第1章 二次函数单元检测卷（含解析）

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浙教版2023年九年级上册第一章《二次函数》单元检测卷
一、选择题（共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线经过A，B两点，则它的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定
4．若将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
6．已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　）
A． B． C．或 D．或
7．已知函数图象上有三点、、，试确定、、的大小（ ）
A． B． C． D．
8．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是（　　）
x … 0 1 2 …
y … 4 2 …
A． B． C． D．
9．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米．

A．米 B．3米 C．米 D．4米
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，以下6个结论：
①；②；③；④；⑤当时，二次函数有最大值；⑥当时，函数y的值随x的增大而减小；其中正确的序号有（　　）
A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤⑥ D．②④⑤
二、填空题（共28分）
11．如果函数是二次函数，则m的值为 ．
12．抛物线的开口方向 ．（“向上”或“向下”）
13．已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ．
15．某化工厂月份生产某种产品，月份生产这种产品，则与产品产量的月平均增长率之间的函数关系式是 ．
16．已知二次函数，当时，的取值范围为 ．
17．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ．
三、解答题（共62分）
18．（8分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
19．（10分）二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示：
x … 0 1 2 …
y … m 7 1 1 7 …
解答下列问题：
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)表格中m的值等于　 　；
(3)在直角坐标系中，画出这个函数的图象．

20．（10分）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求的面积．
21．（10分）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．
(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．
(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
22．（12分）年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．

(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
23．（12分）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式；
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数可得答案．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不正确；
B、是一次函数，故此选项不正确；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、不是二次函数，故此选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式．
2．B
【分析】根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标是解题的关键．
3．B
【分析】根据A、B两点的纵坐标相等即可求解．
【详解】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴是直线．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，正确得出A、B两点关于抛物线的对称轴对称是解题关键．
4．D
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x2+3向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+3，
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x-3）2+3向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x-3）2+5；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
5．B
【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解．
【详解】解： A. 一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
B. 一次函数中，二次函数中，，符合题意；
C.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
D.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，
∴图象开口向上，
∵，
∴或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
7．D
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后比较三个点离直线x=2的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
【详解】∵二次函数的解析式为y=3（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵A（1，y1）、B（4，y2）、C（，y3），
∴点B离直线x=2最远，点C离直线x=2最近，
而抛物线开口向上，
∴y3＜y1＜y2．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8．B
【分析】根据列表法画二次函数图象要列出顶点坐标，然后分别讨论四个点错误的情形，即可得到答案．
【详解】解： 如图所示，四个点在坐标系中的分布，
∵用列表法画二次函数图象时要列出顶点坐标，
∴若错，则二次函数对称轴在直线和直线之间，
∴表中的描点没有顶点坐标，故是正确的；
若错，则二次函数对称轴为直线，
∵二次函数开口向上，
∴当时的函数值最小，这与时，函数值为4不是最小矛盾，
∴是正确的，
若错，由于，此时函数开口方向不可能向上，
∴正确；
若错，此时抛物线对称轴为，
∴当时，y随x增大而增大，满足题意，
综上所述，只有是错误的，
故选B．
【点睛】本题主要考查了描点法画二次函数，熟知描点法画二次函数图象是解题的关键．
9．C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴支柱的高度为米．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
10．D
【分析】根据图象开口向下，可得，结合抛物线的对称轴可判断，图象与y轴的交点在x轴的上方，可得，进而可判断①②；根据抛物线的对称性可得当时，，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点可判断④；根据抛物线的顶点可判断⑤；根据抛物线的性质可判断⑥；进而可得答案．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
∴①说法错误，
∵，
∴，
∴，
∴②说法正确，
由图象可知点的对称点为，
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴④说法正确；
∵开口向下，对称轴为，
∴当时，y有最大值，
∴⑤说法正确，
∵开口向下，对称轴为，
∴当时，函数y的值随x的增大而增大，
∴⑥错误，
∴正确的为②④⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的图象与性质、数形结合是解题的关键．
11．2
【分析】由二次函数的定义进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记二次函数的定义进行解题．
12．向上
【分析】根据二次函数解析式的二次系数的符号即可求解．
【详解】解：∵中，
∴抛物线的开口向上，
故答案为：向上．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．9
【分析】抛物线与x轴有且只有一个交点，可知对应的方程有唯一解，即，即可求出m的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴方程有唯一解，
即，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是明确和抛物线与x轴的交点个数之间的关系．
14．3
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴长的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴．
15．
【分析】根据增长率问题，2月份的产量为，则3月份的产量为，列出函数关系式即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键．
16．/
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．
17．或
【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果．
【详解】解：设这条抛物线的解析式为：，
∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
∴，，
又∵这条抛物线与抛物线形状相同，
∴，即，
∴这条抛物线的解析式为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；
（2）利用一般式代入，进而计算得出答案．
【详解】（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：，
把（0,﹣6）代入得：
，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：；
（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得：，
故二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键．
19．(1)；
(2)17；
(3)见解析．
【分析】（1）由表中数据看出对称轴是直线，即y轴，顶点为，设这个二次函数的解析式为，，把代入，求出a值，即得；
（2）把代入，即可求得m的值；
（3）根据表中数据描点，然后用光滑的曲线顺次连接即可.
【详解】（1）由表中数据看出，与，与对称，
∴对称轴是直线，即y轴，顶点为，
∴设这个二次函数的解析式为，，
把代入，得，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）把代入 ，
得，
故答案为：17；
（3）运用表中数据，在直角坐标系中描出，，，，各点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，画出这个函数的图象，如图，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数．熟练掌握表格中数据的对称性，待定系数法求解二次函数的解析式，描点连线，是解决问题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
∴点C的坐标为，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积是．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，掌握待定系数法求解析式，以及二次函数的性质是解题的关键．
21．(1)函数表达式为：，顶点坐标为
(2)，
(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；
（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵该函数的最大值为1，
∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，
∴，
解得，
∴函数表达式为：，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
将代入中，
解得（舍去），，
∴，
∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，
∴，
即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，
∴，随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)运动员落水点与点的距离为
(3)
【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
23．(1)
(2)①；②点到直线的距离的最大值为，此时点的坐标为
(3)存在，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①在图1中，过点作轴，交于点，求得直线的解析式为．点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式得出；
②根据二次函数的性质得出当时，取最大值，最大值为．勾股定理求得，等面积法求得点到直线的距离，进而得出的坐标；
（3）如图2，连接，交抛物线对称轴于点，因为抛物线与轴交于，两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点的坐标；当时，不存在．
【详解】（1）(1)将，代入，
得解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）①在图1中，过点作轴，交于点．

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴
②
∵，
∴当时，取最大值，最大值为．
∵、，
∴线段，
∴点到直线的距离的最大值为，
当时，，则此时点的坐标为
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，

抛物线与轴交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标，
又，
不存在，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．