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2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋 海兴县期末）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是
嘉嘉：“过点作的垂直平分线，垂足为”；
淇淇：“作的高”
已知：如图，在中，． 求证：．
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
解：嘉嘉不正确，理由如下：
过点作的垂线，不一定过的中点，如果连接点和中点，则与不一定垂直．所以嘉嘉不正确．
淇淇正确，理由如下：
，
，
在与中，
，
，
，
所以淇淇正确．
故选：．
2．（2022秋 和平区校级期末）如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是
A．4 B．5 C．6 D．8
解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
3．（2023春 碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点、点是两个格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
解：当是等腰的底边时，符合条件的点有、、、，共4个；
当是等腰的腰时，符合条件的点有、、、，共4个，
点的个数是8个．
故选：．
4．（2022秋 海口期末）如图，在中，平分，于点，过点作，交于点，若，则的长为
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，．
．
．
，
，
故选：．
5．（2022秋 巴中期末）如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，，，
，，
、、、、都是等腰三角形，共5个，
故选：．
6．（2022秋 西岗区校级期末）如图，已知点是射线上一动点（即点可在射线上运动）．，当 度时，为等腰三角形．
A．120 B．30或75
C．30或75或120 D．120或75或45或30
解：分三种情况：
①时，
则；
②时，
则，
；
③时，
则；
综上所述，当或或时，为等腰三角形．
故选：．
7．（2023春 罗湖区校级期中）如图，中，，平分，，，以下四个结论：①，②，③，④．正确的是
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
解：，，
①正确；
平分，
，
，
，
②正确；
，而与不一定垂直，
，
与不一定全等，
故与不一定相等，故③错误；
，
和互余，和互余，而，
④正确．
故选：．
8．（2022秋 滑县校级期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，分别交，于点，，那么有下列结论：
①；
②；
③的周长等于与的周长之和；
④，都是等腰三角形；
⑤，其中正确结论的序号有
A．①②④ B．④⑤ C．③④⑤ D．②④
解：，的平分线相交于点，过点作，
，，
，，
，都是等腰三角形，
故②④正确；①错误；
的周长等于，与的周长之和为，
故③错误；
，
故⑤错误；
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．（2023 广东模拟）如图，在中，点在上，点在上，且，若补充一个条件，可以使，则可以补充的条件为 是的平分线（答案不唯一） ．（填写“为中点”不得分）
解：①当补充条件是：是的平分线，
是的平分线，
，
在与中，
，
与，
，
是等腰三角形，
是边上的中线，
；
②当补充条件是：，
可得，
是的平分线，
同①可得；
故答案为：是的平分线（答案不唯一）．
10．（2023春 砀山县校级期中）如图，点，都在的边上，，和的平分线分别交于点，．若，则 25 ．
解：，
，，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：25．
11．（2022秋 海港区期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 ②⑤ （填序号）．
解：①过点作的角平分线，
，，
，
，，
和是等腰三角形，
①正确；
②不能分成两个小等腰三角形；
③过点作的角平分线，
，
，，
，
和是等腰三角形；
③正确；
④把点分成和的角，
，，
，，
，
，
和是等腰三角形；
④正确；
⑤不能分成两个小等腰三角形．
②⑤不能分成两个小等腰三角形
故答案为：②⑤．
12．（2022秋 洛江区期末）如图，是的高，，的平分线交于点，则的值为 2 ．
解：在上取点，使，连接，
，
，
，，
由三角形内角和定理得，，
，
，
是的平分线，
，，
在中，，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
故答案为：2．
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 临西县期末）在中，，是的中点，连接．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过点作交的延长线于点，求证：是等腰三角形．
（1）解：，，
是等边三角形，
，
是的中点，
；
（2）证明：，是中点，
平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
14．（2023春 牡丹区校级月考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求长．
（1）证明：，
，，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
15．（2023春 双流区期中）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、．
（1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
解：（1），理由如下：
和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
即；
（2），理由如下：
和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
．
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2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2022秋 海兴县期末）嘉嘉和淇淇在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一结论时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图所示），然后对各自所作的辅助线描述如下，下列判断正确的是
嘉嘉：“过点作的垂直平分线，垂足为”；
淇淇：“作的高”
已知：如图，在中，． 求证：．
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确
2．（2022秋 和平区校级期末）如图，在中，，，点是上一点，连接，，，则长是
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2023春 碑林区校级期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点、点是两个格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
4．（2022秋 海口期末）如图，在中，平分，于点，过点作，交于点，若，则的长为
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
5．（2022秋 巴中期末）如图，在中，，，平分，，则图中共有等腰三角形
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022秋 西岗区校级期末）如图，已知点是射线上一动点（即点可在射线上运动）．，当 度时，为等腰三角形．
A．120 B．30或75
C．30或75或120 D．120或75或45或30
7．（2023春 罗湖区校级期中）如图，中，，平分，，，以下四个结论：①，②，③，④．正确的是
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
8．（2022秋 滑县校级期末）如图，，的平分线相交于点，过点作，分别交，于点，，那么有下列结论：
①；
②；
③的周长等于与的周长之和；
④，都是等腰三角形；
⑤，其中正确结论的序号有
A．①②④ B．④⑤ C．③④⑤ D．②④
二．填空题（共4小题）
9．（2023 广东模拟）如图，在中，点在上，点在上，且，若补充一个条件，可以使，则可以补充的条件为 ．（填写“为中点”不得分）
10．（2023春 砀山县校级期中）如图，点，都在的边上，，和的平分线分别交于点，．若，则 ．
11．（2022秋 海港区期末）如图的5个三角形中，均有，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．
12．（2022秋 洛江区期末）如图，是的高，，的平分线交于点，则的值为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2022秋 临西县期末）在中，，是的中点，连接．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过点作交的延长线于点，求证：是等腰三角形．
14．（2023春 牡丹区校级月考）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求长．
15．（2023春 双流区期中）如图1，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、．
（1）请写出图1中线段，，之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，若的平分线与的外角平分线交于，过点作平行线交于，交于．那么，，之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
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