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1.3 证明 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2023 黄岩区一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：
①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；
②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；
③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；
④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023 长乐区模拟）已知，，是不完全相等的任意实数，，，，则关于，，的值，下列说法正确的是
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0 D．至多有一个大于0
3．（2023 武汉模拟）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．
利用此密码算出2035年的世界环境日月5日）是
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
4．（2023 开福区校级一模）在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是
A． B． C． D．
5．（2022秋 潍坊期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
6．（2023 长沙模拟）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
7．（2023春 利津县月考）某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
8．（2023 黄州区校级开学）在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形，，，（不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由，组成的图形记为，在乙组图形的（a），（b），（c），（d）四个图形中，表示“”和“”的是
A．（a），（b） B．（b），（c） C．（c），（d） D．（b），（d）
二．填空题（共4小题）
9．（2023春 开福区校级月考），，，，五名同学猜测自己的数学成绩．说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”大家都没说错，如果有2人得优，那么他们之中得优的人是 （填字母）．
10．（2023 东城区一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画，错误的画．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 ．
题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 30
乙 ╳ ╳ ╳ ╳ 25
丙 ╳ ╳ ╳ ╳ 25
丁 ╳ ╳ ╳
11．（2023 长沙一模）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 ．
12．（2023 海淀区校级模拟）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时 种类 准备时间（分钟） 加工时间（分钟）
米饭 3 30
炒菜1 5 6
炒菜2 5 8
汤 5 6
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 徐汇区校级期中）学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔1分钟改变一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下：
甲的变色顺序：红紫蓝黄绿红；
乙的变色顺序：红紫蓝白红；
你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？
14．（2023春 潍坊一模）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．
（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．
（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．
15．（2022秋 鼓楼区期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转张为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“ ”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
（1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少 次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出的所有可能的值．
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1.3 证明 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023 黄岩区一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：
①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；
②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；
③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；
④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为：
甲，，，乙，，丙，，丁，
①若分组为（甲，，，乙），，丙，，丁），故①正确；
②若分组为甲），，，乙，，（丙，，丁，，故②错误，
③由②可知③错误，
④依题意，分组为：甲，，，乙，，丙），，丁，，
或甲，，，（乙，，丙，，（丁，，
故④正确，
故选：．
2．（2023 长乐区模拟）已知，，是不完全相等的任意实数，，，，则关于，，的值，下列说法正确的是
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0 D．至多有一个大于0
解：因为，
所以，，．不能都大于0，也不能都小于0，
所以排除和；
又因为，，是不完全相等的任意实数，
所以，，不能同时为0，
所以至少有一个是正数，也可以有两个是正数，
所以排除，
所以选．
故选：．
3．（2023 武汉模拟）根据一周7天可以制作出每年的“星期几密码”．现已知2035年的“星期几密码”是“033614625035”，这组密码中从左到右的12个数字依次与2035年的1到12月对应，我们可以用这组密码算出2035年某天是星期几．如2035年2月8日，其中2月对应密码中的第二个数字“3”，将数字3加上日期8，其和为11，再把11除以7，得余数4，则该天为星期四（余数几则对应星期几，特别地，余数0则对应星期天）．
利用此密码算出2035年的世界环境日月5日）是
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六
解：依题意得：6月5日对应第六个数字4，
将数字4加上日期5，和为9，
，
故2035年的世界环境日月5日）是星期二．
故选：．
4．（2023 开福区校级一模）在第36届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有5位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是
A． B． C． D．
解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了，所以和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假；
所以和，说得都是假话，
所以只有说对了，
答：第一名是．
故选：．
5．（2022秋 潍坊期末）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是
A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分
B．第二名的总分可能超过18分
C．第三名的总分共有3种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
解：依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5或10，10，3，
显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，
甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，正确；
甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11 分，13分，
甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18 分，16分，
第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11 分，13分，15分，
选项，正确，第三名总分有4种情况，不正确．
故选：．
6．（2023 长沙模拟）世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积
A．6分 B．7分 C．8分 D．9分
解：4个队单循环比赛共比赛场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故选：．
7．（2023春 利津县月考）某班四个小组进行辩论比赛，赛前三位同学预测比赛结果如下：
甲说：“第二组得第一，第四组得第三”；
乙说：“第一组得第四，第三组得第二”；
丙说：“第三组得第三，第四组得第一”；
赛后得知，三人各猜对一半，则冠军是
A．第一组 B．第二组 C．第三组 D．第四组
解：假设甲说的第一句对，第二组得第一对，则第四组得第三错；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三对；
则乙说的：第一组得第四对，第三组得第二错，
由此可推知：第二组第一，第四组第二，第三组第三，第一组第4，符合题意；
假设甲说的第一句错，第二组得第一错，则第四组得第三对；
由此可知，丙说的第四组得第一错，则第三组得第三错；与已知出现矛盾，故此推理错误；
故选：．
8．（2023 黄州区校级开学）在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形，，，（不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由，组成的图形记为，在乙组图形的（a），（b），（c），（d）四个图形中，表示“”和“”的是
A．（a），（b） B．（b），（c） C．（c），（d） D．（b），（d）
解：如图
由甲组的 可知
是稍大一点的圆，
为横线段，
为稍小一点的圆，
为竖线段．
所以“”应当选（b），“”应当选（d）．
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．（2023春 开福区校级月考），，，，五名同学猜测自己的数学成绩．说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”说：“如果我得优，那么也得优．”大家都没说错，如果有2人得优，那么他们之中得优的人是 、 （填字母）．
解：得优的同学是、．
因为若得优，则5个同学都得优；若得优，则4个同学都得优；若得优，则3个同学都得优．
故答案为：，．
10．（2023 东城区一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画，错误的画．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 30 ．
题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分
甲 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 30
乙 ╳ ╳ ╳ ╳ 25
丙 ╳ ╳ ╳ ╳ 25
丁 ╳ ╳ ╳
解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；
又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是；
对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分，
故答案为：30．
11．（2023 长沙一模）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是 3 ．
解：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，
甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，
甲手中的数可能为2，3，4，
乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
乙手中的数不可能是2，4，只能是3．
故答案为：3．
12．（2023 海淀区校级模拟）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟．
用时 种类 准备时间（分钟） 加工时间（分钟）
米饭 3 30
炒菜1 5 6
炒菜2 5 8
汤 5 6
解：（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 徐汇区校级期中）学校的教学大楼大厅里有甲、乙两盏变色的灯，细心的丽丽发现甲灯每隔1分钟改变一次颜色，乙灯每隔1分半改变一次颜色，两灯同时从红色开始亮灯，变色顺序如下：
甲的变色顺序：红紫蓝黄绿红；
乙的变色顺序：红紫蓝白红；
你能帮助丽丽算出几分钟后，两灯第一次同时变成蓝色吗？
解：由题知，
甲灯亮蓝灯的时间点是：2分钟、7分钟、22分钟、27分钟，
乙灯亮蓝灯的时间点是：3分钟、9分钟、15分钟、21分钟、27分钟，
分钟后，两灯第一次同时变成蓝色．
14．（2023春 潍坊一模）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张、每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．
（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．
（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．
解：（1）能，
甲购买的座位号为：5，3，1，2，4，
乙购买的座位号为：6，8，10，12，
丙购买的座位号为：7，9，11，
丁购买的座位号为：13，15；
（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．
①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．
若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．
此时丁可选的座位号为12，14．
即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．
若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．
此时丙可选的座位号为10，12，14．
即在乙选完之后的顺序为：甲、丙．
②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．
若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．
此时丁可选的座位号为13，11．
即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．
若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．
此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．
③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．
若甲在丁 选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．
此时丙可选的座位号为13，11，9．
即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．
若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．
此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．
综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．
15．（2022秋 鼓楼区期中）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转张为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“ ”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．
（1）当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少 7 次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是 ，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出的所有可能的值．
解：（1）总变化量：，
次数（至少），
故答案为：7；
（2）①两张由反到正，变化：，
②两张由正到反，变化：，
③一正一反变一反一正，变化，
不能全正，
总变化量仍为14，无法由4，，0组成，
故不能所有纸牌全正；
故答案为：14；
（3）由题可知：．
①当时，由（1）可知能够做到，
②当时，由（2）可知无法做到，
③当时，总和变化量为6，，2，，
，
故可以，
④当时，总和变化量为8，，4，，0，
14无法由8，，4，，0组成，
故不可以，
⑤当时，总和变化量为10，，6，，2，，
，
故可以，
⑥当时，总和变化量为12，，8，，4，，0，
无法组合，
故不可以，
⑦当时，一次全翻完，可以，
故，3，5，7时，可以．
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