2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023七下·江津期末）如图，请你从下面选项中选出能证明的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·北仑期末）如图直线与被第三条直线所截，下列条件能证明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022七下·昭阳期中）如图所示，不能证明ABCD的是（ ）
A．∠BAC＝∠ACD B．∠ABC＝∠DCE
C．∠DAC＝∠BCA D．∠ABC+∠DCB＝180°
4．（2020七下·济南期中）如图，点E在BA的延长线上，能证明BE∥CD是（ ）
A．∠EAD=∠B B．∠BAD=∠BCD
C．∠EAD=∠ADC D．∠BCD+∠D=180°
5．（图形的性质(250)+—+相交线与平行线(276)+—+平行线的判定(285) ）如图，在下列条件中，能够证明AD∥CB的条件是（ ）
A．∠1=∠4 B．∠B=∠5
C．∠1+∠2+∠D=180° D．∠2=∠3
6．（2022七下·平遥期中）阅读下列材料，①~④步中数学依据错误的是（ ）
已知：如图，直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A．① B．② C．③ D．④
7．（2021七下·沂源期中）已知：如图，，，求证：∥．下面为嘉琪同学的证明过程：
证明：∵，（ ① ），
∴．又∵，∴
∴∥（ ② ）．
其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等
B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等
D．②代表同旁内角相等，两直线平行
二、解答题
8．（湘教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
设a、b为正数，且a=b．
∵a=b，
∴ab=b2．①
∴ab﹣a2=b2﹣a2．②
∴a（b﹣a）=（b+a）（b﹣a）． ③
∴a=b+a．④
∴a=2a．⑤
∴1=2．⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 （填入编号），造成错误的原因是 ．
9．（2022七上·翠屏期末）完成下面的证明.
已知：如图，，，分别是，的平分线.
求证：.
证明：∵（已知），
∴ ▲ （ ）.
∴ ▲ （ ）.
∵，分别是，的平分线（ ），
∴， ▲ （ ）.
∴（ ）.
∴（ ）.
10．（2021七上·襄汾期末）填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．求证：∠1=∠2
证明：∵AB∥CD （ ）
∴∠ABC=∠BCD（ ）
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD （ ）
∴∠1=∠ ▲ ，（ ）
∠2=∠ ▲ ．（ ）
∴∠1=∠2．（ ）
11．（2021七上·宜宾期末）完成下面的推理过程.
已知：如图， ，CD平分 ，EF平分 .
试说明： .
证明：∵ ，
∴ （ ）.
∵CD平分 ，EF平分 ，
∴ ， .
∴ .（ ）
∴ （ ）.
12．（2022七下·太和期末）如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知），
∴（ ）
又∵（已证），
∴（ ）
∴（等量代换）．
13．（2020七上·南岗期末）如图， ， 相交于点 ， ， ，过 作 ，垂足为 ．求证： ．
证明：∵ ，
又 （ ）
∴
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
14．（2020八上·昭平期末）补充下列证明，并在括号内填上推理依据
已知：如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝58°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE交AB于点E，且∠BDE＝36°．求证DE∥BC
证明：∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，（ ）
∠A＝50°，∠C＝58°，
∴50°+58°+∠ABC＝180°． （ ）
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣ ＝ ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC （ ）
∴∠CBD＝ ×72°＝36°
∠BDE＝36°，
∴ ＝ ．
∴BC∥DE． （ ）
15．（2020七上·南沙期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠AOC，且∠DOE＝90°．求证：OE平分∠BOC．
16．（2022七上·平谷期末）按要求补全图形并证明．如图，，垂直，平分，平分．
（1）利用三角板依题意补全图形
（2）求的度数
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、因为 ∠ 1= ∠ 4，所以AB∥CD，符合条件；
B、 ∠ 2= ∠ 3，不能判断AB∥CD，不符合条件；
C、∠ 3= ∠ 4，不能判断AB∥CD，不符合条件；
D、∠ 1= ∠ 2，不能判断AB∥CD，不符合条件；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行可以判定答案。
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠2+∠3=180°，
∴l1∥l2.
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC＝∠ACD，∴ABCD，故本选项不符合题意；
B、∵∠ABC＝∠DCE，∴ABCD，故本选项不符合题意；
C、∵∠DAC＝∠BCA，∴ADBC，故本选项符合题意；
D、∵∠DCB+∠ABC＝180°，∴ABCD，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若∠EAD=∠B，则AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、若∠BAD=∠BCD，不可能得到BE∥CD，故此选项不符合题意；
C、若∠EAD=∠ADC，可得到BE∥CD，故此选项符合题意；
D、若∠BCD+∠D=180°，则BC∥AD，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判定即可。
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1=∠4，则AB∥DE，故选项错误；
B、∠B=∠5，则AB∥DE，故选项错误；
C、∵∠1+∠2+∠D=180°，即∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥DE，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行， 同位角相等）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义，平行线的性质，等量代换和垂直的定义判断求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝110°，可得∠2＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得a∥b.
8．【答案】④；等式两边除以零，无意义
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由a=b，得
a﹣b=0．
两边都除以（a﹣b）无意义．
故答案为：④；等式两边除以零，无意义
【分析】根据等式的性质等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的性质2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立进行判断即可.
9．【答案】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴EF CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4（角平分线的定义），
∴∠ACB＝∠AED（等量代换），
∴BC DE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；已知；2∠4；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由已知条件可知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得EF∥CD，由两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠4，根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，则∠ACB＝∠AED，然后根据平行线的判定定理进行证明.
10．【答案】证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行，内错角相等)
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD(已知)
∴∠1=∠ABC，(角平分线的定义)
∠2=∠BCD.(角平分线的定义)
∴∠1=∠2.(等量代换)
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出结论。
11．【答案】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB，
∴ ， ，
∴∠1=∠2，（等量代换）
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ACB=∠DEB，根据角平分线的概念可得∠1=∠ACB，∠2=∠DEB，推出∠1=∠2，然后根据平行线的判定定理进行证明.
12．【答案】证明：∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
又∵（已证），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
13．【答案】对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】证明：∵ ， ，
又 （对顶角相等），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （垂直定义），
∴ ，
∴ ．
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．
【分析】先求出，可得，再求出，进行作答即可。
14．【答案】三角形内角和定理；等量代换；58°；72°；角平分线的定义；∠CBD；∠BDE；内错角相等两直线平行
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】在△ABC中，现知∠A和∠C的度数，先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后由角平分线的定义可求∠CBD=36°，结合∠BDE=36°，利用内错角相等两直线平行，可证BC∥D.
15．【答案】证明：∵点A、O、B在同一条直线上，∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由垂直的定义及平角的定义可得 ∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， 由角平分线的定义可得 ∠AOD＝∠DOC，即得∠AOD+∠COE＝90°， 根据余角的性质可得∠COE＝∠BOE，根据角平分线的定义即证.
16．【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：∵垂直，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）根据角平分线的定义求出，，再利用角的运算求出即可。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试（基础版）
一、选择题
1．（2023七下·江津期末）如图，请你从下面选项中选出能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、因为 ∠ 1= ∠ 4，所以AB∥CD，符合条件；
B、 ∠ 2= ∠ 3，不能判断AB∥CD，不符合条件；
C、∠ 3= ∠ 4，不能判断AB∥CD，不符合条件；
D、∠ 1= ∠ 2，不能判断AB∥CD，不符合条件；
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行可以判定答案。
2．（2023七下·北仑期末）如图直线与被第三条直线所截，下列条件能证明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠2+∠3=180°，
∴l1∥l2.
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
3．（2022七下·昭阳期中）如图所示，不能证明ABCD的是（ ）
A．∠BAC＝∠ACD B．∠ABC＝∠DCE
C．∠DAC＝∠BCA D．∠ABC+∠DCB＝180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAC＝∠ACD，∴ABCD，故本选项不符合题意；
B、∵∠ABC＝∠DCE，∴ABCD，故本选项不符合题意；
C、∵∠DAC＝∠BCA，∴ADBC，故本选项符合题意；
D、∵∠DCB+∠ABC＝180°，∴ABCD，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
4．（2020七下·济南期中）如图，点E在BA的延长线上，能证明BE∥CD是（ ）
A．∠EAD=∠B B．∠BAD=∠BCD
C．∠EAD=∠ADC D．∠BCD+∠D=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若∠EAD=∠B，则AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、若∠BAD=∠BCD，不可能得到BE∥CD，故此选项不符合题意；
C、若∠EAD=∠ADC，可得到BE∥CD，故此选项符合题意；
D、若∠BCD+∠D=180°，则BC∥AD，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判定即可。
5．（图形的性质(250)+—+相交线与平行线(276)+—+平行线的判定(285) ）如图，在下列条件中，能够证明AD∥CB的条件是（ ）
A．∠1=∠4 B．∠B=∠5
C．∠1+∠2+∠D=180° D．∠2=∠3
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1=∠4，则AB∥DE，故选项错误；
B、∠B=∠5，则AB∥DE，故选项错误；
C、∵∠1+∠2+∠D=180°，即∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥DE，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
6．（2022七下·平遥期中）阅读下列材料，①~④步中数学依据错误的是（ ）
已知：如图，直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行， 同位角相等）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义，平行线的性质，等量代换和垂直的定义判断求解即可。
7．（2021七下·沂源期中）已知：如图，，，求证：∥．下面为嘉琪同学的证明过程：
证明：∵，（ ① ），
∴．又∵，∴
∴∥（ ② ）．
其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（ ）
A．①代表内错角相等
B．②代表同位角相等，两直线平行
C．①代表对顶角相等
D．②代表同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝110°，∠3＝∠1（对顶角相等），
∴∠3＝110°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：C．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝110°，可得∠2＋∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得a∥b.
二、解答题
8．（湘教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
设a、b为正数，且a=b．
∵a=b，
∴ab=b2．①
∴ab﹣a2=b2﹣a2．②
∴a（b﹣a）=（b+a）（b﹣a）． ③
∴a=b+a．④
∴a=2a．⑤
∴1=2．⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 （填入编号），造成错误的原因是 ．
【答案】④；等式两边除以零，无意义
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由a=b，得
a﹣b=0．
两边都除以（a﹣b）无意义．
故答案为：④；等式两边除以零，无意义
【分析】根据等式的性质等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的性质2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立进行判断即可.
9．（2022七上·翠屏期末）完成下面的证明.
已知：如图，，，分别是，的平分线.
求证：.
证明：∵（已知），
∴ ▲ （ ）.
∴ ▲ （ ）.
∵，分别是，的平分线（ ），
∴， ▲ （ ）.
∴（ ）.
∴（ ）.
【答案】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴EF CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线（已知），
∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4（角平分线的定义），
∴∠ACB＝∠AED（等量代换），
∴BC DE（同位角相等，两直线平行），
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；已知；2∠4；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由已知条件可知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得EF∥CD，由两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠4，根据角平分线的概念可得∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，则∠ACB＝∠AED，然后根据平行线的判定定理进行证明.
10．（2021七上·襄汾期末）填写下面证明过程中的推理依据：
已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．求证：∠1=∠2
证明：∵AB∥CD （ ）
∴∠ABC=∠BCD（ ）
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD （ ）
∴∠1=∠ ▲ ，（ ）
∠2=∠ ▲ ．（ ）
∴∠1=∠2．（ ）
【答案】证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行，内错角相等)
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD(已知)
∴∠1=∠ABC，(角平分线的定义)
∠2=∠BCD.(角平分线的定义)
∴∠1=∠2.(等量代换)
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出结论。
11．（2021七上·宜宾期末）完成下面的推理过程.
已知：如图， ，CD平分 ，EF平分 .
试说明： .
证明：∵ ，
∴ （ ）.
∵CD平分 ，EF平分 ，
∴ ， .
∴ .（ ）
∴ （ ）.
【答案】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB，EF平分∠DEB，
∴ ， ，
∴∠1=∠2，（等量代换）
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ACB=∠DEB，根据角平分线的概念可得∠1=∠ACB，∠2=∠DEB，推出∠1=∠2，然后根据平行线的判定定理进行证明.
12．（2022七下·太和期末）如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知），
∴（ ）
又∵（已证），
∴（ ）
∴（等量代换）．
【答案】证明：∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
又∵（已证），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
13．（2020七上·南岗期末）如图， ， 相交于点 ， ， ，过 作 ，垂足为 ．求证： ．
证明：∵ ，
又 （ ）
∴
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
∴ （ ）
∴
∴
【答案】对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】证明：∵ ， ，
又 （对顶角相等），
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （垂直定义），
∴ ，
∴ ．
故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直定义．
【分析】先求出，可得，再求出，进行作答即可。
14．（2020八上·昭平期末）补充下列证明，并在括号内填上推理依据
已知：如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝58°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE交AB于点E，且∠BDE＝36°．求证DE∥BC
证明：∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，（ ）
∠A＝50°，∠C＝58°，
∴50°+58°+∠ABC＝180°． （ ）
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣ ＝ ．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC （ ）
∴∠CBD＝ ×72°＝36°
∠BDE＝36°，
∴ ＝ ．
∴BC∥DE． （ ）
【答案】三角形内角和定理；等量代换；58°；72°；角平分线的定义；∠CBD；∠BDE；内错角相等两直线平行
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【分析】在△ABC中，现知∠A和∠C的度数，先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后由角平分线的定义可求∠CBD=36°，结合∠BDE=36°，利用内错角相等两直线平行，可证BC∥D.
15．（2020七上·南沙期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，射线OD平分∠AOC，且∠DOE＝90°．求证：OE平分∠BOC．
【答案】证明：∵点A、O、B在同一条直线上，∠DOE＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由垂直的定义及平角的定义可得 ∠DOC+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°， 由角平分线的定义可得 ∠AOD＝∠DOC，即得∠AOD+∠COE＝90°， 根据余角的性质可得∠COE＝∠BOE，根据角平分线的定义即证.
16．（2022七上·平谷期末）按要求补全图形并证明．如图，，垂直，平分，平分．
（1）利用三角板依题意补全图形
（2）求的度数
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：∵垂直，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意作出图象即可；
（2）根据角平分线的定义求出，，再利用角的运算求出即可。
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