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专题3.4 实数的运算
模块1：学习目标
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块2：知识梳理
1）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
3）实数的运算结果
涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。
实数的大小比较方法：根式变换法、平方法等。
注意：数轴上的点与实数一一对应关系
实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）
模块3：核心考点与典例
考点1、实数的混合运算
例．（2022·重庆·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
变式1．（2022·浙江·七年级期中）计算：(1) (2)
变式2．（2022·山东济宁·七年级期末）计算：
(1)．(2)．
考点2程序设计与实数运算
例1．（2022·河北·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7
变式1．（2022·浙江七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
变式2．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（ ）
A．9 B．11 C．17 D．19
考点3、新定义下的实数运算
例1．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此__________；若，则__________．
变式1.（2022春·山东青岛·八年级统考期末）现规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为______．
变式2．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算：______．
考点4、实数运算的规律问题
例1.（2022·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
变式1．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是_____________；第9行从左至右第8个数是_______．
变式2．（2022·眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
考点5、实数运算的实际应用
例1．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆_______C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
变式2.（2022·安徽七年级期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）.（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·兴城市滨海经济区学校七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B． C．-＝-8 D．
3．（2022·陕西商洛·七年级期末）计算的结果是（ ）
A．3 B．7 C． D．
3．（2022·江苏·七年级期中）如图，在数轴上点表示的数为1，在点的右侧作一个边长为1的正方形，对角线的长度为，将对角线绕点逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西吕梁·七年级期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数 ，例如10 21=，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
6．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A． B．3 C．6 D．3
7．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2022·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东广州·八年级期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ）
A．8 B．48 C． D．
10．（2022·四川·七年级期末）化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．5－2 D．2－5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·杭州七年级期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是_____．
12．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．
13．（2022·山东·七年级期中）如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 _____．
14．（2022·浙江·余姚七年级期中）对于能使式子有意义的有理数，定义新运算：△．如果则△（△）= _____ ．
15．（2022·山西吕梁·七年级期中）定义一种新运算：对于任意实数，，都有，则______．
16．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）计算______．
17．（2022·湖北荆门·七年级期末）计算：______．
18．（2022·江苏南通七年级月考）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·重庆渝中·七年级校考阶段练习）实数的计算：
(1)；(2)．
20．（2022·浙江台州·七年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
21．（2022·河南濮阳市·七年级期中）计算下列各题
（1） （2）
22．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)（解方程）
23．（2022·广西河池·八年级期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(2)已知，其中x是整数，且，求的值．
24．（2022春·浙江·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
25．（2022·江苏八年级月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
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专题3.4 实数的运算
模块1：学习目标
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
模块2：知识梳理
1）实数的运算规则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。
2）实数的运算顺序：实数的混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里的。
3）实数的运算结果
涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。
实数的大小比较方法：根式变换法、平方法等。
注意：数轴上的点与实数一一对应关系
实数的四则运算：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用（交换律、结合律、分配律）
模块3：核心考点与典例
考点1、实数的混合运算
例．（2022·重庆·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·七年级期中）计算：(1) (2)
【答案】(1)-3；(2)6-．
【分析】（1）先计算算术平方根以及立方根，再算加减法，即可求解；
（2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再算加减法，即可求解．
（1）解：
=4-2-5
=-3；
（2）解：
=9-2-3+2-
=6-．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
变式2．（2022·山东济宁·七年级期末）计算：
(1)．(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的概念以及绝对值化简，再进行加减运算即可；
（2）先将根据算术平方根、立方根的概念化简并计算乘方，再进行加减运算即可．
（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根的概念，乘方运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．
考点2程序设计与实数运算
例1．（2022·河北·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．3+ B．15+ C．3+3 D．15+7
【答案】D
【分析】按所示的程序将输入，结果为，小于15；再把作为n再输入，所得结果大于15，则就是输出结果，所得结果小于15，再次循环输入，直到输出结果．
【详解】解：当时，
当时，，故选：D．
【点睛】本题以一种新的运算程序考查了实数的运算，解题关键判断结果与15的大小，要注意两方面：①新的运算程序要准确；②实数运算要准确．
变式1．（2022·浙江七年级期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．
【答案】2．
【分析】读懂计算程序，把x=－3代入，按计算程序计算，直到结果是无理数即可．
【详解】
当输入x，若＝2的结果是无理数，即为输出的数，
当x＝﹣3时，2＝2，不是无理数，
因此，把x＝2再输入得，2＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算法则是关键．
变式2．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（ ）
A．9 B．11 C．17 D．19
【答案】A
【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．
【详解】解：∵输入，，，即走“否”的路径，
∴，输出结果为9，故选：A
【点睛】本题考查了实数运算的程序设计，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．
考点3、新定义下的实数运算
例1．（2022秋·湖南湘西·七年级统考期末）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此__________；若，则__________．
【答案】 1或##或1
【分析】根据新定义运算.分类讨论即可求出答案．
【详解】解：∵，∴；
由于，
当时，即，∴，
∴，∴或（舍去），
当时，∴，∴，
∴，∴，∴（舍去）或，
当时，此时，∴，不符合题意，
综上所述，或．故答案为：，或．
【点睛】本题考查比较实数的大小，解方程，新定义的实数运算，解题的关键是分类讨论进行求解．
变式1.（2022春·山东青岛·八年级统考期末）现规定一种运算：，其中，为实数．例如：，则的值为______．
【答案】
【分析】根据新定义运算法则，结合算术平方根和立方根的定义，求解即可．
【详解】解：，
∴的值为．故答案为：
【点睛】本题考查新定义运算、算术平方根和立方根的定义，解本题的关键在理解新定义运算的运算法则．
变式2．（2022·黑龙江双鸭山·七年级期中）定义新运算：对于a，b有，如，根据定义新运算，计算：______．
【答案】8
【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案．
【详解】解：∵，∴，故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
考点4、实数运算的规律问题
例1.（2022·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
【答案】A
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，∵2021÷3＝673…2，∴这一列数中的第2021个数应是，故选：A．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
变式1．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是_____________；第9行从左至右第8个数是_______．
【答案】
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案．
【详解】解：第1行最后一个数为，第2行最后一个数为，
第3行最后一个数为，...
∴第n行最后一个数为，
∵第4行最后一个数为，∴第5行从左至右第2个数是，即，
∵第9行最后一个数为=，第9行有9个数，
∴第9行从左至右第8个数是，即，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
变式2．（2022·眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【答案】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：，，，；，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
考点5、实数运算的实际应用
例1．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．4－5 B．3 C．4－ D．4＋
【答案】A
【分析】首先根据面积确定大长方形的长和宽，然后再利用长方形的面积减去两个小正方形的面积．
【详解】解：两个面积分别为16和5的正方形，
大正方形的边长为4，小正方形的长为，阴影部分的长方形的宽为，长为，
阴影部分图形的面积和为：，故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，关键是正确理解题意，确定长方形的长和宽．
变式1．（2022·湖北武汉·七年级期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm；（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆_______C正（填“＝”或”＜”或“＞“号）（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为5：4，他能裁出吗？请说明理由？
【答案】（1）；（2）＜；（3）能裁出这样的长方形纸片，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积即可求得；（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，分别求得C圆与C正，再比较大小可得到结论；（3）设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，令5x 4x=300，得到，求得长方形的长为，由于，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵两个边长为1cm的小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为=2， ∴大正方形的边长为；故答案为：；
（2）设圆的半径为r，正方形的边长为a，∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2πcm2，
，，∴，，∴，，
∵，∴，故答案为：<；
（3）能裁出，理由如下：设长方形的长为5xcm，宽为4xcm，则5x 4x=300，解得：，
∵x>0，∴，∴长方形的长为，∵，∴正方形的边长为20cm，
∵，∴能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】本题考查了算术平方根，正方形的面积公式，圆的面积公式，无理数的估算，正确的理解题意是解题的关键．
变式2.（2022·安徽七年级期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，
（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？（直接写结果）.（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求（y﹣）x的值．
【答案】（1）小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近；（2）；（3）4
【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算在2和3之间；（2）根据有理数的乘方求出两个正方形的面积，然后根据阴影部分的面积的和为一个矩形的面积列式计算即可得解；
（3）根据小正方形边长为，估算出x和y的值，再代入求值即可．
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，
∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；与整数2比较接近．
（2）∵阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3﹣）的矩形面积，
∴阴影部分的面积＝．
（3）∵小正方形的边长为，∴x＝2，y＝，∴原式＝，＝4.
【点睛】本题主要考查二次根式运算的实际应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的运算法则.
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·云南·七年级期中）下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、绝对值的性质逐项判断即可．
【详解】A. ，故错误；
B. 由于，所以，故正确；C. ，故错误；
D. ，故错误；故答案为：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的概念、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握其定义和性质．
2．（2022·辽宁·兴城市滨海经济区学校七年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．＝±2 B． C．-＝-8 D．
【答案】D
【分析】根据立方根，算术平方根的定义求解判断即可．
【详解】解：A、=2，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2022·陕西商洛·七年级期末）计算的结果是（ ）
A．3 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：，故选A．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2022·江苏·七年级期中）如图，在数轴上点表示的数为1，在点的右侧作一个边长为1的正方形，对角线的长度为，将对角线绕点逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据BM=即可求点M表示的数．
【解析】∵BM=BC=∴OM=BM-OB=-1 ∴点M表示的数为：1-．故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴，注意点M在负半轴是求解本题的关键．
5．（2022·山西吕梁·七年级期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数 ，例如10 21=，那么的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据新运算的定义计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴======4，故选：C．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键．
6．（2022·安徽合肥·七年级期中）对任意两个实数a、b定义两种运算：a▲b=，a▼b=并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（-2）▲3=3、（-2）▼3=-2、（（-2）▲3））▼2=2，那么（▲2）▼等于（ ）
A． B．3 C．6 D．3
【答案】A
【分析】根据新定义先计算▲2，进而计算▼=，即可求解．
【详解】依题意，a▲b=，a▼b=
▲2， ，▼=
（▲2）▼=▼3= 故选A
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，无理数的大小比较，理解新定义是比较两数的大小是解题的关键．
7．（2022·福建福州·七年级期中）有个数值转换器，程序原理如图．当输入时，输出n的值等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】把m=27按程序原理求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n的值．
【详解】解：当m=27时 27的立方根为3，3是有理数，
3的立方根是，是无理数，则输出，所以输出n=，故选：C．
【点睛】本题考查无理数，立方根，理解程序原理：将数m求立方根，立方根是有理数时，继续取立方根，直到取出的立方根是无理数时，则是n值是解题的关键．
8．（2022·湖北黄冈·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A．根据实数减法的运算方法判断即可；
B．根据绝对值的非负性判断即可；
C．根据一个数的算术平方根的求法判断即可；
D．根据一个数的立方根的求法判断即可．
【详解】解：A、∵，∴选项A不正确；
B、∵，∴选项B不正确；C、∵，∴选项C不正确；
D、∵，∴选项D正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行；另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用；熟练运用相应的法则来计算是解题的关键．
9．（2022·广东广州·八年级期末）定义新运算“※”的运算法则为：当，时，．例如：．那么的值是（ ）
A．8 B．48 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中所给的新定义法则进行计算即可．
【详解】解：∵当，时，有，
∴＝；故选：A．
【点睛】本题考查的是实数的运算，根据题意得出代数式是解答此题的关键．
10．（2022·四川·七年级期末）化简|2－|＋|－3|的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．5－2 D．2－5
【答案】B
【分析】先化简绝对值，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式＝ 故选B
【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022·杭州七年级期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入为8时，输出的值是_____．
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【解析】解：当输入是8时，取立方根是2，2是有理数，
再把2输入，2的立方根是，是无理数，
所以输出是．故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是注意读懂数值转换器．
12．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．
【答案】
【分析】找到规律即可完成．
【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的规律探索问题，善于观察并找到算式的规律是关键．
13．（2022·山东·七年级期中）如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为 _____．
【答案】
【分析】求出点A到原点的距离，确认A的符号，就是点表示的数．
【解析】∵O点为-2，点A在原点的右侧，
∴当OA与数轴重合时，点A到原点的距离是，
∴点A表示的数是．故答案为：．
【点睛】本题考查的是数轴上的点，解题关键是算出点到原点的距离，加上性质符号就是表示的实数．
14．（2022·浙江·余姚七年级期中）对于能使式子有意义的有理数，定义新运算：△．如果则△（△）= _____ ．
【答案】
【分析】先根据算式平方根与绝对值的非负性求得x、y、z，再根据新运算法则列出算式求解即可．
【详解】解：∵，∴，，，
解得：，，，由新运算得：△=（-2）△（-3）=，
∴△（△）=1△8=，故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、新定义下的实数运算，理解新定义运算法则，利用非负性求得x、y、z是解答的关键．
15．（2022·山西吕梁·七年级期中）定义一种新运算：对于任意实数，，都有，则______．
【答案】##
【分析】先根据新运算的规定，把要计算的式子化简为实数的运算形式，在利用完全平方公式计算.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解新运算的规定是解题关键．
16．（2022·重庆九龙坡·七年级期末）计算______．
【答案】##
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的意义进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解： 故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义，是解题的关键．
17．（2022·湖北荆门·七年级期末）计算：______．
【答案】
【分析】利用立方根的性质，算术平方根的性质，绝对值的性质计算即可．
【详解】故答案为：
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题的关键．
18．（2022·江苏南通七年级月考）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
【答案】
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.
【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+，
可得，解得: ，故，故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·重庆渝中·七年级校考阶段练习）实数的计算：
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；
（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
20．（2022·浙江台州·七年级校考期中）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据实数的混合运算，二次根式的运算即可求解；
（2）根据二次根式，三次根式的运算，绝对值的性质即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及实数的混合运算法则是解题的关键．
21．（2022·河南濮阳市·七年级期中）计算下列各题
（1） （2）
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）先算乘方和开方，再算加减法；（2）先去绝对值，再合并．
【详解】解：（1）==6；
（2）==
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
22．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）计算
(1) (2)
(3) (4)（解方程）
【答案】(1)(2)2(3)(4)或
【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可；（2）根据实数的混合计算法则求解即可；
（3）根据实数的混合计算法则求解即可；（4）根据求平方根的方法解方程即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：∵，
∴，∴，
∴或，∴或．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
23．（2022·广西河池·八年级期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是小明用来表示的小数部分．请解答下列问题：
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(2)已知，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（2）估算无理数10+的大小，根据题意确定x、y的值，代入计算后再求其相反数即可．
（1）∵2＜＜3，∴的小数部分a=-2，
又∵3＜＜4，∴的整数部分b=3，
∴；
（2）∵1＜＜2，∴11＜10+＜12，
又∵10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=11，y=10+-11=-1，∴．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提．
24．（2022春·浙江·七年级专题练习）探究题：
(1)计算下列各式，完成填空：
＝6，＝ ，＝ ，＝
(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：．
【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0），
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．
【详解】（1），，；故答案为：6，，；
（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．
故答案为： （a≥0，b≥0），
【点睛】本题考查实数运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
25．（2022·江苏八年级月考）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意得，
∵a，b都是有理数，
∴也是有理数，
∵是无理数，
∴，
∴，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
【答案】8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【详解】解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
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