2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（提高版）
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·武义期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
2．（2022九上·西湖月考）二次函数的图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2021九上·瑞安月考）下表是若干组二次函数 的自变量 与函数值 的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 -0.08 -0.27 -0.44 …
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)是（ ）
A．3.4 B．3.5 C．3.6 D．3.7
4．（2022九上·定海期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022九上·余姚月考）如图，抛物线y＝x2+x-3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为 （ ）
A．（-8，-3） B．（-7，-）
C．（-6，-7） D．（-5，-8）
6．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·宁波期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
8．（2021九上·江干月考）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（ ）元。
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
9．（2020九上·金华期中）2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台，下列结论正确的是（ ）
A． 当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元
B．当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的
C．手机的进价是每台500元
D．零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大
10．（2022九上·鄞州开学考）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是
②小球抛出后，速度越来越快
③小球抛出时速度为0
④小球的高度时，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
二、填空题（每空3分， 共21分）
11．（2022九上·杭州期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.
（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内.
（2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内.
12．（2021九上·长兴月考）某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为 元.
13．（2022九上·拱墅期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为 .
14．（2023九上·鄞州期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 .
15．（2022九上·拱墅期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值.
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.79 m -2.79 0 n …
则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ，方程ax2+bx+c＝m的解是 .
16．（2022九上·余杭月考）对于二次函数y＝mx2-（4m+1）x+3m+3.有下列说法：
①若m＜0，当x≤2时，y随x的增大而增大；
②无论m为何值，该函数图象与，x轴必有交点；
③若m为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则m＝1；
④无论m为何值，该函数图象一定经过点（1，2）和（3，0）两点.
其中正确的是 .（只需填写序号）
三、解答题（共9题，共79分）
17．（2022九上·新昌期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营业阶段发现： 当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就 减少 10 件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于 30 元，且每天的销售量 不得少于 160 件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少
18．（2023九上·余姚期末）自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1） ；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
19．（2022九上·舟山月考）如图，在直角坐标系中，已知抛物线经过原点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，连接，点C是上的任意一点，它的横坐标为，过点C作轴，与抛物线交于点，过点B作轴于点．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）设的面积为，求与的函数关系式．
（3）当为何值时，四边形是平行四边形？为什么？
20．（2022九上·鹿城期末）已知函数，在同一平面直角坐标系中.
（1）若经过点（1，-2），求的函数表达式.
（2）若经过点（1，m+1），判断与图象交点的个数，说明理由.
（3）若y1经过点（，0)，且对任意x，都有，请利用图象求a的取值范围.
21．（2023九上·越城期末）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
22．（2022九上·杭州期中）某公园对一块长 20m，宽10m的场地进行设计，方案如图所示．阴影区域为绿化区(四块全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x(m)，活动区面积为y(m)．
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
23．（2022九上·瑞安期末）某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量（件）和销售单价之间的一次函数关系如下表（的整数）.
销售单价（元/件） … 50 51 52 …
每天销售量（件） … 100 95 90 …
（1）写出关于的函数关系式 .
（2）问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.
（3）商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为元，则总利润的最大值为 （直接写出答案）.
24．（2023九上·嵊州期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过O，C，B三点的抛物线表达式；
（2）此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.
25．（2022九上·南湖期中）小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时排球球心与y轴水平距离为，且球心离地最大高度是，根据图中信息：
（1）请求出排球球心运动路线的函数表达式；
（2）求小陆发球时球心离地高度多少米；
（3）若接球时球心离地高度不高于0.5m，则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1米，参考值：≈1.73，≈2.45）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故答案为：C.
【分析】当M运动到D点上的时候，B的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为（2.5，0），M点坐标为（3，1），据此不难求出点A的坐标；当点M运动到C点时，D的横坐标最小，据此求解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故A，C，D不符合题意；B符合题意.
故答案为：B
【分析】观察函数图象可知抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧（左同右异），可得到a，b的取值范围；再利用抛物线与x轴有两个不同的交点，可确定出b2-4ac的符号，据此可得答案.
3．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵|-0.08|<|0.13|<|-0.27|<|0.36|<|-0.44|，
∴∵0<|-0.08|<0.1，
∴该方程的一个近似根为1.5，
∵对称轴x=，
设方程的另一个根为m，
则，
解得m=3.5.
故答案为：B.
【分析】根据表格，先比较函数函数值绝对值的大小，找出最接近0的x取值，然后求出抛物线对称轴，根据中点坐标公式求方程的另一个根，则可判断.
4．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2，
观察图象可知：当a＜0时，
当x=-1时，y≤2时，且- ≥-1，满足条件，解得a≤-1；
当a＞0时，
当x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且- ≤2满足条件，解得a≥，
设线段MN的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴线段MN的解析式为y=，
联立方程组，得3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴＜a＜，
综上所述， a的取值范围是a≤-1或＜a＜，
故答案为：A.
【分析】用待定系数法求出线段MN的解析式，画出抛物线与线段MN，根据二次函数的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别求出a的取值范围即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 y＝x2+x-3 与x轴交于点A和点B两点，
∴当y＝0时， y＝x2+x-3 ＝0，
解之：x1＝ 9，x2=1，
∴A（ 9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝ 3，
∴C（0， 3），
∵AC2＝92＋32＝90，BC2＝12＋32＝10，AB2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴2∠BAC＋2∠ABC＝180°，
∵∠ACD＋2∠ABC＝180°
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝BC＝3，
∴E（ 9， 6），
设直线CD的解析式为y＝kx 3，
把E的坐标代入得， 6＝ 9k 3，
∴k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x 3，
∴x 3= x2+x-3，
解之：x1=-7，x2=0（舍去）
∴y＝×（-7） 3=，
∴点D （-7，-）.
故答案为：B
【分析】利用抛物线的解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，同时可求出AB的长，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，利用已知∠ACD＋2∠ABC＝180°，可推出2∠BAC＝∠ACD；作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，利用CF∥AB，可证得CE⊥AE，可求出AF，EF的长，可得到点E的坐标，将点E的坐标代入直线CD的函数解析式，可求出k的值，可得到直线CD的函数解析式，利用两函数图象交于点D，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积S＝AB BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再根据二次函数的性质可求解.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润为w元，
则
.
，
时， ，
故答案为：B.
【分析】设每件降价x元，每天获得的利润为w元，根据总利润=单件利润×销售量可得w与x之间的函数关系式，配成顶点式并根据二次函数的性质可求解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴手机 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出手机的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：，
把O（0，0）代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故④错误.
故答案为：D.
【分析】找出图象的最高点对应的纵坐标的值可判断①；小球抛出3秒后从最高点向下运动，据此判断②；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，据此判断③；设函数解析式为h=a(t-3)2+40，将（0，0）代入求出a的值，得到函数解析式，令h=30，求出t的值，据此判断④.
11．【答案】（1）不能
（2）5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
，，，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点M和点B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：；
∴当时，；当时，，
∴，在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，，
解得：；
∵m为整数，则m可取的值有5，6，7，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球不能落入桶内.
故答案为：不能；
（2）由（1）知，m可取的值有5，6，7，
∴m的最小整数值为：5，
∴当竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球能落入桶内，
故答案为：5.
【分析】（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，易得点M、C、D、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将x=1与x=分别代入抛物线的解析式算出对应的函数值，可得点P、Q的坐标，从而可得m个圆柱体桶高的取值范围，求出取值范围内的正整数，即可判断得出答案；
（2）根据（1）中m的取值范围，即可判断得出答案.
12．【答案】256
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（ x﹣42）]﹣5000
＝﹣ x2+129x﹣8416
＝﹣ （x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝ ×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，
故答案为：256.
【分析】设每天的利润为W元，根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，再利用配方化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可.
13．【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则另一边长为米，养鸡场面积，
则，
，
当时，随的增大而减小，
墙长，
，
解得，
当时，最大，最大值为70.
故答案为：70.
【分析】设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则另一边长为(24-2x)米，养鸡场面积Sm2，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，由墙长为10m可得0<24-2x≤10，求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
14．【答案】或m≤0
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，直线与函数的图象恒相交，
①当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，
，
，
解得：；
当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
②当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】利用排除法，先求得直线y＝x＋m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
15．【答案】；或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于直线的对称点是，
∴设二次函数的解析式为，
将代入得，，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴不等式的解集是，
∵点关于直线的对称点是，
∴方程的解是或，
故答案为：；或.
【分析】由表格可得抛物线经过点（-5，-2.79）、（1，-2.79），求出中点的横坐标可得对称轴，然后求出点（2，0）关于对称轴的对称点，进而可设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x+6)，将（1，-2.79）代入求出a的值，结合开口方向可得不等式的解集，由对称性可得（-3，m）的对称点为（-1，m），进而可得方程的解.
16．【答案】②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝- ＝2+ ，
∴若m＜0，则2+ ＜2，该函数图象开口向下，
∴若m＜0，当x≤k时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵y＝mx2-（4m+1）x+3m+3＝[mx-（m+1）]（x-3）＝[m（x-1）-1]（x-3），
∴对于任何满足条件的m，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，
∴对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②，④正确；
∵y＝mx2-（4m+1）x+3m+3＝[mx-（m+1）]（x-3）＝[m（x-1）-1]（x-3），
∴当y＝0时，x1＝ +1，x2＝3，
∴若m为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么m＝±1，故③错误.
故答案为：②④.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x ＝2+，若m＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，据此判断①；将函数解析式变形为y＝[m(x-1)-1](x-3)，则图象经过点（1，2）和（3，0），据此判断②④；令y=0，表示出x，进而判断③.
17．【答案】（1）解：
（2）解：根据题意，w
；
（3）解：根据题意，
解得
，开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为
答：当售价为34元时，每天的销售利润最大为2240元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件，销售单价 x，则上涨元，
【分析】（1）由题意可得：销售单价为x时，销售量减少10(x-25)件，利用250减去减少的量即可表示出y与x的关系式；
（2）根据(售价-进价)×销售量可得w与x的关系式；
（3）根据销售单价不低于30元可得x≥30，根据每天的销售量不得少于160件可得500-10x≥160，联立求出x的范围，然后结合二次函数的性质进行解答.
18．【答案】（1）
（2）解：当0≤x＜30时，设P=kx+b，
∴
解之：
∴p=2x+60；
当30≤x≤40时，设p=mx+n
解之：
∴p=-2x+180
∴
（3）解：设利润为W，
当0≤x＜30时，
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=20时W的最小值为10；
当30≤x≤40时
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=40时W的最小值为10；
∴当20天或40天，最小利润为10元 / 千克
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线经过点（10，60），
∴a（10-30）2+100=60，
解之：a=.
故答案为：
【分析】（1）观察图2，可知抛物线经过点（10，60），代入抛物线的解析式，可求出a的值.
（2）分情况讨论：当0≤x＜30时，设P=kx+b，将点（10，60），点（30，120）分别代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式；当30≤x≤40时，设p=mx+n，分别将点（30，120），（40，100）代入函数解析式，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到函数解析式.
（3）设利润为W，分情况讨论：当0≤x＜30时；当30≤x≤40时；利用售价-进价=利润，可得到的W与x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
19．【答案】（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 ， ， 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由题意得 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵
，
即
（3）解：当 为2时，四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ 轴， 轴
∴ ，
若四边形 是平行四边形，
则 ，
，
，
，
整理得 ，
解得 （负舍），
∴当 为2时，四边形 是平行四边形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用点B的坐标，可求出直线OB的函数解析式；将点A，B，O的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用已知条件可得到，利用二次函数解析式可表示出点D的坐标，从而可表示出CD的长；观察图形可知△DOB的面积=△DCO的面积+△DCB的面积，再利用三角形的面积公式，可得到S与m之间的函数解析式.
（3）利用已知可证CD∥BE，利用平行四边形的性质可得到CD=BE，利用点B的坐标可求出BE的长，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
20．【答案】（1）解：∵经过点(1，-2) ，
∴（1+m）（1-m-1）=-2
解之：.
当m=-2时，；
当m=1时，；
∴的函数表达式为：
（2）解：∵经过点(1，m+1)，
∴a+m=m+1
解得：a=1.
∴，
∵，
整理得：，
∴，
当m=-1时，△=0，
当m≠-1时，△＞0
∴ 当m=-1时与图象有一个交点； 当m≠-1时与图象有两个交点.
（3）解：∵ y经过点( ，0)，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
若，则与图象只有一个交点，
此时，
解之：，
如图，
若与图象没有交点，则对于任意x都有，
由图象可知此时或，
∴a的取值范围是或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（1，-2）代入y1=（x+m）（x-m-1）可求出m的值，从而即可得出y1的解析式；
（2）将点（1，m+1）代入y2=ax+m可求出a的值，进而联立y1与y2可得x+m=（x+m）（x-m-1），算出此方程根的判别式的值，结合偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可判断出两函数图象交点的个数；
（3）将点（，0）代入y1可得m的值，再联立y1、y2求出图象只有一个交点时a的值，观察图象得到无交点时a的范围即得答案．
21．【答案】（1）(4-2x)
（2）解：每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
（3）解：够用，理由如下，
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：(4-2x)；
【分析】（1）根据全等图形的性质得D'G=AH=x，A'G=HD=4-x，进而根据A'D'=A'G-D'G即可用含x的式子表示出A'D'；
（2）利用矩形面积计算公式及正方形面积计算公式分别表示出阴影部分面积及中心区正方形的面积，进而根据每平方米的单价乘以图形面积分别表示出需要甲乙两种材料的费用，求和即可得出y关于x的函数关系式；进而根据几何图形边长只能为正数列出关于x的不等式组，求解可得x的取值范围；
（3）由（2）所得函数解析式的性质并结合中心区的边长不小于3，解题即可.
22．【答案】（1）解：根据题意得：y＝20×10 4× ×
＝200 (20 x)(10 x)
＝200 200＋30x x2
＝ x2＋30x，
∴y与x的函数关系式为y＝ x2＋30x；
（2）解：由(1)知：y＝ x2＋30x＝ (x 15)2＋225，
由题意得：4≤x≤8，
∵ 1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2
（3）解：设布置场地所用费用为w元，
则w＝10( x2＋30x)＋8[200 ( x2＋30x)]
＝ 10x2＋300x＋1600＋8x2 240x
＝ 2x2＋60x＋1600，
令w＝1850，
2x2＋60x＋1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝ x2＋30x， 1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用活动区域的面积=大长方形的面积减去4个阴影区域的面积，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，由题意可得到x的取值范围，利用二次函数的性质可求出结果.
（3）设布置场地所用费用为w元，可知W=活动区域的面积×活动区布置成本+绿化区域的面积×绿化区布置成本，可得到W与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，根据布置场地的预算不超过1850元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到x的取值范围为4≤x≤5，再利用二次函数的对称轴及开口方向，可得到活动区面积最大的x值及此时的布置成本.
23．【答案】（1）y=-5x+350
（2）解：设每天的利润为元，
则：；
∵，
∴当时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，
即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元；
（3）13475元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）解：设关于的函数关系式为：，
则：由表格可知：，解得：，
∴；
故答案为：.
（3）解：以每天最大销售利润销售10天，获利为：元；
卖出商品的数量为：件，还剩下：件，
∵，
∴当定价离元越近时，每天的利润就越大，
∵在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，是大于等于的整数，
当定价为：元时，销售数量为：件，
当定价为：元时，销售数量为：件，
件，
∴最后两天的最大利润为：元，
∴总利润的最大值为：元.
故答案为：13475元.
【分析】（1）根据表格给出的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；
（2） 设每天的利润为z元 ，根据单件的利润乘以每天销售数量=总利润建立函数关系式，由所得函数的性质即可得出答案；
（3）首先算出以每天最大销售利润销售10天的获利，及所销售的商品和还剩下的商品，进而根据（2）所得函数的性质知当定价离55元越近时，每天的利润就越大，据此算出最后两天的定价及销售数量，与所剩商品总数量进行比较即可求出最后两天的利润，再求和即可.
24．【答案】（1）解：依题意得，，，
设抛物线表达式为，
∴，解得，
∴抛物线表达式为
（2）解：抛物线的对称轴为，
点B到对称轴的距离为，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为，
当时，，
因此，不能顺利射入球门.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）依题意可得O（0，0）、C（5，3）、B（9，1.08），设抛物线的表达式为y=ax2+bx，将C、B的坐标代入求出a、b的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=5，则点B到对称轴的距离为4，易得第二段抛物线的表达式为y=-0.12(x-8)2+1.2(x-8)，然后将x=9+6=15代入求出y的值，再与2.44进行比较即可判断.
25．【答案】（1）解：抛物线对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
球心离地最大高度是，
，
，
将点代入，可得：，
解得，
设抛物线的解析式为；
（2）解：将代入可得：
，
小陆发球时球心离地高度为米；
（3）解：将代入可得：
，
解得，，
小吕在y轴右侧，，
小吕在接球时球心离y轴至少米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数b=0，又可知抛物线的顶点纵坐标为1.1，从而可设所求抛物线的解析式为y=ax2+1.1，进而将点 代入可算出a的值，求出抛物线的解析式；
（2）将x=-1.5代入（1）所求的抛物线算出对应的函数值即可得出答案；
（3）将y=0.5代入（1）所求的抛物线算出对应的自变量的值，从而即可得出答案.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（提高版）
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·武义期末）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为，此时点坐标为，
，，
故此时点坐标为：，
当点运动到点时，的横坐标最小，
此时的坐标为：，
∴点坐标为
故答案为：C.
【分析】当M运动到D点上的时候，B的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为（2.5，0），M点坐标为（3，1），据此不难求出点A的坐标；当点M运动到C点时，D的横坐标最小，据此求解.
2．（2022九上·西湖月考）二次函数的图象如图所示，下面结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，
∴a＜0，b＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，故A，C，D不符合题意；B符合题意.
故答案为：B
【分析】观察函数图象可知抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧（左同右异），可得到a，b的取值范围；再利用抛物线与x轴有两个不同的交点，可确定出b2-4ac的符号，据此可得答案.
3．（2021九上·瑞安月考）下表是若干组二次函数 的自变量 与函数值 的对应值：
x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 …
y … 0.36 0.13 -0.08 -0.27 -0.44 …
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)是（ ）
A．3.4 B．3.5 C．3.6 D．3.7
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵|-0.08|<|0.13|<|-0.27|<|0.36|<|-0.44|，
∴∵0<|-0.08|<0.1，
∴该方程的一个近似根为1.5，
∵对称轴x=，
设方程的另一个根为m，
则，
解得m=3.5.
故答案为：B.
【分析】根据表格，先比较函数函数值绝对值的大小，找出最接近0的x取值，然后求出抛物线对称轴，根据中点坐标公式求方程的另一个根，则可判断.
4．（2022九上·定海期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2，
观察图象可知：当a＜0时，
当x=-1时，y≤2时，且- ≥-1，满足条件，解得a≤-1；
当a＞0时，
当x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且- ≤2满足条件，解得a≥，
设线段MN的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴线段MN的解析式为y=，
联立方程组，得3ax2-2x+1=0，
∵△＞0，
∴a＜，
∴＜a＜，
综上所述， a的取值范围是a≤-1或＜a＜，
故答案为：A.
【分析】用待定系数法求出线段MN的解析式，画出抛物线与线段MN，根据二次函数的性质分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别求出a的取值范围即可得出答案.
5．（2022九上·余姚月考）如图，抛物线y＝x2+x-3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为抛物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC＝180°时，点D的坐标为 （ ）
A．（-8，-3） B．（-7，-）
C．（-6，-7） D．（-5，-8）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 y＝x2+x-3 与x轴交于点A和点B两点，
∴当y＝0时， y＝x2+x-3 ＝0，
解之：x1＝ 9，x2=1，
∴A（ 9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝ 3，
∴C（0， 3），
∵AC2＝92＋32＝90，BC2＝12＋32＝10，AB2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴2∠BAC＋2∠ABC＝180°，
∵∠ACD＋2∠ABC＝180°
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝BC＝3，
∴E（ 9， 6），
设直线CD的解析式为y＝kx 3，
把E的坐标代入得， 6＝ 9k 3，
∴k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x 3，
∴x 3= x2+x-3，
解之：x1=-7，x2=0（舍去）
∴y＝×（-7） 3=，
∴点D （-7，-）.
故答案为：B
【分析】利用抛物线的解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A，B的坐标，同时可求出AB的长，由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，利用已知∠ACD＋2∠ABC＝180°，可推出2∠BAC＝∠ACD；作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，利用CF∥AB，可证得CE⊥AE，可求出AF，EF的长，可得到点E的坐标，将点E的坐标代入直线CD的函数解析式，可求出k的值，可得到直线CD的函数解析式，利用两函数图象交于点D，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点D的坐标.
6．（2022九上·新昌期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形.小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且三点共线.小王在距离台面处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故答案为：B.
【分析】根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意可得Q（9，15.5）、B（6，16）、OH=6，设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+16，将Q点坐标代入求出a的值，可得对应的函数解析式，然后令y=0，求出x的值，据此求解.
7．（2021九上·宁波期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积S＝AB BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再根据二次函数的性质可求解.
8．（2021九上·江干月考）某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（ ）元。
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件降价x元，每天获得的利润为w元，
则
.
，
时， ，
故答案为：B.
【分析】设每件降价x元，每天获得的利润为w元，根据总利润=单件利润×销售量可得w与x之间的函数关系式，配成顶点式并根据二次函数的性质可求解.
9．（2020九上·金华期中）2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售一种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，则每天多售出4台，下列结论正确的是（ ）
A． 当零售价每降低200元时，日销售利润最大，最大利润为7200元
B．当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是一样的
C．手机的进价是每台500元
D．零售价越低，每天售出数量就越多，所以利润就越大
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，
∴，
∵a＜0
∴当x=200时，W最大为7200元，故A符合题意；
B、当零售价每降低100元时，销售量为：8+100÷50×4=16台；
零售价每降低300元时，销售量为：8+300÷50×4=32台；
∴当零售价每降低100元和零售价每降低300元时，销售数量是不一样的，故B不符合题意；
C、∵当零售价为每台4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴手机 的进价为4000-4000÷8=3500元，故C不符合题意；
D、零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大 ，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设该型号5G手机的零售价降低x元，日销售利润为W元，可列出W与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出日销售利润的最大值，可对A作出判断；分别求出零售价每降低100元和零售价每降低300元时的销售数量数量，可对B作出判断；根据题意可求出手机的进价，可对C作出判断；零售价越低，每天售出数量就越多，利润不一定越大，可对D作出判断。
10．（2022九上·鄞州开学考）物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是
②小球抛出后，速度越来越快
③小球抛出时速度为0
④小球的高度时，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：，
把O（0，0）代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故④错误.
故答案为：D.
【分析】找出图象的最高点对应的纵坐标的值可判断①；小球抛出3秒后从最高点向下运动，据此判断②；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，据此判断③；设函数解析式为h=a(t-3)2+40，将（0，0）代入求出a的值，得到函数解析式，令h=30，求出t的值，据此判断④.
二、填空题（每空3分， 共21分）
11．（2022九上·杭州期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）.
（1）当竖直摆放8个圆柱形桶时，网球 （填“能”或“不能”）落入桶内.
（2）当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内.
【答案】（1）不能
（2）5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
，，，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点M和点B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：；
∴当时，；当时，，
∴，在抛物线上；
设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，，
解得：；
∵m为整数，则m可取的值有5，6，7，
∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球不能落入桶内.
故答案为：不能；
（2）由（1）知，m可取的值有5，6，7，
∴m的最小整数值为：5，
∴当竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球能落入桶内，
故答案为：5.
【分析】（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，易得点M、C、D、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将x=1与x=分别代入抛物线的解析式算出对应的函数值，可得点P、Q的坐标，从而可得m个圆柱体桶高的取值范围，求出取值范围内的正整数，即可判断得出答案；
（2）根据（1）中m的取值范围，即可判断得出答案.
12．（2021九上·长兴月考）某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝ x﹣42（x≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为 元.
【答案】256
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W＝（x﹣28）（80﹣y）﹣5000
＝（x﹣28）[80﹣（ x﹣42）]﹣5000
＝﹣ x2+129x﹣8416
＝﹣ （x﹣258）2+8225，
∵当x＝258时，y＝ ×258﹣42＝22.5，不是整数，
∴当x＝256或x＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x＝260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，
故答案为：256.
【分析】设每天的利润为W元，根据总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，再利用配方化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可.
13．（2022九上·拱墅期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积为 .
【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则另一边长为米，养鸡场面积，
则，
，
当时，随的增大而减小，
墙长，
，
解得，
当时，最大，最大值为70.
故答案为：70.
【分析】设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则另一边长为(24-2x)米，养鸡场面积Sm2，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，由墙长为10m可得0<24-2x≤10，求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
14．（2023九上·鄞州期末）如图，函数的图象，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 .
【答案】或m≤0
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，直线与函数的图象恒相交，
①当时，直线与直线恒相交，与抛物线至少有一个交点时，即方程有两个实数根，
，
，
解得：；
当时，直线与函数的图象有两个或三个交点，
当时，直线与函数的图象只有一个交点；
②当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，
综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】利用排除法，先求得直线y＝x＋m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
15．（2022九上·拱墅期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值.
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.79 m -2.79 0 n …
则不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ，方程ax2+bx+c＝m的解是 .
【答案】；或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于直线的对称点是，
∴设二次函数的解析式为，
将代入得，，
∴，
∴抛物线开口向上，
∴不等式的解集是，
∵点关于直线的对称点是，
∴方程的解是或，
故答案为：；或.
【分析】由表格可得抛物线经过点（-5，-2.79）、（1，-2.79），求出中点的横坐标可得对称轴，然后求出点（2，0）关于对称轴的对称点，进而可设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x+6)，将（1，-2.79）代入求出a的值，结合开口方向可得不等式的解集，由对称性可得（-3，m）的对称点为（-1，m），进而可得方程的解.
16．（2022九上·余杭月考）对于二次函数y＝mx2-（4m+1）x+3m+3.有下列说法：
①若m＜0，当x≤2时，y随x的增大而增大；
②无论m为何值，该函数图象与，x轴必有交点；
③若m为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则m＝1；
④无论m为何值，该函数图象一定经过点（1，2）和（3，0）两点.
其中正确的是 .（只需填写序号）
【答案】②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2-（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝- ＝2+ ，
∴若m＜0，则2+ ＜2，该函数图象开口向下，
∴若m＜0，当x≤k时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵y＝mx2-（4m+1）x+3m+3＝[mx-（m+1）]（x-3）＝[m（x-1）-1]（x-3），
∴对于任何满足条件的m，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，
∴对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②，④正确；
∵y＝mx2-（4m+1）x+3m+3＝[mx-（m+1）]（x-3）＝[m（x-1）-1]（x-3），
∴当y＝0时，x1＝ +1，x2＝3，
∴若m为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么m＝±1，故③错误.
故答案为：②④.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x ＝2+，若m＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，据此判断①；将函数解析式变形为y＝[m(x-1)-1](x-3)，则图象经过点（1，2）和（3，0），据此判断②④；令y=0，表示出x，进而判断③.
三、解答题（共9题，共79分）
17．（2022九上·新昌期中）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件，试营业阶段发现： 当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就 减少 10 件．
（1）请直接写出每天销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；
（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于 30 元，且每天的销售量 不得少于 160 件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少
【答案】（1）解：
（2）解：根据题意，w
；
（3）解：根据题意，
解得
，开口向下，当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为
答：当售价为34元时，每天的销售利润最大为2240元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件，销售单价 x，则上涨元，
【分析】（1）由题意可得：销售单价为x时，销售量减少10(x-25)件，利用250减去减少的量即可表示出y与x的关系式；
（2）根据(售价-进价)×销售量可得w与x的关系式；
（3）根据销售单价不低于30元可得x≥30，根据每天的销售量不得少于160件可得500-10x≥160，联立求出x的范围，然后结合二次函数的性质进行解答.
18．（2023九上·余姚期末）自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1） ；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
【答案】（1）
（2）解：当0≤x＜30时，设P=kx+b，
∴
解之：
∴p=2x+60；
当30≤x≤40时，设p=mx+n
解之：
∴p=-2x+180
∴
（3）解：设利润为W，
当0≤x＜30时，
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=20时W的最小值为10；
当30≤x≤40时
，
∵抛物线的开口向上，
∴当x=40时W的最小值为10；
∴当20天或40天，最小利润为10元 / 千克
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线经过点（10，60），
∴a（10-30）2+100=60，
解之：a=.
故答案为：
【分析】（1）观察图2，可知抛物线经过点（10，60），代入抛物线的解析式，可求出a的值.
（2）分情况讨论：当0≤x＜30时，设P=kx+b，将点（10，60），点（30，120）分别代入函数解析式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式；当30≤x≤40时，设p=mx+n，分别将点（30，120），（40，100）代入函数解析式，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到函数解析式.
（3）设利润为W，分情况讨论：当0≤x＜30时；当30≤x≤40时；利用售价-进价=利润，可得到的W与x的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
19．（2022九上·舟山月考）如图，在直角坐标系中，已知抛物线经过原点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，连接，点C是上的任意一点，它的横坐标为，过点C作轴，与抛物线交于点，过点B作轴于点．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）设的面积为，求与的函数关系式．
（3）当为何值时，四边形是平行四边形？为什么？
【答案】（1）解：设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
将 ， ， 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为
（2）解：由题意得 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵
，
即
（3）解：当 为2时，四边形 是平行四边形，理由如下：
∵ 轴， 轴
∴ ，
若四边形 是平行四边形，
则 ，
，
，
，
整理得 ，
解得 （负舍），
∴当 为2时，四边形 是平行四边形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用点B的坐标，可求出直线OB的函数解析式；将点A，B，O的坐标分别代入函数解析式，可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，可得到二次函数解析式.
（2）利用已知条件可得到，利用二次函数解析式可表示出点D的坐标，从而可表示出CD的长；观察图形可知△DOB的面积=△DCO的面积+△DCB的面积，再利用三角形的面积公式，可得到S与m之间的函数解析式.
（3）利用已知可证CD∥BE，利用平行四边形的性质可得到CD=BE，利用点B的坐标可求出BE的长，即可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
20．（2022九上·鹿城期末）已知函数，在同一平面直角坐标系中.
（1）若经过点（1，-2），求的函数表达式.
（2）若经过点（1，m+1），判断与图象交点的个数，说明理由.
（3）若y1经过点（，0)，且对任意x，都有，请利用图象求a的取值范围.
【答案】（1）解：∵经过点(1，-2) ，
∴（1+m）（1-m-1）=-2
解之：.
当m=-2时，；
当m=1时，；
∴的函数表达式为：
（2）解：∵经过点(1，m+1)，
∴a+m=m+1
解得：a=1.
∴，
∵，
整理得：，
∴，
当m=-1时，△=0，
当m≠-1时，△＞0
∴ 当m=-1时与图象有一个交点； 当m≠-1时与图象有两个交点.
（3）解：∵ y经过点( ，0)，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
若，则与图象只有一个交点，
此时，
解之：，
如图，
若与图象没有交点，则对于任意x都有，
由图象可知此时或，
∴a的取值范围是或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点（1，-2）代入y1=（x+m）（x-m-1）可求出m的值，从而即可得出y1的解析式；
（2）将点（1，m+1）代入y2=ax+m可求出a的值，进而联立y1与y2可得x+m=（x+m）（x-m-1），算出此方程根的判别式的值，结合偶数次幂的非负性可得判别式的值一定不为负数，从而即可判断出两函数图象交点的个数；
（3）将点（，0）代入y1可得m的值，再联立y1、y2求出图象只有一个交点时a的值，观察图象得到无交点时a的范围即得答案．
21．（2023九上·越城期末）卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表
材料 甲 乙
价格（元/米2） 60 30
设矩形的较短边的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.
【答案】（1）(4-2x)
（2）解：每个矩形阴影部分面积为，
中心区正方形的面积为，
，
由题可知，，解得，
（3）解：够用，理由如下，
，对称轴为，
中心区的边长不小于3，
，
，
当时，y随x增大而增大，
即时，，
1万幅作品消耗的费用为690万；
，
当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1），，四个阴影部分是四个全等的矩形，
，，
，
故答案为：(4-2x)；
【分析】（1）根据全等图形的性质得D'G=AH=x，A'G=HD=4-x，进而根据A'D'=A'G-D'G即可用含x的式子表示出A'D'；
（2）利用矩形面积计算公式及正方形面积计算公式分别表示出阴影部分面积及中心区正方形的面积，进而根据每平方米的单价乘以图形面积分别表示出需要甲乙两种材料的费用，求和即可得出y关于x的函数关系式；进而根据几何图形边长只能为正数列出关于x的不等式组，求解可得x的取值范围；
（3）由（2）所得函数解析式的性质并结合中心区的边长不小于3，解题即可.
22．（2022九上·杭州期中）某公园对一块长 20m，宽10m的场地进行设计，方案如图所示．阴影区域为绿化区(四块全等的矩形)，空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大于8m．设出口长均为x(m)，活动区面积为y(m)．
（1）求y关于x的函数表达式：
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【答案】（1）解：根据题意得：y＝20×10 4× ×
＝200 (20 x)(10 x)
＝200 200＋30x x2
＝ x2＋30x，
∴y与x的函数关系式为y＝ x2＋30x；
（2）解：由(1)知：y＝ x2＋30x＝ (x 15)2＋225，
由题意得：4≤x≤8，
∵ 1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2
（3）解：设布置场地所用费用为w元，
则w＝10( x2＋30x)＋8[200 ( x2＋30x)]
＝ 10x2＋300x＋1600＋8x2 240x
＝ 2x2＋60x＋1600，
令w＝1850，
2x2＋60x＋1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝ x2＋30x， 1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用活动区域的面积=大长方形的面积减去4个阴影区域的面积，可得到y与x之间的函数解析式.
（2）将函数解析式转化为顶点式，由题意可得到x的取值范围，利用二次函数的性质可求出结果.
（3）设布置场地所用费用为w元，可知W=活动区域的面积×活动区布置成本+绿化区域的面积×绿化区布置成本，可得到W与x的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，根据布置场地的预算不超过1850元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到x的取值范围为4≤x≤5，再利用二次函数的对称轴及开口方向，可得到活动区面积最大的x值及此时的布置成本.
23．（2022九上·瑞安期末）某商家代理经销某种商品，以每件进价40元，批发购进该商品915件，经走访市场发现：每天的销售量（件）和销售单价之间的一次函数关系如下表（的整数）.
销售单价（元/件） … 50 51 52 …
每天销售量（件） … 100 95 90 …
（1）写出关于的函数关系式 .
（2）问定价为多少时，每天获得利润最大，并求最大利润.
（3）商家在实际销售过程中，以每天最大利润销售了10天后，他发现销售时间只剩下最后两天，所以在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，这915件商品的总利润为元，则总利润的最大值为 （直接写出答案）.
【答案】（1）y=-5x+350
（2）解：设每天的利润为元，
则：；
∵，
∴当时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元，
即：定价为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1125元；
（3）13475元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）解：设关于的函数关系式为：，
则：由表格可知：，解得：，
∴；
故答案为：.
（3）解：以每天最大销售利润销售10天，获利为：元；
卖出商品的数量为：件，还剩下：件，
∵，
∴当定价离元越近时，每天的利润就越大，
∵在最后不超过2天时间内销售完余下的商品，是大于等于的整数，
当定价为：元时，销售数量为：件，
当定价为：元时，销售数量为：件，
件，
∴最后两天的最大利润为：元，
∴总利润的最大值为：元.
故答案为：13475元.
【分析】（1）根据表格给出的数据，利用待定系数法即可求出y关于x的函数关系式；
（2） 设每天的利润为z元 ，根据单件的利润乘以每天销售数量=总利润建立函数关系式，由所得函数的性质即可得出答案；
（3）首先算出以每天最大销售利润销售10天的获利，及所销售的商品和还剩下的商品，进而根据（2）所得函数的性质知当定价离55元越近时，每天的利润就越大，据此算出最后两天的定价及销售数量，与所剩商品总数量进行比较即可求出最后两天的利润，再求和即可.
24．（2023九上·嵊州期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点与障碍平台之间的距离为，障碍平台高为，若小冲此次训练时足球正好在前方的点处达到最高点，离地面最高距离为，以地面所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求过O，C，B三点的抛物线表达式；
（2）此时障碍平台与球门之间的距离为，已知球门高为，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.
【答案】（1）解：依题意得，，，
设抛物线表达式为，
∴，解得，
∴抛物线表达式为
（2）解：抛物线的对称轴为，
点B到对称轴的距离为，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为，
当时，，
因此，不能顺利射入球门.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）依题意可得O（0，0）、C（5，3）、B（9，1.08），设抛物线的表达式为y=ax2+bx，将C、B的坐标代入求出a、b的值，据此可得抛物线的表达式；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=5，则点B到对称轴的距离为4，易得第二段抛物线的表达式为y=-0.12(x-8)2+1.2(x-8)，然后将x=9+6=15代入求出y的值，再与2.44进行比较即可判断.
25．（2022九上·南湖期中）小陆和小吕参加体育节双人互垫排球项目，小陆和小吕按比赛要求站立，小陆在左边发球后，排球球心运动的路线为抛物线的一部分，以抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），小陆发球时排球球心与y轴水平距离为，且球心离地最大高度是，根据图中信息：
（1）请求出排球球心运动路线的函数表达式；
（2）求小陆发球时球心离地高度多少米；
（3）若接球时球心离地高度不高于0.5m，则小吕在接球时球心离y轴至少多少米？（精确到0.1米，参考值：≈1.73，≈2.45）
【答案】（1）解：抛物线对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
球心离地最大高度是，
，
，
将点代入，可得：，
解得，
设抛物线的解析式为；
（2）解：将代入可得：
，
小陆发球时球心离地高度为米；
（3）解：将代入可得：
，
解得，，
小吕在y轴右侧，，
小吕在接球时球心离y轴至少米.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由于抛物线的对称轴是y轴，故一次项系数b=0，又可知抛物线的顶点纵坐标为1.1，从而可设所求抛物线的解析式为y=ax2+1.1，进而将点 代入可算出a的值，求出抛物线的解析式；
（2）将x=-1.5代入（1）所求的抛物线算出对应的函数值即可得出答案；
（3）将y=0.5代入（1）所求的抛物线算出对应的自变量的值，从而即可得出答案.
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