2023年浙教版数学八年级上册1.2 定义与命题 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·中江期末）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，
∵ 都是锐角，
∴∠A+∠B=90°，
∴此项可作为反例；
故答案为：C.
【分析】能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，据此解答即可.
2．（2023七下·扬州月考）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线和垂直吗？
B．过线段的中点作的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行
D．已知，求的值
【答案】C
【知识点】平行线的判定；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、是问句，不是命题，A不符合题意，
B、是作图过程，不是命题，B不符合题意，
C、是对一件事情作出判断，是命题，C符合题意；
D、是问题，不是命题，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：对一个事件作出判断的语句，根据定义逐一判定即可.
3．（2020八上·临湘期中）下列语句中是命题的有（ ）个
⑴三角形的内角和等于 ；⑵如果 ，那么 ；⑶1月份有30天；⑷作一条线段等于已知线段；⑸一个锐角与一个钝角互补吗？
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）三角形的内角和等于 ，是命题；（2）如果 ，那么 ，是命题；（3）1月份有30天，是命题； （4）作一条线段等于已知线段，不是命题；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？不是命题，
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义逐项判定即可。
4．（2023七下·云阳期中）下列说法错误的个数是（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、垂直和平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，故①不正确；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②不正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④不正确；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故⑤不正确；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故⑥正确，
综上所述，不正确的是①②④⑥共4个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
5．（2023七下·永年期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
6．（2023七下·济南期中）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③三角形的三条高线所在直线交于一点；④如果，那么；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，原命题为假命题；
②两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题为假命题；
③三角形的三条高线所在直线交于一点，原命题为真命题；
④如果，那么或x＜0，原命题为假命题；
⑤过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题；
∴真命题有1个，
故答案为：A
【分析】根据真命题和假命题的定义结合平行线的判定与性质、实数即可求解。
7．（2023七下·孝义期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
②两直线平行，同旁内角相等
③4的平方根是
④的立方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；平行线的性质；平行线的定义与现象；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，为真命题；
②两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，为假命题；
③4的平方根是，原说法正确，为真命题；
④的立方根是，原说法正确，为真命题；
∴真命题的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据真命题和假命题、平行线的性质、平行线的定义、平方根、立方根对选项逐一判断即可求解。
8．（2023七下·江夏期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
B．，则
C．与互为相反数，则与互为相反数
D．的平方根是2
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方根；立方根及开立方；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线平行，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、与互为相反数，则与互为相反数，原命题是真命题，故本选项符合题意；
D、因为，则的平方根是，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可判断A；根据可得a=±b，据此判断B；根据立方根的概念可判断C；根据平方根的概念可判断D.
9．（2023七下·夏津期中）下列说法：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①对顶角相等是假命题，①不符合题意；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，②不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行是假命题，③不符合题意；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是假命题，④不符合题意；
⑤直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离是真命题，⑤符合题意；
∴正确的是⑤，
故答案为：A.
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
10．（2023七下·晋安期中）下列命题：①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与；③无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；是真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①立方根是它本身的数有0，，共3个，故①为真命题；
②的立方根是，故②是假命题；
③的立方根为，故③是假命题；
④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故④为真命题；
综上，真命题是①④；
故答案为：C.
【分析】若a3=b，则a为b的立方根，据此判断.
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022七下·定州月考）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等；真命题
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题符合题意，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
【分析】根据命题的定义及真命题和假命题的定义求解即可。
12．（2023七下·福州期中）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则 .”
【答案】a⊥c
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c.
故答案为：a⊥c.
【分析】若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，则平行线中的另一条垂直于该直线.
13．（2023八上·慈溪期末）能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 .
【答案】，
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若两个角，互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，
如，，
故答案为：，.
【分析】原命题为假命题时，应满足两个角均为直角，据此解答.
14．（2022八上·东阳期中）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 .
【答案】-4（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝-4时，|a|＝4＞3，而-4＜-3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：-4（答案不唯一）.
【分析】原命题为假命题时，应满足|a|>3，但a≤3，据此解答.
15．（2023七下·深圳期中）下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条高交于一点；④有公共顶点且相等的两个角是对顶角；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中正确的个数是 ．
【答案】2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故①不符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③三角形的三条高所在的直线交于一点，故③不符合题意；
④有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，故④不符合题意；
⑤平行于同一条直线的两条直线平行，故⑤符合题意；
故答案为：2
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
16．（2023七下·三台期中）如图，现有以下3个论断：①；②；③．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题．
【答案】3
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题意得可以构造三个命题：
（1）①②为条件，③为命题；（2）①③为条件，②为命题；（3）②③为条件，①为命题；
（1）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴，故（1）中命题为真命题；
（2）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴，故（2）中命题为真命题；
（3）∵，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵，
∴∠B=∠CDF，
∴，故（3）中命题为真命题；
综上所述：共有3个真命题，
故答案为：3
【分析】先根据题意判断出三个命题，分别运用平行线的判定与性质求解即可命题的正误。
三、解答题（共9题，共69分）
17．判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
【答案】解：①假命题，锐角三角形；
②假命题，a=2，b=5，c=3；
③真命题；
④假命题，n=11
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形、钝角三角形进而再根据三类三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边即可判断该命题是假命题，反例是： a=2，b=5，c=3 ，满足 a+b>c ，但不能围成三角形；
（3）根据能被5整除的数的特点即可判断；
（4）约数只有1和它本身的数就是质数，根据定义判断该命题的真假，举出的反例只要能满足命题的题设，同时又不满足命题的结论即可.
18．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
19．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
【答案】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定分析得出即可．
20．（2022七下·乐亭期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
21．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
22．（2022八下·靖江月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF.
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.在保证命题正确的情况下，你选择的条件是 ，结论是 .（只要填写序号）.
（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性.
【答案】（1）②③；①
（2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，
∴∠CEB=∠BFD，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠DBF=∠CBE，
∴BE平分∠ABC.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；角平分线的定义；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是②③，结论是①；
故答案为：第一空②③，第二空①；
【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；
（2）以②③为条件，易得 ∠CEB=∠BFD， 根据等角的余角相等得∠DBF= ∠CBE，即可得证.
23．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，
理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2) 设两个角分别为x和2x-30°，
由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得：x=30°或70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°．
【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ；
② 根据①中的结论总结即可；
(2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.
24．（2023七下·连江期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
（Ⅰ）
Ⅱ （Ⅱ）
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
【答案】（1）解：两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等
（2）解：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题；证明过程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求证，再根据两直线平行，同位角相等求证，最后利用等量代换即可证明么；
（2）根据两直线平行同旁内角互补求证，利用及等量代换即可证明.
25．（2022七下·永善期中）已知，和中，，．试探究：
（1）如图1，写出与的关系，并说明理由；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【答案】（1）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
（2）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠1，∠1=∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1=180°，∠E=∠1，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.2 定义与命题 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·中江期末）下列选项中，能说明命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·扬州月考）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线和垂直吗？
B．过线段的中点作的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行
D．已知，求的值
3．（2020八上·临湘期中）下列语句中是命题的有（ ）个
⑴三角形的内角和等于 ；⑵如果 ，那么 ；⑶1月份有30天；⑷作一条线段等于已知线段；⑸一个锐角与一个钝角互补吗？
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023七下·云阳期中）下列说法错误的个数是（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、垂直和平行；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线平行；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2023七下·永年期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A． B． C．0 D．
6．（2023七下·济南期中）下列命题中，真命题有（ ）
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③三角形的三条高线所在直线交于一点；④如果，那么；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023七下·孝义期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
②两直线平行，同旁内角相等
③4的平方根是
④的立方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023七下·江夏期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
B．，则
C．与互为相反数，则与互为相反数
D．的平方根是2
9．（2023七下·夏津期中）下列说法：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离．其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023七下·晋安期中）下列命题：①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与；③无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；是真命题的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
二、填空题（每空3分，共21分）
11．（2022七下·定州月考）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）．
12．（2023七下·福州期中）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则 .”
13．（2023八上·慈溪期末）能说明命题：“若两个角，互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”是假命题的反例是 .
14．（2022八上·东阳期中）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 .
15．（2023七下·深圳期中）下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条高交于一点；④有公共顶点且相等的两个角是对顶角；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中正确的个数是 ．
16．（2023七下·三台期中）如图，现有以下3个论断：①；②；③．如果以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成 个真命题．
三、解答题（共9题，共69分）
17．判断下面命题的真假，若是假命题，请举出反例说明:
①一个三角形的3个内角中至少有1个钝角；
②若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形；
③个位数字是5的整数，能被5整除；
④对于所有的自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数；
18．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角中，， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
19．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．
20．（2022七下·乐亭期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
21．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
22．（2022八下·靖江月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF.
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题.在保证命题正确的情况下，你选择的条件是 ，结论是 .（只要填写序号）.
（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性.
23．（2021八上·绍兴开学考）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
24．（2023七下·连江期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点在的延长线上，请从①；②；③中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：
（Ⅰ）
Ⅱ （Ⅱ）
（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
25．（2022七下·永善期中）已知，和中，，．试探究：
（1）如图1，写出与的关系，并说明理由；
（2）如图2，写出与的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，
∵ 都是锐角，
∴∠A+∠B=90°，
∴此项可作为反例；
故答案为：C.
【分析】能说明命题"两个锐角的和是锐角"是一个假命题的反例，需求出两锐角的和大于或等于90°，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、是问句，不是命题，A不符合题意，
B、是作图过程，不是命题，B不符合题意，
C、是对一件事情作出判断，是命题，C符合题意；
D、是问题，不是命题，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据命题的定义：对一个事件作出判断的语句，根据定义逐一判定即可.
3．【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）三角形的内角和等于 ，是命题；（2）如果 ，那么 ，是命题；（3）1月份有30天，是命题； （4）作一条线段等于已知线段，不是命题；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？不是命题，
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交和平行，故①不正确；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故②不正确；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故③正确；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④不正确；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故⑤不正确；
⑥若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故⑥正确，
综上所述，不正确的是①②④⑥共4个，
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
6．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，原命题为假命题；
②两条平行的直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题为假命题；
③三角形的三条高线所在直线交于一点，原命题为真命题；
④如果，那么或x＜0，原命题为假命题；
⑤过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为假命题；
∴真命题有1个，
故答案为：A
【分析】根据真命题和假命题的定义结合平行线的判定与性质、实数即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平方根；立方根及开立方；平行线的性质；平行线的定义与现象；真命题与假命题
【解析】【解答】解：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，为真命题；
②两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，为假命题；
③4的平方根是，原说法正确，为真命题；
④的立方根是，原说法正确，为真命题；
∴真命题的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据真命题和假命题、平行线的性质、平行线的定义、平方根、立方根对选项逐一判断即可求解。
8．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；平方根；立方根及开立方；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线平行，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、与互为相反数，则与互为相反数，原命题是真命题，故本选项符合题意；
D、因为，则的平方根是，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质可判断A；根据可得a=±b，据此判断B；根据立方根的概念可判断C；根据平方根的概念可判断D.
9．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①对顶角相等是假命题，①不符合题意；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，②不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行是假命题，③不符合题意；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是假命题，④不符合题意；
⑤直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离是真命题，⑤符合题意；
∴正确的是⑤，
故答案为：A.
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
10．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①立方根是它本身的数有0，，共3个，故①为真命题；
②的立方根是，故②是假命题；
③的立方根为，故③是假命题；
④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故④为真命题；
综上，真命题是①④；
故答案为：C.
【分析】若a3=b，则a为b的立方根，据此判断.
11．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等；真命题
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题符合题意，是真命题，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题．
【分析】根据命题的定义及真命题和假命题的定义求解即可。
12．【答案】a⊥c
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c.
故答案为：a⊥c.
【分析】若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，则平行线中的另一条垂直于该直线.
13．【答案】，
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若两个角，互补，则这两个角不一定一个是锐角一个是钝角，
如，，
故答案为：，.
【分析】原命题为假命题时，应满足两个角均为直角，据此解答.
14．【答案】-4（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝-4时，|a|＝4＞3，而-4＜-3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：-4（答案不唯一）.
【分析】原命题为假命题时，应满足|a|>3，但a≤3，据此解答.
15．【答案】2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故①不符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③三角形的三条高所在的直线交于一点，故③不符合题意；
④有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，故④不符合题意；
⑤平行于同一条直线的两条直线平行，故⑤符合题意；
故答案为：2
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
16．【答案】3
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：由题意得可以构造三个命题：
（1）①②为条件，③为命题；（2）①③为条件，②为命题；（3）②③为条件，①为命题；
（1）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴，故（1）中命题为真命题；
（2）∵，
∴∠B=∠CDF，
∵CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴，故（2）中命题为真命题；
（3）∵，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵，
∴∠B=∠CDF，
∴，故（3）中命题为真命题；
综上所述：共有3个真命题，
故答案为：3
【分析】先根据题意判断出三个命题，分别运用平行线的判定与性质求解即可命题的正误。
17．【答案】解：①假命题，锐角三角形；
②假命题，a=2，b=5，c=3；
③真命题；
④假命题，n=11
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形按角分类可以分为：锐角三角形，直角三角形、钝角三角形进而再根据三类三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边即可判断该命题是假命题，反例是： a=2，b=5，c=3 ，满足 a+b>c ，但不能围成三角形；
（3）根据能被5整除的数的特点即可判断；
（4）约数只有1和它本身的数就是质数，根据定义判断该命题的真假，举出的反例只要能满足命题的题设，同时又不满足命题的结论即可.
18．【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°∠A，
∴∠BCD=∠ACB∠ACD=（90°∠A）（90°∠A）=∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=（180°∠A）=90°∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=∠A。
19．【答案】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，
当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，
理由：∵∠B=∠E，
∴AB∥DE．
【知识点】平行线的判定；真命题与假命题
【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定分析得出即可．
20．【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
21．【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
22．【答案】（1）②③；①
（2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，
∴∠CEB=∠BFD，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠DBF=∠CBE，
∴BE平分∠ABC.
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理；角平分线的定义；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是②③，结论是①；
故答案为：第一空②③，第二空①；
【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；
（2）以②③为条件，易得 ∠CEB=∠BFD， 根据等角的余角相等得∠DBF= ∠CBE，即可得证.
23．【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【知识点】平行线的性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，
理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2) 设两个角分别为x和2x-30°，
由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得：x=30°或70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°．
【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ；
② 根据①中的结论总结即可；
(2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.
24．【答案】（1）解：两直线平行，同旁内角互补；；两直线平行，同位角相等
（2）解：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果，，那么”是一个真命题．
证明：∵
∴
∵
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题；证明过程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求证，再根据两直线平行，同位角相等求证，最后利用等量代换即可证明么；
（2）根据两直线平行同旁内角互补求证，利用及等量代换即可证明.
25．【答案】（1）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
（2）解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
（3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠1，∠1=∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1=180°，∠E=∠1，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）可推出如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。
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