2023年浙教版数学八年级上册1.1 认识三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2021八上·盖州月考）根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）
⑴最小内角是20°； ⑵最大内角是100°；
⑶最大内角是89°； ⑷三个内角都是60°；
⑸有两个内角都是80°．
A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）
C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】（1）最小内角是20°，那么其他两个角的和是160°，不能确定三角形的形状；（2）最大内角是100°，则其为钝角三角形；（3）最大内角是89°，则其为锐角三角形；（4）三个内角都是60°，则其为锐角三角形，也是等边三角形；（5）有两个内角都是80°，则其为锐角三角形．
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理和三角形相关的概念判断即可。
2．（2020九下·青县开学考）给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.
正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，
∴①不符合题意；
∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，
∴②符合题意；
∵三角形的角平分线是线段，
∴③不符合题意；
∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，
∴④不符合题意．
∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，
∴⑤符合题意；
∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，
∴⑥符合题意；
综上，可得正确的命题有3个：②、⑤，⑥．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的含义，三角形的高、角、角平分线的性质，判断得到答案即可。
3．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
4．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
5．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
6．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
7．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
8．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
9．（2022八上·西城期末）如图，在中，，的度数为α．点P在边上（点P不与点B，点C重合），作于点D，连接，取上一点E，使得，连接，并延长交于点F之后，有．若记的度数为x，则下列关于的表达式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出，，再利用平角的性质可得。
10．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2021八上·昭通期中）已知在△ABC中，∠A＋∠B＜∠C，则△ABC是 三角形．（填“直角”、“锐角”或“钝角”）
【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：，
当时，可得，则为钝角三角形，
故答案为：钝角．
【分析】根据三角形的内角和及 ∠A＋∠B＜∠C， 求出，即可得到为钝角三角形。
12．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
13．（2020八上·海林月考）如图， 分别是 的边 上的中点，连接 交于点G， ， 的面积为6，设 的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，
∴△BDG的面积=△ADG的面积，△CFG的面积=△AGF的面积，△BEG的面积=△ECG的面积．
∵AG=2GE，
∴△ABG的面积=2△BEG的面积，△ACG的面积=2△ECG的面积，
∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面积相等，
∴S1+S2= S△ABC=2，
故答案为：2．
【分析】借助三角形中线平分三角形的面积和等高的三角形面积之比等于底之比可求得图中六个小三角形（△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG）面积相等，由此可得解．
14．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
15．（2019八上·台州开学考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且 =4cm2，则 = ．
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵E为AD的中点，则△ABE和△BED等底同高，△AEF和△CDE等底同高，
∴S△BDE=S△BEA，S△DCE=S△CEA，
∴S△BEC=S△ABC，
∵F为EC的中点，
则S△BEF=S△BEC，
∴S△BEF=S△ABC=×4=1cm2，
故答案为：1cm2.
【分析】E为AD的中点，根据等底同高三角形面积相等，求得S△BEC=S△ABC，再由F为EC之中点，求得S△BEF=S△BEC，从而求得S△BEF=S△ABC，据此即可求出阴影部分的面积。
16．（2020八上·乌海期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为40°，则该三角形的顶角为 。
【答案】50°或130°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：分两种情况解答：
①如图，等腰三角形为锐角三角形
∵BD是高
∴∠ADB=90°
∴∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°
即顶角的度数为50°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°．
故答案为50°或130°．
【分析】分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答，首先根据题意画出图形，利用高的定义和三角形内角和定理求解即可。
三、解答题（共11题，共82分）
17．（2020八上·赵县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长。
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状。
（2）若a，b，c满足(a-b)(b-c)=0，试判断△ABC的形状。
【答案】（1）解：∵|a-b|+|b-c|=0，
∴a-b=0且b-c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
（2）解：∵(a-b)(b-c)=0，
∴a-b=0或b-c=0
∴a=b或b=c．
∴△ABC为等腰三角形
【知识点】绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，即可得到a=b=c，即可得到三角形的形状为等边三角形；
（2）根据题意，即可得到a=b或b=c，即可判断三角形的形状。
18．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形．
【答案】（1）3
（2）6
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】如图，
（ 1 ）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个；（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．
故答案为：（1）3，（2）6．
【分析】（ 1 ）以AB为一边的三角形的第三个顶点可以是C、D、E，因此有三个；（2）除C点外，其它任意两点与C相连即可组成一个以C点为顶点的三角形．
19．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
20．（2022八上·乌鲁木齐月考）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
【答案】（1）解：∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，即
∴
∵AD是BC边上的中线，
∴．
（2）解：不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15cm＜AB＝18cm，
∴不能构成三角形ABC，
∴不能求出DC的长．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AB=15cm，结合△ABC的周长可得BC=8cm，根据中线的概念可得BD=BC，据此计算；
（2）同理求出AB、BC的值，然后根据三角形的三边关系进行判断.
21．（2022八上·江油月考）已知在中，的对边分别为.
（1）化简代数式 .
（2）若，，求的各内角度数；
【答案】（1）2a
（2）解：，，
，
，
，
解得，
故，，
故的各内角度数分别为，，.
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）在中，的对边分别为，
，，
，，
，
故答案为：2a；
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a+b-c>0、b-a-c<0，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可；
（2）根据已知条件可得∠C=∠A+36°，结合内角和定理可求出∠A的度数，进而可得∠B、∠C的度数.
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
23．（2022八上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F.
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数.
【答案】（1）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC=×80°=40°，∠ACF=∠ACB=×40°=20°，
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-40°-20°=120°
（2）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-80°=100°，
∴∠CAF+∠ACF=×100°=50°，
∴∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACF）=180°-50°=130°
（3）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-x°，
∴∠CAF+∠ACF=×（180°-x°）=90°-x°，
∴∠AFC=180°-（90°-x°）=180°-90°+x°=90°+x°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠CAF，∠ACF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠AFC的度数.
（2）利用角平分线的定义去证明∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；利用三角形的内角和定理可求出∠BAC+∠ACB的值，即可求出∠CAF+∠ACF的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC的度数.
（3）利用角平分线的定义去证明∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；利用三角形的内角和定理可表示出∠BAC+∠ACB，即可表示出∠CAF+∠ACF；然后利用三角形的内角和定理可表示出∠AFC和x的数量关系.
24．（2022八上·青田期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点.在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线.
（1）如图，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明.
【答案】（1）解：∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－25°＝15°.
（2）解：①当点D落在线段CB的延长线时，如图所示：
此时∠BAD＋∠BAE＝∠DAE；
②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时，如图所示：
此时∠BAD＋∠DAE＝∠BAE；
③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时，如图所示：
此时∠BAE＋∠DAE＝∠BAD；
④当点D在BC的延长线上时，如图所示：
∠BAE＋∠DAE＝∠BAD.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE的度数，根据垂直定义得∠BDA的度数，进而根据直角三角形两锐角互余得∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE－∠BAD算出答案；
（2）分类讨论： ①当点D落在线段CB的延长线时， ②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时， ③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时， ④当点D在BC的延长线上时， 分别画出图形，结合图形即可得出几个角之间的关系.
25．（2021八上·蜀山期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ．
【答案】（1）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
（2）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
即 ；
（3）45°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3） 和 的角平分线交于点 ，
，即 ，
是 的高，
，
．
故答案为：45°．
【分析】(1)先根据三角形的内角和代理求得，，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据角的和差解答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理得出、，再根据角平分线的定义得出 ，再根据角的和差表示出即可；
（3）先根据角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质得出 ，再根据题意得出 ，最后算出即可 ．
26．（2020八上·南昌期末）有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： ， ， 及 ， ， ．
（1） ， ， ．
如果 ，则用 ， ， 填空： ＜ ＜ ；
（2）如果 ， ， （ ），试比较 ， 的大小；
（3）如果 ， ， （ ）．求 的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）2；2；2；；；
（2）解：∵ ，
， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【知识点】分式的加减法；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，
，
，
若 ，则 ，
即 ，
故答案为： ， ， ， ．
【分析】（1）由题意可知 ，得出 ，若 ，则 ，即得出 ；
（2）由题意得出 ， ， ， ， ，因为 ，得出 ，由此得出 ，由此得出答案；
（3）由题意可知 ，得出 ， ， ，由此得出的值。
27．（2020八上·宜春期中）已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
【答案】（1）＝
（2）；40
（3）解：如图3，连结 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，
解得： ，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作 于H，
是 的 边上的中线，
，
， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解方程组得 ，
，
，
故答案为： ，40；
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设 ， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.1 认识三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2021八上·盖州月考）根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）
⑴最小内角是20°； ⑵最大内角是100°；
⑶最大内角是89°； ⑷三个内角都是60°；
⑸有两个内角都是80°．
A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）
C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）
2．（2020九下·青县开学考）给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.
正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022八上·乐清期中）用12根等长的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
5．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
6．（2021八上·林口期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
7．（2020·绍兴模拟）已知△ABC的两条中线的长分别为5、10，若第三条中线的长也是整数，则第三条中线长的最大值（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
8．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
9．（2022八上·西城期末）如图，在中，，的度数为α．点P在边上（点P不与点B，点C重合），作于点D，连接，取上一点E，使得，连接，并延长交于点F之后，有．若记的度数为x，则下列关于的表达式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2021八上·昭通期中）已知在△ABC中，∠A＋∠B＜∠C，则△ABC是 三角形．（填“直角”、“锐角”或“钝角”）
12．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 种．
13．（2020八上·海林月考）如图， 分别是 的边 上的中点，连接 交于点G， ， 的面积为6，设 的面积为 ， 的面积为 ，则 ．
14．（2019八上·台州开学考）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5的度数为 .
15．（2019八上·台州开学考）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且 =4cm2，则 = ．
16．（2020八上·乌海期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为40°，则该三角形的顶角为 。
三、解答题（共11题，共82分）
17．（2020八上·赵县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长。
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状。
（2）若a，b，c满足(a-b)(b-c)=0，试判断△ABC的形状。
18．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出 个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出 个三角形．
19．（2022八上·安次期末）在中，，．
（1）若是整数，求的长．
（2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
20．（2022八上·乌鲁木齐月考）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．
（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．
（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？
21．（2022八上·江油月考）已知在中，的对边分别为.
（1）化简代数式 .
（2）若，，求的各内角度数；
22．如图1，AB与CD相交于点O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：
（1）∠P的度数；
（2）设∠D=α，∠B=β，∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，其他条件不变，如图2，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），直接写出结论．
23．（2022八上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F.
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数.
24．（2022八上·青田期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点.在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线.
（1）如图，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明.
25．（2021八上·蜀山期中）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ．
26．（2020八上·南昌期末）有三个面积都等于1的三角形，它们的底及对应的高分别记为： ， ， 及 ， ， ．
（1） ， ， ．
如果 ，则用 ， ， 填空： ＜ ＜ ；
（2）如果 ， ， （ ），试比较 ， 的大小；
（3）如果 ， ， （ ）．求 的值（用含n的代数式表示）．
27．（2020八上·宜春期中）已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】（1）最小内角是20°，那么其他两个角的和是160°，不能确定三角形的形状；（2）最大内角是100°，则其为钝角三角形；（3）最大内角是89°，则其为锐角三角形；（4）三个内角都是60°，则其为锐角三角形，也是等边三角形；（5）有两个内角都是80°，则其为锐角三角形．
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理和三角形相关的概念判断即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，
∴①不符合题意；
∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，
∴②符合题意；
∵三角形的角平分线是线段，
∴③不符合题意；
∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，
∴④不符合题意．
∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，
∴⑤符合题意；
∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，
∴⑥符合题意；
综上，可得正确的命题有3个：②、⑤，⑥．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的含义，三角形的高、角、角平分线的性质，判断得到答案即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，
∴x+y＞12-x-y，x+12-x-y＞y，y+12-x-y＞x，
∴x＜6，y＜6，x+y＞6
又∵x，y是整数，
∴同时满足以上三式的x，y的分别值是（不计顺序）：
2，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5，
∴第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2，
∴三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，
∴能摆出不同的三角形的个数是3．
故答案为：C．
【分析】设摆出的三角形的三边有两边是x根，y根，则第三边是（12-x-y）根，由三角形的三边关系定理得到x、y的不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为1cm2，
故答案为：A．
【分析】由D，E分别为边BC， AD中点，可得，从而得出，由F是EC的中点可得，从而得出，继而得解.
7．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【解答】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长
∵角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O
∴ ，
∵OD=DG
∴
∴
∴
∴
∵第三条中线的长也是整数
∴第三条中线长的最大值为14
故答案为：C．
【分析】如图，角A、B、C对应的中点分别是D、E、F，且三条中线交点是O，将OD延长到G，使OD=DG，连接BG，设BE=5,CF=10，AD则为第三条中线长，根据三角形的三边关系和中线的性质列出不等式组，即可求出第三条中线长的最大值．
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC．
∵2∠A1BC=∠ABC，
∴2∠BA1C=∠BAC．
同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，
∴∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行推导即可解答.
9．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算求出，，再利用平角的性质可得。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
11．【答案】钝角
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：，
当时，可得，则为钝角三角形，
故答案为：钝角．
【分析】根据三角形的内角和及 ∠A＋∠B＜∠C， 求出，即可得到为钝角三角形。
12．【答案】5
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥，
∴≤c<，
∴c=5或6，
当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ；
②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ；
∴满足条件的三角形的个数为5.
故答案为：5.
【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答.
13．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，
∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，
∴△BDG的面积=△ADG的面积，△CFG的面积=△AGF的面积，△BEG的面积=△ECG的面积．
∵AG=2GE，
∴△ABG的面积=2△BEG的面积，△ACG的面积=2△ECG的面积，
∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面积相等，
∴S1+S2= S△ABC=2，
故答案为：2．
【分析】借助三角形中线平分三角形的面积和等高的三角形面积之比等于底之比可求得图中六个小三角形（△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG）面积相等，由此可得解．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∠A=180°-（∠1+∠2），
∠B=180°-（∠3+∠4），
∴∠A+∠B=180°-（∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4），
=360°-（∠1+∠2+∠3+∠4），
=360°-220°=140°，
则∠5=180°-（∠A+∠B）=180°-140°=40°.
【分析】根据三角形内角和定理，分别把∠A和∠B用 ∠1、∠2、∠3和∠4 表示出来，两式结合从而求出∠A与∠B之和，在三角形ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠5的度数。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵E为AD的中点，则△ABE和△BED等底同高，△AEF和△CDE等底同高，
∴S△BDE=S△BEA，S△DCE=S△CEA，
∴S△BEC=S△ABC，
∵F为EC的中点，
则S△BEF=S△BEC，
∴S△BEF=S△ABC=×4=1cm2，
故答案为：1cm2.
【分析】E为AD的中点，根据等底同高三角形面积相等，求得S△BEC=S△ABC，再由F为EC之中点，求得S△BEF=S△BEC，从而求得S△BEF=S△ABC，据此即可求出阴影部分的面积。
16．【答案】50°或130°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：分两种情况解答：
①如图，等腰三角形为锐角三角形
∵BD是高
∴∠ADB=90°
∴∠A=90°-∠ABD=90°-40°=50°
即顶角的度数为50°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形
∵BD⊥AC，∠DBA=40°，
∴∠BAD=50°，
∴∠BAC=130°．
故答案为50°或130°．
【分析】分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答，首先根据题意画出图形，利用高的定义和三角形内角和定理求解即可。
17．【答案】（1）解：∵|a-b|+|b-c|=0，
∴a-b=0且b-c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形
（2）解：∵(a-b)(b-c)=0，
∴a-b=0或b-c=0
∴a=b或b=c．
∴△ABC为等腰三角形
【知识点】绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，即可得到a=b=c，即可得到三角形的形状为等边三角形；
（2）根据题意，即可得到a=b或b=c，即可判断三角形的形状。
18．【答案】（1）3
（2）6
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】如图，
（ 1 ）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个；（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．
故答案为：（1）3，（2）6．
【分析】（ 1 ）以AB为一边的三角形的第三个顶点可以是C、D、E，因此有三个；（2）除C点外，其它任意两点与C相连即可组成一个以C点为顶点的三角形．
19．【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
三角形的周长，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得；
（2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。
20．【答案】（1）解：∵，AC＝10cm，
∴AB＝15cm．
又∵△ABC的周长是33cm，即
∴
∵AD是BC边上的中线，
∴．
（2）解：不能，理由如下：
∵，AC＝12cm，
∴AB＝18cm．
又∵△ABC的周长是33cm，
∴BC＝3cm．
∵AC+BC＝15cm＜AB＝18cm，
∴不能构成三角形ABC，
∴不能求出DC的长．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得AB=15cm，结合△ABC的周长可得BC=8cm，根据中线的概念可得BD=BC，据此计算；
（2）同理求出AB、BC的值，然后根据三角形的三边关系进行判断.
21．【答案】（1）2a
（2）解：，，
，
，
，
解得，
故，，
故的各内角度数分别为，，.
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（1）在中，的对边分别为，
，，
，，
，
故答案为：2a；
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a+b-c>0、b-a-c<0，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可；
（2）根据已知条件可得∠C=∠A+36°，结合内角和定理可求出∠A的度数，进而可得∠B、∠C的度数.
22．【答案】（1）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P= （38°+28°）=33°
（2）解：根据三角形的内角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP= ∠DAB，∠DCP= ∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P= （∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P= （β+2α）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和可得∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，从而推导得出∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，然后根据角的关系进行整理可得∠P的度数；
（2）由（1）可得∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，利用已知角的关系整理可得∠P与α、β的关系.
23．【答案】（1）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC=×80°=40°，∠ACF=∠ACB=×40°=20°，
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-40°-20°=120°
（2）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-80°=100°，
∴∠CAF+∠ACF=×100°=50°，
∴∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACF）=180°-50°=130°
（3）解：∵AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠CAF=∠BAC，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；
∵∠BAC+∠ACB=180°-∠B=180°-x°，
∴∠CAF+∠ACF=×（180°-x°）=90°-x°，
∴∠AFC=180°-（90°-x°）=180°-90°+x°=90°+x°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可求出∠CAF，∠ACF的度数；再利用三角形的内角和定理求出∠AFC的度数.
（2）利用角平分线的定义去证明∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；利用三角形的内角和定理可求出∠BAC+∠ACB的值，即可求出∠CAF+∠ACF的值；然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC的度数.
（3）利用角平分线的定义去证明∠CAF+∠ACF=（∠BAC+∠ACB）；利用三角形的内角和定理可表示出∠BAC+∠ACB，即可表示出∠CAF+∠ACF；然后利用三角形的内角和定理可表示出∠AFC和x的数量关系.
24．【答案】（1）解：∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－25°＝15°.
（2）解：①当点D落在线段CB的延长线时，如图所示：
此时∠BAD＋∠BAE＝∠DAE；
②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时，如图所示：
此时∠BAD＋∠DAE＝∠BAE；
③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时，如图所示：
此时∠BAE＋∠DAE＝∠BAD；
④当点D在BC的延长线上时，如图所示：
∠BAE＋∠DAE＝∠BAD.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE的度数，根据垂直定义得∠BDA的度数，进而根据直角三角形两锐角互余得∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE－∠BAD算出答案；
（2）分类讨论： ①当点D落在线段CB的延长线时， ②当点D在线段BC上，且在E点的左侧时， ③当点D在线段BC上，且在E点的右侧时， ④当点D在BC的延长线上时， 分别画出图形，结合图形即可得出几个角之间的关系.
25．【答案】（1）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
（2）解：
是 的高，
是 的角平分线，
，
即 ；
（3）45°
【知识点】角的运算；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3） 和 的角平分线交于点 ，
，即 ，
是 的高，
，
．
故答案为：45°．
【分析】(1)先根据三角形的内角和代理求得，，再根据角平分线的定义得出 ，最后根据角的和差解答即可；
（2）先根据三角形的内角和定理得出、，再根据角平分线的定义得出 ，再根据角的和差表示出即可；
（3）先根据角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质得出 ，再根据题意得出 ，最后算出即可 ．
26．【答案】（1）2；2；2；；；
（2）解：∵ ，
， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【知识点】分式的加减法；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，
，
，
若 ，则 ，
即 ，
故答案为： ， ， ， ．
【分析】（1）由题意可知 ，得出 ，若 ，则 ，即得出 ；
（2）由题意得出 ， ， ， ， ，因为 ，得出 ，由此得出 ，由此得出答案；
（3）由题意可知 ，得出 ， ， ，由此得出的值。
27．【答案】（1）＝
（2）；40
（3）解：如图3，连结 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，
解得： ，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作 于H，
是 的 边上的中线，
，
， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解方程组得 ，
，
，
故答案为： ，40；
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设 ， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
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