2023年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2022九上·桐庐月考）若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
2．（2022九上·下城期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022九上·长兴月考）下列抛物线中，与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同的是（ ）
A．y= (x-1)2 B．y=2x2 C．y=(x-1)2+2 D．y=(2x-1)2+2
4．（2022九上·宁波月考）对于二次函数y=(x-4)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（4，2） D．与x轴有两个交点
5．（2023九上·慈溪期末）二次函数图象经过点，，且，则m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（2022九上·杭州月考）设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
7．（2022九上·温州期中）将二次函数y＝x2-4x+8转化为y＝a（x-m）2+k的形式，其结果为（ ）
A．y＝（x-2）2+4 B．y＝（x+4）2+4
C．y＝（x-4）2+8 D．y＝（x-2）2-4
8．（2022九上·舟山月考）抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·宁波期末）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
10．（2022九上·长兴月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标满足二次函数y=ax2+bx(a≠0)的表达式，则对该二次函数的系数a和b判断正确的是（ ）
A．a<0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
二、填空题
11．（2023九上·嵊州期末）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
12．（2022九上·杭州月考）点为二次函数图象上一点，其对称轴为，则点关于的对称点的坐标为 .
13．（2023九上·宁波期末）将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为 .
14．（2022九上·东阳月考）若将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为 ．
15．（2022九上·余杭月考）在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则OA的长为 ．
16．（2020九上·吴兴月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c＝﹣1，则b2＝4a．
三、综合题
17．（2020九上·越城期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
18．（2022九上·瑞安期中）已知拋物线经过点．
（1）如果此抛物线同时经过， 求抛物线的对称轴．
（2）将拋物线的顶点A先向右平移1个单位， 再向下平移1个单位后恰好与拋物线上的点B重合，求a的值．
19．（2022九上·桐庐月考）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
20．（2020九上·余杭期中）已知抛物线 与直线 .
（1）求证：两个函数图象必有交点；
（2）当抛物线 的顶点落在直线 上时，求a的值；
（3）当 时， ，求a的取值范围.
21．（2022九上·下城期中）已知二次函数（m是实数）.
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：.
22．（2022九上·衢江月考）在平面直角坐标系内， 二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出二次函数的顶点坐标；
（3）将该二次函数的图象向右平移几个单位， 可使平移后所得的图象经过坐标原点．
23．（2023九上·镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点.
（1）求与的函数关系式；
（2）直接写出当时，x的取值范围；
（3）点C为一次函数图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数 是二次函数，
可得，解得a=4或a=-2，
又因为图像开口向上，所以a=4，
故答案为：B.
【分析】函数 是二次函数且开口向上，可得且a＞0，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数 的图象知：开口向上， ，一次函数 图象可知 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴 在 轴的右侧，交 轴的负半轴，
∴B选项正确，
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此可得k＞0；二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，a、b同号的时候，对称轴直线在y轴的左侧，a、b异号的时候，对称轴直线在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ 与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同的的抛物线中a=2，
∴ 抛物线y=2x2与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同.
故答案为：B
【分析】利用与抛物线y=a（x-h）2+k的形状相同的二次函数解析式中的a的绝对值相等，观察各选项中的二次函数解析式，可得答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=(x-4)2+2，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意，
∵对称轴为x=4，顶点坐标为（4，2），
∴抛物线与x轴没有交点，
∴B、D选项不符合题意，C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数顶点式系数与抛物线图象及开口及分布关系，可知：抛物线开口向下，对称轴为x=4，顶点坐标为（4，2），从而得出抛物线与x轴没有交点，据此逐项分析即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象经过点 ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
解 得 ，
解 得 ，
∴ 或 .
故答案为：B.
【分析】分别将x=-3、7代入可得y1、y2，由y1>y2可得y1-y2>0，据此可求出m的范围.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），
∴代入变形可得：y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，
∵y1-y2=a，y3-y4=b，
∴a=k-3，b=k-7，
A、若ab＜0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＜0①，且（k-3）+（k-7）＜0②，
由①得3＜k＜7，由②得k＜5，
∴3＜k＜5，
故A不符合题意；
B、若ab＜0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＜0③，且（k-3）+（k-7）＞0④，
由③得3＜k＜7，由④得k＞5，
∴5＜k＜7，
故B不符合题意；
C、若ab＞0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＞0⑤，且（k-3）+（k-7）＜0⑥，
由⑤得k＜3或k＞7，由⑥得k＜5，
∴k＜3，
故C不符合题意；
D、若ab＞0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＞0⑦，且（k-3）+（k-7）＞0⑧，
由⑦得k＜3或k＞7，由⑧得k＞5，
∴k＞7，
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别将x=1、2、3、4代入可得y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，由y1-y2=a，y3-y4=b可得a=k-3，b=k-7，若ab＜0，且a+b＜0，则(k-3)(k-7)＜0且(k-3)+(k-7)＜0，求出k的范围，据此判断A；同理判断B、C、D.
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2-4x+8
＝x2-4x+4+4
＝（x-2）2+4.
故答案为：A．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∴将抛物线y=（x-1）2-2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y=（x-1+2）-2+3=（x+1）2+1=x2+2x+2.
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：要将抛物线平移后得到抛物线，
需要将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：过点A、B、C三点的大致函数图象如下，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0.
故答案为：A
【分析】画出抛物线的大致图象，利用开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置：左同右异，可得到b的取值范围.
11．【答案】b≤1或b≥2
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：b≤1或b≥2.
故答案为：b≤1或b≥2.
【分析】根据二次函数的表达式可得对称轴为直线x=2，由题意可得x≤2或x≥2，然后结合b≤x≤b+1可得关于b的不等式组，求解可得b的范围.
12．【答案】（-8，9）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，
∴点关于l的对称点的坐标为（-8，9）.
故答案为：（-8，9）.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=-3，进而不难得到点P关于对称轴的对称点.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向左平移4个单位可得，再向下平移2个单位可得，
故答案为：
【分析】将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.
14．【答案】y＝x2-2x-4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2-6x+5＝（x-3）2-4，
∴顶点为（3，-4），
∵将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，
∴得到抛物线的顶点为（1，-5），
∴该抛物线在新平面直角坐标系中的函数解析式为：y＝（x-1）2-5＝x2-2x-4．
故答案为：y＝x2-2x-4．
【分析】将原抛物线化为顶点式，由将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位易得新抛物线的顶点，进而可求解.
15．【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝ax2－4ax＋c，
∴抛物线的对称轴为直线
∵将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，
∴点A和点O关于直线x=2对称，
∴AO=2×2=4.
故答案为：4
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用已知条件可得到点A和点O关于直线x=2对称，据此可求出OA的长.
16．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴b＜0，故①错误；
∵x＝ 1时，y＞0，
∴a b＋c＞0，故②错误；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y＝ 2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2＝4，故③正确；
∵＝ 2，c＝ 1，
∴b2＝4a，故④正确．
∴结论正确的有：③④．
故答案为：③④
【分析】观察抛物线的开口向上可得a的取值范围，再观察对称轴在y轴的右侧，根据左同右异，可得b的取值范围，可对①作出判断；由x＝ 1时，y＞0，可对②作出判断；利用平移的性质，可知平行四边形的底边为2，高为2，可对③作出判断；然后根据顶点的纵坐标为-2，c的值为-1，可得到b与a的关系式，可对④作出判断；综上所述可得正确结论的个数。
17．【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴ ，∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣1
（2）解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）的坐标代入抛物线的解析式，求出a，b，c的值，即可求解；
（2）画出直线y=x+1，观察图象可得，当1＜x＜4时， 一次函数的图象在二次函数的图象的上面，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：∵抛物线同时经过，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵拋物线的顶点为：
∴平移得点．
∵点B也在函数图象上，则代入得：
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，根据抛物线的对称性即可得出答案；
（2）根据顶点坐标公式可得抛物线的顶点坐标为 ，根据点的坐标的平移规律（左减右加，上加下减）可得平移后点B的坐标为 ，将点B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c即可求出a的值.
19．【答案】（1）解：∵的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：．
（2）解：向左平移2个单位即可得到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进行判断即可.
20．【答案】（1）证明：联立
整理，得
△=
∴ 有实根
∴两个函数图象必有交点；
（2）解：抛物线 的顶点坐标的横坐标为x=
∵抛物线 的顶点落在直线 上
把x=1代入 中，解得：
∴抛物线的顶点坐标为（1,2）
将（1,2）代入 中，得
解得：a=-1
（3）解：当x=2时， ；
当x=-4时，
当a＞0时，
∵
∴
解得：
当a= 时，易知抛物线与一次函数的交点为（-4,7），（2,1）
此时也满足当 时， ；
此时 ；
当a＜0时，且两个函数图象只有1个交点时
△=
解得： ，如图所示，此时符合题意；
如图所示，当开口变大时，也符合题意
∴此时
综上所述：a的取值范围为： 或 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）将解析式联立方程，即可得到关于x的一元二次方程，再求出△的符号即可证出结论；（2）根据对称轴公式求出抛物线顶点坐标的横坐标，然后代入一次函数的解析式中即可求出顶点坐标的纵坐标，再把顶点坐标代入二次函数解析式中即可得出结论；
（3）分别求出当x=2和当x=-4时， 的值，然后根据a的符号分类讨论，分别求出每种情况下a的取值范围，从而得出结论.
21．【答案】（1）解：小明的说法正确，理由如下，
设二次函数 的顶点坐标为 ，
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴ ，
由①得， ，
将③代入②中，可得， ，
整理可得， ，
∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线 上运动，小明的说法正确.
（2）证明：∵点 ， 都在该二次函数图象上，
又∵点 ， 的纵坐标相等，
二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，
即 ，
整理得， ，
∴点 ， ，
∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ .
【知识点】偶次方的非负性；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-4m），令x=2m，y=3-4m，消去m就可得到x、y的关系式；
（2）根据点P、Q的纵坐标相等可得二次函数的对称轴为直线 =2m ，整理可得a=1，则P（-4，t），Q（4m+4，t），然后将P（-4，t）代入二次函数解析式中并化简可得t、m的关系式，结合偶次幂的非负性可得t的范围，据此证明.
22．【答案】（1）解：把点和的坐标代入得：
解得：
∴二次函数表达式为；
（2）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标是；
（3）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，如下图所示，
∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点．
【分析】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将A（3，0）、B（2，-3）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的表达式；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标；
（3）令y=0，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点坐标，进而可得平移的距离.
23．【答案】（1）解：把点代入得，，
∴；
把点代入中，得
∴，
把点A、B分别代入中，得，
解得，
∴；
（2）或
（3）解：∵点C为一次函数图象上一点，∴，
将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点，
把代入，得，
解得
所以n的值为1或-1
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；用坐标表示平移；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（2）观察图象可知，当时，x的取值范围是或；
【分析】（1）将A（1，-5）代入y1=kx-7中可求出k的值，然后将B（3，t）代入求出t的值，得到点A、B的坐标，然后代入y2中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在二次函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）设C（n，2n-7），根据点的平移规律可得C′（n+2，2n-3），代入二次函数解析式中求解可得n的值.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图象 同步测试（提高版）
一、选择题
1．（2022九上·桐庐月考）若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：函数 是二次函数，
可得，解得a=4或a=-2，
又因为图像开口向上，所以a=4，
故答案为：B.
【分析】函数 是二次函数且开口向上，可得且a＞0，据此解答即可.
2．（2022九上·下城期中）一次函数与二次函数的图象如图所示，那么二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数 的图象知：开口向上， ，一次函数 图象可知 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴 在 轴的右侧，交 轴的负半轴，
∴B选项正确，
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此可得k＞0；二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），当a＞0时，图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，a、b同号的时候，对称轴直线在y轴的左侧，a、b异号的时候，对称轴直线在y轴的右侧，当c＞0时，图象交y轴的正半轴，当c=0时，图象过坐标原点，当c＜0时，图象交y轴的负半轴，据此即可判断得出答案.
3．（2022九上·长兴月考）下列抛物线中，与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同的是（ ）
A．y= (x-1)2 B．y=2x2 C．y=(x-1)2+2 D．y=(2x-1)2+2
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ 与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同的的抛物线中a=2，
∴ 抛物线y=2x2与抛物线y=2(x-1)2+2形状相同.
故答案为：B
【分析】利用与抛物线y=a（x-h）2+k的形状相同的二次函数解析式中的a的绝对值相等，观察各选项中的二次函数解析式，可得答案.
4．（2022九上·宁波月考）对于二次函数y=(x-4)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=2
C．顶点坐标是（4，2） D．与x轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=(x-4)2+2，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意，
∵对称轴为x=4，顶点坐标为（4，2），
∴抛物线与x轴没有交点，
∴B、D选项不符合题意，C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数顶点式系数与抛物线图象及开口及分布关系，可知：抛物线开口向下，对称轴为x=4，顶点坐标为（4，2），从而得出抛物线与x轴没有交点，据此逐项分析即可.
5．（2023九上·慈溪期末）二次函数图象经过点，，且，则m的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 图象经过点 ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
解 得 ，
解 得 ，
∴ 或 .
故答案为：B.
【分析】分别将x=-3、7代入可得y1、y2，由y1>y2可得y1-y2>0，据此可求出m的范围.
6．（2022九上·杭州月考）设二次函数（为实数）的图象过点，，，，设，，（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），
∴代入变形可得：y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，
∵y1-y2=a，y3-y4=b，
∴a=k-3，b=k-7，
A、若ab＜0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＜0①，且（k-3）+（k-7）＜0②，
由①得3＜k＜7，由②得k＜5，
∴3＜k＜5，
故A不符合题意；
B、若ab＜0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＜0③，且（k-3）+（k-7）＞0④，
由③得3＜k＜7，由④得k＞5，
∴5＜k＜7，
故B不符合题意；
C、若ab＞0，且a+b＜0，则（k-3）（k-7）＞0⑤，且（k-3）+（k-7）＜0⑥，
由⑤得k＜3或k＞7，由⑥得k＜5，
∴k＜3，
故C不符合题意；
D、若ab＞0，且a+b＞0，则（k-3）（k-7）＞0⑦，且（k-3）+（k-7）＞0⑧，
由⑦得k＜3或k＞7，由⑧得k＞5，
∴k＞7，
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别将x=1、2、3、4代入可得y1=k+1，y2=4，y3=9-k，y4=16-2k，由y1-y2=a，y3-y4=b可得a=k-3，b=k-7，若ab＜0，且a+b＜0，则(k-3)(k-7)＜0且(k-3)+(k-7)＜0，求出k的范围，据此判断A；同理判断B、C、D.
7．（2022九上·温州期中）将二次函数y＝x2-4x+8转化为y＝a（x-m）2+k的形式，其结果为（ ）
A．y＝（x-2）2+4 B．y＝（x+4）2+4
C．y＝（x-4）2+8 D．y＝（x-2）2-4
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2-4x+8
＝x2-4x+4+4
＝（x-2）2+4.
故答案为：A．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
8．（2022九上·舟山月考）抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∴将抛物线y=（x-1）2-2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为y=（x-1+2）-2+3=（x+1）2+1=x2+2x+2.
故答案为：B.
【分析】先将函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
9．（2023九上·宁波期末）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：要将抛物线平移后得到抛物线，
需要将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案.
10．（2022九上·长兴月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标满足二次函数y=ax2+bx(a≠0)的表达式，则对该二次函数的系数a和b判断正确的是（ ）
A．a<0，b>0 B．a<0，b<0 C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：过点A、B、C三点的大致函数图象如下，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0.
故答案为：A
【分析】画出抛物线的大致图象，利用开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置：左同右异，可得到b的取值范围.
二、填空题
11．（2023九上·嵊州期末）二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
【答案】b≤1或b≥2
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：b≤1或b≥2.
故答案为：b≤1或b≥2.
【分析】根据二次函数的表达式可得对称轴为直线x=2，由题意可得x≤2或x≥2，然后结合b≤x≤b+1可得关于b的不等式组，求解可得b的范围.
12．（2022九上·杭州月考）点为二次函数图象上一点，其对称轴为，则点关于的对称点的坐标为 .
【答案】（-8，9）
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，
∴点关于l的对称点的坐标为（-8，9）.
故答案为：（-8，9）.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=-3，进而不难得到点P关于对称轴的对称点.
13．（2023九上·宁波期末）将二次函数向左平移4个单位，向下平移2个单位，所得到的新函数关系式为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线向左平移4个单位可得，再向下平移2个单位可得，
故答案为：
【分析】将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.
14．（2022九上·东阳月考）若将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为 ．
【答案】y＝x2-2x-4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2-6x+5＝（x-3）2-4，
∴顶点为（3，-4），
∵将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，
∴得到抛物线的顶点为（1，-5），
∴该抛物线在新平面直角坐标系中的函数解析式为：y＝（x-1）2-5＝x2-2x-4．
故答案为：y＝x2-2x-4．
【分析】将原抛物线化为顶点式，由将抛物线y＝x2-6x+5所在的平面直角坐标系中的x轴向上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位易得新抛物线的顶点，进而可求解.
15．（2022九上·余杭月考）在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，则OA的长为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝ax2－4ax＋c，
∴抛物线的对称轴为直线
∵将二次函数y＝ax2－4ax＋c(a为常数，且a＜0)的图象沿着y轴向下平移，交x轴于O，A两点，
∴点A和点O关于直线x=2对称，
∴AO=2×2=4.
故答案为：4
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴，再利用已知条件可得到点A和点O关于直线x=2对称，据此可求出OA的长.
16．（2020九上·吴兴月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c＝﹣1，则b2＝4a．
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴b＜0，故①错误；
∵x＝ 1时，y＞0，
∴a b＋c＞0，故②错误；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y＝ax2＋bx＋c的最小值是y＝ 2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2＝4，故③正确；
∵＝ 2，c＝ 1，
∴b2＝4a，故④正确．
∴结论正确的有：③④．
故答案为：③④
【分析】观察抛物线的开口向上可得a的取值范围，再观察对称轴在y轴的右侧，根据左同右异，可得b的取值范围，可对①作出判断；由x＝ 1时，y＞0，可对②作出判断；利用平移的性质，可知平行四边形的底边为2，高为2，可对③作出判断；然后根据顶点的纵坐标为-2，c的值为-1，可得到b与a的关系式，可对④作出判断；综上所述可得正确结论的个数。
三、综合题
17．（2020九上·越城期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴ ，∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣1
（2）解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）的坐标代入抛物线的解析式，求出a，b，c的值，即可求解；
（2）画出直线y=x+1，观察图象可得，当1＜x＜4时， 一次函数的图象在二次函数的图象的上面，即可得出答案.
18．（2022九上·瑞安期中）已知拋物线经过点．
（1）如果此抛物线同时经过， 求抛物线的对称轴．
（2）将拋物线的顶点A先向右平移1个单位， 再向下平移1个单位后恰好与拋物线上的点B重合，求a的值．
【答案】（1）解：∵抛物线同时经过，，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵拋物线的顶点为：
∴平移得点．
∵点B也在函数图象上，则代入得：
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线与x轴两交点的坐标，根据抛物线的对称性即可得出答案；
（2）根据顶点坐标公式可得抛物线的顶点坐标为 ，根据点的坐标的平移规律（左减右加，上加下减）可得平移后点B的坐标为 ，将点B的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c即可求出a的值.
19．（2022九上·桐庐月考）已知抛物线的对称轴为直线，且过点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
【答案】（1）解：∵的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：．
（2）解：向左平移2个单位即可得到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减进行判断即可.
20．（2020九上·余杭期中）已知抛物线 与直线 .
（1）求证：两个函数图象必有交点；
（2）当抛物线 的顶点落在直线 上时，求a的值；
（3）当 时， ，求a的取值范围.
【答案】（1）证明：联立
整理，得
△=
∴ 有实根
∴两个函数图象必有交点；
（2）解：抛物线 的顶点坐标的横坐标为x=
∵抛物线 的顶点落在直线 上
把x=1代入 中，解得：
∴抛物线的顶点坐标为（1,2）
将（1,2）代入 中，得
解得：a=-1
（3）解：当x=2时， ；
当x=-4时，
当a＞0时，
∵
∴
解得：
当a= 时，易知抛物线与一次函数的交点为（-4,7），（2,1）
此时也满足当 时， ；
此时 ；
当a＜0时，且两个函数图象只有1个交点时
△=
解得： ，如图所示，此时符合题意；
如图所示，当开口变大时，也符合题意
∴此时
综上所述：a的取值范围为： 或 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）将解析式联立方程，即可得到关于x的一元二次方程，再求出△的符号即可证出结论；（2）根据对称轴公式求出抛物线顶点坐标的横坐标，然后代入一次函数的解析式中即可求出顶点坐标的纵坐标，再把顶点坐标代入二次函数解析式中即可得出结论；
（3）分别求出当x=2和当x=-4时， 的值，然后根据a的符号分类讨论，分别求出每种情况下a的取值范围，从而得出结论.
21．（2022九上·下城期中）已知二次函数（m是实数）.
（1）小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
（2）已知点，都在该二次函数图象上，求证：.
【答案】（1）解：小明的说法正确，理由如下，
设二次函数 的顶点坐标为 ，
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴ ，
由①得， ，
将③代入②中，可得， ，
整理可得， ，
∴当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线 上运动，小明的说法正确.
（2）证明：∵点 ， 都在该二次函数图象上，
又∵点 ， 的纵坐标相等，
二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，
即 ，
整理得， ，
∴点 ， ，
∵点 在二次函数 的图象上，
∴ ，
∴ .
【知识点】偶次方的非负性；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】（1）根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-4m），令x=2m，y=3-4m，消去m就可得到x、y的关系式；
（2）根据点P、Q的纵坐标相等可得二次函数的对称轴为直线 =2m ，整理可得a=1，则P（-4，t），Q（4m+4，t），然后将P（-4，t）代入二次函数解析式中并化简可得t、m的关系式，结合偶次幂的非负性可得t的范围，据此证明.
22．（2022九上·衢江月考）在平面直角坐标系内， 二次函数的图象经过点和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出二次函数的顶点坐标；
（3）将该二次函数的图象向右平移几个单位， 可使平移后所得的图象经过坐标原点．
【答案】（1）解：把点和的坐标代入得：
解得：
∴二次函数表达式为；
（2）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标是；
（3）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为，，如下图所示，
∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点．
【分析】
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）将A（3，0）、B（2，-3）代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得二次函数的表达式；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标；
（3）令y=0，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点坐标，进而可得平移的距离.
23．（2023九上·镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点.
（1）求与的函数关系式；
（2）直接写出当时，x的取值范围；
（3）点C为一次函数图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求n的值.
【答案】（1）解：把点代入得，，
∴；
把点代入中，得
∴，
把点A、B分别代入中，得，
解得，
∴；
（2）或
（3）解：∵点C为一次函数图象上一点，∴，
将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点，
把代入，得，
解得
所以n的值为1或-1
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；用坐标表示平移；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（2）观察图象可知，当时，x的取值范围是或；
【分析】（1）将A（1，-5）代入y1=kx-7中可求出k的值，然后将B（3，t）代入求出t的值，得到点A、B的坐标，然后代入y2中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在二次函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）设C（n，2n-7），根据点的平移规律可得C′（n+2，2n-3），代入二次函数解析式中求解可得n的值.
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