2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分， 共30分）
1．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·枣庄）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023·安徽）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
4．（2023·河源模拟）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
若，则；
若时，则；
若点，，在抛物线上，，且，则；
当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　）
A． B．
C．或 D．或
6．（2023·无为模拟）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·包头模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
9．（2022九上·柳林期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022九上·萧山月考）已知非负数，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2023·乐山）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则　 　．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为　 　．
12．（2023·大庆模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，），且，．下列四个结论：
①对于任意实数，恒成立；
②若，则不等式的解集是；
③一元二次方程有一个根；
④点，在抛物线上，若，则当时，总有．其中正确的是　 　．（填写序号）
13．（2023九下·杭州月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是　 　.
14．（2022九上·舟山期中）已知关于的二次函数，其中为实数，当-2≤x≤1时，的最小值为4，满足条件的的值为　 　。
15．（2022九上·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为　 　．
16．（2022九上·永嘉月考）已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为　 　．
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
18．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
19．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
20．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小：　 　；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
21．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
22．（2023·衡水模拟）如图，抛物线：与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）的值为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若点的坐标满足时，连接，将直线与抛物线围成的封闭图形记为．
①求点的坐标；
②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
23．（2023·广安）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023·昆明模拟）已知是抛物线与轴交点的横坐标．
（1）若在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为1，求此时的值；
（2）求代数式值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据函数图象可得：a>0，c<0，∵对称轴是直线x=1，∴，∴b=-2a，∴b<0，∴abc>0，故①不正确；
②根据题意可得：方程的解即是函数与x轴的交点坐标的横坐标，根据图象可知函数与x轴的一个交点为，∵函数的对称轴为直线x=1，∴另一个交点范围为，故②正确；
③∵对称轴是直线x=1，，∴点离对称轴更近，∴，故③不正确；
④将x=-1代入，可得a-b+c>0，∵b=-2a，∴3a+c>0，∴6a+2c>0，∵a>0，∴，故④正确；
⑤∵，∴，即证明，∵，∴m为任意实数，恒成立，故⑤正确；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为，所以M到l的距离=点P到AB的距离=，又A和A'关于l对称，∴AA'=，且∠A'AB=90°，∴所以PA+PB的最小值为不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为，∴PE+PF的最小值为正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=，CT=，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC==，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①、当c=1时，抛物线为，将点A的坐标代入解析式可得a-b+1=0，可得a=b-1，因为，所以当x=1时，a+b+1＞0，当x=2时，4a+2b+1＜0，所以，解得，故①不正确；
②、当时，对称轴是直线，所以，当x=-1时，a-b+c=0，所以a++c=0，化简可得3a+2c=0，故②不正确；
③、由题可知抛物线的对称轴为直线，因为点M、N再抛物线上，且，，可得点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，所以，故③正确；
④、因为点A、B在抛物线上，所以a（x+1）(x-m）=1，整理可得，所以，又因为，即，所以一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤、由①可得，由②可得求出a=-，将点A的坐标代入解析式求出，可得抛物线解析式为，当x=0时，y=1，当x=2时，y=-1，根据图象可知，直线y=k与该二次函数有一个公共点，则有两个相等的实数根，所以△=0，求出k=，与矛盾，故⑤不正确；
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①符合题意，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②符合题意，符合题意；
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③符合题意，符合题意；
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④不符合题意，不合题意，
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝-2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵点A（-1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝-2a，
∴3a+c＝0，
∴8a+c＝8a-3c＝5a
∴8a+c＜0，故②符合题意，
∵顶点坐标（1，n）
∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n-1时，与抛物线有两个交点，故③符合题意，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴|x2-1|＞|x1-1|
∵抛物线开口向下，抛物线关于x＝1对称，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，故④符合题意，
∴结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】先取m＝1时，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断B、D选项即可；再取m=2，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断A选项即可；再取m=0，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断D选项即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
故甲同学结论正确；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
根据函数图象可得，当 时， 或 ，
故乙同学结论错误；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，
即 ，
∴ ，即 ，
故丙同学结论错误；
当 时， ，即 ，
∵ 时， ，
∴ ，
故丁同学结论正确；
综上，正确的结论有甲、丁两位同学的两个结论，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与性质，结合题意作答即可。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，，
，，
为非负数，
，
解得，符合为非负数，
，
在内，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为，
则，
故答案为：C．
【分析】用a表示出b、c，利用b、c为非负数，可确定a的取值范围，再将b、c的值代入解析式中可得，利用二次函数的性质及a的范围，求出m、n的值，再代入计算即可.
11．【答案】（1）-7
（2）
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是“和谐点”，
∴9=4m+t，，
∴，
解得m=-7，m=3（舍去），
故答案为：-7；
（2）设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，
∴，
∴，
解得（-3＜a＜-1），
对于
当a=-3时，k=3，
当k=-1时，k=3，
∴当a=-2时，k取最大值4，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据题意即可得到9=4m+t，，进而得到一元二次方程，解方程即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，根据题意即可得到，进而得到（-3＜a＜-1），再根据二次函数的图象和性质即可求解。
12．【答案】②④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由不等式a(m2-1)+b(m-1)≥0，可得am2+bm+c-(a+b+c)≥0，
∵当x =m时，y =am2+bm+c，
当x =1时，y=a+b+c，
∴不等式am2+bm+c-(a+b+c)≥0是抛物线x=m与x=1时函数值的差，
∵根据已知条件不能判断当c=1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c-(a+b+c)≥0不正确，
∴结论①不正确，
②∵a-b+c=0，
∴抛物线y=ax2+bx 十c与x轴交于点(-1，0)点，
∵a+b=0，
∴a=-b，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∵a> 0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为-1∴不等式ax2+bx+c<0的解集是-1∴结论②正确；
③把x=1代入一元二次方程得：-a+b=2b+c，整理得：a+b+c=0；
对于函数y =ax2+bx +c，当x = 1时，y=a+b+c，
若a+b+c=0，则抛物线过点(1，0)，
根据题意知：抛物线y=ax2+bx +c不一定过(1，0)点，
∴一元二次方程 有一个根x =1不正确，
∴结论③错误；
④∵c>a，a>0，
∴抛物线y=ax2+bx +c与y轴正半轴相交
∴抛物线过点(-1，0)点，
∴抛物线的对称轴直线x=m在直线x=-1的左侧，
∴m<-1，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且-1∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上，
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1 < y2，
∴结论④正确，
综上所述：正确的是②④，
故答案为：②④.
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
13．【答案】 或 -1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x=m，
∴，
∵1＞0，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∵当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，
若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若-1＜m＜1，
当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，
当时y=-1且函数图象经过点（-1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，
当时y=-1且函数图象经过点（1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
∴m的取值范围为 或 -1.
故答案为： 或 -1
【分析】利用二次函数的对称轴可用含b的代数式表示出m，利用二次函数的增减性，可得到当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小；利用当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，分情况讨论：若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），代入可求出b，c的值，即可得到b的值；若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），代入求出b，c的值，即可得到m的值；若-1＜m＜1，当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，当时y=-1且函数图象经过点（-1，1），代入可求出b，c的值，可得到符合题意的m的值；当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，当时y=-1且函数图象经过点（1，1），代入求出b，c的值，即可得到符合题意的m的值，综上所述可得到m的值.
14．【答案】0或-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 当-2≤x≤1时，的最小值为4
当a＜-2时，x=-2，
12+12a+4a2+2a+4=4
2a2+7a+6=0
解之：a1=-2，a2=-（舍去）；
当-2≤a≤1时，x=a时
3a2-6a2+4a2+2a+4=4
解之：a1=0，a2=-2；
当a＞1时，x=1
3-6a+4a2+2a+4=4即4a2-4a+3=0，
b2-4ac＜0，此方程无实数解；
∴a的值为0或-2.
故答案为：0或-2
【分析】利用已知条件分情况讨论：当a＜-2时，x=-2，代入可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；当-2≤a≤1时，x=a时，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；当a＞1时，x=1，此方程无实数解；由此可得到符合题意的a的值.
15．【答案】-5或-7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵点A在直线AB：y＝kx+3上，
∴0＝3k+3，解得k＝-1，
∴直线AB为y＝-x+3，
∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，
∴x-3+x＝7，解得x＝5，
∴B（5，-2），
∴B到对称轴的距离为5-3＝2，B到x轴的距离为2，
若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，
①当AB是正方形对角线时，P（3，-2），则Q（5，0），
∵点Q在抛物线上，
∴把Q（5，0）代入y＝-x2+6x+c得，0＝-25+30+c，解得c＝-5；
②当AB是正方形的边时，P（3，-4），则Q（1，-2），
∵点Q在抛物线上，
把Q（1，-2）代入y＝-x2+6x+c得，-2＝-1+6+c，解得c＝-7，
∴综上所述，c的值为-5或-7.
故答案为：-5或-7．
【分析】根据抛物线的对称轴求得A的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式，从而求得B的坐标；根据若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，分两种情况：①AB是正方形的对角线，求得P、Q的坐标；②AB是正方形的边，求得P、Q的坐标，再分别把Q的坐标代入代入抛物线解析式即可求得c的值．
16．【答案】-12＜ｙ<-3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12，
当x=-2时，y的最小值为-12；
当x=-5时，y=25-20-8=-3，
当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3，
解之：n1=1，n2=-5
∵n＞0，
∴n=1；
∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），
∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3.
故答案为：-12＜ｙ<-3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，此抛物线的开口向上，可得到y的最小值为-12；再分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出m，n的值，可得到点A，B的坐标；然后根据点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），可得到点P的纵坐标的取值范围.
17．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
18．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
19．【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
20．【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
（2）解： ∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
（3）解：①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
（4）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4） ①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，
则
∴
∵ ， 即
∴ ；
∵
∴
解得： 或 （舍去）；
②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则 ，即 ，
则 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，
，
∴
解得： 或 （舍去）；
④当 在直线 上或下方时，即 ，
，
，
，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， 或 ．
【分析】（1）代入点A即可求解；
（2）先根据抛物线解析式得到顶点坐标，进而根据题意即可求出m；
（3）分类讨论：①轴时，点关于对称轴对称，②当轴时，则关于直线对称，进而根据题意即可求出点P和点Q的坐标，进而即可求解；
（4）分类讨论：①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，④当 在直线 上或下方时，即 ，进而即可表示出和，根据题意即可求出m。
22．【答案】（1）1；（2，-1）
（2）解：由题可知，，点关于抛物线对称轴的对称点为，
情况①：当点在点上方时，即时，点和点之间的部分最高点为点，最低点为抛物线顶点，
∴；
情况②：当点在点下方（含两点重合）时，
即时，点和点之间的部分最高点为点，
最低点为抛物线顶点，
∴；
综上，
（3）解：①由（2）可知，
又，可得，
解得或，
又因为，所以，，
点P的坐标为；
②10个
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：
（1）对于y=a(x-1)(x-3)，当y=0时，x=1或x=3
∴A（1，0），B（3，0）
∴OB＝3，
∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，3），
把C（0，3）代入y=a(x-1)(x-3)得，3＝3a，∴a=1
∴y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
∴抛物线L的顶点坐标为（2，-1），
故答案为：（2，-1）
（3）②设直线CP的解析式为y=kx+b，
把C（0，3）和P（5，8）分别代入得，
解得，
∴直线CP的解析式为y=x+3，
在线段CP上的整点有：（0，3）（1，4）（2，5）（3，6）、（4，7）、（5，8）这6个点；
在点C和点P之间的抛物线上除点C和P外的整点有：（1，0），（2，-1），（3，0）、（4，3），
这样封闭图形G的边界上的整点共有10个。
故答案为：10个。
【分析】
（1）先求出A和B的坐标，再求C的坐标，从而可求得a值和函数解析式和图像的顶点坐标。
（2）C和P的位置关系有两种情形，需要分情形求出相应的解析式。
（3）封闭图形G的边界包括线段CP部分和抛物线部分，要根据直线CP的解析式和抛物线的解析式分别求出两部分上的整点。
23．【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：
∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）
解：设 ，则 ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，即 ，
∴ 是以 、 为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当 为对角线时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，即 轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
如图3-2所示，当 为边时，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-3所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-4所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
解得 （舍去）或 （舍去）；
如图3-5所示，当 为对角线时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当 为对角线时，设 交于S，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质和对称轴得到点A和点C的坐标，进而得到BA的长和OC的长，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可求出直线CA的解析式，设，则，，进而即可得到MN的长，再根据 结合题意即可求出点P的坐标；
（3）先根据题意得到 是以 、 为顶点的菱形的边，进而分类讨论：当 为对角线时，当 为边时，则 ，当 为边时，则 ，当 为边时，则 ，当 为对角线时，然后运用坐标系中两点间的距离公式，结合题意即可求解。
24．【答案】（1）解： ，
当时，，
当时，；
①当时，
抛物线在时，取得最小值，
即，
解得：，或（舍去），
即．
②当时，
即当时，
抛物线在时，取得最小值，此种情况不合题意；
③当时，即时，
抛物线在时，取得最小值，
即，
解得：或（舍去），
即．
综上所述，或．
故答案为：或．
（2）解：由题意知，即，显然，
则
．
由，可知，即，
．
故答案为：6．
【知识点】代数式求值；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，再根据题意结合二次函数的最值进行分类讨论即可求解；
（2）先根据题意得到，再将代数式化简，进而代入即可求解。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分， 共30分）
1．（2023·新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据图象可知：当时，直线在抛物线的上方，∴，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴是方程的一个解，故②正确；
③将点（-2，5）、（3，0）分别代入可得：，解得，∴抛物线的解析式为，当x=-1时，，当x=4时，，∴，故③正确；
④由③可知：（-2，5）与点（4，5）关于对称轴对称，∴对称轴为直线，将x=1代入抛物线可得，∴当-2综上所述，正确的有①②③，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
2．（2023·枣庄）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①根据函数图象可得：a>0，c<0，∵对称轴是直线x=1，∴，∴b=-2a，∴b<0，∴abc>0，故①不正确；
②根据题意可得：方程的解即是函数与x轴的交点坐标的横坐标，根据图象可知函数与x轴的一个交点为，∵函数的对称轴为直线x=1，∴另一个交点范围为，故②正确；
③∵对称轴是直线x=1，，∴点离对称轴更近，∴，故③不正确；
④将x=-1代入，可得a-b+c>0，∵b=-2a，∴3a+c>0，∴6a+2c>0，∵a>0，∴，故④正确；
⑤∵，∴，即证明，∵，∴m为任意实数，恒成立，故⑤正确；
综上所述，正确的有②④⑤，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
3．（2023·安徽）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1所示，延长AD、BE相交于点M，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠DAE=∠CBE=60°，∴△MAB是等边三角形。
A、过点P作直线l∥AB，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，BA'与直线l相较于点p，此时PA+PB的长度最小，且PA+PA=PA'+PB=A'B，又∠DEA=∠MBA=60°，∠DAE=∠CEB=60°，∴DE∥MB，CE∥MA，∴四边形DECM是平行四边形，所以点P既是CD的中点，又是ME的中点，又∵点E在AB上移动，∴点P在直线l上移动，所以点M到l的距离等于点P到AB的距离，又知AB=4，∴等边三角形ABC的高为，所以M到l的距离=点P到AB的距离=，又A和A'关于l对称，∴AA'=，且∠A'AB=90°，∴所以PA+PB的最小值为不正确，A符合题意；
B、因为四边形DECM是平行四边形，∴PE=PM，∴PE+PF=PM+PF，所以当MPE三点在同一直线上时，PM+PF的值最小，因为点F是AB的中点，∴此时最小值为等边△MAB的高。即PM+PF的值最小为，∴PE+PF的最小值为正确，所以B不符合题意；
C、如图2所示，分别过点D、C作AB的垂线，垂足分别为点K、T，∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∴CD≥2，∵CD+DE+CE=CD+AE+BE，∴CD+DE+CE≥2+4，即△CDE的周长≥6，∴△CDE的周长的最小值为6正确，所以C不符合题意；
D、如图2所示，设AE=2a，则BE=4-2a，∴KE=a，TE=2-a，DK=，CT=，∴四边形ABCD的面积为：S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC==，∴当a=1时，四边形ABCD的面积最小，最小值为，所以D正确，不符合题意。
故答案为：A。
图1 图2
【分析】A、如图1，根据轴对称的性质，可得PA+PB的最小值为A'B的长度，根据勾股定理即可；
B、如图1，根据两点之间，线段最短，可知当M、P、F三点共线时，PE+PF的值最小，此时的最小值就是等边△MAB的高；
C、如图2，△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AE+BE=CD+4，所以当CD取最小值时，周长最小，当CD垂直CT时，CD最小，此时CD=KT=2，可求得周长的最小值；
D、设设AE=2a，根据四边形ABCD的面积为=S△ADK+S△CBK+S梯形DKTC，从而得到四边形ABCD的面积关于a的二次函数关系式，根据二次函数的最小值，求得四边形ABCD的面积的最小值。
根据计算结果，判断正确与错误，选出正确选项即可。
4．（2023·河源模拟）已知抛物线是常数开口向下，过，两点，且下列四个结论：
若，则；
若时，则；
若点，，在抛物线上，，且，则；
当时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
如果，，那么当时，直线与该二次函数有一个公共点，则．其中结论正确的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】①、当c=1时，抛物线为，将点A的坐标代入解析式可得a-b+1=0，可得a=b-1，因为，所以当x=1时，a+b+1＞0，当x=2时，4a+2b+1＜0，所以，解得，故①不正确；
②、当时，对称轴是直线，所以，当x=-1时，a-b+c=0，所以a++c=0，化简可得3a+2c=0，故②不正确；
③、由题可知抛物线的对称轴为直线，因为点M、N再抛物线上，且，，可得点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，所以，故③正确；
④、因为点A、B在抛物线上，所以a（x+1）(x-m）=1，整理可得，所以，又因为，即，所以一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
⑤、由①可得，由②可得求出a=-，将点A的坐标代入解析式求出，可得抛物线解析式为，当x=0时，y=1，当x=2时，y=-1，根据图象可知，直线y=k与该二次函数有一个公共点，则有两个相等的实数根，所以△=0，求出k=，与矛盾，故⑤不正确；
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。
5．（2023·济南模拟）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围．则（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴令，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴顶点坐标为，
∵，
∴线段上有3个整点，
∵区域内有6个整点，
当时，，
即；
当时，，
即，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为：C．
【分析】先求出二次函数的顶点式，可得顶点坐标为，再利用二次函数的性质求解即可。
6．（2023·无为模拟）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在，之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①符合题意，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②符合题意，符合题意；
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③符合题意，符合题意；
∵的最大函数值为，
∴有实数根，
故④不符合题意，不合题意，
综上所述，正确的结论有3个．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
7．（2023·包头模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标（1，n），
∴对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝-2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①符合题意；
∵点A（-1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝-2a，
∴3a+c＝0，
∴8a+c＝8a-3c＝5a
∴8a+c＜0，故②符合题意，
∵顶点坐标（1，n）
∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n-1时，与抛物线有两个交点，故③符合题意，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
∴|x2-1|＞|x1-1|
∵抛物线开口向下，抛物线关于x＝1对称，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，故④符合题意，
∴结论正确的是①②③④共4个．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
8．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（　　）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】先取m＝1时，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断B、D选项即可；再取m=2，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断A选项即可；再取m=0，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断D选项即可.
9．（2022九上·柳林期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，
故甲同学结论正确；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
根据函数图象可得，当 时， 或 ，
故乙同学结论错误；
∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
∴抛物线的对称轴为 ，
即 ，
∴ ，即 ，
故丙同学结论错误；
当 时， ，即 ，
∵ 时， ，
∴ ，
故丁同学结论正确；
综上，正确的结论有甲、丁两位同学的两个结论，
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的图象与性质，结合题意作答即可。
10．（2022九上·萧山月考）已知非负数，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：，，
，，
为非负数，
，
解得，符合为非负数，
，
在内，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为；
当时，取得最大值，最大值为，
则，
故答案为：C．
【分析】用a表示出b、c，利用b、c为非负数，可确定a的取值范围，再将b、c的值代入解析式中可得，利用二次函数的性质及a的范围，求出m、n的值，再代入计算即可.
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2023·乐山）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则　 　．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为　 　．
【答案】（1）-7
（2）
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵是“和谐点”，
∴9=4m+t，，
∴，
解得m=-7，m=3（舍去），
故答案为：-7；
（2）设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，
∴，
∴，
解得（-3＜a＜-1），
对于
当a=-3时，k=3，
当k=-1时，k=3，
∴当a=-2时，k取最大值4，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据题意即可得到9=4m+t，，进而得到一元二次方程，解方程即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，根据题意即可得到，进而得到（-3＜a＜-1），再根据二次函数的图象和性质即可求解。
12．（2023·大庆模拟）已知抛物线（a，b，c是常数，），且，．下列四个结论：
①对于任意实数，恒成立；
②若，则不等式的解集是；
③一元二次方程有一个根；
④点，在抛物线上，若，则当时，总有．其中正确的是　 　．（填写序号）
【答案】②④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由不等式a(m2-1)+b(m-1)≥0，可得am2+bm+c-(a+b+c)≥0，
∵当x =m时，y =am2+bm+c，
当x =1时，y=a+b+c，
∴不等式am2+bm+c-(a+b+c)≥0是抛物线x=m与x=1时函数值的差，
∵根据已知条件不能判断当c=1时，函数有最小值，
∴am2+bm+c-(a+b+c)≥0不正确，
∴结论①不正确，
②∵a-b+c=0，
∴抛物线y=ax2+bx 十c与x轴交于点(-1，0)点，
∵a+b=0，
∴a=-b，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，
∵a> 0，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分x的取值范围为-1∴不等式ax2+bx+c<0的解集是-1∴结论②正确；
③把x=1代入一元二次方程得：-a+b=2b+c，整理得：a+b+c=0；
对于函数y =ax2+bx +c，当x = 1时，y=a+b+c，
若a+b+c=0，则抛物线过点(1，0)，
根据题意知：抛物线y=ax2+bx +c不一定过(1，0)点，
∴一元二次方程 有一个根x =1不正确，
∴结论③错误；
④∵c>a，a>0，
∴抛物线y=ax2+bx +c与y轴正半轴相交
∴抛物线过点(-1，0)点，
∴抛物线的对称轴直线x=m在直线x=-1的左侧，
∴m<-1，
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且-1∴A，B两点在对称轴右侧的抛物线上，
∵抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1 < y2，
∴结论④正确，
综上所述：正确的是②④，
故答案为：②④.
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
13．（2023九下·杭州月考）已知二次函数y＝x2＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是　 　.
【答案】 或 -1
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x=m，
∴，
∵1＞0，
∴当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∵当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，
若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），
解之：，
此时（舍去）；
若-1＜m＜1，
当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，
当时y=-1且函数图象经过点（-1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，
当时y=-1且函数图象经过点（1，1）
∴
解之：
此时（舍去），
∴m的取值范围为 或 -1.
故答案为： 或 -1
【分析】利用二次函数的对称轴可用含b的代数式表示出m，利用二次函数的增减性，可得到当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小；利用当-1≤x≤1时，y的取值范围是-1≤y≤1，分情况讨论：若m≤-1，抛物线经过点（1，1），（-1，-1），代入可求出b，c的值，即可得到b的值；若m≥1，抛物线经过点（-1，1），（1，-1），代入求出b，c的值，即可得到m的值；若-1＜m＜1，当m-（-1）＞1-m时，此时m＞0，当时y=-1且函数图象经过点（-1，1），代入可求出b，c的值，可得到符合题意的m的值；当m-（-1）＜1-m时，此时m＜0，当时y=-1且函数图象经过点（1，1），代入求出b，c的值，即可得到符合题意的m的值，综上所述可得到m的值.
14．（2022九上·舟山期中）已知关于的二次函数，其中为实数，当-2≤x≤1时，的最小值为4，满足条件的的值为　 　。
【答案】0或-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 当-2≤x≤1时，的最小值为4
当a＜-2时，x=-2，
12+12a+4a2+2a+4=4
2a2+7a+6=0
解之：a1=-2，a2=-（舍去）；
当-2≤a≤1时，x=a时
3a2-6a2+4a2+2a+4=4
解之：a1=0，a2=-2；
当a＞1时，x=1
3-6a+4a2+2a+4=4即4a2-4a+3=0，
b2-4ac＜0，此方程无实数解；
∴a的值为0或-2.
故答案为：0或-2
【分析】利用已知条件分情况讨论：当a＜-2时，x=-2，代入可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；当-2≤a≤1时，x=a时，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；当a＞1时，x=1，此方程无实数解；由此可得到符合题意的a的值.
15．（2022九上·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为　 　．
【答案】-5或-7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵点A在直线AB：y＝kx+3上，
∴0＝3k+3，解得k＝-1，
∴直线AB为y＝-x+3，
∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，
∴x-3+x＝7，解得x＝5，
∴B（5，-2），
∴B到对称轴的距离为5-3＝2，B到x轴的距离为2，
若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，
①当AB是正方形对角线时，P（3，-2），则Q（5，0），
∵点Q在抛物线上，
∴把Q（5，0）代入y＝-x2+6x+c得，0＝-25+30+c，解得c＝-5；
②当AB是正方形的边时，P（3，-4），则Q（1，-2），
∵点Q在抛物线上，
把Q（1，-2）代入y＝-x2+6x+c得，-2＝-1+6+c，解得c＝-7，
∴综上所述，c的值为-5或-7.
故答案为：-5或-7．
【分析】根据抛物线的对称轴求得A的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式，从而求得B的坐标；根据若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，分两种情况：①AB是正方形的对角线，求得P、Q的坐标；②AB是正方形的边，求得P、Q的坐标，再分别把Q的坐标代入代入抛物线解析式即可求得c的值．
16．（2022九上·永嘉月考）已知抛物线y＝x2+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为　 　．
【答案】-12＜ｙ<-3
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x－8=（x+2） 2-12，
当x=-2时，y的最小值为-12；
当x=-5时，y=25-20-8=-3，
当x=n，y=-3时n2+4n－8=-3，
解之：n1=1，n2=-5
∵n＞0，
∴n=1；
∵点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），
∴点P的纵坐标的取值范围为-12＜ｙ<-3.
故答案为：-12＜ｙ<-3.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标，此抛物线的开口向上，可得到y的最小值为-12；再分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出m，n的值，可得到点A，B的坐标；然后根据点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），可得到点P的纵坐标的取值范围.
三、解答题（共8题，共69分）
17．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
18．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
19．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
20．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小：　 　；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
21．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
（2）解： ∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
（3）解：①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
（4）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4） ①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，
则
∴
∵ ， 即
∴ ；
∵
∴
解得： 或 （舍去）；
②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则 ，即 ，
则 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，
，
∴
解得： 或 （舍去）；
④当 在直线 上或下方时，即 ，
，
，
，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， 或 ．
【分析】（1）代入点A即可求解；
（2）先根据抛物线解析式得到顶点坐标，进而根据题意即可求出m；
（3）分类讨论：①轴时，点关于对称轴对称，②当轴时，则关于直线对称，进而根据题意即可求出点P和点Q的坐标，进而即可求解；
（4）分类讨论：①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，④当 在直线 上或下方时，即 ，进而即可表示出和，根据题意即可求出m。
22．（2023·衡水模拟）如图，抛物线：与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）的值为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　；
（2）设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若点的坐标满足时，连接，将直线与抛物线围成的封闭图形记为．
①求点的坐标；
②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
【答案】（1）1；（2，-1）
（2）解：由题可知，，点关于抛物线对称轴的对称点为，
情况①：当点在点上方时，即时，点和点之间的部分最高点为点，最低点为抛物线顶点，
∴；
情况②：当点在点下方（含两点重合）时，
即时，点和点之间的部分最高点为点，
最低点为抛物线顶点，
∴；
综上，
（3）解：①由（2）可知，
又，可得，
解得或，
又因为，所以，，
点P的坐标为；
②10个
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：
（1）对于y=a(x-1)(x-3)，当y=0时，x=1或x=3
∴A（1，0），B（3，0）
∴OB＝3，
∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，3），
把C（0，3）代入y=a(x-1)(x-3)得，3＝3a，∴a=1
∴y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
∴抛物线L的顶点坐标为（2，-1），
故答案为：（2，-1）
（3）②设直线CP的解析式为y=kx+b，
把C（0，3）和P（5，8）分别代入得，
解得，
∴直线CP的解析式为y=x+3，
在线段CP上的整点有：（0，3）（1，4）（2，5）（3，6）、（4，7）、（5，8）这6个点；
在点C和点P之间的抛物线上除点C和P外的整点有：（1，0），（2，-1），（3，0）、（4，3），
这样封闭图形G的边界上的整点共有10个。
故答案为：10个。
【分析】
（1）先求出A和B的坐标，再求C的坐标，从而可求得a值和函数解析式和图像的顶点坐标。
（2）C和P的位置关系有两种情形，需要分情形求出相应的解析式。
（3）封闭图形G的边界包括线段CP部分和抛物线部分，要根据直线CP的解析式和抛物线的解析式分别求出两部分上的整点。
23．（2023·广安）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：
∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；菱形的判定；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（3）
解：设 ，则 ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，即 ，
∴ 是以 、 为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当 为对角线时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，即 轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
如图3-2所示，当 为边时，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-3所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-4所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
解得 （舍去）或 （舍去）；
如图3-5所示，当 为对角线时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当 为对角线时，设 交于S，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述， 或 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质和对称轴得到点A和点C的坐标，进而得到BA的长和OC的长，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可求出直线CA的解析式，设，则，，进而即可得到MN的长，再根据 结合题意即可求出点P的坐标；
（3）先根据题意得到 是以 、 为顶点的菱形的边，进而分类讨论：当 为对角线时，当 为边时，则 ，当 为边时，则 ，当 为边时，则 ，当 为对角线时，然后运用坐标系中两点间的距离公式，结合题意即可求解。
24．（2023·昆明模拟）已知是抛物线与轴交点的横坐标．
（1）若在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为1，求此时的值；
（2）求代数式值．
【答案】（1）解： ，
当时，，
当时，；
①当时，
抛物线在时，取得最小值，
即，
解得：，或（舍去），
即．
②当时，
即当时，
抛物线在时，取得最小值，此种情况不合题意；
③当时，即时，
抛物线在时，取得最小值，
即，
解得：或（舍去），
即．
综上所述，或．
故答案为：或．
（2）解：由题意知，即，显然，
则
．
由，可知，即，
．
故答案为：6．
【知识点】代数式求值；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，再根据题意结合二次函数的最值进行分类讨论即可求解；
（2）先根据题意得到，再将代数式化简，进而代入即可求解。
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