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专题3.3 立方根
模块1：学习目标
1、了解立方根的含义；
2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，
3、了解立方根的性质；
4、区分立方根与平方根的不同。
模块2：知识梳理
1）立方根的定义:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2）立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
模块3：核心考点与典例
考点1、立方根的概念理解
例1．（2022·河北邢台·八年级期末）表示（ ）
A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数
【答案】C
【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解．
【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C
【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键．
变式1.（2022 仓山区八年级期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根，
变式2．（2022·浙江·杭州七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都只有一个 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【答案】C
【分析】利用立方根的意义对每个选项的说法进行逐一判断即可，其中判断D还要结合平方根的含义．
【详解】解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，
∴A选项说法不正确；
∵一个负数有一个负的立方根，∴B选项说法不正确；
∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，∴C选项说法正确；
∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，∴D选项说法不正确．
综上，说法正确的是C选项，故选：C．
【点睛】本题考查的是立方根的含义，考查一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，同时考查负数没有平方根，熟悉以上基础知识是解本题的关键.
考点2、求一个数的立方根
例1．（2022·海南·儋州八年级阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．8的立方根是
C．立方根等于本身的数是 D．
【答案】D
【分析】根据立方根的性质解答．
【详解】解：A. 负数有立方根，故该项不符合题意；
B. 8的立方根是2，故该项不符合题意；
C. 立方根等于本身的数是和0，故该项不符合题意；
D. ，故该项不符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了立方根的性质，正数的立方根还是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是0，熟记性质是解题的关键．
变式1．（2022·江苏盐城·校考二模）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】B
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是找出一个立方为－8的数，考查了学生对基础知识的理解与掌握．
变式2．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根 C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
【答案】A
【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；
B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；
C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；
D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．
考点3、利用开立方解方程
例1．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【分析】（1）利用平方根解方程即可得；（2）方程两边同除以3得，再利用平方根解方程即可得；（3）利用立方根解方程即可得；（4）先将方程变形为，再利用立方根解方程即可得．
【详解】解：（1），
；
（2），
方程两边同除以3，得，
或，
或；
（3），
，
；
（4），
，
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
变式1．（2022·广西·河池七年级期中）求x的值：4（x－1）3＝32
【答案】3
【分析】整理后，利用立方根定义求解即可．
【详解】解： （x－1）3＝8，
x－1＝2，
x＝3，
【点睛】本题考查了立方根的定义，整体思想是解本题的关键．
变式2．（2022·新疆七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（2）先两边同时除以8，可得，两边开立方，即可求解；
（3）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（4）先移项，可得，两边开立方，即可求解．
(1)解：，
∴，即，
∴；
(2)解：
∴，
∴，
解得：；
(3)解：
∴，即，
解得：
(4)解：
∴，即，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
考点4、立方根的性质
例1．（2022·江苏·八年级期末）若，则与的关系是
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
【答案】C
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【详解】解：，，
与的关系是互为相反数（或，或．故选：C．
【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．
变式1．（2022·甘肃·统考模拟预测）若与互为相反数，则__________．
【答案】##-0.4
【分析】根据立方根的性质、相反数的定义可得到一个关于a、b的等式，由此化简整理即可得．
【详解】解：∵与互为相反数，∴5a-2+2+2b=0，即得5a=-2b，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根的概念，相反数的定义，由关系式求两数的比值，理解立方根和相反数的概念是解题的关键．
变式2．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，∴+=0，
∴，解得，
代入中，解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点5、立方根小数点位数移动规律
例1．（2022·福建·莆田七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
【答案】B
【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．
【详解】解：=154.2故选：B．
【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．
变式1．（2022·重庆梁平·七年级期末）已知，，，则______．
【答案】10.38
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【详解】解：∵，∴10.38．故答案为：10.38．
【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．
变式2．（2022·广西南宁·七年级期中）已知＝2.3928，＝1.1106，＝0.5155，则的值是（ ）
A．23.928 B．11.106 C．5.155 D．51.55
【答案】B
【分析】根据立方根的定义，结合“一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可．
【详解】解：；故选：B
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提，掌握一个数小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位是正确解答的关键．
.考点6、立方根的实际应用
例1．（2022·湖南·七年级期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
【答案】A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，∴垃圾池的底面边长大约是米．故选：A
【点睛】本题主要考查立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
变式1．（2022·福建·一模）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.我们知道球的体积公式为，那么利用开立圆术求直径相当于体积公式中的=_________
【答案】3.375
【分析】将代入，计算立方根即可得．
【详解】解：由题意，将代入得：，
，，
又，，即，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．
变式2.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间 (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
【解答】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
考点7、 算术平方根与立方根的综合运用
例1．（2022·河南·商丘七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
【答案】4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，∴a＝4，b＝3，
∴原式4．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
变式1．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6 (2)5a 3b+8的算术平方根为6
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)解：根据题意可得：，解得a＝2．
又由，把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27∴b＝－6．
(2)当a＝2，b＝－6时，∴5a－3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
变式2．（2022·利辛县七年级期中）已知3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3．
（1）求a，b的值；（2）求2a-b+1的算术平方根．
【答案】（1）a=5，b=2；（2）2a-b+1的算术平方根是3．
【分析】（1）根据题意及平方根、立方根可直接进行求解；
（2）由（1）及算术平方根的定义可进行求解．
【详解】解：（1）∵3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3，
∴，∴；
（2）由（1）可得：，
∵，∴2a-b+1的算术平方根为3．
【点睛】本题主要考查立方根、算术平方根及平方根，熟练掌握求一个数的立方根、算术平方根及平方根是解题的关键．
考点8、阅读材料与新定义问题考法
例1．（2022·北京·人大附中七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
变式1．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．
【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；
C.设则 且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；
D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．
【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．
变式2.（2022·福建福州七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，
∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022 仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
【分析】根据立方根的定义推导即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，
∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根，故选：A．
2．（2022·福建漳州市·八年级期中）按照下列程序进行计算，最后输出的答案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据程序图即可列出代数式；
【详解】解：根据题意得：最后输出的答案是；故选：B
【点睛】本题考查了利用流程图列代数式，掌握平方和平方根的定义是解题的关键
3．（2022·湖南益阳·八年级期末）下列各数，立方根一定是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：A．当时，，立方根不是负数，故本选项不符合题意；
B．当a=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意；
C．当a为任意数时，则，所以立方根一定是负数，故本选项符合题意．
C．当时，，则，立方根不是负数，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题关键．
4．（2022·广东阳江·七年级期末）的值为（ ）．
A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据“一个数的立方等于，那么就叫做的立方根”进行计算即可．
【详解】解：，的立方根为4，即，故选：C．
【点睛】本题考查立方根，解题的关键是理解立方根的定义：一个数的立方等于，那么就叫做的立方根．
5.（2022 瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．
【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，解得x＝2．
6．（2022·新疆·七年级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数有，0，1；②负数没有立方根；③；④任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数；⑤平方根等于它本身的数有0和1，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可；
【详解】解：①立方根等于它本身的数有，0，1；正确；
∵负数只有一个负的立方根，∴②错误；∵23=8≠6，∴③错误；
∵正数只有一个正的立方根，∴④错误；∵1的平方根为±1，∴⑤错误；综上所述①正确，故选： A．
【点睛】本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根），正数有两个平方根，它们互为相反数，0只有一个平方根，负数没有平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），正数只有一个正的立方根，负数只有一个负的立方根，零的立方根为零；掌握定义是解题关键．
7．（2022 清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
【思路点拨】根据平方根、立方根的意义求解即可．
【答案】解：∵02＝0，∴一个数的平方根是它的本身的数是0，
∵03＝0，（﹣1）3＝﹣1，13＝1，
∴一个数的立方根是它本身的数是﹣1或0或1，
∴一个数的平方根和立方根都是它本身的数为0，故选：A．
【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
8．（2022 梁平区期末）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
【答案】B
【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．
【解析】∵＝2.89，＝28.9，∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，
∴b＝103＝1000，故选：B．
【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中．
9．（2022·山东·滕州市八年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵ 与 是相反数，∴==
∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A．
【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．
10．（2022·山东薛城·八年级期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解．
【详解】解：∵﹣＝0，∴．
∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣3的算术平方根为．故选：A．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东单县初二期末）下列语句正确的是__________（只填序号）．
①的算术平方根是2； ②36的平方根是6；③的立方根是； ④的立方根是
【答案】④
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】解：①，2的算术平方根，故本选项错误；②36平方根是，故本选项错误；③的立方根是，故本选项错误；④的立方根是，故本选项正确；故答案是：④．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义．
12.（2022春 雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．
【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，
∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；
又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．
13．（2022·民勤县七年级期中）的平方根是______．＝______．
【答案】±2
【分析】根据算术平方根的概念及立方根的概念求解即可．
【详解】解：由题意可知：，故4的平方根为±2，，故答案为：±2，．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的概念，属于基础题，计算过程中细心即可．
14．（2022山东七年级期中）一般的，如果，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为，若，则m= ______．
【答案】±2
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
【详解】解：∵，∴m4＝24，∴m＝±2．故答案为：±2．
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
15．（2022·辽宁沈阳·统考二模）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是______ ．
【答案】
【分析】依据运算程序进行计算即可．
【详解】解：根据步骤，输入，先有，是有理数，
的立方根是，是有理数，
返回到第一步，取的算术平方根是，是无理数，
最后输出 故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是立方根（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根）、算术平方根的定义（一般地说，若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根），熟练掌握相关知识是解题的关键．
16．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正方体的棱长增加2cm后，体积为125cm3．这个正方体原来的棱长为___cm．
【答案】3
【分析】设这个正方体原来的棱长为xcm，根据正方体的体积公式计算即可．
【详解】解：设这个正方体原来的棱长为xcm，根据题意，得
（x+2）3＝125，
∴x+2＝5，
∴x＝3．
即这个正方体原来的棱长为3cm．
故答案为为：3．
【点睛】本题考查根据立方根的实际应用，解题关键是熟练掌握求立方根的方法，同时明确题意．
17．（2022 浙江七年级期中）已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，如图那样叠放在一起，这个物体的最高点A离地面的距离是________．
【答案】7
【分析】根据正方体的体积可求出各自的边长，从而可求出答案.
因为，所以答案为7.
【点睛】本题考查的是立方根的实际应用，熟知正方体的体积公式是解题的关键.
18．（2022 费县七年级期末）按照下面的思路可以口算得到＝39．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而33＝27，43＝64，由此可以确定十位上的数字是3；
类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么＝ ．
【思路点拨】根据题干中所提供的方法求解即可．
【答案】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由912673的个位上的数是3，可以确定个位上的数是7；
（3）如果划去912673后面的三位数673得到数912，而93＝729，103＝1000，由此可以确定十位上的数字是9；所以＝97，故答案为：97．
【点睛】本题考查立方根，理解题干中所提供的计算方法是得出正确答案的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·安徽合肥·统考二模）计算：．
【答案】-2.6
【分析】利用开平方、开立方进行运算后，再进行加减法运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握开方运算是解决本题的关键．
20．（2022·山西浑源初二期中）求下列各式中的x值:
（1）16（x+1）2＝25; （2）8（1﹣x）3＝125
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据立方根，即可解答．
【解析】解：（1）等式两边都除以16，得.
等式两边开平方，得.
所以，得. 所以，
（2）等式两边都除以8，得.
等式两边开立方，得. 所以，
【点睛】本题考查平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、立方根．
21．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求3a+10b+c的平方根．
【答案】(1)(2)的平方根为
【分析】（1）根据立方根和平方根、算术平方根的定义求解即可；
（2）将所求的a、b、c代入求解即可．
（1）解：根据题意可知，
，解得，
，解得，，∴；
（2）解：当时，
，
∵36的平方根为．
∴的平方根为．
【点睛】本题考查立方根和平方根、算术平方根，正确求出a、b、c是解答的关键．
22.（2022·山东七年级期中）本学期《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”．
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：（1）探索定义：填写下表：
x4 1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③的四次方根是 ；
④12的四次方根是 ；⑤0的四次方根是 ；⑥﹣625 （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？（请写出两个)．
【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【分析】（1）计算即可求解；（2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根．（3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【详解】解：（1）填写表格如下：
x4 1 16 81
x 1 2 3
（2）①1的四次方根是：1；②16的四次方根是：2；
③的四次方根是：；④12的四次方根是：；
⑤0的四次方根是：0；⑥﹣625没有（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．
（3）拓展应用：在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节．
23．（2022 杭州七年级月考）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数点后两位）？（球的体积公式是，其中是球的半径）
【答案】分米
【分析】根据球的体积公式求出半径的立方，然后根据立方根的定义解答．
【解析】解：当V=500升时，有πR3=500，
则R3=，解得R≈4.92．
答：这种球形容器的半径是4.92分米．
【点睛】本题考查了立方根，根据球的体积公式求出半径的立方是解题的关键．
24．（2022 湖北七年级月考）(1)求下列算式的值：
① ，；② ，；③ ，；
(2)通过上述计算，试比较 与的大小关系．
【答案】（1）①， ；②-4，-4；③，；（2）
【分析】（1）掌握解一个数的立方根，即可求解该题，但应注意一个负数的立方根应也为负数；
（2）立方根内的负号可提到立方根外，即可得两个立方根的大小关系．
【解析】解：（1）①，；
②，；
③，，
（2）．
【点睛】本题主要考查了解一个数的立方根和比较实数的大小，解题的关键在于掌握立方根的定义，并要注意一个负数的立方根应也为负数．
25．（2022 浙江七年级月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
【答案】（1）59319的立方根是2位数；（2）59319的立方根的个位数是9；（3）59319的立方根的十位数是3；（4）57．
【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可；
（2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可；
（3）利用（2）中的方法判断出个数数字；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【解析】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴，
∴59319的立方根是2位数．故答案为：2．
（2）∵，且59319的个位数字是9，
∴59319的立方根的个位数字是9．
故答案为：9．
（3）∵27＜59＜64，
∴59319的立方根的十位数字是3．
故答案为：3．
（4）∵，，
∴，
∴185193的立方根是一个两位数，
又∵185193的最后一位是3，
∴它的立方根的个位数是7，
185193去掉后3位，得到185，
∵，
∴立方根的十位数是5，则立方根一定是57．
故答案为：57．
【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．
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专题3.3 立方根
模块1：学习目标
1、了解立方根的含义；
2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算，
3、了解立方根的性质；
4、区分立方根与平方根的不同。
模块2：知识梳理
1）立方根的定义:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
2）立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
3）立方根的性质
注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
4）立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
模块3：核心考点与典例
考点1、立方根的概念理解
例1．（2022·河北邢台·八年级期末）表示（ ）
A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数
变式1.（2022 仓山区八年级期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
变式2．（2022·浙江·杭州七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都只有一个 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
考点2、求一个数的立方根
例1．（2022·海南·儋州八年级阶段练习）下列语句中正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．8的立方根是
C．立方根等于本身的数是 D．
变式1．（2022·江苏盐城·校考二模）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
变式2．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根 C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
考点3、利用开立方解方程
例1．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式1．（2022·广西·河池七年级期中）求x的值：4（x－1）3＝32
变式2．（2022·新疆七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
考点4、立方根的性质
例1．（2022·江苏·八年级期末）若，则与的关系是
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
变式1．（2022·甘肃·统考模拟预测）若与互为相反数，则__________．
变式2．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
考点5、立方根小数点位数移动规律
例1．（2022·福建·莆田七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
变式1．（2022·重庆梁平·七年级期末）已知，，，则______．
变式2．（2022·广西南宁·七年级期中）已知＝2.3928，＝1.1106，＝0.5155，则的值是（ ）
A．23.928 B．11.106 C．5.155 D．51.55
.
考点6、立方根的实际应用
例1．（2022·湖南·七年级期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
变式1．（2022·福建·一模）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式.我们知道球的体积公式为，那么利用开立圆术求直径相当于体积公式中的=_________
变式2.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间 (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
考点7、 算术平方根与立方根的综合运用
例1．（2022·河南·商丘七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
变式1．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
变式2．（2022·利辛县七年级期中）已知3a+b-1的平方根为±4，5a+2的立方根为3．
（1）求a，b的值；（2）求2a-b+1的算术平方根．
考点8、阅读材料与新定义问题考法
例1．（2022·北京·人大附中七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
变式1．（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A．16的4次方根是2
B．32的5次方根是
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小
D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
变式2.（2022·福建福州七年级期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，
∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022 仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（ ）
A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根
C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根
2．（2022·福建漳州市·八年级期中）按照下列程序进行计算，最后输出的答案是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南益阳·八年级期末）下列各数，立方根一定是负数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东阳江·七年级期末）的值为（ ）．
A．8 B． C．4 D．
5.（2022 瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（ ）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
6．（2022·新疆·七年级期末）下列说法：①立方根等于它本身的数有，0，1；②负数没有立方根；③；④任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数；⑤平方根等于它本身的数有0和1，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022 清河县期末）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
8．（2022 梁平区期末）若＝2.89，＝28.9，则b等于（ ）
A．1000000 B．1000 C．10 D．10000
9．（2022·山东·滕州市八年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022·山东薛城·八年级期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东单县初二期末）下列语句正确的是__________（只填序号）．
①的算术平方根是2； ②36的平方根是6；③的立方根是； ④的立方根是
12.（2022春 雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ，b＝ ．
13．（2022·民勤县七年级期中）的平方根是______．＝______．
14．（2022山东七年级期中）一般的，如果，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为，若，则m= ______．
15．（2022·辽宁沈阳·统考二模）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是______ ．
16．（2022·陕西西安·模拟预测）一个正方体的棱长增加2cm后，体积为125cm3．这个正方体原来的棱长为___cm．
17．（2022 浙江七年级期中）已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，如图那样叠放在一起，这个物体的最高点A离地面的距离是________．
18．（2022 费县七年级期末）按照下面的思路可以口算得到＝39．
（1）由103＝1000，1003＝1000000，能确定是个两位数；
（2）由59319的个位上的数是9，可以确定个位上的数是9；
（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而33＝27，43＝64，由此可以确定十位上的数字是3；
类比以上思路，已知912673是整数的立方，那么＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·安徽合肥·统考二模）计算：．
20．（2022·山西浑源初二期中）求下列各式中的x值:
（1）16（x+1）2＝25; （2）8（1﹣x）3＝125
21．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）已知：3a+21的立方根是3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求3a+10b+c的平方根．
22.（2022·山东七年级期中）本学期《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”．
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：（1）探索定义：填写下表：
x4 1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③的四次方根是 ；
④12的四次方根是 ；⑤0的四次方根是 ；⑥﹣625 （填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？（请写出两个)．
23．（2022 杭州七年级月考）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米（结果保留小数点后两位）？（球的体积公式是，其中是球的半径）
24．（2022 湖北七年级月考）(1)求下列算式的值：
① ，；② ，；③ ，；
(2)通过上述计算，试比较 与的大小关系．
25．（2022 浙江七年级月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
（1），你能确定59319的立方根是几位数吗？
（2）由59319的个位数是9，你能确定59319的立方根的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗？
（4）已知185193是一个整数的立方根，请按上述方法求出它的立方根．
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