
解之：k=1；
当平移后的抛物线经过点A时，
-4+2+k=3，
解之：k=5
∴k的取值范围为1≤k≤5
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（-1，-7）和点（3，-1）分别代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）将点P的坐标代入函数解析式，可求出n的值.
（3）由当x=0时y=-2，抛物线与y轴的交点为（0，-2），利用二次函数图象平移的性质，可知平移后的函数解析式为y=-（x-2）2+2+k，当顶点在线段AB上时，抛物线的顶点为（2，3），代入可得到k的值；当平移后的抛物线经过点A时，将点A的坐标代入平移后的函数解析式，可求出k的值，即可得到k的取值范围.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017九上·顺义月考）函数y=ax2与y=ax+b(a>0，b>0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019九上·辽源期末）已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2019·霞山模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝ ，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
5．（2022·石城模拟）若平面直角坐标系内的点 满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫做“整点”．例如： 、 都是“整点”．抛物线 与 轴交于A、 两点，若该抛物线在A、 之间的部分与线段 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·温岭期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1A．4a-2b+c=0
B．当x< 时，y随x增大而增大
C．当x> 时，y随x增大而减小
D．a7．（2022·禹城模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①a＜b＜0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＞0；④2a-b＋1＞0，其中符合题意结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2021九上·诸暨月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac B．abc＞0
C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
9．（2021·宝应模拟）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a(x﹣1)2+2a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．（2020·西安模拟）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3）
C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2019九上·天台月考）已知二次函数 ，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 .
12．（2021九上·长沙开学考）如图，已知二次函数 （a≠0（的图象，且关于x的一元二次方程 没有实数根，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有 .
13．（2021九上·诸暨期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于不同两点，与 轴的交点在 轴正半轴，它的对称轴为直线 .有以下结论：① ，② ，③若点 和 在该图象上，则 ，④设 ， 是方程 的两根，若 ，则 .其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）.
14．（2021九上·鄂州期末）已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
15．（2021·庐阳模拟）已知函数 与y轴交于点C，顶点为D．直线 交x轴于点E，点F在直线 上，且橫坐标为4，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 总有公共点．抛物线向上最多可以平移 个单位长度，向下最多可以平移 个单位长度．
16．（2021九上·东海期末）如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于两点O， ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ；将 绕 旋转 得到 ，交x轴于 ，过抛物线 ， 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．
18．（2020九上·长乐期中）如图，已知二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，点 （与顶点 不重合）在该函数的图象上.
（1）当 时，求 的值；
（2）当 时，若点 在第三象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围；
（3）作直线 与 轴相交于点 .当点 在 轴下方，且在线段 上时，求 的取值范围.
19．（2022·云南）已知抛物线 经过点（0，2），且与 轴交于A、B两点．设k是抛物线 与 轴交点的横坐标；M是抛物线 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）且接写出T的值；
（3）求 的值．
20．（2021九上·西安月考）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请回答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明不存在的理由．
21．（2021九上·萧山月考）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
22．（2022九上·惠水期中）
（1）如图所示分别是二次函数与的图象.用“”或“”填空： ， .
（2）在本学期我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程.
①；
②；
③；
④.
23．（2021九上·硚口月考）抛物线C：y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在第四象限的抛物线C上，将绒段DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，当点E恰好落在y轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，已知点P(0，－2)，将抛物线C向左平移1个单位长度﹐向上平移4个单位长度，得到抛物线C1．直线y＝kx＋2（k＞0）交抛物线C1于M，N两点（M在N的左边），直线NP交抛物线C1于另－点Q，求证：点M与点Q关于y轴对称．
24．（2023·宁波模拟）如图，已知二次函数的图象经过点，点。
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上，当时，求n的值。
（3）已知，，若将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】∵a＞0，b＞0，
∴二次函数y=ax2的图像是开口向上，经过原点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线；一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三三个象限的直线.
故答案为：C.
【分析】先由a>0，那么抛物线开口向上可排除B，D，根据A，C可知抛物线过点（0，0），且以y轴为对称轴的抛物线，从而可求得一次函数所在象限.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y= ，则k的值为3。
【分析】利用顶点式及取值范围，可画出函数图象，从而得出x=3时满足题意，进而解得k。
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵在正方形ABCD中， AB= ，
∴AC＝4，AD＝DC＝ ，∠DAP＝∠DCA＝45o，
当点Q在AD上时，PA＝PQ，
∴DP=AP=x，
∴S＝ ；
当点Q在DC上时，PC＝PQ
CP＝4－x，
∴S＝ ；
所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故答案为：B.
【分析】分点Q在AD和DC上讨论，分别写出两种情况的一元二次函数表达式，再根据函数图象的开口方向可得答案
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
5．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵y＝mx2-4mx+4m-2＝m(x-2)2-2，且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内．
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个点符合题意．
将(1，-1)代入y＝mx2-4mx+4m-2得，-1＝m-4m+4m-2，
解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2-4x+2．
当 时， ．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．（m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大）．
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意．
此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
将(0，0)代入y＝mx2-4mx+4m-2得到0＝0-4m+0-2．解得 ．
此时抛物线解析式为 ．
当x＝1时，得 ．
∴点(1，-1)符合题意．
当x＝3时，得 ．
∴点(3，-1)符合题意．
综上可知：当 时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-2)、(2，-1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴ 不符合题．
∴ ．
综合①②可得：当 时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故答案为：B．
【分析】分两种情况：①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，再分别求出m的值，即可得到答案。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵图象与x轴的交点为（-2，0），∴当x=-2时，y=4a-2b+c=0，正确；
B、 ∵图象与x轴的另一个交点是（-2，0），且1-，∴当x< 时，y随x增大而增大，正确；
C、∵对称轴x大于且小于0，∴当x>-，图象的增减趋势不确定，错误；
D、∵图象的开口向下，∴a<0，∵x=-=>-，∴<1，∴b>a，∵a<0，∴对称轴x=-<0，∴b<0，∴a故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标由一个是（-2，0），则可得出4a-2b+c=0，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点坐标，得出对称轴x>-，结合图象即可判断B；由于对称轴x大于且小于0，则可得出图象的增减趋势不确定，即可判断C；根据图象开口得出a<0，结合对称轴的位置得出b>a，b<0，从而得出a7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①由图象开口向下知a＜0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，
则该抛物线的对称轴为，
即1，
由a＜0，两边都乘以a得：b＞a．
∵a＜0，对称轴x0，
∴b＜0，
∴a＜b＜0，故符合题意；
②根据题意画大致图象如图所示，
当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
故②不符合题意；
③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0，得2a+c＞0，所以结论符合题意，
④由4a-2b+c＝0得2a-b，而0＜c＜2，
∴，
∴-1＜2a-b＜0，
∴2a-b+1＞0，所以结论符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵抛物线与坐标轴有两个交点，∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，正确；
B、∵抛物线的开口向上，∴a>0，-=-1，∴b>0，c>0，∴abc>0，正确；
C、∵-=-1，∴b=-2a，当x=-1，a-b+c<0，∴-a+c<0，∴a-c>0，错误；
D、当x=m时，y=am2+bm+c，∵y最小=a-b+c，∴am2+bm+c≥a-b+c，即am2+bm≥a﹣b ，正确；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数与系数的关系判断a、b、c的符号，进而判断出abc的符号，根据抛物线与坐标轴的交点个数，结合△=b2-4ac判断A；由对称轴得出b=-2a，代入顶点坐标，结合顶点在x轴下方，即可判断；利用顶点坐标和抛物线上任意点的函数值比较判断D.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+2a，
∴原二次函数的顶点为（1，﹣2a），
∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣a，
∵（m﹣1）a+b+c≤0，
∴（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，
∵a＞0，
∴m﹣1﹣2﹣1≤0，即m≤4，
∴m的最大值为4，
故答案为：D.
【分析】先求出关于x轴对称点的坐标特征，得出原二次函数的顶点（1，﹣2a），即得原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣2a＝ax2﹣2ax﹣a，从而得出b＝﹣2a，c＝﹣a，将其代入(m﹣1)a+b+c≤0中，得出
（m﹣1）a﹣2a﹣a≤0，据此即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
∴抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），
解（x+1）2+2＝﹣（x+1）2+k，得x＝﹣1± ，
根据题意得，2 ＝k﹣2，解得k1＝4，k2＝2（舍去），
∴抛物线l2的顶点为（﹣1，4），
∴P点坐标为（﹣1，3），
故答案为：B．
【分析】由抛物线l1：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），得出抛物线l2：y＝﹣（x+1）2+k，顶点为（﹣1，k），联立方程求得交点横坐标，根据正方形的性质得出2 ＝k﹣2，解得k＝4，则抛物线l2的顶点为（﹣1，4），正方形的中心即为P点．
11．【答案】y=1 2x2
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】∵y=2x2+bx+1=(x+)2+,
的顶点坐标是( ,)，
设x= ,y=，
∴b= 4x，
∴y===1 2x2.
∴所求抛物线的解析式为：y=1 2x2.
故答案为：y=1 2x2.
【分析】用含b的代数式表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．
12．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2 4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0， ＝1，c＜0，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2＋bx＋c m＝0没有实数根，
∴m＜ 3，③正确；
∵a＞0，b＝ 2a，
∴3a＋b＝a＞0，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数判断 ① ；由抛物线开口方向判断a的正负性，结合对称轴方程判断b的正负性，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负性，最后判断abc的正负性，即可判断 ② ；当 二次函数 的图象向上移动多于3个单位时，抛物线与x轴无交点，则得m<-3时， 没有实数根，则可判断③ ；由于b+2a=0，结合a>0，即可判断 ④ .
13．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在原点的右边，与y轴交于正半轴，
∴a＜0， b＞0，c＞0，
∴abc＜0，
∴结论①错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ ，
∴b=-2a；
∵ c+a+b＞0，
∴c-a＞0，
∴a-c＜0，
∴结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向下，
∵点 和 在该图象上，
∴ 与x=1的距离比 与x=1的距离远；
∴ ，
∴结论③正确；
∵ ， ， 是方程 的两根，
当 时， ；
∴ ；
当p=0时，
当p＜0时，
∴
∴结论④正确；③④
【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）, y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
15．【答案】36；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵函数 与y轴交于点C，顶点为D，
∴点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1， ），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为 ，
当y=0时， ，
解得x= -8，
∴点E（-8，0），
当x=4时，y= ，
∴点F（4，6），
设最多上移n个单位，此时解析式为 ，
∴当x=-8时， ，
∵抛物线与直线有公共点，
∴y≤0
∴ ≤0，
∴n≤36，
∴抛物线最多上移36个单位，
设向下最多可以平移m个单位，根据题意，得 ，
∴ ，
整理，得 ，
当△=0时，有一个公共点，
∴ ，
解得m= ；
故答案为：36；
【分析】求得直线CD的解析式，根据平移规律，设出平移后的解析式，利用解析式联立方程组，转化为一元二次方程的根的判别式问题，不等式的解集，求解即可
16．【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：
因为函数
所以，对称轴： ，则当 时， ，即 ，由题意知 ，
所以，
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为：108.
【分析】由函数 ，求出 ，再得出 ， ，利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离，求解即可.
17．【答案】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵ ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵ ＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－ b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a，b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P，Q的值，再利用作差法，即可得出P，Q的大小。
18．【答案】（1）解：当 时， .
当 时， ；
（2）解：当 时，将 代入函数解析式
，得 ，
解得 或1.
∵点 在第三象限，
∴ .此时抛物线的对称轴 .
∵ 点坐标为 ，根据抛物线的对称性可知，
当 时， 或 .
∴ 的取值范围为 ；
（3）解：∵点 与点 不重合，
∴ .
当 时， .
∴点 的坐标为 .
当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动.
当点 与点 重合时， ，解得 或 .
当点 与点 重合时，如图，顶点 也与 ， 重合，点 到达最低点.
∴ ，解得 .
当抛物线继续向右平移时，点 不在线段 上.
∴ 点在线段 上时， 的取值范围是： 或 .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）把m=3代入函数式得出 ，再将x=-1代入函数式即可求出n的值；
（2）当 时，将P点坐标代入函数解析式求解，结合顶点A在第三象限求出m的值，然后根据二次函数图象的性质求出x的范围即可；
（3）首先令x=0，把点B的坐标用含m的代数式表示， 由于当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动，当点B与点C重合时，当点B与C重合时，分别求出m的值，得出m的最大值和最小值，结合m≠-1，即可确定m的范围.
19．【答案】（1）解：当x=0时，
y=c=2.
（2）解： 由(1)得，抛物线的解析式为 ，
∵当S=m时恰好有三个点M满足S=m，
∴必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，
当x=-=-时，=，
则另外两点的纵坐标为：，
∴
.
（3）解：由题意知：，
∴，
∴，
∴，
∴原式
.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)把x=0代入函数式求c即可；
(2)根据当S=m时恰好有三个点M满足S=m，得出必有一个点M为抛物线的顶点，另外两点的纵坐标和顶点的纵坐标互为相反数，依此先求出顶点坐标，则可求出另外两点的纵坐标，再求纵坐标之和，即可解答；
(3)由题意得到，根据配方法求出，，然后将原式变形，最后代值计算即可解答.
20．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴ ，
解得，a=﹣1，c=3，
即抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）解：∵物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），
∴点D的坐标是（1，4），点E的坐标是（1，0），
∴DE=4，BE=2，
∴ ，
即BD的长是 ；
（3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4．
设点M的坐标为（1，m），
由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3，
即点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0），
∴BC=3﹣（﹣1）=4，
∵△MBC的面积是4，
∴ ，
解得，m=±2，
即点M的坐标为（1，2）或（1，﹣2）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求出点D和点E的坐标，从而求出DE和BE的长，然后根据勾股定理求BD长即可；
（3） 设点M的坐标为（1，m）， 令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，从而求出BC长，根据 △MBC的面积是4， 建立关于m的方程求解，即可求出点M的坐标.
21．【答案】（1）解：
点 向右平移2个单位长度，得到点 ；
（2）A与B关于对称轴直线 对称，
抛物线对称轴直线 ；
（3）∵对称轴直线 ，
，
，
时， 如图 ，
当x=2时，，
当y= 时，= ，
解得x=0或2，
观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点；
②若a<0时，
当y=2时，2= ，
解得：x=或，
如图，
当≤2时，
观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
综上，a的取值范围是：a≤.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可；
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式；
(3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可.
22．【答案】（1）＞；＜
（2）解：利用因式分解法：，
，
，
或，
，；
利用开平方法：，
，
，
或，
，；
利用公式法：；
，，，
，
，
，；
利用因式分解法：，
，
或，
，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）由抛物线开口方向可以判定，，
；
由抛物线与轴交点可以判断，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）由抛物线开口方向可确定a、a'的符号，由抛物线与轴交点的位置可确定c、c'的符号；
（2）选①：利用因式分解法解方程即可；选②：利用直接开平方法解方程即可；选③利用公式法法解方程即可；选④：利用因式分解法解方程即可.
23．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥y轴于H，
∴∠DHO=∠DGB=∠DGO=∠GOH=90°，
∴四边形OHDG是矩形，
∴∠GDH=90°，
∴∠HDE+∠GDE=90°
∵∠EDB=∠EDG+∠BDG=90°，
∴∠HDE=∠GDB，
∵DE=DB，
∴△HDE≌△GDB（AAS），
∴DG=DH，
设，
∴，，
∴即，
解得或（舍去）
∴；
（3）解：
由题意得：平移后的抛物线的解析式为，
设，，，
联立整理得，
∴
设直线PN的解析式为，
联立整理得，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，，
∴点M与点Q关于y轴对称．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2+2ax-3a=ax2+bx-3，则-3a=-3，b=2a，联立求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥y轴于H，则四边形OHDG是矩形，∠GDH=90°，根据同角的余角相等可得∠HDE=∠GDB，证明△HDE≌△GDB，得到DG=DH，设D（m，m2-2m-3），表示出DG、DH，根据DG=DH可得m的值，据此可得点D的坐标；
（3）由题意得：平移后的抛物线C1的解析式为y=x2，设N（n，n2），M（m，m2），Q（q，q2），联立直线与抛物线解析式并结合根与系数的关系可得mn=-2，设直线PN的解析式为y=tx-2，同理可得qn=2，则mn+qn=n(m+q)=0，推出m+q=0，则m2=q2，M（m，m2），Q（-m，m2），据此解答.
24．【答案】（1）解：将点，代入
得，解得，
∴二次函数解析式为
∴二次函数的顶点坐标为
（2）解：当时，点P（4，n），
∴-16+16-2=n
解之：n=-2
（3）解：当x=0时y=-2，抛物线与y轴的交点为（0，-2），
∵将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，
设平移后的函数解析式为y=-（x-2）2+2+k，
当顶点在线段AB上时，抛物线的顶点为（2，3），
∴2+k=3，
解之：k=1；
当平移后的抛物线经过点A时，
-4+2+k=3，
解之：k=5
∴k的取值范围为1≤k≤5
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点（-1，-7）和点（3，-1）分别代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）将点P的坐标代入函数解析式，可求出n的值.
（3）由当x=0时y=-2，抛物线与y轴的交点为（0，-2），利用二次函数图象平移的性质，可知平移后的函数解析式为y=-（x-2）2+2+k，当顶点在线段AB上时，抛物线的顶点为（2，3），代入可得到k的值；当平移后的抛物线经过点A时，将点A的坐标代入平移后的函数解析式，可求出k的值，即可得到k的取值范围.
1 / 1
