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2.7 探索勾股定理 同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1. (2023·广东省深圳市·期中考试)三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
解：根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故A不符合题意．
B.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故B不符合题意．
C.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形是直角三角形，故C不符合题意．
D.根据勾股定理的逆定理，由，即，那么这个三角形不是直角三角形，故D符合题意．
故选：
2. (2023·福建省福州市·期中考试)在中，若，则( )
A. B. C. D. 不能确定
解：，
，
故选：
3. (2023·天津市·期中考试)已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为( )
A. 7 B. C. D. 5
解：直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
斜边长为，
故选：
4. (2023·山东省济南市·模拟题)如图，AD是的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB于点M，交BC于点分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点作射线BP交AD于点若，，，则CD的长为( )
A. B. C. D.
解：如图：过点E作于点F
是角平分线，，
，，
，
，
，，
，
，是等腰直角三角形，D为BD的中点，
故选：
5. (2023·河南省新乡市·期中考试)在中，，，，则AB的长为( )
A. 5 B. 10 C. D. 28
解：中，，，，
根据勾股定理知，
故选
6. (2023·山东省德州市·月考试卷)如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为( )
A. 4 B. C. D. 8
解：由勾股定理得，，
则阴影部分的面积
，
故选：
7. (2023·浙江省温州市·模拟题)如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接AD，AH，AG，DH，若，则的面积为( )
A. 40 B. 45 C. D.
解：如图所示，
连接HC并延长交AD于点M，
四边形CIHB，ACDE是正方形，且A，C，I；D，C，B共线，
，
，
设，，，依题意得：，
，
，，
即①，
，
②，
由①②得，
，
③，
将③代入①得：，
解得：负值舍去，则，
，，
，
，
，
，
故选：
8. (2023·浙江省宁波市·期中考试)如图，已知四边形ABCD中，，，四边形ABCD的面积是8，有如下结论：①，②，③，④，其中一定正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
解：在四边形ABCD中，
，
，故①正确；
如图，延长CB至E，使，连接AC，AE，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形ABCD的面积，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
，
，故②错误；
综上所述：其中一定正确的是①③④．
故选：
二、填空题（共4小题）
9. (2023·广东省中山市·单元测试)木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面________填“合格”或“不合格”；
解：如图所示：
，
即：，
，
同理：，
四边形ABCD是长方形，
这个桌面合格.
故答案为合格.
(2023·天津市市辖区·期中考试)如图，中，，，，将折叠，使点C与A重合，折痕为DE，则的周长等于________
解：在中，，，，
由勾股定理，得
由翻折的性质，得
的周长
故答案为：
(2023·四川省成都市·模拟题)青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”，若图中，，则AE的长为______ .
解：四边形ABCD是正方形，
，，
，，
，
，
，
∽，
：：：2，
，
故答案为：
12. (2023·湖北省武汉市·期中考试)在中，，，BC边上的高为15，则的面积是______ .
解：①当点D在BC上时，如图：
由题意，得：，，，，
，
，
的面积是；
②当点D不在BC上时，如图：
由题意，得：，，，，
，
，
的面积是；
综上：的面积是90或
三、解答题（共3小题）
13. (2023·天津市市辖区·期中考试)如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积．
解：如图，连接AC，如图所示．
，，，
，即
，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
答：这块草地的面积是
14. (2023·北京市市辖区·期中考试)勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法.下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______ 其中一种，补全后续证明过程.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么已知：如图，中，
，，，求证：
方法一
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，此时四边形ABEG也是正方形.
方法二
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，即使点P、A、C共线，此时为等腰直角三角形.
解：方法一，
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，
即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，
此时四边形ABEG也是正方形，
大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积，
，即，
；
方法二，
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，
即使点P、A、C共线，此时为等腰直角三角形，
梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简得：
15. (2023·山东省·阶段练习)如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的处，AE是折痕．已知，，求CE的长．
解：四边形ABCD为长方形，
，，
，
又是由折叠得到，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，
，即，
解得，
即
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一、选择题（共8小题）
1. (2023·广东省深圳市·期中考试)三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. (2023·福建省福州市·期中考试)在中，若，则( )
A. B. C. D. 不能确定
3. (2023·天津市·期中考试)已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为( )
A. 7 B. C. D. 5
4. (2023·山东省济南市·模拟题)如图，AD是的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB于点M，交BC于点分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点作射线BP交AD于点若，，，则CD的长为( )
A. B. C. D.
5. (2023·河南省新乡市·期中考试)在中，，，，则AB的长为( )
A. 5 B. 10 C. D. 28
6. (2023·山东省德州市·月考试卷)如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为( )
A. 4 B. C. D. 8
7. (2023·浙江省温州市·模拟题)如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连接AD，AH，AG，DH，若，则的面积为( )
A. 40 B. 45 C. D.
8. (2023·浙江省宁波市·期中考试)如图，已知四边形ABCD中，，，四边形ABCD的面积是8，有如下结论：①，②，③，④，其中一定正确的是( )
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（共4小题）
9. (2023·广东省中山市·单元测试)木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面________填“合格”或“不合格”；
10. (2023·天津市市辖区·期中考试)如图，中，，，，将折叠，使点C与A重合，折痕为DE，则的周长等于________
(2023·四川省成都市·模拟题)青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”，若图中，，则AE的长为______ .
12. (2023·湖北省武汉市·期中考试)在中，，，BC边上的高为15，则的面积是______ .
三、解答题（共3小题）
13. (2023·天津市市辖区·期中考试)如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中，，，，，求这块草地的面积．
14. (2023·北京市市辖区·期中考试)勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法.下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择______ 其中一种，补全后续证明过程.
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么已知：如图，中，
，，，求证：
方法一
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，此时四边形ABEG也是正方形.
方法二
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，即使点P、A、C共线，此时为等腰直角三角形.
15. (2023·山东省·阶段练习)如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的处，AE是折痕．已知，，求CE的长．
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