浙教版九年级数学上册第一章 二次函数 单元检测（提高篇）（含答案）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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浙教版九年级数学上册第一章 二次函数 单元检测（提高篇）
一、单选题（共10题；共20分）
1.己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：( )
A. B. C. D.
2.为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图），则下列结论：①a＜-；②-＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是（　　）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
3.如图，在正方形ABCD中，AB＝ ，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（-2，0），则下列结论中，正确的是（　　）
A. b=2a+k B. a=b+k C. a＞b＞0 D. a＞k＞0
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A. ac＞0 B. 当x＞0时，y随x的增大而减小
C. 2a﹣b=0 D. 方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
7.如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与x轴交于点B、D，若直线 与 、 共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线y= x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．以下说法正确的是（ ）
①PO2=PA PB；②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k=﹣ 时，BP2=BO BA；④三角形PAB面积的最小值为 ．
A. ③④ B. ①② C. ②④ D. ①④
9.如图，平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点B，C，交y轴于点A，点P（x，y）是抛物线上的一个动点，连接PA，AC，PC，记△ACP面积为S．当y≤3时，S随x变化的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（共6题；共12分）
11.如图，将二次函数y=x2﹣m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1 ， 另有一次函数y=x+b的图象记为y2 ， 则以下说法： ①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；
②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜ ；
③当m=﹣b时，y1与y2一定有交点；
④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．
其中正确说法的序号为________．
12.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线 平移后得到抛物线 .请你写出一种平移方法. 答：________.
13.将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是________．
14.如图抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，点P为顶点，线段PA上有一动点D，以CD为底边向下作等腰三角形△CDE，且∠DEC=90°，则AE的最小值为________ 。
15.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
下列结论：
①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
③当 时， ； ④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根.
其中正确的结论是________（填正确结论的序号）.
16.如图,已知抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴分别交于A,B,C三点,在抛物线上找到一点D,使得∠DCB=∠ACO,则D点坐标为________
三、综合题（共6题；共88分）
17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2,4)，直线x=2与x轴交于点B，连结OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M移动到A点时停止移动.
（1）求线段OA所在直线的函数关系式；
（2）设抛物线顶点M的横坐标为m.
① 用含m的代数式表示点P的坐标； ② 当m为何值时，线段PB最短；
（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．
19.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（－1，－2），抛物线F： 与直线x=－2交于点P.
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）抛物线F上有两点M 、N ，若－2≤ ， ＜ ，求m的取值范围；
（3）设点P的纵坐标为 ，求 的最小值，此时抛物线F上有两点M 、N ，
若 ≤－2，比较 与 的大小；
（4）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围。
20.如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8），直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D（6，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线l交于点E，点T为x轴上方的抛物线上的一个动点．
①当∠TEC=∠TEO时，求点T的坐标；
②直线BT与y轴交于点P，与直线l交于点Q，当OP=OQ时，求点P的坐标．
21.一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为 元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于 元且不高于 元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量 （件）与每件饰品的售价 （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 元时，销售量为 件；当销售单价为 元时，销售量为 件．
（1）请写出 与 的函数关系式；
（2）当饰品店每周销售这种饰品获得 元的利润时，每件饰品的销售单价是多少元？
（3）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为 元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大？最大利润是多少？
22.如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答 案
一、单选题
1.A 2. B 3. B 4. D 5. D 6.D 7. C 8. A 9.B 10. A
二、填空题
11.②④ 12.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位
13.14. 15.①③④ 16.或（-4，-5）
三、综合题
17. （1）解：设OA所在直线的函数关系式为y=kx.
∵ A(2,4)，
∴ 2k=4，∴ k=2.
∴ OA所在直线的函数关系式为y=2x
（2）解：①∵ 顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m (0≤m≤2).
∴ 顶点M的坐标为(m,2m).
∴ 该抛物线的函数关系式为y=(x-m)2+2m.
∴ 当x=2时，y=(2-m)2+2m=m2-2m+4 (0≤m≤2).
∴ 点P的坐标是(2，m2-2m+4).
②∵ PB= m2-2m+4=(m-1) 2+3，
又∵ 0≤m≤2，
∴ 当m=1时，PB最短.
（3）解：当线段PB最短时，点P的坐标为(2，3)，
此时抛物线的函数关系式为y=(x-1)2+2. 即y=x2-2x+3.
假设在抛物线上存在点Q，使S△QMA= S△PMA.
设点Q的坐标为(x，x2-2x+3).
(Ⅰ)当点Q落在直线OA的下方时，过点P作直线PC∥AO，交y轴于点C.
∵ PB=3，AB=4，
∴ AP=1， ∴ OC=1，∴ C点的坐标为(0,-1).
∵ 点P的坐标是(2,3).
∴ 直线PC的函数关系式为y=2x-1.
∵ S△QMA= S△PMA ，
∴ 点Q落在直线y=2x-1上，
∴ x2-2x+3=2x-1， 解得，x1=x2=2，
∴ 点Q(2,3). ∴ 点Q与点P重合，
∴ 此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△PMA的面积相等
(Ⅱ)当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称点D，过点D作直线DE∥AO，交y轴于点E.
∵ PA=1，
∴ EO=DA=1,
∴ 点E、D的坐标分别为(0,1)，(2,5).
∴ 直线DE的函数关系式为y=2x+1.
∵ S△QMA= S△PMA ，
∴ 点Q落在直线y=2x+1上，
∴ x2-2x+3=2x+1.解得，x1=2+ , x2=2- .
代入y=2x+1，得y1=5+2 ，y2=5-2 .
∴ 此时抛物线上存在点
Q1(2+ ,5+2 )，Q2(2- ,5-2 ),使△QMA与△PMA的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点Q1(2+ ,5+2 )，Q2(2- ,5-2 )
使△QMA与△PMA的面积相等
18. （1）解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
则C（﹣1，0），A′（3，0），
当x＝0时，y＝3，则A（0，3）
（2）解：∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AB OC ， AB＝OC ，
而C（﹣1，0），A（0，3），
∴B（1，3），
∴OB＝ ＝ ，S△AOB＝ ×3×1＝ ，
又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A′B′OC′，
∴∠ACO＝∠OC′D ， OC′＝OC＝1，
又∵∠ACO＝∠ABO ，
∴∠ABO＝∠OC′D ．
又∵∠C′OD＝∠AOB ，
∴△C′OD∽△BOA ，
∴ ＝( )2＝（ ）2＝ ，
∴S△C′OD＝ × ＝
（3）解：设M点的坐标为（m ， ﹣m2+2m+3），0＜m＜3，
作MN y轴交直线AA′于N ， 易得直线AA′的解析式为y＝﹣x+3，则N（m ， ﹣m+3），
∵MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m ，
∴S△AMA′＝S△ANM+S△MNA′
＝ MN 3
＝ （﹣m2+3m）
＝﹣ m2+ m
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，S△AMA'的值最大，最大值为 ，此时M点坐标为（ ， ）．
19. （1）解：∵抛物线F经过点C（－1，－2），∴ .∴m=-1.
∴抛物线F的表达式是
（2）解：抛物线F的对称轴为：直线x=m，当x≥m时，y随x的增大而增大；
点M、N均在直线x=－2的右侧，
∴直线x=－2必须在直线x=m右侧或与之重合
∴m≤－2
（3）解：方法一：当x=-2时， = . ∴当m=-2时， 的最小值=－2. 此时抛物线F的表达式是 .
∴当 时，y随x的增大而减小.
∵ ≤－2，∴ > . 方法二：当直线x=-2与抛物线F的对称轴（直线x=m）重合时，有最小值，此时m=-2
此时抛物线F的表达式是 .
∴当 时，y随x的增大而减小.
∵ ≤－2，∴ > .
（4）或 .
20. （1）解：把C、D两点的坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+3x+8
（2）解：①∵y=﹣ x2+3x+8=﹣ （x﹣3）2+ ，
∴抛物线对称轴为x=3，
设直线l解析式为y=kx，
把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= ，
∴直线l的解析式为y= x，
∴E（3，4），
∵O（0，0），C（0，8），∴OE=CE，
∴点E在线段OC的垂直平分线上，
∵∠TEC=∠TEO，
∴TE∥x轴，∴T的纵坐标为4，
在y=﹣ x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣ x2+3x+8，解得x=3+ 或x=3﹣ ，
∴T的坐标为（3+ ，4）或（3﹣ ，4）；
②在y=﹣ x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣ x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，
∴B（8，0），
∵E（3，4），∴OE=5，
如图2，过点E作BP的平行线，交y轴于点F，交x轴于点H，
∴ = ，
∵OP=OQ，∴OF=OE=5，
∴F（0，5），
∴可设直线PB的解析式为y=kx+5，
把E点坐标代入可得4=3k+5，解得k=﹣ ，
∴直线EF的解析式为y=﹣ x+5，
∴可设直线PB的解析式为y=﹣ x+m，
把B点坐标代入可得0=﹣ ×8+m，解得m= ，
∴P点坐标为（0， ）
21. （1）解：设y与x的函数关系式y=kx+b，代入题干已知数据求解:
，解得 ，
则解析式为：y=-2x+80(22≤x≤28)；
（2）解：销售利润为(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=150，
解得x=25或35(不合题意，舍去)，
故每件饰品的销售单价是 元；
（3）解：由题意可得：
，…
此时当 时， 最大，但又∵ 时， 随 的增大而增大，
∴当售价不低于 元且不高于 元时，
有 ， （元）
答：该饰品销售单价定为 元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是 元．
22. （1）解：由题意知，
∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y＝ x2+bx+c上，
∴ 解得：
∴所求抛物线的解析式为
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为 ，令x＝0，得y＝﹣2
∴点C的坐标为C（0，﹣2）
∵点D与点C关于x轴对称
∴点D的坐标为D（0，2）
设直线BD的解析式为：y＝kx+2且B（4，0）
∴0＝4k+2，解得：
∴直线BD的解析式为：
∵点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交BD于点M，交抛物线与点Q
∴可设点M ，Q
∴MQ＝
∵四边形CQMD是平行四边形
∴QM＝CD＝4，即 =4
解得：m1＝2，m2＝0（舍去）
∴当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形
（3）解：由题意，可设点Q 且B（4，0）、D（0，2）
∴BQ2＝
DQ2＝ BD2＝20
①当∠BDQ＝90°时，则BD2+DQ2＝BQ2 ，
∴
解得：m1＝8，m2＝﹣1，此时Q1（8，18），Q2（﹣1，0）
②当∠DBQ＝90°时，则BD2+BQ2＝DQ2 ，
∴
解得：m3＝3，m4＝4，（舍去）此时Q3（3，﹣2）
∴满足条件的点Q的坐标有三个，分别为：Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3，﹣2）
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