浙教版数学八年级上册 1.5全等三角形的判定 角角边与角平分线的性质（第4课时）课件 21张PPT

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第一章 三角形的初步认识
1.5 全等三角形的判定
第4课时 “角角边”与角平分线的性质
学习目标
探索并理解“角角边”判定方法；
会用“角角边”判定方法证明三角形全等；
掌握角平分线的性质定理，能用角平分线的性质定理解决问题．
温故知新
角平分线的概念：
一条射线把一个角分成两个
相等的角，这条射线叫做
这个角的平分线.
点到直线的距离：
从直线外一点到这条直线的
垂线段的长度，叫做点到
直线的距离.
C
O
B
A
1
2
O
P
A
B
PO的长度
温故知新
三角形全等的判定方法：
1.三边对应相等的两个三角形全等，
简写为“边边边”或“SSS”.
2.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，
简写为“边角边”或“SAS”.
3.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”.
温故知新
1.三个角.
2.三条边.
3.两边一角.
4.两角一边
不能
SSS
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:
SAS
角—边—角
角—角—边
ASA

探究一：
角角边：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
60°
45°
3cm
60°
探究一：
角角边：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
45°
45°
3cm
45°
两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 . 简写成“角角边”或“AAS”.
角角边（AAS）
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
在△ABC 和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．
∠A =∠A′，∠B =∠B，AC =A′C′，
典例讲解
例1 如图，已知点E、C在线段BF上， BE=FC， ∠A=∠D，∠ACB=∠F.求证： △ABC≌△DEF
证明 ：∵ BE=FC，
∴ BE+EC=CF+EC，即BC=EF.
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）.
A
B
C
D
E
F
∠A=∠D（已知）,
∠ACB=∠DFE（已知）,
BC=EF，
例2 已知：如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PD⊥AO于点D，PC⊥BO于点C. 求证：PD=PC.
证明：∵PD⊥AO，PC⊥BO (已知)，
∴∠PDO=∠PCO=90° (垂线的定义)，
∠PDO=∠PCO，
∠POD=∠POC (角平分线的定义)，
OP=OP,
∴PD=PC(全等三角形对应边相等).
在△OPD和△OPC中，
∴△OPD≌△OPC(AAS).
D
P
A
O
B
C
你能总结出角平分线的性质吗？
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质定理
几何语言：
∵OC是∠AOB的平分线，
且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
E
D
O
A
B
P
C
典例讲解
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BD=2CD，点D到AB的距离为5.6cm，求BC的长.
解：过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C=90°，AD平分∠CAB(已知)，
∴CD=DE=5.6cm.
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∴BD=2CD=2×5.6=11.2(cm).
∴BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8(cm).
E
A
C
D
B
随堂练习
1.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的图形是（ ）
A.甲、乙 B.乙、丙 C.只有乙 D.只有丙
解析：
甲图只有两个已知元素，不能确定与△ABC是否全等；
随堂练习
1.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的图形是（ ）
A.甲、乙 B.乙、丙 C.只有乙 D.只有丙
解析：
乙图与△ABC满足“SAS”的条件，所以两个图形全等；
随堂练习
1.已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的图形是（ ）
A.甲、乙 B.乙、丙 C.只有乙 D.只有丙
解析：
丙图与△ABC满足“AAS”的条件，所以两个图形也全等.
B
2. 如图,已知∠1 = ∠2,∠C = ∠D.
求证： △ABC≌△ABD.
证明：在△ABC和△ABD中，
∠1 = ∠2，
∠C = ∠D，
AB = AB(公共边 )，
∴△ABC≌△ABD(AAS )，
∴AC = AD(全等三角形对应边相等)
A
B
D
C
2
1
3.如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE =CF．若∠B =
∠D，求证：DF =BE．
证明：∵AD∥CB ，∴∠A =∠C.
∵AE =CF ，∴AE-EF =CF-EF，即AF =CE.
∠A=∠C，
∠D=∠B(已知) ，
AF=CE ，
∴△ADF ≌△CBE(AAS)．
∴DF =BE(全等三角形对应边相等)．
在△ADF 和△CBE 中,
A
B
C
D
E
F
3. 如图，
已知：△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC，
G
H
M
A
B
D
C
E
F
∴FG=FM.
G
H
M
A
B
D
C
E
F
又∵点F在∠CBD平分线上， 　　　　
FH⊥AD， FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
3. 如图，
已知：△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上．
课堂小结
本章我们一共探索出判定三角形全等的四种方法，它们分别是:
1.边边边 (SSS)
3.角边角 (ASA)
4.角角边 (AAS)
2.边角边 (SAS)
角平分线的性质定理是:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
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