2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·上城月考）根据下列表格中的对应值：
x 1.98 1.99 2.00 2.01
-0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 （ ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·路桥模拟）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
3．（2021九上·常山期中）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）
A．180 B．220 C．190 D．200
4．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·济南模拟）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·台州）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
7．（2021·湖州）已知抛物线 与 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（ ， ），P2（ ， ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2。有下列结论：①当 时，S1>S2；②当 时，S1S2；④当 时，S1A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020九上·余姚月考）如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　)
A． B．
C． D．
9．（2023·相城模拟）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（　　）
A． B．3 C． D．
10．（2022九下·长兴开学考）如图，已知抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（　　）
A．-2≤xM≤2 B．-2≤xM≤2且xM≤-1
C．-1≤xM<2 D．-1≤xM<2或xM=3
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 　 　．
12．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为　 　 ．
13．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．
14．（2022九上·海珠期中）抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是　 　．
15．（2020九上·射阳月考）如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是　 　.
16．（2019九下·温州竞赛）某商户购进某种商品的进价是50元／个，根据市场调研发现售价是80元／个时，每月可卖出200个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个，同样若销售单价每增加1元，则每月可少卖出10个．若计划下月该商品的销售利润不低于5760元，则该商品的销售单价x(元)的取值范围是　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2019九上·北京期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤- 之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．
18．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
19．（2019九上·同安月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
20．（2023九上·赵县期末）如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=x2+bx+c运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；
（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是米？
（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．
21．（2023·本溪）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
22．（2023·明水模拟）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、点位于对称轴的左侧，设点的纵坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于的中点时，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，点在整个运动过程中，满足以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
23．（2023·深圳模拟）按要求解答
（1）某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
（2）隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为 ▲ ．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高 ▲ 米．
③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
24．（2023·青岛模拟）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万元） 10.6 12 14.2
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知，在 内，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
在 内，必有一个x的值对应的函数值 ，
方程 （ ， 为常数）一个根x的范围是 ，
故答案为：D.
【分析】由表格中的数据可知当 时， ，当 时， ，函数值由负数变成正数，从而得出在 内，必存在方程的一个根.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
∴设二次函数解析式为，
代入原点得，
解得，
∴，
令得，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，解得，
故答案为：B.
【分析】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，可求，据此求出一个球从出发到落地用时2秒，利用整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2，可得，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y=kx+b，将点（20，20），（30，0）分别代入
得，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元.
故答案为：D.
【分析】设y=kx+b，将（20，20）、（30，0）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，设销售利润为p，根据利润=(售价-进价)×销售量可得p与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数y=-x+1交于、两点，
则：，整理得：，
即：，
∴，，
的对称轴为直线，
当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，
①当时，即：，则当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
③当时，即：，与矛盾，
综上所述：．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数和一次函数的图象与性质判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ A（1，0）和B（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵x1＞x2+2，
∴x1-x2＞2，
∴x1＞x2，
只要x1，x2之间间距大于2，点P1和点P2是不同于A，B的两个点，
∴S1和S2的大小无法确定，故①错误；
∵x1＜2+x2，
∴x1+x2＜2，
∴当x1+x2=2时，点P1，P2在点A的两侧，且距离点A相等，
∴S1＞S2，故②错误；
∵ 当 时，
∴点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1，
∴点P1，P2在x轴的上方，
∴S1>S2，故③正确；④错误；
故答案为：A.
【分析】利用x1＞x2+2，可得到x1＞x2，只要x1，x2之间间距大于2，点P1和点P2是不同于A，B的两个点，S1和S2的大小无法确定，可对①作出判断；根据x1＜2+x2，可得到x1+x2＜2，由此可推出S1＞S2，可对②作出判断；利用已知条件可得到点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1，由此可知点P1，P2在x轴的上方，可得到S1、S2的大小关系.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，
∴AH=AB=，CH=AC×sinA=3×=，
∵AP=x，
∴PH=，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2，
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出PC2的表达式；②当3＜x≤6，即P在BC上时，可得PC=6-x，则PC2的表达式可知，结合两种情况，得出y关于x的函数的图象大致两种情况下抛物线的一部分组合而成.
9．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将直线平移至直线，使得直线与抛物线只有一个交点，
作轴，
就是两个函数的完美距离，
设直线解析式为，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
解得 ，
，
当时，，
，
轴，
当时，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题中的完美距离就是指直线通过平移与抛物线只有一个交点时，交点到原直线平行y轴方向的距离.先求出直线平移后的解析式和交点坐标，再通过相同横坐标求出原直线对应的点坐标，求出两点之间的距离即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x与y=-x+2交于A，B两点，B在x轴上，
∴，解得，或，
∴A（-1，3），B（2，0），
∵点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，
∴MN=4，
①∵y=x2-2x的顶点坐标为（1，-1），
把y=-1代入y=-x+2得x=3，
∴M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点，即（1，-1），
②当-1＜xM＜2时，即M点在线段AB之间时，M点向左平移4个单位到N点，
∴此时MN与线段AB下方的图象只有一个交点，
③当xM=-1时，yM=3，即M（-1，3），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线相交于点A，
④当xM=2时，yM=0，即M（2，0），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线交与B点，在线段AB下方的图象也有一个交点，
综上所述，M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点时，-1≤xM＜2或xM=3.
故答案为：D.
【分析】先联立两函数解析式组成方程组求出A（-1，3），B（2，0），由点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，求得MN=4，再根据平移过程MN与抛物线的交点情况分四种情况讨论：①当xM=3时，②当-1＜xM＜2时，③当xM=-1时，④当xM=2时，分别表示出MN与抛物线的交点个数即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
12．【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
14．【答案】-2，1，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵、关于轴对称，
∴的解析式为，
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点．
故答案为：-3，1，，．
【分析】先求出二次函数解析式，再作出二次函数的图象，并结合函数图象求解即可。
15．【答案】( ， )
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y= ，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（ a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= x2上，
∴ ，
解得：a=6，
∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）.
设D在x轴上，E在y轴上，
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0， ），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= 上，
∴ ，
解得：a= ，
∴点P的坐标为：（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】首先求得抛物线的解析式，然后根据点C为线段AB的中点分别表示出点A和点B的坐标，然后利用两三角形相似设出点D的坐标并表示出点E的坐标，根据点P为线段DE的中点表示出点P的坐标，根据抛物线经过点P，将P点的坐标代入求得设得的未知数，从而求得点P的坐标.
16．【答案】74≤x≤76或80≤x≤82
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：设下月该商品的销售单价减低y元（当y为负数时，为加价），则售价为x=80-y，利润为w，依题可得：
w=（80-y）（200+10y）-50（200+10y）
=16000+800y-200y-10y2-1000-500y
=-10y2+100y+6000
=-10（y-5）2+6250
当w=5760时
解得y1=-2，y2=12
w=-10（y-5）2+6250可知，
当y≤5时，w随y的增大而增大；当y＞5时，w随y的增大而减小
要使商品的销售利润不低于5760元，则-2≤y≤12
∴68≤x≤82
即当该商品的销售单价的取值范围是68≤x≤82， 该商品的销售利润不低于5760元；
故答案为：68≤x≤82.
【分析】设下月该商品的销售单价降低y元（当y为负数时，为加价），根据利润=商品的售价-商品进价，列出二次函数，根据题意求得当W=5760元时y的值，从而得出该商品的销售单价x.
17．【答案】（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2-4×m×3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，
∴△≥0，
∴原方程有两个实数根
（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，
解得：x1=-3，x2=- ，
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3
（3）解：如图，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∵当y=0时，x1=-3，x2=-1，
又∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∵点D与点B关于y轴对称，
∴D（1，0），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线CD的表达式为：y=-3x+3，
又∵当x=- 时，y= ，
∴点E（- ， ），
∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（- +n， ），
当直线y=-3x+3经过点A′（-3+n，0）时，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，
当直线y=-3x+3经过点E′（- +n， ），时，得：-3（- +n）+3= ，解得：n= ，
∴n的取值范围是 ≤n≤4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，即判断b2-4ac的情况，整理可得到关于m的代数式为（3m-1）2，此代数式为非负数，所以该方程有两个实数根；
（2）抛物线与x轴有交点，即当y=0时，一元二次方程mx2+(3m+1)+3=0有两个不相等的实数根，将其分解因式为（x+3）（mx+1）=0，又因为A、B交点为整数点，且m为正整数，即可求得抛物线的解析式；
（3）由（2）中求得的结果，可以求出直线CD的解析式，抛物线在-3≤x≤-的图象可知点A即为图象的左侧，而x=时，y=1，即为图象的右侧E点，将其平移n个单位长度，将平移后的点表示出来与直线CD有公共点，即点A向右平移n个单位长度与CD相交，求出n的值，点E向右平移n个单位长度与CD相交，可以求出n的另一个值，即可求出n的取值范围。
18．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
19．【答案】（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）计算x=﹣2和x=﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x=﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，得﹣ ＜x2＜﹣1，同理再求﹣1和﹣ 的平均数为﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，从而得结论．
20．【答案】（1）解：由题意可知抛物线C2：y=x2 +bx+c过点(0， 4)和(8， 10)
将其代入得：
解得，
∴b=，c=4
（2）解：由(1)可得抛物线Cq解析式为： y=x2+x+4 ，
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
解得： m1=10，m2=0(舍)，
故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为米．
（3）解：∵抛物线C2经过点(0， 4)，
∴c=4，
抛物线C1： y==
当x=6时，运动员到达坡项，
即×62 +6b+4≥4+6．
∴b≥
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（8，10）代入C2求出b、c的值即可；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出m即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（6，6），根据题意即-×62+6b+4≥4+6，再解出b的取值范围即可．
21．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)用待定系数法，直接将抛物线上的两个已知点B（4，0）和C（0，4）代入，得到b和c的二元一次方程组，求解即可；
（2）因为矩形EFGH的周长为11，可知2(EF+EH)=11.因为HE∥x轴，EF∥y轴，则H、E纵坐标相等，E、F横坐标相等，所以可以利用E的坐标把两条线段表示出来.设E的横坐标为x，因其位于抛物线上，所以代入（1）中抛物线表达式得到其纵坐标为 .求出BC直线表达式，代入F的横坐标x，可得到F的总坐标为-x+4，所以EF长度为（E纵-F纵），化简即可S.而求HE时，因为H、E关于对称轴对称，所以EH=2（E横-对称轴），故先求出其对称轴为1，所以得到EH的长度为2（x-1）=2x-2.最后，将EF和EH的代数式代入2(EF+EH)=11，得到关于x的一元二次方程中，得解x.特别注意的是，因为E位于第一象限内，所以x取值范围为0（3）根据正方形OENM的名称，O和N，E和M分别是对顶点，根据其题意作出满足条件一个图形.作EP⊥OC于P，MQ⊥y轴于Q，根据三角形K型全等模型（坐标系中出现正方形时常用模型），可得△OEP≌△MOP，结合E的坐标（m，）得到对应边EP=OQ=-m，OP=MQ=，进而可得到M的坐标(，)，因此代入AC的函数解析式，得到m的一元二次方程求解，得到m的两个解，进而求出E和M的坐标.根据正方形顶点在坐标系中的平移特征：“O到M的平移过程，和E到N的平移过程”一致，最后求出对应的N的两个坐标即可.
22．【答案】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：点，点，
直线解析式为，
当时，，
点，
点位于的中点，
点，
设直线解析式为，
，
，
直线解析式为，
联立方程组可得：，
解得：或舍去，
点；
（3）解：若为边，
以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，，
又，
点与点重合，
，，
，，
，
；
若为对角线，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
设点，则点，
，
，
，
舍去，，
；
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别将点B、A的坐标代入可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，即可得到函数解析式.
（2）利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，求出当x=2时的y的值，可得到点F的坐标，利用线段中点坐标公式可求出点P的坐标；利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，将直线MN的函数解析式和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到符合题意的点M的坐标.
（3）利用平行四边形的性质分情况讨论：当PM为边时，可得到PM∥CQ，NP=CQ，由AC∥MP，可知点Q和点A重合，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当PM为对角线时，设点，则点，利用点P和点C的纵坐标之差为t-6，可得到关于a、t的方程，解方程表示出的值，然后求出符合题意的t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
23．【答案】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：
解得： 或
经检验， 是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）① ；②5.5米；
③如图：由 高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令 ，则有： ，解得： （舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：
∴人行道宽度设计达标．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：E(-4，0)，F(4，0)，A(-6，0)，B(6，0)，M(0，10.8)，
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由题意可得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为：y=-0.3x2+10.8，
故答案为：y =-0.3x2+10.8；
②∵车的宽度为 米，
∴令x =4时，y= -0.3x16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为：6-0.5=5.5(米)，
故答案为：5.5.
【分析】（1）根据每天比原计划多修5米，结果提前10天完成， 找出等量关系，列方程求解即可；
（2）①先求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意先求出y= -0.3x16+10.8=6，再求解即可；
③根据题意先求出 ， 再求出x的值，最后求解即可。
24．【答案】（1）
（2）解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
（3）解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场.
（4）解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=5时，y=45，
∴y与x的函数关系式为y=50-x.
【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ，最后解方程求解即可；
（4）分类讨论，利用利润公式求函数解析式即可。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·上城月考）根据下列表格中的对应值：
x 1.98 1.99 2.00 2.01
-0.06 -0.05 -0.03 0.01
判断方程 （ ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由表格可知，在 内，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
在 内，必有一个x的值对应的函数值 ，
方程 （ ， 为常数）一个根x的范围是 ，
故答案为：D.
【分析】由表格中的数据可知当 时， ，当 时， ，函数值由负数变成正数，从而得出在 内，必存在方程的一个根.
2．（2023·路桥模拟）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线，
∴设二次函数解析式为，
代入原点得，
解得，
∴，
令得，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴，解得，
故答案为：B.
【分析】以球出发的地方为原点建立直角坐标系，可求，据此求出一个球从出发到落地用时2秒，利用整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2，可得，据此即可求解.
3．（2021九上·常山期中）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）
A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设y=kx+b，将点（20，20），（30，0）分别代入
得，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元.
故答案为：D.
【分析】设y=kx+b，将（20，20）、（30，0）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，设销售利润为p，根据利润=(售价-进价)×销售量可得p与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
4．（2022九上·萧山月考）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，
即x2﹣4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y=x+m1与C2相切时，
令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1=0，
△=﹣8m1﹣15=0，
解得m1=，
当y=x+m2过点B时，
即0=3+m2，
m2=﹣3，
当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故答案为：D．
考点：二次函数的图象．
【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线 y=x+m与抛物线C2的相切时m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.
5．（2023·济南模拟）已知二次函数与一次函数交于、两点，当时，至少存在一个x使得成立，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数与一次函数y=-x+1交于、两点，
则：，整理得：，
即：，
∴，，
的对称轴为直线，
当时，要使得至少存在一个x使得成立，只需当时，即可，
①当时，即：，则当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
②当时，即：，则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
∴当时，取最大值，，
可得：，即，
③当时，即：，与矛盾，
综上所述：．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数和一次函数的图象与性质判断求解即可。
6．（2023·台州）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（　　）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
7．（2021·湖州）已知抛物线 与 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（ ， ），P2（ ， ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2。有下列结论：①当 时，S1>S2；②当 时，S1S2；④当 时，S1A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ A（1，0）和B（3，0）
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵x1＞x2+2，
∴x1-x2＞2，
∴x1＞x2，
只要x1，x2之间间距大于2，点P1和点P2是不同于A，B的两个点，
∴S1和S2的大小无法确定，故①错误；
∵x1＜2+x2，
∴x1+x2＜2，
∴当x1+x2=2时，点P1，P2在点A的两侧，且距离点A相等，
∴S1＞S2，故②错误；
∵ 当 时，
∴点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1，
∴点P1，P2在x轴的上方，
∴S1>S2，故③正确；④错误；
故答案为：A.
【分析】利用x1＞x2+2，可得到x1＞x2，只要x1，x2之间间距大于2，点P1和点P2是不同于A，B的两个点，S1和S2的大小无法确定，可对①作出判断；根据x1＜2+x2，可得到x1+x2＜2，由此可推出S1＞S2，可对②作出判断；利用已知条件可得到点P离对称轴直线x=2远一点，且大于1，由此可知点P1，P2在x轴的上方，可得到S1、S2的大小关系.
8．（2020九上·余姚月考）如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，
∵△ABC为正三角形，
∴AH=AB=，CH=AC×sinA=3×=，
∵AP=x，
∴PH=，
∴
即y=x2-3x+9，
∴该函数是图象张口向上的抛物线；
②当3＜x≤6，即P在BC上时，
PC=6-x，
PC2=（6-x）2=（x-6）2，
∴该函数是y=（x-6）2（3＜x≤6）的抛物线.
综上，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，①当0≤x≤3时，过C作CH⊥AB，利用勾股定理求出PC2的表达式；②当3＜x≤6，即P在BC上时，可得PC=6-x，则PC2的表达式可知，结合两种情况，得出y关于x的函数的图象大致两种情况下抛物线的一部分组合而成.
9．（2023·相城模拟）定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线与直线的“完美距离”为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：将直线平移至直线，使得直线与抛物线只有一个交点，
作轴，
就是两个函数的完美距离，
设直线解析式为，
，
，
直线与抛物线只有一个交点，
，
解得 ，
，
当时，，
，
轴，
当时，，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题中的完美距离就是指直线通过平移与抛物线只有一个交点时，交点到原直线平行y轴方向的距离.先求出直线平移后的解析式和交点坐标，再通过相同横坐标求出原直线对应的点坐标，求出两点之间的距离即可.
10．（2022九下·长兴开学考）如图，已知抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（　　）
A．-2≤xM≤2 B．-2≤xM≤2且xM≤-1
C．-1≤xM<2 D．-1≤xM<2或xM=3
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵y=x2-2x与y=-x+2交于A，B两点，B在x轴上，
∴，解得，或，
∴A（-1，3），B（2，0），
∵点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，
∴MN=4，
①∵y=x2-2x的顶点坐标为（1，-1），
把y=-1代入y=-x+2得x=3，
∴M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点，即（1，-1），
②当-1＜xM＜2时，即M点在线段AB之间时，M点向左平移4个单位到N点，
∴此时MN与线段AB下方的图象只有一个交点，
③当xM=-1时，yM=3，即M（-1，3），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线相交于点A，
④当xM=2时，yM=0，即M（2，0），
∴M点向左平移4个单位到N点，此时MN与抛物线交与B点，在线段AB下方的图象也有一个交点，
综上所述，M点向左平移4个单位到N点，线段MN与抛物线只有一个交点时，-1≤xM＜2或xM=3.
故答案为：D.
【分析】先联立两函数解析式组成方程组求出A（-1，3），B（2，0），由点M在直线AB上，将点M向左平移4个单位长度得到点N，求得MN=4，再根据平移过程MN与抛物线的交点情况分四种情况讨论：①当xM=3时，②当-1＜xM＜2时，③当xM=-1时，④当xM=2时，分别表示出MN与抛物线的交点个数即可解决问题.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴ ，
∴
根据题意，分 和 两种情况分析；
当 时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴
∴ ，即和t≥3相矛盾
∴ 不符合题意；
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随 增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为 时，即
∴ ，即
∴
∴
∴ 时，y＝ax2+bx+c最大值为
∴
∴
当 时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随 减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴
故答案为： ．
【分析】先将点（﹣1，0），（0，4）代入函数解析式，得出c的值、a与b的关系，杂录对称性得出a与t的关系，再结合t≥3得出a为负数，结合方程与函数的关系，列出关于n与t之间的关系式，最后求得n的取值范围。
12．（2023·巴中）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为　 　 ．
【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
13．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
14．（2022九上·海珠期中）抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是　 　．
【答案】-2，1，，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点为，，
∵、关于轴对称，
∴的解析式为，
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
联立方程组，
化简得，
当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
当线经过时，
则，
∴；
观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点．
故答案为：-3，1，，．
【分析】先求出二次函数解析式，再作出二次函数的图象，并结合函数图象求解即可。
15．（2020九上·射阳月考）如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是　 　.
【答案】( ， )
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y= ，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（ a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= x2上，
∴ ，
解得：a=6，
∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）.
设D在x轴上，E在y轴上，
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0， ），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= 上，
∴ ，
解得：a= ，
∴点P的坐标为：（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】首先求得抛物线的解析式，然后根据点C为线段AB的中点分别表示出点A和点B的坐标，然后利用两三角形相似设出点D的坐标并表示出点E的坐标，根据点P为线段DE的中点表示出点P的坐标，根据抛物线经过点P，将P点的坐标代入求得设得的未知数，从而求得点P的坐标.
16．（2019九下·温州竞赛）某商户购进某种商品的进价是50元／个，根据市场调研发现售价是80元／个时，每月可卖出200个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个，同样若销售单价每增加1元，则每月可少卖出10个．若计划下月该商品的销售利润不低于5760元，则该商品的销售单价x(元)的取值范围是　 　．
【答案】74≤x≤76或80≤x≤82
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 解：设下月该商品的销售单价减低y元（当y为负数时，为加价），则售价为x=80-y，利润为w，依题可得：
w=（80-y）（200+10y）-50（200+10y）
=16000+800y-200y-10y2-1000-500y
=-10y2+100y+6000
=-10（y-5）2+6250
当w=5760时
解得y1=-2，y2=12
w=-10（y-5）2+6250可知，
当y≤5时，w随y的增大而增大；当y＞5时，w随y的增大而减小
要使商品的销售利润不低于5760元，则-2≤y≤12
∴68≤x≤82
即当该商品的销售单价的取值范围是68≤x≤82， 该商品的销售利润不低于5760元；
故答案为：68≤x≤82.
【分析】设下月该商品的销售单价降低y元（当y为负数时，为加价），根据利润=商品的售价-商品进价，列出二次函数，根据题意求得当W=5760元时y的值，从而得出该商品的销售单价x.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2019九上·北京期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤- 之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．
【答案】（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2-4×m×3=（3m-1）2，
∵（3m-1）2≥0，
∴△≥0，
∴原方程有两个实数根
（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，
解得：x1=-3，x2=- ，
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3
（3）解：如图，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∵当y=0时，x1=-3，x2=-1，
又∵点A在点B的左侧，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∵点D与点B关于y轴对称，
∴D（1，0），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴ ，解得： ，
∴直线CD的表达式为：y=-3x+3，
又∵当x=- 时，y= ，
∴点E（- ， ），
∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（-3+n，0），E′（- +n， ），
当直线y=-3x+3经过点A′（-3+n，0）时，得：-3（-3+n）+3=0，解得：n=4，
当直线y=-3x+3经过点E′（- +n， ），时，得：-3（- +n）+3= ，解得：n= ，
∴n的取值范围是 ≤n≤4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，即判断b2-4ac的情况，整理可得到关于m的代数式为（3m-1）2，此代数式为非负数，所以该方程有两个实数根；
（2）抛物线与x轴有交点，即当y=0时，一元二次方程mx2+(3m+1)+3=0有两个不相等的实数根，将其分解因式为（x+3）（mx+1）=0，又因为A、B交点为整数点，且m为正整数，即可求得抛物线的解析式；
（3）由（2）中求得的结果，可以求出直线CD的解析式，抛物线在-3≤x≤-的图象可知点A即为图象的左侧，而x=时，y=1，即为图象的右侧E点，将其平移n个单位长度，将平移后的点表示出来与直线CD有公共点，即点A向右平移n个单位长度与CD相交，求出n的值，点E向右平移n个单位长度与CD相交，可以求出n的另一个值，即可求出n的取值范围。
18．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离x/
竖直高度y/
（1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①；．
②设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：∵当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：(2)观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是，
当时，，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是；
故答案为：；．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
19．（2019九上·同安月考）阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．
【答案】（1）解：因为当x=﹣2时，y＞0；当x=﹣1时，y＜0，
所以方程2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在的范围是﹣2＜x2＜﹣1．…
（2）解：取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=1＞0，
又因为当x=﹣1时，y=﹣1＜0，
所以﹣ ＜x2＜﹣1，
取x= =﹣ ，因为当x=﹣ 时，y=2× ﹣ ﹣2=﹣ ＜0，
又因为当x=﹣ 时，y＞0，
所以﹣ ＜x2＜﹣ ，
又因为﹣ ﹣（﹣ ）= ，
所以﹣ ＜x2＜﹣ 即为所求x2 的范围.
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）计算x=﹣2和x=﹣1时，y的值，确定其x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；（2）先根据第三步﹣2和﹣1的平均数确定x=﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，得﹣ ＜x2＜﹣1，同理再求﹣1和﹣ 的平均数为﹣ ，计算x=﹣ 时y的值，从而得结论．
20．（2023九上·赵县期末）如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=x2+bx+c运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；
（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是米？
（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知抛物线C2：y=x2 +bx+c过点(0， 4)和(8， 10)
将其代入得：
解得，
∴b=，c=4
（2）解：由(1)可得抛物线Cq解析式为： y=x2+x+4 ，
设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意得：
解得： m1=10，m2=0(舍)，
故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为米．
（3）解：∵抛物线C2经过点(0， 4)，
∴c=4，
抛物线C1： y==
当x=6时，运动员到达坡项，
即×62 +6b+4≥4+6．
∴b≥
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（8，10）代入C2求出b、c的值即可；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为米，依题意列出方程，解出m即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为（6，6），根据题意即-×62+6b+4≥4+6，再解出b的取值范围即可．
21．（2023·本溪）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点和，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵解析式的对称轴为，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴；
（3）解：令，则，
解得或，
∴，
同理，直线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，
，，
∴，
∴，，
设，
∴，，
则，
∵点M在直线上，
∴，
解得或，
当时，，，
即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；
当时，，，
点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，
则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，
∴，即．
综上，点的坐标为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)用待定系数法，直接将抛物线上的两个已知点B（4，0）和C（0，4）代入，得到b和c的二元一次方程组，求解即可；
（2）因为矩形EFGH的周长为11，可知2(EF+EH)=11.因为HE∥x轴，EF∥y轴，则H、E纵坐标相等，E、F横坐标相等，所以可以利用E的坐标把两条线段表示出来.设E的横坐标为x，因其位于抛物线上，所以代入（1）中抛物线表达式得到其纵坐标为 .求出BC直线表达式，代入F的横坐标x，可得到F的总坐标为-x+4，所以EF长度为（E纵-F纵），化简即可S.而求HE时，因为H、E关于对称轴对称，所以EH=2（E横-对称轴），故先求出其对称轴为1，所以得到EH的长度为2（x-1）=2x-2.最后，将EF和EH的代数式代入2(EF+EH)=11，得到关于x的一元二次方程中，得解x.特别注意的是，因为E位于第一象限内，所以x取值范围为0（3）根据正方形OENM的名称，O和N，E和M分别是对顶点，根据其题意作出满足条件一个图形.作EP⊥OC于P，MQ⊥y轴于Q，根据三角形K型全等模型（坐标系中出现正方形时常用模型），可得△OEP≌△MOP，结合E的坐标（m，）得到对应边EP=OQ=-m，OP=MQ=，进而可得到M的坐标(，)，因此代入AC的函数解析式，得到m的一元二次方程求解，得到m的两个解，进而求出E和M的坐标.根据正方形顶点在坐标系中的平移特征：“O到M的平移过程，和E到N的平移过程”一致，最后求出对应的N的两个坐标即可.
22．（2023·明水模拟）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、点位于对称轴的左侧，设点的纵坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点位于的中点时，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，点在整个运动过程中，满足以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值．
【答案】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：点，点，
直线解析式为，
当时，，
点，
点位于的中点，
点，
设直线解析式为，
，
，
直线解析式为，
联立方程组可得：，
解得：或舍去，
点；
（3）解：若为边，
以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，，
又，
点与点重合，
，，
，，
，
；
若为对角线，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
设点，则点，
，
，
，
舍去，，
；
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别将点B、A的坐标代入可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，即可得到函数解析式.
（2）利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，求出当x=2时的y的值，可得到点F的坐标，利用线段中点坐标公式可求出点P的坐标；利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，将直线MN的函数解析式和二次函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到符合题意的点M的坐标.
（3）利用平行四边形的性质分情况讨论：当PM为边时，可得到PM∥CQ，NP=CQ，由AC∥MP，可知点Q和点A重合，可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当PM为对角线时，设点，则点，利用点P和点C的纵坐标之差为t-6，可得到关于a、t的方程，解方程表示出的值，然后求出符合题意的t的值；综上所述可得到符合题意的t的值.
23．（2023·深圳模拟）按要求解答
（1）某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
（2）隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为 ▲ ．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高 ▲ 米．
③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
【答案】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：
解得： 或
经检验， 是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）① ；②5.5米；
③如图：由 高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令 ，则有： ，解得： （舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：
∴人行道宽度设计达标．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：E(-4，0)，F(4，0)，A(-6，0)，B(6，0)，M(0，10.8)，
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），
由题意可得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为：y=-0.3x2+10.8，
故答案为：y =-0.3x2+10.8；
②∵车的宽度为 米，
∴令x =4时，y= -0.3x16+10.8=6，
∴货车安全行驶装货的最大高度为：6-0.5=5.5(米)，
故答案为：5.5.
【分析】（1）根据每天比原计划多修5米，结果提前10天完成， 找出等量关系，列方程求解即可；
（2）①先求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
②根据题意先求出y= -0.3x16+10.8=6，再求解即可；
③根据题意先求出 ， 再求出x的值，最后求解即可。
24．（2023·青岛模拟）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万元） 10.6 12 14.2
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
（3）解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场.
（4）解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：当x=5时，y=45，
∴y与x的函数关系式为y=50-x.
【分析】（1）根据题意求函数解析式即可；
（2）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 ，最后解方程求解即可；
（4）分类讨论，利用利润公式求函数解析式即可。
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