(共17张PPT)
开方要用到键“ ” 和键 “ ”
对于开平方运算，按键顺序为：“ ” 被开方数 =
对于开立方运算，按键顺序为 ：“ ”被开方数 =
注：用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序有可能不同，如有的计算器进行开方运算时，先按被开方数，然后按
例1利用计算器计算：
解：（1）按键顺序
（2）按键顺序
（3）按键顺序
2
=
∴
=1.414213562
= 5
2
=
9
=
= 2.080083823
5
例2利用计算器计算：
（结果保留4个有效数字）
解（1）按键顺序
（2）按键顺序
4
ab/c
5
=
= 0.894427191
≈ 0.8944
1
ab/c
2
ab/c
7
=
= 1.087380373
≈1.087
1。用计算器开方要用到 键与 键。
2。对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 。
3。对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 .
按键顺序
5 . 8 9 =
2.42693222
（ 2 ab/c 7 ） =
（-）1 2 8 5=
-10.87178969
5+1=
3.236067978
（6×7）-
SHIFT
EXP
=
按键顺序
显示结果
3.339148045
0.658633756
例3：俗话说，登高望远。从
理论上说，当人站在距地面h
千米高处时，能看到的最远
距离约为d=112 × 千米，
上海金茂大厦观光厅高340米，
人在观光厅里最多能看多远
(结果保留3个有效数字)？
解：d=112×
=112 ×
=65.3(千米)
答：最多大约能看到65.3千米远。
上海金茂大厦
解：按键：
显示：1.44224957
按键：
显示：1.414213562
课内练习
书本第81页（1）----（3）
（1）任意找一个你认为很大的正数，
利用计算器对它进行开平方运算，
对所得的结果再进行开平方运算……
随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，
看看是否仍有类似的规律。
借助计算器求下列各式的值，
你能发现什么规律？
利用你发现的规律试写出
的结果。
……
想一想
1、已知按一定规律排列的一组数，
，
，……， ,
，
如果从中选出若干个数使它们的和大于3，
那么至少要选出几个数？
试一试
1、利用计算器求下列各式的值
（结果保留4个有效数字）
（1）
（2）
（3）
练一练
(4)
(5)
(6)
2、利用计算器，比较下列各组数的大小：
（2）
，
，
与
与
（1）
＞
＞
1、学会用计算器进行开方
2、学会用计算器进行数学规律的探索
3、知道数学中有许多有趣的计算
说一说
今天你学会了什么呢？
作业:
作业本(2)
用计算器进行数的开方.(共41张PPT)
二人分一只西瓜，一人分到多少？
学过的数
古代猎人射落几只老鹰，如何表示老鹰的数量呢？
——人们发现并使用了整数
——人们发现并使用了分数
（3只）
( )
学过的数
白天的气温是10℃，晚上的气温是零下5℃，如何表示相反意义的量呢
——人们发现并使用了正数和负数
（＋10℃、－5℃）
有理数够用吗？
你有没有见过不能用
有理数表示的量呢？
有理数
整数
分数
负分数
正分数
0
负整数
正整数
学过的数
1
1
(1)观察右图，说说图中红色 正方形的面积是多少？它的 边长是多少？
(3) 估计 的值在哪两个整数之间，并猜猜它的大小.
(2)边长为1的正方形的对角线长是多少？
猜想 的大小
1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6……
=
现在，科学家们利用超级计算机，将 精确地计算到了小数点后几亿位，但是也未能发现循环的情况,这说明 是一个无限的不循环的小数，它既不是整数，也不是分数。
所以， 不是有理数。
猜想 的大小
1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6……
=
像 这种无限不循环小数，
叫做无理数。
练习：在 中，
属于有理数的有：___________________
属于无理数的有：___________________
无理数就是无限的不循环
的小数。
还有哪些数是无理数呢？
（2）与π相关的数
（3）形如“1.010010001…”(两个“1”之间依次
多一个0)的数
（1）开不尽的方根
, , , , ,
例：把下列各数表示在数轴上：
0
－1
2
3
1
－2
－3
4
无理数和有理数一样，都可以表示在数轴上。
例：把下列各数表示在数轴上：
0
－1
2
3
1
－2
－3
4
例：把下列各数表示在数轴上：
0
－1
2
3
1
－2
－3
4
(2)将 , , , , , 从小到大的
顺序排列.
(1)比较大小：
___ ， ___ ， ___
例：把下列各数表示在数轴上：
0
－1
2
3
1
－2
－3
4
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
一一对应
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
-2
-1
0
1
2
A
实数 a
实数
数轴上的点
数轴上的每一个点都表示一个实数。
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
判断下列说法是否正确：
2.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
1.无理数都是无限不循环小数。 （ ）
3.带根号的数都是无理数。 （ ）
4.无理数可以分为正无理数、0、负无理数。 （ ）
5.数轴上的任何一点都可以表示实数。 （ ）
×
×
① 3.14的相反数是________，绝对值是________.
② 的相反数是________,绝对值是________．
③ 绝对值等于 2 的数是___________．
④一个数的绝对值是 ，则这个数是________.
⑤任意写出三个无理数_____________________．
填空题：
3.14
－3.14
±2
π
—— 无理数 —— 实数 —— 数轴
实数 ：概念、范围分类、绝对值、相反数等
数轴：数轴上的点与实数、比较大小等
无理数 ：概念、三种类型
：探讨 的存在和大小
毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（约公元前580年～约公元前500年）为代表人物的一个学派。该学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将
无理数的发现
阅读 体验
这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕达哥拉斯学派成员的围捕，并被投入了大海，希伯索斯为发现真理而献出了宝贵的生命。
但真理是不可战胜的。后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。希伯索斯的死，使得无理数的研究被推迟了500多年， 给数学的发展带来了不可弥补的损失。
从无理数的发现可知，无理数并不“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映。
无理数的发现
阅读 体验
1.实数的概念，能将实数分类；
2.实数的相反数、倒数、绝对值；
3.实数和数轴上的点的一一对应关系。
1.分类的思想
2.类比的方法
3.数形结合的方法
神奇的π
我们已经知道，π是一个无理数。在日常应用中，大多数人只须知道π的前四位小数值就够了，然而数学家对π的研究却经历了许多世纪。当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”
公元前1700年，埃及人使用了π=256/81≈3.16
阿基米德（archimedes，前287-前212）他用圆的外切与内切96边形，求得223/71< π<22/7，即π≈3.14，这是世界上最早的。
公元前1200年，中国古代已以“径一周三”做为圆周率，这就是“古率”:π≈3．在天文著作《周髀算经》中也有记载。后来发现古率误差太大，圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一。
张衡（公元78—139）给出π= ≈3.16
公元前500年，圣经圆周率约为3的记载。
刘徽（约公元3世纪）首创了一种割圆术的数学方法，算出π的近似值为3.1416，计算圆周率精确到了小数点后第3位（后人称之为徽率）。割圆术的数学思想，用刘徽的原话讲就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”实际上，割圆术已孕育了微积分的思想。
祖冲之（公元429—500年）是继刘徽之后的一位杰出的数学家，他把刘徽创造的割圆术成果又向前推进了一步，计算圆周率精确到小数点后第七位，即3.1415926<π <3.1415927 还得到π的两个近似值：约率22/7 和密率355/113 。密率是一个很好的近似分数值，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数． 1593年，也就是1000多年后，才被德国数学家鄂图（otto）重新得到。
1655年英国数学家wallis将π表示为无穷乘积的形式：
π=2×
1609年，德国数学家ludolph把π的近似值算到了小数点后35位，几乎耗尽了一生的时间。为了纪念他，人们给他的墓碑上刻上他算得的π值：3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88
1674年，德国数学家leibniz证明了
π=
π=4×(1－ + － + － + － +…)
1706年英国数学家machin利用公式π=16arctg1/5-4arctg1/239（其中arctgx=
计算到了100位的圆周率 。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
特别值得一提的是，当代著名的数论专家Atle Selberg(1917-)曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下公式：
大家看，这个公式多美呀
17世纪，瑞士数学家euler给出的公式
1873年，英国数学家shanks出版了一本估值的书，他把的值求到了小数点后707位，由于当时没有计算机，他是用手工算的，足足算了20年。然而到1946年，有科学家提出shanks给出的第528位以后是错的。
至2002年底，科学家们用超级计算机已把 π 的值算到小数点后12411亿位.
那么为什么数学家们还象登山运动员那样，奋力向上攀登，一直求下去而不是停止对 π 的探索呢？为什么其小数值有如此的魅力呢？ 这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪，但除此之外，还有许多其它原因。
1它与概率等其他数学领域的研究有着密切的联系。
2它可以检验超级计算机的硬件和软件的性能。
3计算π的方法和思路可以引发新的概念和思想。
祖冲之
(南北朝)
刘徽
（魏晋时期）
阿基米德
（古希腊）
A
0
－1
2
3
1
－2
－3
4
回顾与思考
回顾 思考
有理数
整数
分数
有限小数
无限循环小数
无理数
无限不循环小数
有理数和无理数统称为 。
实数
即 实数可以分为有理数和无理数。
有理数的分类：
实数
有理数
无理数
实数
实数的分类
你学会了吗
= 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6……
0
－1
2
3
1
－2
－3
A
你学会了吗
= 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 6……
1
1
1
1
1
1(共23张PPT)
1
1
同学们，你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？
创设情境
同学们: 还有其它的方法吗
如果小正方形的边长为1,那大正方形的边长是多少呢
请看flash
试试看
（1） 一张正方形桌面的边长为1.2m，面积是多少？
（2） 一张正方形桌面的面积为1.44m2，边长是多少m？
解: (1)
解: (2)
∴ 平方后等于1.44的数有两个
即1.2和－1.2 .又因为正方形的边长不能是负数,所以,这个正方形的边长是1.2m .
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数
叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
解：∵（±7）2=49 ∴ ±7叫做49的平方根
∵（± ）2= ∴ ± 叫做 的平方根
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
请分别说出49， ，0的平方根
-8
8
121
0.36
0
比一比，看谁最聪明
x
有没有平方 得负数的数？ 为什么？
64
11
-11
0.6
-0.6
0
一个正数有正、负两个平方根，
它们互为相反数；零的平方根是零；
负数没有平方根。
因此，
一个正数a的正平方根用“ ” 表示（读做“根号a”）；
a的负平方根用“ ”表示（读做“负根号a” ），
一个正数a的平方根就用“ ”表示（读做“正、负根号a” ），
其中a叫做被开方数。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
知识源于
悟
被开方数
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根
② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，
它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
练一练
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例1 求下列各数的平方根：
（1）
解：
解：
（2）对；
（1）错 100的平方根是 ；
（3）错 因为 ，所以 的平方根是 ；
（4）对。
例2 判断正误，并把错的改正：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有平方根；
（3） 的平方根是 ；
（4） 2 的平方根是 ；
想一想,做一做
填空:
(1)
(2)
(3)
(4)
注意:
不能出现
想一想,做一做
2. 求下列各数的平方根: 64, 0.01 。
解：
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数。因此
知道一个正数的正平方根，就知道它的负平方根。例如一个
正数的一个平方根是 3，那么，它的另一个平方根是 –3，而
零的平方根就是零。所以我们规定：
一个数a（ ）的算术平方根记做
例如:
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
算术平方根
想一想,做一做
3. 下列各数有没有平方根 如果有,求出它的算术平方根;
如果没有,请说明理由:
解:
有平方根。
－0.36没有平方根,因为负数没有平方根。
观察图3-2,每个小正方形
的边长均为1,我们可以得到小
正方形的面积为1。
（1）图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？
（2）估计 的值在哪两个整数之间。
（1）阴影正方形的面积为2，它的边长是2的
一个正的平方根 。
解：
（2）根据正数的底数越大，它的平方越大，
有
则 ，
也就是说, 在1与2之间。
1、平方根是本身的数是什么数？
2、算术平方根是本身的数是哪些数？
2
3
的平方根是多少？
再
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形
1
1
1
1
本节课你学习了哪些知识？在探索知识的过程中，你用了哪
些方法？对你今后的学习有什么帮助？
①知识方面：这节课我们学方根、算术平方根的概念、表示方法、求法及平方根性质。
②思维方法：平方运算和开平方运算互为逆运算，可以互相检验
③探究策略：由特殊到一般，再由一般到特殊，是发现问题和解
决问题的基本方法和途径。
④用定义解决问题也是常用方法和有力工具。
作业：
见作业本(共20张PPT)
一、复习
(1) 什么叫一个数a的平方根 如何用符号表示数a(≥0)的 平方根
(2) 正数有几个平方根 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根 0平方根是什么
(3) 当a≥0时，式子 ,－ ，± ，的意义各是什么
1.口答：
2.计算：
±
观察
二阶魔方由几个小立方体构成_______
若每个小立方体的边长为1,则小立方体的体积是多少______
你是怎么算的
8个
1
8
那么大的立方体的体积呢______
这是由几个大小相同的单位立方体组成的魔方
合作学习
情境引入
要做一个体积为8cm3立方体模型（如图),它的棱要取多少长？你是怎么知道的呢？
你还知道什么数的
立方等于-8吗？
看一看
平方根的概念：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。
例如，因为32=9，所以3是9的平方根；又因为（-3）2=9，所以-3也是9的平方根。（9的平方根为+3和-3）
你能用上面的阅读材料仿造立方根的概念吗？你还知道8的立方根吗？（尝试一下，你行的）
-8的立方根呢？
1 -1 -0.008呢？
正数的平方根用“± ”表示（读作“正负根号a”)
算术平方根用 表示（读作“根号a”）
找一找
那么你知道立方根怎么表示吗？找一找，你会得到结果的。
温馨提醒：
中的根指数3不能省略，要写在根号的左上角。
一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记做 ．
例题欣赏
求下列各数的立方根：
（1）27
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，即 =3.
（2）
（3）-64 （4） －27
（5）-0.008 （6） 0
同学们，你们能独立完成上面的题目吗？
试一试！
(4)－27
因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即
思考：
除－3以外，还有什么数的立方等于-27 ， 也就是说，负数－27还有别的立方根吗
(6)0
因为03=0，所以0的立方根是0，即 =0.
通过对以上问题的解答，你能总结出立方根有什么样的性质？
正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零.
说明：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.
根据前面的练习结果，你能得到立方根和平方根的相同与不同吗？
合作交流
相同：
不同：
零的平方根和立方根都是零。
正数有一正一负两个平方根，而正数只有一个正立方根。
负数没有平方根，而负数有一个负的立方根。
判断下列说法是否正确，并说明理由
（1）4的平方根是2 ( )
（2） 的立方根是± ( )
（3）负数不能开立方 ( )
（4）-8的立方根是-2 ( )
（5） 立方根是它本自身的只有零。 ( )
探索思考
×
√
×
×
×
计算：
（1）
（2）
（3） +
（4） +
试一试
小结：比一比
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。a的平方根用±
2、平方根的性质
（1）一个正数有两个平方 根，这两个平方根互为相反数
（2）0的平方根还是0（3）负数没有平方根
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。a的立方根用 表示
2、立方根的性质
（1）正数的立方根还是正数
（2）0的立方根还是0
（3）负数的立方根还是负数
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根。记作 读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。
立方根
立方根与平方根比较
一个正数有一正一负两个平方根；负数没有平方根； 零的平方根是零。
一个正方体的体积是216cm3,现将它锯成8块大小一样的正方体小木块，那么你知道每一个小正方体的表面积是多少吗？
探究:
先填写下表,再回答问题:
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01
0.1
1
10
100
从上面表格中你发现什么
被开方向右移动3位，
立方根向右移动1位
作业：
见作业本：立方根
思考：
是由平方根的性质所得。
那么，对于
？(共25张PPT)
2003年10月15日，我国在酒泉卫星发射中心进行首次载人航天飞行，“神舟”五号载人飞船发射升空
1999年11月21日，“神舟”一号在完成了空间飞行试验后在内蒙古中部地区成功着陆
2001年1月10日1时0分，“神舟二号”无人飞船在酒泉卫星发射中心载人航天发射场发射升空
2002年4月1日，“神舟”三号飞船于下午4时许准确降落在内蒙古中部地区
2003年1月5日晚，于12月30日凌晨发射升空的“神舟”四号飞船在内蒙古中部预定区域着陆
2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心 由“长征”二号F型运载火箭发射升空
2003年10月16日，“神舟”五号载人飞船在内蒙古主着陆场成功着陆，航天英雄杨利伟自主出舱
1999年11月,新建成的北京航天指挥控制中心在“神舟”一号发射试验中首次投入使用
2003年10月15日，我国在酒泉卫星发射中心进行首次载人航天飞行，“神舟”五号载人飞船发射升空
第一宇宙速度计算公式:
其中 g=0.0098千米/秒2，是重力加速度.
R=6370千米，是地球的半径.
请你用计算器求出第一宇宙速度，看看有多大？
(结果保留2个有效数字).
问题： 如图，宇宙飞船的一块长方形零件，
长为 cm，宽为 cm。
周长是_________________。
那么这个长方形零件的
面积是_________________。
(结果保留3个有效数字)
周长:
解：
按键顺序为
3
×
2.449489743
2
=
∴
面积:
=6.29252874
=6.29252874
下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？
1、（-4）×8 = 8 ×（-4）
2、[（-8）+5]+（-4）=（-8）+[5+（-4）]
3、（-6）×[ － +（- －）]=（-6）× － +（-6）×（- － ）
4、[29×（- － ）] ×（-12）=29 ×[（- － ） ×（-12）]
5、（-8）+（-9）=（-9）+（-8）
乘法交换律：a×b=b×a
乘法分配律：a×（b+c）=a×b+b×c
乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）
加法交换律：a+b＝b+a
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
2
3
1
2
1
2
2
3
5
6
5
6
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
例1、已知两个立方体体积分别是18和8，求两个立方体的棱长之差。（结果保留3个有效数字）
解：
按键顺序为
0.620741394
∴
18
-
8
=
SHIFT
SHIFT
比一比，谁算得快
（精确到0.001）；
(精确到0.01);
(结果保留4个有效数字);
(结果保留2个有效数字).
挑战一
挑战二
(结果保留6个有效数字)
(精确到0.01)
先化简,再计算
（精确到0.001）
1.
(结果保留3个有效数字)
3.
2.
4.
(精确到0.01)
(结果保留4个有效数字)
下降高度d
下降时间t
100
4.47
200
6.32
500
10.00
1000
14.14
例3.跳伞运动员跳离飞机,在未打开降落伞前,下降的高度d(米)与下降的时间t(秒)之间有关系式: (不计空气阻力)(精确到0.01)
用一用
(1)计算填表:
(2)如果共下降1000米,则前一个500米与后一个500米所用的时间分别是多少
探寻规律：
（２）利用上面规律，计算下题吗？
（1）计算:（精确到0.01）
5
55
555
5555
这节课，你有什么收获，能与我们一起分享吗？
通过这节课的学习，你有那些收获，能与我们一起分享吗？
作业:
见作业本猜想的值 平方的值
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
0.000000000000000000000000000000
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0.000000000000000000000000000000
