2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·宁波期中）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个交点
C．抛物线的顶点坐标是（2，－5）
D．当x≥2时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次函数中，a＝1，则a＞0，
∴抛物线开口向上，故此选项正确，不符合题意；
B、当y＝0时，，
对于方程来说，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象
与x轴有两个交点，故此选项正确，不符合题意；
C、∵＝，
∴抛物线的顶点坐标是（2，－5），故此选项正确，不符合题意；
D、∵＝，
∴抛物线的对称轴是x＝2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，据此判断A；令抛物线解析式中的y=0求出对应一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值＞0可知方程有两个不相等的实数根，进而即可得出抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断B；将抛物线的解析式配成顶点式，可得其顶点坐标，据此判断C；由于抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此可判断D.
2．（2022九上·定海期中）已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
，
得：，
，
∴，
∴，
如图：
当时，，
当时，t有最小值3，
当，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将所给方程组的两个方程相加可得x=2m+2，将方程组中的两个方程相减可得y=m+1，据此可得x=2y，将其代入所给的函数关系式可得t与y的函数关系式，将其配成顶点式，然后分别取y=-1，y=1与y=三个界点值算出对应的t的值，即可得出答案.
3．（2022九上·舟山月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤（m为实数）．正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，与y的交点在负半轴，对称轴为直线x=-=1，
∴a＞0，b=-2a＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x=-1时，y=a+c-b＞0，故②正确；
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；
∵b=-2a，a+c-b＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
∵当x=1时，y有最小值，最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m（am+b），故⑤正确；
∴正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，确定a，b，c的符号，即可判断①正确；根据当x=-1和x=4时y的值，即可判断②正确，③错误；根据b=-2a，a+c-b＞0，得出3a+c＞0，即可判断④正确；根据抛物线有最小值为a+b+c，即可判断④正确；
4．（2022九上·淳安期中）已知二次函数y＝x2-2x-3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，-4），
当y＝0时，（x-1）2-4＝0，
解得x＝-1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴x＝1，顶点坐标为（1，-4），令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的两个交点坐标，据此进行比较.
5．（2022九上·拱墅期中）抛物线（a、b为常数，且）上有两点，.若，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2+b的对称轴是y轴，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
由题意知，在其图象上有两点，，若，则，
故答案为：C.
【分析】由于抛物线解析式中一次项系数为0，故对称轴直线是y轴，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，据此判断即可得出答案.
6．（2022九上·义乌期中）已知，点，在抛物线上，若，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为，由二次函数的对称性可知，
当和时，函数值y相等，
当和时，函数值y相等，
即当满足和的函数值相同，
当，存在一个正数m，当时，都有，
∴或，解得或；
故答案为：D.
【分析】首先根据抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线，进而根据抛物线的对称性得
当和时，函数值y相等，当和时，函数值y相等，即当满足和的函数值相同，据此结合题意可得或，求解即可.
7．（2022九上·北仑期中）当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当m＜-2，x＝-2时，y最大＝-（-2-m）2+m2+1＝4，解得m＝-（舍），
当-2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝-；
当m＞1，x＝1时，y最大＝-（1-m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为-或2，
故答案为：B.
【分析】二次函数的对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1和m＞1三种情况，然后根据二次函数的增减性及最大值为4分布建立方程并解之即可.
8．（2022九上·杭州开学考）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2﹣2x+3=（x-1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，
∴ 当1≤x≤2 时，
x=2时y的值最大为y=（2-1）2+2=3，当x=1时最小值为2；
当-2≤x≤1时，
当x=-2时y的值最大为y=（-2-1）2+2=11；
∴有最大值11，有最小值2.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可知当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，同时可得到当x=1时函数的最小值为2；再分别求出当-2≤x≤1时和 当1≤x≤2 时函数的最大值，综上所述可得到函数的最大值.
9．（2021九上·温州月考）已知当0≤x≤m时，二次函数 的最大值与最小值的差为4，则m的值可以是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： 的对称轴为： 顶点坐标为： a=-1＜0，图象开口向下，
当 时， 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故A不符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故B不符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故C符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时， 当 时，
而 故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式可得对称轴以、顶点坐标及开口方向，然后判断出函数的增减性，确定出当0≤x≤m时函数的最值，然后根据最大值与最小值的差为4进行解答.
10．（2021九上·温州月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣4，当自变量x的取值范围是x≥﹣1时，下列关于函数y的最值说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5，有最大值﹣1 B．有最小值﹣5，无最大值
C．有最小值﹣1，无最大值 D．无最小值，有最大值﹣1
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数图象开口向上
∵
∴函数顶点坐标为 ，即对称轴为
∵x≥﹣1
∴当 时y随x的增大而减小，当 时y随x的增大而增大
∴二次函数在顶点处取最小值，最小值-5，没有最大值
故答案为：B.
【分析】根据二次函数解析式可得开口方向以及对称轴、顶点坐标，判断出函数的增减性，进而可得最值.
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2023九上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点D、E，连接、，则当k 时，的面积最大.
【答案】-6
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，设，
∴
∴，
∴当时，的面积最大，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点可设，从而用含k的式子表示出AD、BE的长，然后根据三角形面积计算公式用含k的式子表示出△ADE的面积，最后根据二次函数的性质即可求出答案.
12．（2022九上·拱墅期中）设二次函数y1＝-mx2+nx-1，y2＝-x2-nx-m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝ ，q＝ .
【答案】0；0
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数y1的对称轴 为x＝-，
函数y2的对称轴为x＝-，且两函数图象均开口向下，
即a<0，否则不存在最大值，两函数均在对称轴上取到最大值，
则有，，
若p+q＝0，则有，
解得：n2＝4m或m＝-1（舍去），
将n2＝4m代入p，q得：p＝q＝0.
故答案为：0，0.
【分析】由两函数表达式可知：函数y1的对称轴为x＝，函数y2的对称轴为x＝，且两函数图象均开口向下，在对称轴上取到最大值，则，结合p+q＝0可得n2＝4m，然后将n2＝4m代入p，q中就可得到p、q的值.
13．（2022九上·杭州月考）已知关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，若点P是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过P作PQ⊥y轴交抛物线于另一交点Q，则PQ的长为 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，
∴x1+x2＝m+8﹣m=-b，m（8-m）=c，
∴b=-8，
∴抛物线y＝x2+bx﹣c的对称轴为直线x=4，
∵点P，Q关于对称轴对称，
∴PQ=8.
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出b=-8，从而得出抛物线y＝x2+bx﹣c的对称轴为直线x=4，再根据点P，Q关于对称轴对称，即可得出PQ的长.
14．（2022九上·萧山月考）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，．
（1）当时，y的最大值为 .
（2）当时，若y的最大值与最小值之和为-1，则m的值为 .
【答案】（1）2
（2）或-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）把点，代入中，得
解得，，
∴函数解析式为：，
，
∵，
∴当时，y有最大值2，
故答案为：2；
（2）①当时，
当时，y有最小值为-2，
当时，y有最大值为，
∴
或（舍），
②当时，当时，y有最大值为2，
∵y的最大值与最小值之和为-1，
∴y的最小值为-3，
∴，
或（舍），
综上，m的值为或-1，
故答案为：或-1．
【分析】（1）利用待定系数法qiuchu函数解析式，根据二次函数的性质及求出y的最大值即可；
（2）由于对称轴为x=-2，分两种情况：①当时，求出最大值与最小值，②当时，求出最大值与最小值，根据“ y的最大值与最小值之和为-1 ”分别建立方程并解之即可.
15．（2022九上·台州月考）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-2，则m的值是 .
【答案】 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
∵a=1＞0，抛物线的开口向上，
∵-1≤x≤2，
当m≥2时y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y的值最小，
∴4-4m=-2
解之：＜2，不符合题意；
当-1≤m≤2，
当x=m时y的值最小，
∴m2-2m2=-2
解之：（舍去）；
当m＜-1时，
当x=-1时y的最小值为-2，
∴1+2m=-2
解之：；
∴m的值为 或 .
故答案为： 或
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，利用函数图象可知抛物线的开口向上，由-1≤x≤2，可知当m≥2时y随x的增大而增大，可得到当x=2时，y的值最小，将x=2代入方程可求出m的值，利用x的取值范围，可得此时m的值不符合题意；当x=m时y的值最小，代入函数解析式，可求出符合题意的m的值；当m＜-1时，可得到当x=-1时y的最小值为-2，代入可求出m的值，综上所述，可得到符合题意的m的值.
16．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标.
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围.
（3）当时，该函数有最大值，求的值.
【答案】（1）解：对称轴为：，
代入函数得：，
∴顶点坐标为：（k，k2-k+1）
（2）解：∵对称轴为：x=k，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当时，y随x增大而减小；
∵当时，y随x增大而减小；
∴
（3）解：①当k＞1时，在中，y随x增大而增大；
∴当x=1时，y取最大值，最大值为：；
∴ k=3；
②当k＜0时，在中，y随x增大而减小；
∴当x=0时，y取最大值，最大值为：；
∴；∴；
③当时，在中，y随x先增大再减小；
∴当x=k时，y取最大值，最大值为：；
∴；解得：k=2或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述：k的值为-2或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据x=可得对称轴，然后代入解析式中求出y，据此可得顶点坐标；
（2）根据开口方向以及对称轴可得增减性，进而可得k的范围；
（3）①当k＞1时，在0≤x≤1中，y随x增大而增大，故在x=1处取得最大值3，代入求解可得k的值；②当k＜0时，在0≤x≤1中，y随x增大而减小，故在x=0处取得最大值3，代入求解可得k的值；③当0≤k≤1时，在0≤x≤1中，y随x先增大再减小，故当x=k时，y取最大值3，代入求解可得k的值.
18．（2022九上·杭州月考）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -1 0 3 4 …
… 0 4 0 …
（1）直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围.
【答案】（1）解：；根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
即二次函数的解析式为：；
（2）解：将二次函数化为顶点式为：，
即：时，函数值随x的增大而增大；
时，函数值随x的增大而减小；
当时，函数值最大，为：
当时，函数值：
当时，函数值：
∴当时，函数值的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
即有：，
∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：，
∴，
【分析】（1）由于x=-1与x=4时的函数值相等，故可得抛物线的对称轴直线是，而x=0与x=3到对称轴的距离相等，故y值应该相等，据此即可得出m的值；进而根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将（1）所得的函数解析式配成顶点式，由于二次项的系数a=-1＜0，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，函数值最大，进而将x=1与x=5分别代入算出对应的函数值，即可得出函数值y的取值范围.
19．（2022九上·淳安期中）在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx-a（a，b是常数，a≠0）.
（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），求函数y1的表达式.
（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a.
（3）若b＝a+3，当x＞-1时，函数y1随x的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）解：函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），
∴.
∴a＝1，b＝2.
∴y1＝x2+2x-1
（2）解：y1＝ax2+bx-a＝a.
∴顶点坐标为（-，-）.
∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，
∴-＝-2a×，
∴b2+4a2＝4ab.
∴（b-2a）2＝0.
∴b＝2a.
（3）解：∵b＝a+3，
∴-＝-
∵当x＞-1时，函数y随x的增大而增大
∴图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，
即a＞0，-≤-1
∴a的取值范围是0＜a≤3.
【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将（1，2）、（-2，-1）代入y1＝ax2+bx-a中可求出a、b的值，进而可得函数y1的表达式；
（2）根据函数y1的表达式可得顶点坐标为（-，-）.，代入y2＝2ax中并化简可得b2+4a2＝4ab，即(b-2a)2＝0，据此证明；
（3）根据 b＝a+3可得-＝-，结合题意可得图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，则当a＞0，-≤-1，求解就可得到a的取值范围.
20．（2022九上·萧山期中）已知二次函数.
（1）若，则该抛物线的对称轴为 ；若，两点在该二次函数图象上，则与的大小关系为 ；
（2）若该函数图象的顶点到轴的距离等于2，试求的值；
（3）若抛物线在时，对应的函数有最大值3，求的值.
【答案】（1）x=2；
（2）解：∵抛物线顶点坐标为，
图象顶点到轴距离为时，或，
解得或.
（3）解：当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，不符合题意.
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
综上所述，或2.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1），
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，抛物线对称轴为直线，
，
点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
.
故答案为：直线；.
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得其图象开口向上，对称轴为直线x=m，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行比较；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标为（m，m2-2），结合题意可得m2-2=±2，求解可得m的值；
（3）当x=1时，函数取最大值时，结合最大值为3可得m=-1或m=2，当m=-1时，对称轴为直线x=-1，x=3时函数取最大值，不符合题意；当m=2时，对称轴为直线x=2，x=1时函数取最大值，符合题意；同理可求出当x=3时取得最大值3对应的m的值.
21．（2022九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0.
（1）若此函数图象过点（1，-3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥-3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数图象过点（1，-3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝-2，
∴二次函数的解析式为y＝-2x2-x；
（2）解：①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝- ，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴- ＝2，
∴a＝- ；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝- ，
∵x1＞x2≥-3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，- ≤-3时，0＜a≤ ；
∴0＜a≤ ；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将（1，-3）代入y＝ax2+(a+1)x中进行计算可得a的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）①根据函数解析式可得对称轴为直线x=-，由题意可得- ＝2，求解可得a的值；
②由题意可得：当a＞0，-≤-3，求解可得a的范围；当a＜0时，不符合题意舍去.
22．（2022九上·余杭期中）已知抛物线经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B.求：
（1）抛物线的解析式；
（2）的面积；
（3）自变量x满足时，函数y的最小值是，求m的值.
【答案】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：
令，则，
解得或，
∴点A的坐标为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点B的坐标为，
∴；
（3）解：当时，则，解得或，
∵自变量x满足时，函数y的最小值是-3，
∴或，
∴或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点坐标（0，0）代入y=x2+（n-3）x+n+1可得关于未知数n的方程，求解可得n的值，从而就得出了抛物线的解析式；
（2）令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可得出点A的坐标，将解析式配成顶点式可得顶点B的坐标，进而根据△AOB的面积=OA与B点纵坐标绝对值乘积的一半算出答案；
（3）首先将y=-3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，根据抛物线的增减性结合自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-3，可得m+2=1或m=3.
23．（2022九上·洞头期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【答案】（1）解：∵矩形ABCD，
∴CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴DG=BE，DH=BC
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，由AE＝AH＝CG＝CF，可推出DG=BE，DH=BC，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG；然后根据阴影部分的面积=矩形ABCD的面积减去4个直角三角形的面积，可得到S与x的函数解析式.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出S的最大值及x的值.
24．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【答案】（1）解：把(2，3)代入y＝ax2＋4ax＋3a，得3＝4a＋8a＋3a，
解得： ，
∴函数y的表达式y＝
（2）解：∵抛物线得对称轴为直线x＝ ，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴ ，即m≤ 6
（3）解：由题意得：y＝a(x＋2)2 a，
∵二次函数在 3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴ ；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝ 2时，y有最大值 a，
∴ a＝3，
∴a＝ 3，
综上， 或a＝ 3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点(2，3)代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用二次函数解析式可得到其对称轴，利用二次函数的性质可知抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，结合已知条件：x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数在 3≤x≤1时有最大值3，分情况讨论：当a＞0 时，开口向上，当x＝1时，y有最大值8a，由此可求出a的值；当a＜0 时，开口向下，当x＝ 2时，y有最大值 a，即可求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·宁波期中）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上
B．与x轴有两个交点
C．抛物线的顶点坐标是（2，－5）
D．当x≥2时，y随x的增大而减小
2．（2022九上·定海期中）已知满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·舟山月考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤（m为实数）．正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022九上·淳安期中）已知二次函数y＝x2-2x-3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．（2022九上·拱墅期中）抛物线（a、b为常数，且）上有两点，.若，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2022九上·义乌期中）已知，点，在抛物线上，若，存在一个正数m，当时，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2022九上·北仑期中）当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
8．（2022九上·杭州开学考）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值3，有最小值2 D．有最大值3，有最小值1
9．（2021九上·温州月考）已知当0≤x≤m时，二次函数 的最大值与最小值的差为4，则m的值可以是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．5
10．（2021九上·温州月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣4，当自变量x的取值范围是x≥﹣1时，下列关于函数y的最值说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5，有最大值﹣1 B．有最小值﹣5，无最大值
C．有最小值﹣1，无最大值 D．无最小值，有最大值﹣1
二、填空题（每空3分，共24分）
11．（2023九上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，反比例函数的图象与边、交于点D、E，连接、，则当k 时，的面积最大.
12．（2022九上·拱墅期中）设二次函数y1＝-mx2+nx-1，y2＝-x2-nx-m（m，n是实数，m≠0）的最大值分别是p，q，若p+q＝0，则p＝ ，q＝ .
13．（2022九上·杭州月考）已知关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，若点P是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过P作PQ⊥y轴交抛物线于另一交点Q，则PQ的长为 ．
14．（2022九上·萧山月考）已知函数（b，c为常数）的图像经过点，．
（1）当时，y的最大值为 .
（2）当时，若y的最大值与最小值之和为-1，则m的值为 .
15．（2022九上·台州月考）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为-2，则m的值是 .
16．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·杭州月考）已知二次函数（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标.
（2）当时，随的增大而减小，求的取值范围.
（3）当时，该函数有最大值，求的值.
18．（2022九上·杭州月考）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
… -1 0 3 4 …
… 0 4 0 …
（1）直接写出的值，并求该二次函数的解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围.
19．（2022九上·淳安期中）在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx-a（a，b是常数，a≠0）.
（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），求函数y1的表达式.
（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a.
（3）若b＝a+3，当x＞-1时，函数y1随x的增大而增大，求a的取值范围.
20．（2022九上·萧山期中）已知二次函数.
（1）若，则该抛物线的对称轴为 ；若，两点在该二次函数图象上，则与的大小关系为 ；
（2）若该函数图象的顶点到轴的距离等于2，试求的值；
（3）若抛物线在时，对应的函数有最大值3，求的值.
21．（2022九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y＝ax2+（a+1）x，其中a≠0.
（1）若此函数图象过点（1，-3），求这个二次函数的表达式；
（2）函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0），若（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，
①若x1+x2＝4，则y1＝y2，试求a的值；
②当x1＞x2≥-3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，试求a的取值范围.
22．（2022九上·余杭期中）已知抛物线经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B.求：
（1）抛物线的解析式；
（2）的面积；
（3）自变量x满足时，函数y的最小值是，求m的值.
23．（2022九上·洞头期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
24．（2022九上·杭州期中）已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次函数中，a＝1，则a＞0，
∴抛物线开口向上，故此选项正确，不符合题意；
B、当y＝0时，，
对于方程来说，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象
与x轴有两个交点，故此选项正确，不符合题意；
C、∵＝，
∴抛物线的顶点坐标是（2，－5），故此选项正确，不符合题意；
D、∵＝，
∴抛物线的对称轴是x＝2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，据此判断A；令抛物线解析式中的y=0求出对应一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值＞0可知方程有两个不相等的实数根，进而即可得出抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断B；将抛物线的解析式配成顶点式，可得其顶点坐标，据此判断C；由于抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此可判断D.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：，
，
得：，
，
∴，
∴，
如图：
当时，，
当时，t有最小值3，
当，，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】将所给方程组的两个方程相加可得x=2m+2，将方程组中的两个方程相减可得y=m+1，据此可得x=2y，将其代入所给的函数关系式可得t与y的函数关系式，将其配成顶点式，然后分别取y=-1，y=1与y=三个界点值算出对应的t的值，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，与y的交点在负半轴，对称轴为直线x=-=1，
∴a＞0，b=-2a＜0，c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x=-1时，y=a+c-b＞0，故②正确；
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；
∵b=-2a，a+c-b＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
∵当x=1时，y有最小值，最小值为a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m（am+b），故⑤正确；
∴正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，确定a，b，c的符号，即可判断①正确；根据当x=-1和x=4时y的值，即可判断②正确，③错误；根据b=-2a，a+c-b＞0，得出3a+c＞0，即可判断④正确；根据抛物线有最小值为a+b+c，即可判断④正确；
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，-4），
当y＝0时，（x-1）2-4＝0，
解得x＝-1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1，0），（3，0），
∴当-1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴x＝1，顶点坐标为（1，-4），令y=0，求出x的值，可得抛物线与x轴的两个交点坐标，据此进行比较.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2+b的对称轴是y轴，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
由题意知，在其图象上有两点，，若，则，
故答案为：C.
【分析】由于抛物线解析式中一次项系数为0，故对称轴直线是y轴，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，据此判断即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为，由二次函数的对称性可知，
当和时，函数值y相等，
当和时，函数值y相等，
即当满足和的函数值相同，
当，存在一个正数m，当时，都有，
∴或，解得或；
故答案为：D.
【分析】首先根据抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线，进而根据抛物线的对称性得
当和时，函数值y相等，当和时，函数值y相等，即当满足和的函数值相同，据此结合题意可得或，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当m＜-2，x＝-2时，y最大＝-（-2-m）2+m2+1＝4，解得m＝-（舍），
当-2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝-；
当m＞1，x＝1时，y最大＝-（1-m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为-或2，
故答案为：B.
【分析】二次函数的对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1和m＞1三种情况，然后根据二次函数的增减性及最大值为4分布建立方程并解之即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y＝x2﹣2x+3=（x-1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，
∴ 当1≤x≤2 时，
x=2时y的值最大为y=（2-1）2+2=3，当x=1时最小值为2；
当-2≤x≤1时，
当x=-2时y的值最大为y=（-2-1）2+2=11；
∴有最大值11，有最小值2.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的对称性可知当x＞1时y随x的增大而增大，当x＜1时y随x的增大而减小，同时可得到当x=1时函数的最小值为2；再分别求出当-2≤x≤1时和 当1≤x≤2 时函数的最大值，综上所述可得到函数的最大值.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： 的对称轴为： 顶点坐标为： a=-1＜0，图象开口向下，
当 时， 当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故A不符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故B不符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时，
而 故C符合题意；
当 时，则
当 时， 当 时， 当 时，
而 故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式可得对称轴以、顶点坐标及开口方向，然后判断出函数的增减性，确定出当0≤x≤m时函数的最值，然后根据最大值与最小值的差为4进行解答.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数图象开口向上
∵
∴函数顶点坐标为 ，即对称轴为
∵x≥﹣1
∴当 时y随x的增大而减小，当 时y随x的增大而增大
∴二次函数在顶点处取最小值，最小值-5，没有最大值
故答案为：B.
【分析】根据二次函数解析式可得开口方向以及对称轴、顶点坐标，判断出函数的增减性，进而可得最值.
11．【答案】-6
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，设，
∴
∴，
∴当时，的面积最大，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点可设，从而用含k的式子表示出AD、BE的长，然后根据三角形面积计算公式用含k的式子表示出△ADE的面积，最后根据二次函数的性质即可求出答案.
12．【答案】0；0
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数y1的对称轴 为x＝-，
函数y2的对称轴为x＝-，且两函数图象均开口向下，
即a<0，否则不存在最大值，两函数均在对称轴上取到最大值，
则有，，
若p+q＝0，则有，
解得：n2＝4m或m＝-1（舍去），
将n2＝4m代入p，q得：p＝q＝0.
故答案为：0，0.
【分析】由两函数表达式可知：函数y1的对称轴为x＝，函数y2的对称轴为x＝，且两函数图象均开口向下，在对称轴上取到最大值，则，结合p+q＝0可得n2＝4m，然后将n2＝4m代入p，q中就可得到p、q的值.
13．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝m，x2＝8﹣m，
∴x1+x2＝m+8﹣m=-b，m（8-m）=c，
∴b=-8，
∴抛物线y＝x2+bx﹣c的对称轴为直线x=4，
∵点P，Q关于对称轴对称，
∴PQ=8.
故答案为：8.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出b=-8，从而得出抛物线y＝x2+bx﹣c的对称轴为直线x=4，再根据点P，Q关于对称轴对称，即可得出PQ的长.
14．【答案】（1）2
（2）或-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）把点，代入中，得
解得，，
∴函数解析式为：，
，
∵，
∴当时，y有最大值2，
故答案为：2；
（2）①当时，
当时，y有最小值为-2，
当时，y有最大值为，
∴
或（舍），
②当时，当时，y有最大值为2，
∵y的最大值与最小值之和为-1，
∴y的最小值为-3，
∴，
或（舍），
综上，m的值为或-1，
故答案为：或-1．
【分析】（1）利用待定系数法qiuchu函数解析式，根据二次函数的性质及求出y的最大值即可；
（2）由于对称轴为x=-2，分两种情况：①当时，求出最大值与最小值，②当时，求出最大值与最小值，根据“ y的最大值与最小值之和为-1 ”分别建立方程并解之即可.
15．【答案】 或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，
∵a=1＞0，抛物线的开口向上，
∵-1≤x≤2，
当m≥2时y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y的值最小，
∴4-4m=-2
解之：＜2，不符合题意；
当-1≤m≤2，
当x=m时y的值最小，
∴m2-2m2=-2
解之：（舍去）；
当m＜-1时，
当x=-1时y的最小值为-2，
∴1+2m=-2
解之：；
∴m的值为 或 .
故答案为： 或
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，利用函数图象可知抛物线的开口向上，由-1≤x≤2，可知当m≥2时y随x的增大而增大，可得到当x=2时，y的值最小，将x=2代入方程可求出m的值，利用x的取值范围，可得此时m的值不符合题意；当x=m时y的值最小，代入函数解析式，可求出符合题意的m的值；当m＜-1时，可得到当x=-1时y的最小值为-2，代入可求出m的值，综上所述，可得到符合题意的m的值.
16．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
17．【答案】（1）解：对称轴为：，
代入函数得：，
∴顶点坐标为：（k，k2-k+1）
（2）解：∵对称轴为：x=k，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当时，y随x增大而减小；
∵当时，y随x增大而减小；
∴
（3）解：①当k＞1时，在中，y随x增大而增大；
∴当x=1时，y取最大值，最大值为：；
∴ k=3；
②当k＜0时，在中，y随x增大而减小；
∴当x=0时，y取最大值，最大值为：；
∴；∴；
③当时，在中，y随x先增大再减小；
∴当x=k时，y取最大值，最大值为：；
∴；解得：k=2或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述：k的值为-2或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据x=可得对称轴，然后代入解析式中求出y，据此可得顶点坐标；
（2）根据开口方向以及对称轴可得增减性，进而可得k的范围；
（3）①当k＞1时，在0≤x≤1中，y随x增大而增大，故在x=1处取得最大值3，代入求解可得k的值；②当k＜0时，在0≤x≤1中，y随x增大而减小，故在x=0处取得最大值3，代入求解可得k的值；③当0≤k≤1时，在0≤x≤1中，y随x先增大再减小，故当x=k时，y取最大值3，代入求解可得k的值.
18．【答案】（1）解：；根据表格可知：抛物线经过点，，，
则有：
，解得：，
即二次函数的解析式为：；
（2）解：将二次函数化为顶点式为：，
即：时，函数值随x的增大而增大；
时，函数值随x的增大而减小；
当时，函数值最大，为：
当时，函数值：
当时，函数值：
∴当时，函数值的取值范围为：.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当时，，
当时，，
可知：抛物线的对称轴为：，
即有：，
∴根据表格可知：当时与时，y值相等，均为：，
∴，
【分析】（1）由于x=-1与x=4时的函数值相等，故可得抛物线的对称轴直线是，而x=0与x=3到对称轴的距离相等，故y值应该相等，据此即可得出m的值；进而根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）将（1）所得的函数解析式配成顶点式，由于二次项的系数a=-1＜0，图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，函数值最大，进而将x=1与x=5分别代入算出对应的函数值，即可得出函数值y的取值范围.
19．【答案】（1）解：函数y1的图象经过点（1，2）和（-2，-1），
∴.
∴a＝1，b＝2.
∴y1＝x2+2x-1
（2）解：y1＝ax2+bx-a＝a.
∴顶点坐标为（-，-）.
∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，
∴-＝-2a×，
∴b2+4a2＝4ab.
∴（b-2a）2＝0.
∴b＝2a.
（3）解：∵b＝a+3，
∴-＝-
∵当x＞-1时，函数y随x的增大而增大
∴图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，
即a＞0，-≤-1
∴a的取值范围是0＜a≤3.
【知识点】正比例函数的图象和性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将（1，2）、（-2，-1）代入y1＝ax2+bx-a中可求出a、b的值，进而可得函数y1的表达式；
（2）根据函数y1的表达式可得顶点坐标为（-，-）.，代入y2＝2ax中并化简可得b2+4a2＝4ab，即(b-2a)2＝0，据此证明；
（3）根据 b＝a+3可得-＝-，结合题意可得图象开口向上，对称轴在直线x＝-1的左侧，则当a＞0，-≤-1，求解就可得到a的取值范围.
20．【答案】（1）x=2；
（2）解：∵抛物线顶点坐标为，
图象顶点到轴距离为时，或，
解得或.
（3）解：当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，不符合题意.
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
当，函数取最大值时，将代入得，
解得或，
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
当时，抛物线对称轴为直线，时函数取最大值，符合题意.
综上所述，或2.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1），
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，抛物线对称轴为直线，
，
点到对称轴距离大于点到对称轴距离，
.
故答案为：直线；.
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得其图象开口向上，对称轴为直线x=m，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行比较；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标为（m，m2-2），结合题意可得m2-2=±2，求解可得m的值；
（3）当x=1时，函数取最大值时，结合最大值为3可得m=-1或m=2，当m=-1时，对称轴为直线x=-1，x=3时函数取最大值，不符合题意；当m=2时，对称轴为直线x=2，x=1时函数取最大值，符合题意；同理可求出当x=3时取得最大值3对应的m的值.
21．【答案】（1）解：∵函数图象过点（1，-3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝-2，
∴二次函数的解析式为y＝-2x2-x；
（2）解：①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝- ，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴- ＝2，
∴a＝- ；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝- ，
∵x1＞x2≥-3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，- ≤-3时，0＜a≤ ；
∴0＜a≤ ；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤ .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将（1，-3）代入y＝ax2+(a+1)x中进行计算可得a的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）①根据函数解析式可得对称轴为直线x=-，由题意可得- ＝2，求解可得a的值；
②由题意可得：当a＞0，-≤-3，求解可得a的范围；当a＜0时，不符合题意舍去.
22．【答案】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：
令，则，
解得或，
∴点A的坐标为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点B的坐标为，
∴；
（3）解：当时，则，解得或，
∵自变量x满足时，函数y的最小值是-3，
∴或，
∴或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将原点坐标（0，0）代入y=x2+（n-3）x+n+1可得关于未知数n的方程，求解可得n的值，从而就得出了抛物线的解析式；
（2）令解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可得出点A的坐标，将解析式配成顶点式可得顶点B的坐标，进而根据△AOB的面积=OA与B点纵坐标绝对值乘积的一半算出答案；
（3）首先将y=-3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，根据抛物线的增减性结合自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-3，可得m+2=1或m=3.
23．【答案】（1）解：∵矩形ABCD，
∴CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴DG=BE，DH=BC
∴△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，
∴S＝S矩形ABCD-2S△AEH-2S△EFB＝2×4-2× x2-2× （4-x）（2-x）＝-2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）解：S＝-2x2+6x＝-2（x- ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；矩形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得CD=AB，AD=BC，∠D=∠C=∠B=∠A=90°，由AE＝AH＝CG＝CF，可推出DG=BE，DH=BC，利用SAS证明△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG；然后根据阴影部分的面积=矩形ABCD的面积减去4个直角三角形的面积，可得到S与x的函数解析式.
（2）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出S的最大值及x的值.
24．【答案】（1）解：把(2，3)代入y＝ax2＋4ax＋3a，得3＝4a＋8a＋3a，
解得： ，
∴函数y的表达式y＝
（2）解：∵抛物线得对称轴为直线x＝ ，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴ ，即m≤ 6
（3）解：由题意得：y＝a(x＋2)2 a，
∵二次函数在 3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴ ；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝ 2时，y有最大值 a，
∴ a＝3，
∴a＝ 3，
综上， 或a＝ 3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点(2，3)代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用二次函数解析式可得到其对称轴，利用二次函数的性质可知抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，结合已知条件：x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数在 3≤x≤1时有最大值3，分情况讨论：当a＞0 时，开口向上，当x＝1时，y有最大值8a，由此可求出a的值；当a＜0 时，开口向下，当x＝ 2时，y有最大值 a，即可求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值.
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