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1.2 二次根式的性质
第一课时
1.2
二次根式的性质(1)
想一想
a
你能用算式来表示吗？
归纳
二次根式的性质：（1）
（a≥0）
大家抢答
5
3
=
=
2
1
试一试：
2
=
7
请比较左右两边的式子,议一议: 与 有什么关系 当 时, ;当 时,
一般地,二次根式有下面的性质:
2
2
5
5
0
0
二次根式的性质（2）
a
0
-a
( a >0 )
( a =0 )
( a <0 )
归纳
(7) 数 在数轴上的位置如图,则
0
-2
-1
1
(8)如图, 是直角坐标系中一点,求点P到原点的距离.
0
2
例1 计算：
(1)
(2)
例2 计算：
例3 计算：
试一试
1.计算下列各题:
(1)
(2)
2.若 ,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
与 是一样的吗？
你的理由是什么.
√
a
（ ）
2
例4 化简：
（1） （2） (3) (a＜0,b＞0)
(a＞1 )
+ (1＜x＜3 )
引申与提高
=|4x|
∵x<0 , ∴4x＜0,
∴原式 = - 4x
小结
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
（2）
a
0
-a
( a >0 )
( a =0 )
( a <0 )
你能把一张三边分别为 的三角形纸片放入 方格内,使它的三个顶点都在方格的顶点上吗
动动脑筋(共22张PPT)
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1.1 二次根式
第1课时
浙教版八年级《数学》下册
1.1 二次根式
1、16的平方根是什么 16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
知识回顾
表示7的算术平方根
正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
1、平方根的性质：
说出下列各式的意义；
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？根指数是多少？
被开方数是非负数，根指数都是二次．
2、 表示什么？
表示非负数a的算术平方根
根据下图所示的直角三角形，正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
２cm
acm
(b-3)cm2
直角三角形的斜边长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正方形的边长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
等边三角形的边长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
这三个都表示算术平方根，且根号内都含有字母。
在实数范围内，a< 0时， 没有
意义，只有当 时， 有意义。
1.二次根式的概念
像 这样表示的算术平方根，
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 ）也叫做二次根式，
二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？
判断，下列各式中那些是二次根式？
定义：式子 叫做二次根式.
不要忽略
其中a叫做被开方式。
如： 这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；
而
这类代数式，应把 这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
例 １ 求下列二次根式中字母x的取值范围：
求下列二次根式中字母x的取值范围：
解 当 时 ， 。
字母的取值范围是 的实数
例２、当x= -4时，求二次根式 的值
1.当x分别取下列值时，求二次根式 的值:
(1)x=0; (2)x=1; (3)x=-1
2.求当二次根式 的值为３时x的值
１、求下列二次根式中字母x的取值范围：
２、一艘轮船先向东北方向航行２小时，再向西航行t时，船的航速是每小时25千米．
（１）用关于t的代数式表示船离出发地的距离；
（２）求当t=3时，船离出发地多少千米（用计算器计算，结果精确到0.01千米
正数
0
没有
x≥2
想一想：
甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
的值。
得到下列两种不同的答案，哪个正确？
甲的解答是 a -
= a -（a+1）= -1；
乙的解答是 a -
= a +（a+1）=2a+1
=2×（-1.5)+1= - 2
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.
（1）把这个公式变形成用 h表示t的公式。
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，
落到地面需几秒（精确到0.1 秒）
这节课你有何收获，
能与大家分享、交流你的感受吗？
今天我们学会了…
二次根式的概念．
学会求二次根式中字母的取值范围；
布置作业:
见数学作业本(共34张PPT)
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二次根式复习
第1课时
形如 的代数式叫做二次根式.
（即一个 的算术平方根叫做二次根式）
本章知识
非负数
1.二次根式的概念：
本章知识
2.二次根式的性质：
本章知识
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：
类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如
）仍然适用.
2
算一算：
算一算：
计算或化简：
———
计算或化简：
计算或化简：
3
在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________
2
P
O
化简下列各式
÷
化简下列各式
÷
结果一样吗
化简下列各式
化简下列各式
计算
计算
计算
计算
(1)
(2)若满足上式的a,b为等腰三角 形的两边,求这个等腰三角形的面积.
设a.b为实数,且
求 的值
(2) 若a为腰,b为底,此时底边上的高为
若a为底,b为腰,此时底边上的高为
拓展1
例1 求下列二次根式中字母的取值范围
（1）
（2）
解：（1）
解得 - 5≤x＜3
①
②
解：（2）
∵无论x为何值
∴x的取值范围是全体实数
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
例2 化简：
（1）
（2）
解：（1）
解：（2）
例3 计算：
（1）
（2）
（3）
例3 计算：
（1）
解：（1）
例3 计算：
（2）
解：（2）
例3 计算：
（3）
解：（3）
例4 解方程：
解：
在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________
2
P
例5
O
x
y
例6 一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
25
15
15
25
60
60
A
B
解：
B
15
15
25
25
60
60
A
D
x≤0
D
说明：注意二次根式中字母的取值条件.
5.请计算
的值
将根号内的3换成其他正数，结果怎样？
你能从计算中发现什么运算规律？（请用文字描述或用字母标示出来）
作业
P19-21课本复习题
作业本
祝你成功！
通过这节课的学习，谈谈你的收获？(共19张PPT)
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1.3二次根式的运算
第一课时
1、二次根式的乘法运算法则是什么？用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
二次根式相乘：被开方数相乘，根指数不变；
尽量化简。
（1）
（2）
（3）
复习提问
2、二次根式的除法运算法则是什么？用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
二次根式相除：被开方数相除，根指数不变；
尽量化简。
（1）
（2）
（3）
复习提问
上一页
根据二次根式的性质可以得到
二次根式有下面的性质
例1
一个正三角形路标如图所示，若它的边长为
个单位，求这个路标的面积。
例2
合并同类项：
合并二次根式：
6ab+6ab=
2
2
6ab+3ab=(6+3)ab=9ab
2
2
2
2
类比 迁移 感悟
二次根式的加减法
观察 探究
1.判断下列计算是否正确:
练一练:
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
学生甲:
解:原式
例3 计算:
根式化简时漏乘系数
试一试：
根式化简时错将分母作分子
例3 计算:
学生乙:
解:原式
书写不规范
化简后漏写乘号，乘法关系被误认为带分数关系
试一试：
例3 计算:
解:原式
二次根式的化简
要细心
根号前的有理因式要写成假分数，不能写成带分数
归纳
计算:
练一练:
练习3
一个直角三角形的两条直角边分别长 与 ，求这个直角三角形的面积。
练习4 （综合练习）
1、 的成立的条件是（ ）
2、如果：
求 的值：
（a≥0,b≥0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
乘法规律公式推广式：(共20张PPT)
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1.3二次根式的运算
第二课时
八年级数学组
与合并同类项类似,
把被开方数相同的
二次根式的项合并.
你会算吗？试一试吧？
2
-5
=
(
)
2
4
3
2
-
-
=
2
4
2
3
2
2
-
-
=
2
4
18
8
-
-
（化简）
（逆用分配律）
二次根式的加减类似于什么运算？
比一比:
化简 (1) (2)
我们把 看作系数,每一项所含的二次根式相同( ),化简过程就和合并同类项的方法一样.
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
想一想：
二次根式计算、化简的结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例3 先化简，再求出近似值（精确到0.01）
解 ：原式=
1、先化简
2、再合并，
有括号先去括号
3
1
2
27
1
4
125
.
0
32
1
2
)
2
(
+
-
-
先化简,再求出近似值(精确到0.01).
(1)
练习1
例4计算
1、注意运算顺
2、运用运算律
解：
（1）原式
（2）原式
观察题目的特点
是否能应用
乘法公式
计算
(1)
(2)
2
)
2
5
5
3
(
-
(3)
（1）填空：根式 中可以与 合并的二次根式有 个 ；
（2）选择：下列计算正确的是（ ）
3
C
（3）选择：下列计算正确的是（ ）
C
比较根式的大小.
提高题
解:
13
7
14
6
+
+
14
6
+
=
（ ）
2
6+2 +14=20+2
√
84
√
84
∵
（ ）
13
7
+
2
=
20+2
91
0
14
6
+
0
13
7
+
又
∵
小结
1、二次根式的运算（乘除运算）:
归纳
（a ≥0 ， b≥0）
（a ≥0 ， b＞0）
2、以前我们学过的整式运算的法则和方法（乘法公式）也适用于二次根式
布置 作业
1: 作业本（1）
2：课本P14页
作业题第1、2、3题
第4、5、6题选做。(共17张PPT)
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1.3二次根式的运算
第三课时
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
一辆汽车从一道斜坡上开过，已知斜坡的坡比为1：10，AC=20m，求斜坡的长.
A
B
C
扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,
已知AE=2米，一男孩从扶梯底部A走到顶部B，
他升高了多少米？
他经过了多少路程？
c
D
E
(结果精确到0.01米)
一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
他经过了多少路程
如图, 扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,
滑梯CD的坡比为1:1.6米,AE= 2 米,BC= CD.
C
D
E
如图1-5是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.
（1）你能分别求出3张长方形纸条的长度吗
将斜边上的高CD四等分,
然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
如图1-5是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.
（1）你能分别求出3张长方形纸条的长度吗
将斜边上的高CD四等分,
然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
o
p
Q
在Rt△ABC，AC=BC=40（cm）
∴AB=
∵ AC=BC ，CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ）
∴AD=DB
∵ CO=
cm
∴EF=2CO=
cm
同理可得 GH=2CP=
cm
MN=2CQ=
cm
∴CD= AB=
cm
（2）若用这些纸为一幅正方形美术作品镶边，你有几种镶法？
如图1-5是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.
将斜边上的高CD四等分,
然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
如图1-5是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.
（2）若用这些纸为一幅正方形美术作品镶边，你有几种镶法？
将斜边上的高CD四等分,
然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
（3）正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2
C
A
B
.
.
.
M
F
E
H
D
N
若给你一张等腰直角三角形彩色纸, AC=BC=40cm.
你会怎么裁剪？
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
C
A
B
M
F
E
H
D
N
K
C
A
B
现有一张等腰直角三角形彩色纸, AC=BC=40cm.
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
C
A
B
.
.
.
要求裁出来的长方形纸条的宽度相等，且都为 cm，
M
F
E
D
N
O
P
Q
K
V
M
F
E
H
D
N
K
则这3种裁法哪种裁出来的长方形纸条总长度更长呢？
能不能用其他的几何图形来镶边呢？
再见
(结果精确到0.01米)
一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,
他经过了多少路程
如图1-4,扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,
滑梯CD的坡比为1:1.6米,AE= 2 米,BC= CD.
A
B
C
E
F
D
如图1-5是一张等腰直角三角形彩色纸,AC=BC=40cm.
（1）你能分别求出3张长方形纸条的长度吗
将斜边上的高CD四等分,
然后裁出3张宽度相等的长方形纸条.
C
A
B
D
.
.
.
E
F
G
H
M
N
o
p
Q
在Rt△ABC，AC=BC=40（cm）
∴AB=
∵CD⊥AB ，
（等腰三角形三线合一）
∴CD= AB=
同理可得 GH=
MN=
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ）
∴AD=DB
∴
∵三角形CEF是等腰直角三角形，
CE=CF=
据科学研究表明，可以利用身体的体重（w,单位kg）和身高(h, 单位m)计算身体脂肪水平，也称为身体质量指数(BMI:body Mass Index)，
小刚说：我的体重是60kg，身体脂肪水平属于正常，你们能估计出我的身高大约在哪个范围内(结果精确到0.01)
你的脂肪含量正常吗？
计算公式是:BMI= 人体的脂肪指数正常范围是24---27 .
