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2023浙教版八年级上册
第2章 特殊三角形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．圆 B．等腰三角形 C．矩形 D．平行四边形
2．（3分）如图，，的顶点在直线上，若，，，则的度数为
A． B． C． D．
3．（3分）如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等．以下给出的条件适合的是
A． B． C． D．
4．（3分）下列命题为真命题的是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
5．（3分）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若的值为75，则正方形的边长为
A．5 B． C． D．
6．（3分）如图，在中，，于点，于点，于点，，则
A． B． C． D．
7．（3分）如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为
A．32 B．20 C．16 D．28
8．（3分）在中，，，，则线段的长为
A．4 B． C．4或 D．2或4
9．（3分）如图，在中，，，，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
10．（3分）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，交于点，交于点，以下结论：①的面积的面积；②；③；④；其中正确的结论个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 ．
12．（4分）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、，则的周长为 ．
13．（4分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是 ．
14．（4分）如图，的平分线与的平分线相将于点，过作交于，若，，则的长为 ．
15．（4分）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形的面积是 ．
16．（4分）如图，，，，，点和点从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点运动到 ，与全等．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）命题：同位角相等
（1）请将上述命题改写：“如果，那么”，并指出这个命题的条件与结论；
（2）判断这个命题是真命题还是假命题．
18．（6分）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：．
19．（6分）如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
（8分）如图，在中，，交的延长线于，于．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若平分，交的延长线于，直接写出与相等的角除外）．
21．（8分）在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使得．
（1）如图1，延长到点，使得，连接，．求证：；
（2）如图2，连接，的延长线交于点，若，判断与的位置关系，并说明理由．
22．（10分）如图，已知平分，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）当，，时，求点到直线的距离．
23．（10分）阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 （用含，的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系．
（3）已知，，求正方形的面积．
24．（12分）如图，垂直平分线段，点是线段延长线上的一点，且，连接，过点作于点，交的延长线于点．
（1）若，则 （用的代数式表示）；
（2）线段与线段相等吗？为什么？
（3）若，求的长．
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第2章 特殊三角形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是
A．圆 B．等腰三角形 C．矩形 D．平行四边形
解：选项、、的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项的平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：．
2．（3分）如图，，的顶点在直线上，若，，，则的度数为
A． B． C． D．
解：作，如图，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
，
．
故选：．
3．（3分）如图，，添加一个条件，可使用“”判定与全等．以下给出的条件适合的是
A． B． C． D．
解：添加，理由如下：
，
在和中，
，
，
故选：．
4．（3分）下列命题为真命题的是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．和为的两个角互为邻补角
D．邻补角互补
解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
、和为的两个角不一定是互为邻补角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
、邻补角互补，是真命题，符合题意；
故选：．
5．（3分）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若的值为75，则正方形的边长为
A．5 B． C． D．
解：设四个直角三角形的面积之和为，
，
，
即，
解得，
正方形的边长为5，
故选：．
6．（3分）如图，在中，，于点，于点，于点，，则
A． B． C． D．
解：，于点，
根据等腰三角形三线合一的性质，得，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
7．（3分）如图，在四边形中，，的平分线交于点，，若，，则四边形的周长为
A．32 B．20 C．16 D．28
解：如下图所示，延长、相交于点，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形的周长为，
故选：．
8．（3分）在中，，，，则线段的长为
A．4 B． C．4或 D．2或4
解：分两种情况讨论：
①为锐角时，如图，
过点作，
在中，
，，
，
，
中，
，，
，
；
②为钝角时，如图，
过点作交的延长线于点，
同①可求得：，，
，
综上，的长为2或4．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
解：作点关于的对称点，作点，交于点
则，
．
即的最小值为．
，，，
，，
，
，
即的最小值为9.6．
故选：．
10．（3分）如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，交于点，交于点，以下结论：①的面积的面积；②；③；④；其中正确的结论个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
解：是中线，
，
的面积的面积；故①正确；
，，
，
是角平分线，
，
，，
，
，故②正确；
，
，故③正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；
故选：．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题是 如果，的绝对值相等，那么，互为相反数 ．
解：逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
命题“如果，互为相反数，那么，的绝对值相等”的逆命题为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数，
故答案为：如果，的绝对值相等，那么，互为相反数．
12．（4分）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、，则的周长为 9.5 ．
解：，分别是与的角平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
的周长
．
故答案为：9.5．
13．（4分）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是 1 ．
解：根据勾股定理可得，
小正方形的边长为，
故答案为：1．
14．（4分）如图，的平分线与的平分线相将于点，过作交于，若，，则的长为 5 ．
解：的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，，
，
．
故答案为：5．
15．（4分）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长分别是3、2、3、4，则最大的正方形的面积是 47 ．
解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为，则由勾股定理得：
；
；
；
即最大正方形的面积为：．
故答案为：47．
16．（4分）如图，，，，，点和点从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当点运动到 5或10 ，与全等．
解：，
，
，
分两种情况：
①当时，
在和中，，
；
②当时，
在和中，，
；
综上所述：当点运动到或10时，与全等；
故答案为：5或10．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）命题：同位角相等
（1）请将上述命题改写：“如果，那么”，并指出这个命题的条件与结论；
（2）判断这个命题是真命题还是假命题．
解：（1）如果两个角是同位角，那么这两个角相等；
条件是：两个角是同位角，结论是这两个角相等；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以此命题为假命题．
18．（6分）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，．求证：．
证明：如图，在和中，
，
，
，
，
，
．
19．（6分）如图，在中，点，分别在边，上，，平分．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
（1）证明：平分，
，，
．
，
，
；
（2）解：，，
，
，
设，
，
，
，
，
．
（8分）如图，在中，，交的延长线于，于．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若平分，交的延长线于，直接写出与相等的角除外）．
解：（1）如图1，
，
，
，
，
于，
，
，
，
；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
，
与相等的角有，，．
21．（8分）在中，，点为内一点，连接，，延长到点，使得．
（1）如图1，延长到点，使得，连接，．求证：；
（2）如图2，连接，的延长线交于点，若，判断与的位置关系，并说明理由．
（1）证明：在和中，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
延长至点，使，连接，，
由（1）同理得，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
22．（10分）如图，已知平分，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）当，，时，求点到直线的距离．
（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，
；
（3）解：过作于，
，
，
，
，
故点到直线的距离为．
23．（10分）阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 （用含，的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系．
（3）已知，，求正方形的面积．
解：（1）正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为．
故答案为：，；
（2）正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
，
；
（3）正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，
正方形的面积．
24．（12分）如图，垂直平分线段，点是线段延长线上的一点，且，连接，过点作于点，交的延长线于点．
（1）若，则 （用的代数式表示）；
（2）线段与线段相等吗？为什么？
（3）若，求的长．
解：（1），
，
，
，
，．
；
故答案为：；
（2）相等，
证明：连接，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
；
（3），
，
过作交的延长线于，
则是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
．
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