2023年浙教版数学八年级上册1.1 认识三角形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·乌鲁木齐月考）如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022八上·乌鲁木齐月考）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．1 D．3
4．（2023八上·嘉兴期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为3cm、10cm，则该三角形的周长可能是（ ）
A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm
5．（2022八上·中山期末）如图，是的中线，点是上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习）如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022八上·青田期中）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A+∠B＝∠C；③∠A＝90°-∠B；④∠A＝∠B＝2∠C.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022八上·洞头期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=50°，∠C=60°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．5° B．15° C．25° D．35°
9．（2023八上·内江期末）如图，，以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，以大于长为半径作圆弧两条弧交于点，作射线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·江北期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·武陟月考）图中以为边的三角形共有 个．
12．（2022八上·长兴月考）一个三角形的两边长分别是3和7，则它的第三边的长为x，则x的范围为 ．
13．（2022八上·文峰月考）已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
14．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数是 ．
15．（2022八上·余姚期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分△BEF面积等于 cm2．
16．（2022八上·余杭月考）如图，△ABC中，点D在线段BC边上，且不与端点重合，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1＋S2＝3，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2021八上·霍邱期末）在中，，
（1）求、、的度数；
（2）按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？
18．（2022八上·路南期中）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
19．（2021八上·鹿城期中）小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
（1）请用a表示第三条边长.
（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由.
20．（2021八上·阆中期中）已知三角形ABC的三边为a，b，c；
（1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长；
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|．
21．（2021八上·江州期中）如图，已知△ABC.
（1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围；
（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数.
22．（2022八上·文峰月考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
23．（2022八上·上杭期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°.
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE.
（2）试求∠DAE的度数.
24．（2022八上·海曙期中）如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
25．（2022八上·义乌月考）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°∠A．若将直线MN绕点P旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：图中的三角形有，，，共有3个.
故答案为：C.
【分析】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵①“等边三角形是等腰三角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；
∴上述说法中正确的有3种.
故答案为：C.
【分析】等边三角形是特殊的等腰三角形，据此判断①；等腰直角三角形属于等腰三角形，据此判断②；根据三角形的分类可判断③④.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则x的值可能是3，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
10-3＜x＜10+3
∴7+3+10＜x+3+10＜13+3+10，
∴20＜x+3+10＜26，
∴三角形的周长可能是21.
故答案为：D
【分析】设第三边长为x，利用三角形的三边关系定理可求出x的取值范围，即可得到三角形的周长的取值范围，从而可得到符合题意的选项.
5．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：C
【分析】先利用线段的和差求出BC的长，再利用线段中点的性质可得。
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
【分析】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，故本小题正确；
③∵∠A＝90°-∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°-90°＝90°，故本小题正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，故本小题错误.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可；
8．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°；
∵AD是角平分线，
∴∠DAC=∠BAC=35°；
∵AE是高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=35°-30°=5°.
故答案为：A
【分析】了可以三角形的内角和定理求出∠BAC的度数；利用角平分线的定义求出∠DAC的度数；利用三角形高的定义及三角形的内角和定理可求出∠EAC；然后根据∠EAD=∠DAC-∠EAC，代入计算求出∠EAD的度数.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∠AHD+∠BAH=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
∴∠CAH=∠BAH=30°，
∴∠AHD=180°-∠BAH=180°-30°=150°，
故答案为：C.
【分析】根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，根据二直线平行，同旁内角互补可求∠CAB=60°，进而可得∠CAH的度数，最后根据三角形的内角和定理算出∠AHD的度数.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴.
即.
∵
即
即，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
11．【答案】3
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据图示知，图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个；
故答案为：3．
【分析】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的定义找出图中的三角形即可.
12．【答案】4＜x＜10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得7-3＜x＜7+3，解得4＜x＜10.
故答案为：4＜x＜10.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边建立不等式组，求解即可.
13．【答案】140°或40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①当∠BAC为钝角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
②当∠BAC为锐角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
故答案为：140°或40°.
【分析】此题需要分类讨论：①当∠BAC为钝角时，当∠BAC为锐角时，分别作出图形，根据三角形高的定义及四边形的内角和即可算出答案.
14．【答案】20°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
是 的角平分线，
，
又 是 的高，
，
，
．
故答案为：20°．
【分析】由三角形的内角和定理得∠BAC=80°，根据角平分线的定义得∠BAE=40°，根据三角形高线可得∠ADB=90°，再根据三角形的内角和求出∠BAD的度数，最后根据角的和差，由∠DAE=∠BAD-∠BAE算出答案.
15．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D为边BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ADC=S△ABC=×8=4；
∵E为边AD的中点，
∴BE，CE是中线，
∴S△EBD=S△EDC=S△ABD=×4=2；
∴S△BEC=2+2=4，
同理可知BF是△BEC的中线，
∴S△BEF=×4=2.
故答案为：2
【分析】利用点D为边BC的中点，可证得AD是△ABC的中线，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可求出△ABD和△ADC的面积；同理可求出△EBD和△EDC的面积，即可得到△BEC的面积；然后根据BF是△BEC的中线，可求出△BEF的面积.
16．【答案】9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴S△ABD=3S△BDF=3S1，S△ADC=3S△AEC=3S2；
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3（S1+S2）=3×3=9.
故答案为：9
【分析】利用点E，F是线段AD的三等分点，可证得S△ABD=3S1，S△ADC=3S2；然后根据S△ABC=S△ABD+S△ADC，代入计算求出△ABC的面积.
17．【答案】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得
x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°
（2）解：∵∠A=∠B=x=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC按边分类是等腰三角形；
∵∠C=90°，
∴△ABC按角分类是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形的内角和可得x+x+2x=180°，求出x的值即可得到答案；
（2）根据三角形的定义及分类求解即可。
18．【答案】（1）解：由题意得：BC-AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）解：如图所示：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线定义得出AD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可。
19．【答案】（1）解：第三边为：30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）m.
（2）解：第一条边长不可以为7m.
理由：a＝7时，三边分别为7，16，7，
∵7+7＜16，
∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.
【知识点】三角形三边关系；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由题意可得：第二条边长为(2a+2)m，然后根据总长可表示出第三条边的长；
（2）求出当a=7时三边的长度，然后结合三角形的三边关系进行判断.
20．【答案】（1）解：∵a＝2，b＝7，
∴7﹣2＜c＜7+2，
即5＜c＜9，
∵c为最长边且为整数，
∴c＝8，
∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17；
（2）∵三角形ABC的三边为a，b，c，
∴a+b＞c，b＜a+c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c．
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出c的范围，由c为最长边且为整数可得c的值，进而可求出△ABC的周长；
（2）由三角形三边关系可得a+b＞c，b＜a+c，判断出a+b-c，b-a-c，a+b+c的正负，然后根据绝对值的性质进行化简.
21．【答案】（1）解：在△ABC中，根据三角形的三边关系得，
4-3∴1（2）∵DE∥AC，∠ACD=125°，
∴∠ACD +∠CDE=180°，
∴ ∠CDE=180°－125°= 55°，
∵∠E=60°，
∴∠B=180°－∠E－∠BDE=180°－60°－55°=65°.
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的第三边小于两边之和且大于两边之差可求解；
（2）由二直线平行同旁内角互补得 ∠ACD +∠CDE=180°， 可算∠CDE的度数，再由三角形内角和定理得∠B=180°－∠E－∠BDE 据此可求解.
22．【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD-∠CAE＝17.5°；
（2）解：如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°-∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°-∠AGF-∠FAG＝17.5°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CAE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，进而根据∠DAE＝∠CAD-∠CAE即可求得∠DAE；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CGE＝25°，根据对顶角相等得∠AGF＝∠CGE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，根据邻补角定义得∠FAG＝137.5°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE的度数.
23．【答案】（1）解：如图：
（2）解：∵∠DAB=180°-∠ABC-∠ADB=180°-90°-40°=50°，
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-110°=30°，
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=15°，（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=50°-15°=35°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）在三角形ABD中，由三角形内角和定理求得∠DAB的度数，在三角形ABC中，由三角形内角和定理求得∠CAB的度数，由角平分线定义可求得∠BAE的度数，然后由角的构成∠DAE=∠DAB-∠BAE可求解.
24．【答案】（1）解： ， ，
，
是 边上的中线，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
是 的一个外角，
，
在直角三角形 中 .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积计算公式结合三角形的面积可算出BC的长，根据根据中线定义可求出DC的长；
（2）首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可得∠BAD=45°，根据三角形外角定义，由∠ADE=∠B+∠BAD算出∠ADE的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余可得∠DAE的度数.
25．【答案】（1）解：如图①
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180，且∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵∠1 ∠ABC，∠2 ∠ACB，
∴∠1+∠2 （∠ABC+∠ACB） 100°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．
（2）解：（ⅰ）如图③，
由（1）知：∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2 （180°﹣∠A）＝90° ∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A；
∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
（ⅱ）不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90° ∠A．
如图④，
由（ⅰ）知：∠BPC＝90° ∠A，
∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，得出∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得出∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2），即可求解；
（2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可求解．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.1 认识三角形 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·乌鲁木齐月考）如图中三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：图中的三角形有，，，共有3个.
故答案为：C.
【分析】由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，据此解答.
2．（2022八上·乌鲁木齐月考）下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵①“等边三角形是等腰三角形”的说法正确；②“等腰三角形也可能是直角三角形”的说法正确；③“三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形”的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形）；④“三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形”是正确的；
∴上述说法中正确的有3种.
故答案为：C.
【分析】等边三角形是特殊的等腰三角形，据此判断①；等腰直角三角形属于等腰三角形，据此判断②；根据三角形的分类可判断③④.
3．（2023八上·南宁期末）若长度为x，2，3的三条线段能组成一个三角形，则x的值可能为（ ）
A．6 B．5 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得：，即，
则x的值可能是3，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
4．（2023八上·嘉兴期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为3cm、10cm，则该三角形的周长可能是（ ）
A．18cm B．19cm C．20cm D．21cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
10-3＜x＜10+3
∴7+3+10＜x+3+10＜13+3+10，
∴20＜x+3+10＜26，
∴三角形的周长可能是21.
故答案为：D
【分析】设第三边长为x，利用三角形的三边关系定理可求出x的取值范围，即可得到三角形的周长的取值范围，从而可得到符合题意的选项.
5．（2022八上·中山期末）如图，是的中线，点是上一点，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：C
【分析】先利用线段的和差求出BC的长，再利用线段中点的性质可得。
6．（新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习）如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
【分析】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
7．（2022八上·青田期中）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①∠A：∠B：∠C＝1：2：3；②∠A+∠B＝∠C；③∠A＝90°-∠B；④∠A＝∠B＝2∠C.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，
∴∠C＝3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题正确；
②∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，故本小题正确；
③∵∠A＝90°-∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°-90°＝90°，故本小题正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，故本小题错误.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可；
8．（2022八上·洞头期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B=50°，∠C=60°，那么∠EAD的度数为（ ）
A．5° B．15° C．25° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°；
∵AD是角平分线，
∴∠DAC=∠BAC=35°；
∵AE是高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=35°-30°=5°.
故答案为：A
【分析】了可以三角形的内角和定理求出∠BAC的度数；利用角平分线的定义求出∠DAC的度数；利用三角形高的定义及三角形的内角和定理可求出∠EAC；然后根据∠EAD=∠DAC-∠EAC，代入计算求出∠EAD的度数.
9．（2023八上·内江期末）如图，，以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，以大于长为半径作圆弧两条弧交于点，作射线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∠AHD+∠BAH=180°，
∵，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
∴∠CAH=∠BAH=30°，
∴∠AHD=180°-∠BAH=180°-30°=150°，
故答案为：C.
【分析】根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，根据二直线平行，同旁内角互补可求∠CAB=60°，进而可得∠CAH的度数，最后根据三角形的内角和定理算出∠AHD的度数.
10．（2023八上·江北期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F.若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，
∴
∴.
即.
∵
即
即，
故答案为：C.
【分析】由题意可得S△ADF=S△ADC，S△BEF=S△BEC，S△AEF=S△BEF-S△ABE=S△BFC-S△ABE=S△ABC，进而推出S△DEF=2S△ABC，然后根据S△EDC+S△EBD-S△AEB=S△ABC进行解答.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·武陟月考）图中以为边的三角形共有 个．
【答案】3
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：根据图示知，图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个；
故答案为：3．
【分析】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，根据三角形的定义找出图中的三角形即可.
12．（2022八上·长兴月考）一个三角形的两边长分别是3和7，则它的第三边的长为x，则x的范围为 ．
【答案】4＜x＜10
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得7-3＜x＜7+3，解得4＜x＜10.
故答案为：4＜x＜10.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边建立不等式组，求解即可.
13．（2022八上·文峰月考）已知、是的高，直线、相交所成的锐角为40°，则的度数是 .
【答案】140°或40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：①当∠BAC为钝角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
②当∠BAC为锐角时，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴，
∵，
∴；
故答案为：140°或40°.
【分析】此题需要分类讨论：①当∠BAC为钝角时，当∠BAC为锐角时，分别作出图形，根据三角形高的定义及四边形的内角和即可算出答案.
14．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数是 ．
【答案】20°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
是 的角平分线，
，
又 是 的高，
，
，
．
故答案为：20°．
【分析】由三角形的内角和定理得∠BAC=80°，根据角平分线的定义得∠BAE=40°，根据三角形高线可得∠ADB=90°，再根据三角形的内角和求出∠BAD的度数，最后根据角的和差，由∠DAE=∠BAD-∠BAE算出答案.
15．（2022八上·余姚期中）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是8cm2，则阴影部分△BEF面积等于 cm2．
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D为边BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ADC=S△ABC=×8=4；
∵E为边AD的中点，
∴BE，CE是中线，
∴S△EBD=S△EDC=S△ABD=×4=2；
∴S△BEC=2+2=4，
同理可知BF是△BEC的中线，
∴S△BEF=×4=2.
故答案为：2
【分析】利用点D为边BC的中点，可证得AD是△ABC的中线，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可求出△ABD和△ADC的面积；同理可求出△EBD和△EDC的面积，即可得到△BEC的面积；然后根据BF是△BEC的中线，可求出△BEF的面积.
16．（2022八上·余杭月考）如图，△ABC中，点D在线段BC边上，且不与端点重合，点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1＋S2＝3，则△ABC的面积为 ．
【答案】9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴S△ABD=3S△BDF=3S1，S△ADC=3S△AEC=3S2；
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=3（S1+S2）=3×3=9.
故答案为：9
【分析】利用点E，F是线段AD的三等分点，可证得S△ABD=3S1，S△ADC=3S2；然后根据S△ABC=S△ABD+S△ADC，代入计算求出△ABC的面积.
三、解答题（共9题，共66分）
17．（2021八上·霍邱期末）在中，，
（1）求、、的度数；
（2）按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？
【答案】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得
x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°
（2）解：∵∠A=∠B=x=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC按边分类是等腰三角形；
∵∠C=90°，
∴△ABC按角分类是直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形的内角和可得x+x+2x=180°，求出x的值即可得到答案；
（2）根据三角形的定义及分类求解即可。
18．（2022八上·路南期中）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
（1）若AC是整数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【答案】（1）解：由题意得：BC-AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）解：如图所示：
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线定义得出AD＝CD，根据三角形的周长公式计算即可。
19．（2021八上·鹿城期中）小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为am，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
（1）请用a表示第三条边长.
（2）问第一条边长可以为7m吗？请说明理由.
【答案】（1）解：第三边为：30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）m.
（2）解：第一条边长不可以为7m.
理由：a＝7时，三边分别为7，16，7，
∵7+7＜16，
∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.
【知识点】三角形三边关系；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由题意可得：第二条边长为(2a+2)m，然后根据总长可表示出第三条边的长；
（2）求出当a=7时三边的长度，然后结合三角形的三边关系进行判断.
20．（2021八上·阆中期中）已知三角形ABC的三边为a，b，c；
（1）若a＝2，b＝7，c为最长边且为整数，求三角形ABC的周长；
（2）化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|．
【答案】（1）解：∵a＝2，b＝7，
∴7﹣2＜c＜7+2，
即5＜c＜9，
∵c为最长边且为整数，
∴c＝8，
∴三角形ABC的周长＝2+7+8＝17；
（2）∵三角形ABC的三边为a，b，c，
∴a+b＞c，b＜a+c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，a+b+c＞0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+b﹣a﹣c+a+b+c＝a+3b﹣c．
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出c的范围，由c为最长边且为整数可得c的值，进而可求出△ABC的周长；
（2）由三角形三边关系可得a+b＞c，b＜a+c，判断出a+b-c，b-a-c，a+b+c的正负，然后根据绝对值的性质进行化简.
21．（2021八上·江州期中）如图，已知△ABC.
（1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围；
（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数.
【答案】（1）解：在△ABC中，根据三角形的三边关系得，
4-3∴1（2）∵DE∥AC，∠ACD=125°，
∴∠ACD +∠CDE=180°，
∴ ∠CDE=180°－125°= 55°，
∵∠E=60°，
∴∠B=180°－∠E－∠BDE=180°－60°－55°=65°.
【知识点】平行线的性质；三角形三边关系；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的第三边小于两边之和且大于两边之差可求解；
（2）由二直线平行同旁内角互补得 ∠ACD +∠CDE=180°， 可算∠CDE的度数，再由三角形内角和定理得∠B=180°－∠E－∠BDE 据此可求解.
22．（2022八上·文峰月考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数.
【答案】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD-∠CAE＝17.5°；
（2）解：如图，
∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°-∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°-∠AGF-∠FAG＝17.5°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CAE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，进而根据∠DAE＝∠CAD-∠CAE即可求得∠DAE；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CGE＝25°，根据对顶角相等得∠AGF＝∠CGE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，根据邻补角定义得∠FAG＝137.5°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE的度数.
23．（2022八上·上杭期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°.
（1）画出下列图形：
①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE.
（2）试求∠DAE的度数.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：∵∠DAB=180°-∠ABC-∠ADB=180°-90°-40°=50°，
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-110°=30°，
又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=15°，（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=50°-15°=35°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）在三角形ABD中，由三角形内角和定理求得∠DAB的度数，在三角形ABC中，由三角形内角和定理求得∠CAB的度数，由角平分线定义可求得∠BAE的度数，然后由角的构成∠DAE=∠DAB-∠BAE可求解.
24．（2022八上·海曙期中）如图，在中，是边上的高.
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小.
【答案】（1）解： ， ，
，
是 边上的中线，
；
（2）解： ， ，
，
是 的平分线，
，
是 的一个外角，
，
在直角三角形 中 .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积计算公式结合三角形的面积可算出BC的长，根据根据中线定义可求出DC的长；
（2）首先根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可得∠BAD=45°，根据三角形外角定义，由∠ADE=∠B+∠BAD算出∠ADE的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余可得∠DAE的度数.
25．（2022八上·义乌月考）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°∠A．若将直线MN绕点P旋转，
（ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；
（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
【答案】（1）解：如图①
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180，且∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵∠1 ∠ABC，∠2 ∠ACB，
∴∠1+∠2 （∠ABC+∠ACB） 100°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．
（2）解：（ⅰ）如图③，
由（1）知：∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）；
∵∠1+∠2 （180°﹣∠A）＝90° ∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A；
∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
（ⅱ）不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90° ∠A．
如图④，
由（ⅰ）知：∠BPC＝90° ∠A，
∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90° ∠A）＝90° ∠A．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义，得出∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB），再根据三角形内角和定理得出∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2），即可求解；
（2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可求解．
1 / 1
