2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共15分）
1．（2021七下·铁东期中）如图，，要证，需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·津南期中）△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．（2023七下·深圳期末）如图，以下条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·杭州期中）如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠3和∠7是同位角
C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠4和∠3是同位角
5．（2023七下·黄梅期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
二、填空题（每空3分，共21分）
6．（2023八上·内江期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；正确的有 .
7．（新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习）如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 .
8．（2021七下·浦东期中）如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断a∥b的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）。
1 、∠1=∠2 2、 ∠3=∠6 3、 ∠1=∠8 4 、∠5+∠8=180°
9．（2021七下·新宾期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号）
10．（2020七下·秀洲期中）判断： (填“是”或“不是”)方程组 的解。
11．（2021七下·额尔古纳期末）一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%，由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占40%．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠： ，理由是 ．
三、解答题（共18题，共114分）
12．（2019八上·上饶期中）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．
13．（2023七下·徐汇期末）如图，点D是等边中边上的任意一点，且也是等边三角形，那么与平行吗？请说明理由．
解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
因为是等边三角形（已知），
所以（ ），
（ ）；
所以（ ），
所以 ▲ ▲ （等量减等量），
即∠ ▲ =∠ ▲ ；
在和中
所以（ ）．
所以 ▲ （ ），
所以，
所以，
所以（ ）．
14．（2020八上·东西湖期中）在 中，如果 ，那么你能判断 是什么三角形吗？
15．（2023七下·韩城期中）如图，BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，且AB∥CD．试判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
16．（2023七下·渠县月考）如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，且AD∥BE，∠3=∠1，试判断BD与CE的位置关系，并说明理由.
17．（2021七上·宝山期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．
18．（2022七下·广阳期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
19．（2022七下·黑山期中）如图∠1+∠2＝180°，，判断图中有哪些直线平行？并给予说理．
20．（2022七上·衢江期末）小红与小亮两位同学计算-32-6×（）的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
21．（2019七上·淮滨月考）计算 时，李明同学的计算过程如下：
原式＝6÷ ＝－12＋18＝6.
请你判断李明的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程，另用正确方法计算 的值.
22．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册3.1 平方根 同步练习）若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+ =0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23．（湘教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．试判断这五个数的和能否为426？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．
24．（2017七上·丰城期中）如果A=5x2+4x﹣1，B=﹣x2﹣3x﹣3，C=8﹣7x﹣6x2，小聪在计算A﹣B+C的值后判断A﹣B+C的值与x无关，请你说明小聪的判断是否正确，并说明理由．
25．（2015七上·东城期末）将一副三角板按如图方式进行摆放，请判断∠1，∠2是否互补，并说明理由．
26．（2019七上·邢台月考）要比较a与b的大小,可以先求a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零.由此可见,要判断两个式子值的大小,只要考虑它们的差就可以了.
已知A=16a2+a+15 , B=4a2+ a+7 , C=a2+ a+4.
（1）请你按照上述文字提供的信息:(1)试比较A与2B的大小;
（2）试比较2B与3C的大小.
27．（2022七下·津南期末）填写推证理由：已知：如图①，AB和CD相交于点O，∠A=∠AOC，∠B=∠BOD．求证：ACBD．
（1）证明：∵ ∠A=∠AOC，∠B=∠BOD，
又 ∠AOC=∠BOD（ ），
∴ ∠A=∠B．
∴ACBD（ ）．
（2）如图②，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB．若∠AOC︰∠AOE=2︰3，求∠DOE的度数．
28．（2022八上·太原期中）综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知l1∥l2，直角三角板ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥直线l1于点D，AC与l1相交于点H．老师提出问题：试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由．
（1）请解答老师提出的问题：
（2）如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点P，Q，得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由．
下面是小亮不完整的解答过程和解题反思，请你补充完整：
解：∠1＋∠2＝90°．过点B作直线BN∥l1，如图：
∵l1∥l2（已知）
∴BN∥l2（ ）
∴∠1= ▲ ∠2= ▲ （ ）
∵∠ ▲ +∠ ▲ =∠ABC，∠ABC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
解题反思：在图中“过点B作直线BN∥l1”的作用是 ▲
（3）受小亮启发，同学们续探究下列问题．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲
A．在图2中作线段PO和QO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图3．直接写出∠POQ的度数．
B．在图2中∠ABC内部作射线BE，过点B作射线BF⊥BE交直线L2于点M，得到∠3，如图4．直接写出∠1，∠3与∠EBC的数量关系．
29．（2022八上·乐清开学考）小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，
①若∠2＝22°，求∠1的度数；
②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.
（3）【拓展提高】
如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由∠DCA=60°，∠EAD=∠60°，不能得到AB//CD，不符合题意；
B、由∠DCA=60°，∠B=60°不能得到AB∥CD，不符合题意；
C、由∠DCA=60°，∠BCD=120°不能得到AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠DCA=60°，∠EAC=120°，∴AB∥CD，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定定理逐项分析。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
解得∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及∠A=∠B+∠C，求出∠A=90°，即可得到△ABC是直角三角形．
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠2=∠3，∴CD∥AB，故不符合题意；
B、由∠1=∠2，不能得到CD∥AB，故符合题意；
C、∵，
∴∠4=∠DAB，
∴CD∥AB，故不符合题意；
D、∵，
∴CD∥AB，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，据此逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∠1和∠2是同旁内角，故A符合题意；
B、∠3和∠7不是同位角，故B不符合题意；
C、∠5和∠6不是同旁内角，故C不符合题意；
D、∠4和∠3是内错角，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；根据图形，可得到正确结论的选项.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、 若，则AB∥CD，故不符合题意；
B、 若，则，无法得出， 故不符合题意；
C、若，无法得出， 故不符合题意；
D、∵，，∠BAD+∠DCB+∠B+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴，故符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行线的性质与判定逐项分析即可.
6．【答案】①②
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：当时，，
∴①符合题意；
∵，
∴②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③不符合题意.
故答案为：①②.
【分析】将a=-2代入A=a2+a进行计算即可判断①；利用完全平方公式将a2+a+分解因式，进而根据偶数次幂的非负性即可②；由A-1=0得a2+a-1=0，根据等式的性质两边除以a可得，再两边同时平方即可判定③.
7．【答案】③④
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
8．【答案】1、2、3、4
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠1=∠2，∴ a∥b，故1正确；
∵ ∠3=∠6，∴ a∥b，故2正确；
∵∠1=∠7， ∠1=∠8 ，∴∠7=∠8，∴ a∥b，故3正确；
∵ ∠5+∠8=180° ，∠5+∠7=180° ，∴∠7=∠8，∴ a∥b，故4正确.
故正确的序号为1、2、3、4.
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
9．【答案】①④⑤
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55.5°，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＋∠1＝55.5°＝∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1＋∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1＋∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1＋∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1＋∠3，∠ACB＝∠4＋∠5，
∴∠1＝∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC＝∠2 ∠1，
∴∠2＝∠ABC＋∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【分析】根据平行线的判定即可解答。
10．【答案】不是
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否柜等即可，可发现它是方程①的解，不是方程②的解，所以它不是这个方程组的解。
【分析】将 代入到方程组 中去检验即可。
11．【答案】不可靠；抽样不具有代表性
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解： 由于选择的样本在一个城市，太片面，所以不具有代表性，数据不可靠．
【分析】根据抽样调查的优缺点和可靠性求解即可。
12．【答案】证明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义作答即可.
13．【答案】解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
所以（等量代换），
所以（等量减等量），
即；
在和中
所以（边角边）．
所以（全等三角形对应角相等），
所以，
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BC=BA，，EB=DB，∠EBD=60°，即得∠ABC=∠EBD，利用等式的性质可得∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD，即∠CBD=∠ABE，根据SAS证明 ，可得，从而得出∠EAC=∠EAB+∠BAC=120°，继而得出，根据同旁内角互补两直线平行即证结论.
14．【答案】解：∵∠A=2∠B=3∠C，
∴∠B= ∠A，∠C= ∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180 ，
∴∠A+ ∠A + ∠A =180 ，
∴∠A= ，
∴△ABC是钝角三角形.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由已知条件可得∠B=∠A，∠C=∠A，结合三角形内角和定理可得∠A的度数，进而确定三角形的形状.
15．【答案】解：AC∥BE．
理由：∵BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，
∴∠EBA=∠CBA=∠EBC，∠ACD=∠FCD=∠ACF，
∵AB∥CD，
∴∠CBA=∠FCD，
∴∠EBC=∠ACF，
∴AC∥BE．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】利用角平分线的定义，可证得∠EBA=∠CBA=∠EBC，∠ACD=∠FCD=∠ACF，利用平行线的性质可证得∠CBA=∠FCD，由此可推出∠EBC=∠ACF，然后利用平行线的判定定理可得到AC与BE的位置关系.
16．【答案】结论：BD与CE的位置关系是平行.
证明：∵AD∥BE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠1，
∴∠2-∠3，
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠2，可推出∠2=∠3，再利用内错角相等，两直线平行，可证得BD与CE的位置关系.
17．【答案】解：是等边三角形
证明：∵，
∴．
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】将原等式，两边同乘以2变形为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0， 等式左边进行分组构造完全平方公式，即（a-b）2-（a-c）2-（b-c）2 =0，可得a-b=0，a-c=0，b-c=0，即a=b=c，则三角形ABC为等边三角形。
18．【答案】解：过点E作，
∵，
∴．
∴=，=．
∵=+，
∴=+．
故=+．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】过点E作，根据平行线的性质可得=，=，再结合=+，即可得到=+。
19．【答案】解：，，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠EMN．
∴∠EMN +∠2=180°
∴ ABCD
延长EF交CD 与点G，如下图所示：
∵AB CD，
∴∠AEF = ∠FGL，
∵∠AEF = ∠HLN，．
∴∠FGL = ∠HLN，
∴EGHL
即：EFHL
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】延长EF交CD 与点G，利用平行线的性质可得∠AEF = ∠FGL， 再结合∠AEF = ∠HLN，可得∠FGL = ∠HLN， 即可证出EF//HL。
20．【答案】解：
正确解答过程如下：
原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】两个同学的解题过程都是错误的，小红同学错在计算乘方的地方，“-32=-9≠9”；小亮同学错在利用乘法分配律去括号的地方，去括号的时候（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）；正确的解法应该是先计算乘方，同时利用乘法分配律去括号，再根据有理数的减法法则算出答案.
21．【答案】解：不正确，
正确计算过程为：
原式＝
=
=
=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】李明的计算过程不正确，应该先计算括号里面的加法运算，再计算除法运算；首先将 转化为 ，然后根据乘法的分配律进行计算，再计算 的值，然后将除法转化为乘法计算，最后利用有理数加法法则计算即可.
22．【答案】解：△ABC是直角三角形，
理由如下：由题意得，a﹣15=0，b﹣8=0，c﹣17=0，
解得，a=15，b=8，c=17，
∵a2+b2=225+64=289，c2=289，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】平方根
【解析】【分析】由已知条件根据绝对值、平方、算术平方根的非负性可求得a、b、c的值，再计算a、b、c的平方的值，由勾股定理的逆定理即可判断。
23．【答案】解：这五个数的和能为426．原因如下：
设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20．
由题意得，x+（x+10）+（x+12）+（x+14）+（x20）=426，
解方程得：x=74．
所以这五个数为74，84，86，88，94
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】根据图中数据的规律，设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20，利用和为426可得关于x的方程，解方程即可判断.
24．【答案】解：∵A=5x2+4x﹣1，B=﹣x2﹣3x﹣3，C=8﹣7x﹣6x2，
∴A﹣B+C=5x2+4x﹣1+x2+3x+3+8﹣7x﹣6x2=10，
与x的取值无关
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【分析】把A，B，C代入A﹣B+C中，去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
25．【答案】解：互补．
理由如下：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1，∠2互补
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后根据邻补角的定义解答．
26．【答案】（1）解：A-2B=16a2+a+15-2 =16a2+a+15-8a2-a-14=8a2+1.
因为8a2+1>0,所以A>2B
（2）解：2B-3C=2(4a2+ a+7)-3(a2+ a+4)=8a2+a+14-3a2-a-12=5a2+2.
因为5a2+2>0,所以2B>3C
【知识点】多项式的概念；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）利用整体思想将A、B代入A-2B，计算其正负即可知A与2B的大小；（2）利用整体思想将B、C代入2B-3C，计算其正负即可知2B与3C的大小.
27．【答案】（1）证明：∵∠A=∠AOC，∠B=∠BOD，
又∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠A=∠B．
∴ACBD（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：∵∠AOC︰∠AOE=2︰3，
∴设∠AOC=，∠AOE=．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE==90°．得．
∴∠AOC=．
∴∠DOE=180°－∠AOC－∠AOE=30°．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【分析】（1） 由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD ，结合已知可推出∠A=∠B，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥BD．
（2） 由题意可设∠AOC=，∠AOE=，由垂直定义可得∠AOE==90°，求出x即得∠AOC的度数，根据平角定义即可求解．
28．【答案】（1）解：BC∥直线l1，理由如下：
∵AB⊥直线l1，
∴∠HDA=90°，
又∠B=90°，
∴∠B=∠HDA，
∴BC∥直线l1．
（2）解：∠1＋∠2＝90°．过点B作直线BN∥l1，
∵l1∥l2（已知）
∴BN∥l2（平行于同一直线的两条直线也互相平行）
∴∠1= ∠ABN ∠2=∠CBN（两直线平行，同位角相等）
∵∠ABN +∠CBN =∠ABC，∠ABC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
解题反思：在图中“过点B作直线BN∥l1”的作用是构造平行线，找到相等的同位角．
（3）解：选A；如图，∠POQ的度数为45°，
理由如下：
由（1）得∠1+∠2=90°，
同理可知：∠EPO+∠FQO=∠POQ，
∵线段PO和QO分别平分∠1和∠2的对顶角，
∴∠EPO=∠EPB，∠FQO=∠FQB，
∴（∠EPB+∠FQB）=（∠1+∠2）=45°，
即∠POQ=45°．
故答案为：A．
选B；∠3＋∠1＝180° ∠EBC，理由如下：
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠2＝90° ∠1，
∵∠3＝∠BQM＋∠QBM，∠2＝∠BQM，
∴∠3＝∠2＋∠QBM，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝∠EBC＋∠QBM＝90°，
∴∠QBM＝90° ∠EBC，
∴∠3＝90° ∠1＋90° ∠EBC，
∴∠3＋∠1＝180° ∠EBC．
故答案为：B．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠HDA=90°， 再求出 ∠B=∠HDA， 最后求解即可；
（2）利用平行线的性质证明求解即可；
（3）结合所给的图形，利用对顶角的定义，计算求解即可。
29．【答案】（1）解：我赞同他的想法，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）解：①∵CP⊥AC，
∴∠ACP＝90°，
∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP，
∴∠ACD＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝112°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC＝56°；
②∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC，
∴2∠1+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝90°﹣∠2，
∴2∠1+90°﹣∠2＝180°，
∴2∠1﹣∠2＝90°；
（3）∠1+2∠2＝90°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∴∠BAC＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+2∠2＝90°.
故答案为：∠1+2∠2＝90°.
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，然后将两式相加即可；
（2）①根据垂直的概念可得∠ACP＝90°，∠ACD＝∠ACP-∠2＝68°，根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，据此计算；
②由平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，则2∠1+∠ACD＝180°，根据余角的性质可得∠ACD＝90°﹣∠2，代入求解即可；
（3）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠ACD＝2∠2，易得∠BAC＝90°+∠1，代入求解即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.3 证明同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共15分）
1．（2021七下·铁东期中）如图，，要证，需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、由∠DCA=60°，∠EAD=∠60°，不能得到AB//CD，不符合题意；
B、由∠DCA=60°，∠B=60°不能得到AB∥CD，不符合题意；
C、由∠DCA=60°，∠BCD=120°不能得到AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠DCA=60°，∠EAC=120°，∴AB∥CD，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定定理逐项分析。
2．（2021八上·津南期中）△ABC中，∠A＝∠B+∠C，则对△ABC的形状判断正确的是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
解得∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及∠A=∠B+∠C，求出∠A=90°，即可得到△ABC是直角三角形．
3．（2023七下·深圳期末）如图，以下条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠2=∠3，∴CD∥AB，故不符合题意；
B、由∠1=∠2，不能得到CD∥AB，故符合题意；
C、∵，
∴∠4=∠DAB，
∴CD∥AB，故不符合题意；
D、∵，
∴CD∥AB，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，据此逐项判断即可.
4．（2023七下·杭州期中）如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠3和∠7是同位角
C．∠5和∠6是同旁内角 D．∠4和∠3是同位角
【答案】A
【知识点】同位角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∠1和∠2是同旁内角，故A符合题意；
B、∠3和∠7不是同位角，故B不符合题意；
C、∠5和∠6不是同旁内角，故C不符合题意；
D、∠4和∠3是内错角，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角；根据图形，可得到正确结论的选项.
5．（2023七下·黄梅期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、 若，则AB∥CD，故不符合题意；
B、 若，则，无法得出， 故不符合题意；
C、若，无法得出， 故不符合题意；
D、∵，，∠BAD+∠DCB+∠B+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴，故符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据平行线的性质与判定逐项分析即可.
二、填空题（每空3分，共21分）
6．（2023八上·内江期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形.已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；正确的有 .
【答案】①②
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：当时，，
∴①符合题意；
∵，
∴②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③不符合题意.
故答案为：①②.
【分析】将a=-2代入A=a2+a进行计算即可判断①；利用完全平方公式将a2+a+分解因式，进而根据偶数次幂的非负性即可②；由A-1=0得a2+a-1=0，根据等式的性质两边除以a可得，再两边同时平方即可判定③.
7．（新人教版数学八年级上册第十一章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步练习）如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有 .
【答案】③④
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
8．（2021七下·浦东期中）如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断a∥b的条件是 （把你认为正确的序号填在横线上）。
1 、∠1=∠2 2、 ∠3=∠6 3、 ∠1=∠8 4 、∠5+∠8=180°
【答案】1、2、3、4
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠1=∠2，∴ a∥b，故1正确；
∵ ∠3=∠6，∴ a∥b，故2正确；
∵∠1=∠7， ∠1=∠8 ，∴∠7=∠8，∴ a∥b，故3正确；
∵ ∠5+∠8=180° ，∠5+∠7=180° ，∴∠7=∠8，∴ a∥b，故4正确.
故正确的序号为1、2、3、4.
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.
9．（2021七下·新宾期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55.5°；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线mn的有 ．（填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55.5°，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＋∠1＝55.5°＝∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1＋∠2＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠1＋∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，
∴∠1＋∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3＝∠4，
∵∠ACB＝∠1＋∠3，∠ACB＝∠4＋∠5，
∴∠1＝∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC＝∠2 ∠1，
∴∠2＝∠ABC＋∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【分析】根据平行线的判定即可解答。
10．（2020七下·秀洲期中）判断： (填“是”或“不是”)方程组 的解。
【答案】不是
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 分别代入到两个方程中，看左、右两边的值是否柜等即可，可发现它是方程①的解，不是方程②的解，所以它不是这个方程组的解。
【分析】将 代入到方程组 中去检验即可。
11．（2021七下·额尔古纳期末）一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%，由此在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销售量占40%．请你根据所学的统计知识，判断该宣传中的数据是否可靠： ，理由是 ．
【答案】不可靠；抽样不具有代表性
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解： 由于选择的样本在一个城市，太片面，所以不具有代表性，数据不可靠．
【分析】根据抽样调查的优缺点和可靠性求解即可。
三、解答题（共18题，共114分）
12．（2019八上·上饶期中）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．
【答案】证明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义作答即可.
13．（2023七下·徐汇期末）如图，点D是等边中边上的任意一点，且也是等边三角形，那么与平行吗？请说明理由．
解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
因为是等边三角形（已知），
所以（ ），
（ ）；
所以（ ），
所以 ▲ ▲ （等量减等量），
即∠ ▲ =∠ ▲ ；
在和中
所以（ ）．
所以 ▲ （ ），
所以，
所以，
所以（ ）．
【答案】解：因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
因为是等边三角形（已知），
所以（等边三角形各边相等），
（等边三角形每个内角都是）；
所以（等量代换），
所以（等量减等量），
即；
在和中
所以（边角边）．
所以（全等三角形对应角相等），
所以，
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BC=BA，，EB=DB，∠EBD=60°，即得∠ABC=∠EBD，利用等式的性质可得∠ABC-∠ABD=∠EBD-∠ABD，即∠CBD=∠ABE，根据SAS证明 ，可得，从而得出∠EAC=∠EAB+∠BAC=120°，继而得出，根据同旁内角互补两直线平行即证结论.
14．（2020八上·东西湖期中）在 中，如果 ，那么你能判断 是什么三角形吗？
【答案】解：∵∠A=2∠B=3∠C，
∴∠B= ∠A，∠C= ∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180 ，
∴∠A+ ∠A + ∠A =180 ，
∴∠A= ，
∴△ABC是钝角三角形.
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】由已知条件可得∠B=∠A，∠C=∠A，结合三角形内角和定理可得∠A的度数，进而确定三角形的形状.
15．（2023七下·韩城期中）如图，BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，且AB∥CD．试判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
【答案】解：AC∥BE．
理由：∵BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，
∴∠EBA=∠CBA=∠EBC，∠ACD=∠FCD=∠ACF，
∵AB∥CD，
∴∠CBA=∠FCD，
∴∠EBC=∠ACF，
∴AC∥BE．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】利用角平分线的定义，可证得∠EBA=∠CBA=∠EBC，∠ACD=∠FCD=∠ACF，利用平行线的性质可证得∠CBA=∠FCD，由此可推出∠EBC=∠ACF，然后利用平行线的判定定理可得到AC与BE的位置关系.
16．（2023七下·渠县月考）如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，且AD∥BE，∠3=∠1，试判断BD与CE的位置关系，并说明理由.
【答案】结论：BD与CE的位置关系是平行.
证明：∵AD∥BE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠1，
∴∠2-∠3，
∴BD∥CE
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠2，可推出∠2=∠3，再利用内错角相等，两直线平行，可证得BD与CE的位置关系.
17．（2021七上·宝山期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．
【答案】解：是等边三角形
证明：∵，
∴．
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】将原等式，两边同乘以2变形为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0， 等式左边进行分组构造完全平方公式，即（a-b）2-（a-c）2-（b-c）2 =0，可得a-b=0，a-c=0，b-c=0，即a=b=c，则三角形ABC为等边三角形。
18．（2022七下·广阳期中）如图，已知，试判断，和之间的关系，并说明理由．
【答案】解：过点E作，
∵，
∴．
∴=，=．
∵=+，
∴=+．
故=+．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】过点E作，根据平行线的性质可得=，=，再结合=+，即可得到=+。
19．（2022七下·黑山期中）如图∠1+∠2＝180°，，判断图中有哪些直线平行？并给予说理．
【答案】解：，，理由如下：
∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠EMN．
∴∠EMN +∠2=180°
∴ ABCD
延长EF交CD 与点G，如下图所示：
∵AB CD，
∴∠AEF = ∠FGL，
∵∠AEF = ∠HLN，．
∴∠FGL = ∠HLN，
∴EGHL
即：EFHL
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】延长EF交CD 与点G，利用平行线的性质可得∠AEF = ∠FGL， 再结合∠AEF = ∠HLN，可得∠FGL = ∠HLN， 即可证出EF//HL。
20．（2022七上·衢江期末）小红与小亮两位同学计算-32-6×（）的过程如图：
请判断他们的解法是否正确（在相应的方框内打“√”或“×”），并写出你的解答过程．
【答案】解：
正确解答过程如下：
原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】两个同学的解题过程都是错误的，小红同学错在计算乘方的地方，“-32=-9≠9”；小亮同学错在利用乘法分配律去括号的地方，去括号的时候（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘）；正确的解法应该是先计算乘方，同时利用乘法分配律去括号，再根据有理数的减法法则算出答案.
21．（2019七上·淮滨月考）计算 时，李明同学的计算过程如下：
原式＝6÷ ＝－12＋18＝6.
请你判断李明的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程，另用正确方法计算 的值.
【答案】解：不正确，
正确计算过程为：
原式＝
=
=
=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】李明的计算过程不正确，应该先计算括号里面的加法运算，再计算除法运算；首先将 转化为 ，然后根据乘法的分配律进行计算，再计算 的值，然后将除法转化为乘法计算，最后利用有理数加法法则计算即可.
22．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册3.1 平方根 同步练习）若△ABC的三边a、b、c满足|a﹣15|+（b﹣8）2+ =0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：△ABC是直角三角形，
理由如下：由题意得，a﹣15=0，b﹣8=0，c﹣17=0，
解得，a=15，b=8，c=17，
∵a2+b2=225+64=289，c2=289，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】平方根
【解析】【分析】由已知条件根据绝对值、平方、算术平方根的非负性可求得a、b、c的值，再计算a、b、c的平方的值，由勾股定理的逆定理即可判断。
23．（湘教版七年级数学上册 第三章一元一次方程 单元检测b卷）如图，将连续的偶数2，4，6，8，10，…排成一数阵，有一个能够在数阵中上下左右平移的T字架，它可以框出数阵中的五个数．试判断这五个数的和能否为426？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．
【答案】解：这五个数的和能为426．原因如下：
设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20．
由题意得，x+（x+10）+（x+12）+（x+14）+（x20）=426，
解方程得：x=74．
所以这五个数为74，84，86，88，94
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】根据图中数据的规律，设最小数为x，则其余数为：x+10，x+12，x+14，x+20，利用和为426可得关于x的方程，解方程即可判断.
24．（2017七上·丰城期中）如果A=5x2+4x﹣1，B=﹣x2﹣3x﹣3，C=8﹣7x﹣6x2，小聪在计算A﹣B+C的值后判断A﹣B+C的值与x无关，请你说明小聪的判断是否正确，并说明理由．
【答案】解：∵A=5x2+4x﹣1，B=﹣x2﹣3x﹣3，C=8﹣7x﹣6x2，
∴A﹣B+C=5x2+4x﹣1+x2+3x+3+8﹣7x﹣6x2=10，
与x的取值无关
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【分析】把A，B，C代入A﹣B+C中，去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
25．（2015七上·东城期末）将一副三角板按如图方式进行摆放，请判断∠1，∠2是否互补，并说明理由．
【答案】解：互补．
理由如下：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°，
∴∠1，∠2互补
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后根据邻补角的定义解答．
26．（2019七上·邢台月考）要比较a与b的大小,可以先求a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零.由此可见,要判断两个式子值的大小,只要考虑它们的差就可以了.
已知A=16a2+a+15 , B=4a2+ a+7 , C=a2+ a+4.
（1）请你按照上述文字提供的信息:(1)试比较A与2B的大小;
（2）试比较2B与3C的大小.
【答案】（1）解：A-2B=16a2+a+15-2 =16a2+a+15-8a2-a-14=8a2+1.
因为8a2+1>0,所以A>2B
（2）解：2B-3C=2(4a2+ a+7)-3(a2+ a+4)=8a2+a+14-3a2-a-12=5a2+2.
因为5a2+2>0,所以2B>3C
【知识点】多项式的概念；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）利用整体思想将A、B代入A-2B，计算其正负即可知A与2B的大小；（2）利用整体思想将B、C代入2B-3C，计算其正负即可知2B与3C的大小.
27．（2022七下·津南期末）填写推证理由：已知：如图①，AB和CD相交于点O，∠A=∠AOC，∠B=∠BOD．求证：ACBD．
（1）证明：∵ ∠A=∠AOC，∠B=∠BOD，
又 ∠AOC=∠BOD（ ），
∴ ∠A=∠B．
∴ACBD（ ）．
（2）如图②，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB．若∠AOC︰∠AOE=2︰3，求∠DOE的度数．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠AOC，∠B=∠BOD，
又∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴∠A=∠B．
∴ACBD（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：∵∠AOC︰∠AOE=2︰3，
∴设∠AOC=，∠AOE=．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE==90°．得．
∴∠AOC=．
∴∠DOE=180°－∠AOC－∠AOE=30°．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定
【解析】【分析】（1） 由对顶角相等可得∠AOC=∠BOD ，结合已知可推出∠A=∠B，根据内错角相等，两直线平行可证AB∥BD．
（2） 由题意可设∠AOC=，∠AOE=，由垂直定义可得∠AOE==90°，求出x即得∠AOC的度数，根据平角定义即可求解．
28．（2022八上·太原期中）综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．如图1，已知l1∥l2，直角三角板ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥直线l1于点D，AC与l1相交于点H．老师提出问题：试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由．
（1）请解答老师提出的问题：
（2）如图2，将图1中三角板ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点P，Q，得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由．
下面是小亮不完整的解答过程和解题反思，请你补充完整：
解：∠1＋∠2＝90°．过点B作直线BN∥l1，如图：
∵l1∥l2（已知）
∴BN∥l2（ ）
∴∠1= ▲ ∠2= ▲ （ ）
∵∠ ▲ +∠ ▲ =∠ABC，∠ABC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
解题反思：在图中“过点B作直线BN∥l1”的作用是 ▲
（3）受小亮启发，同学们续探究下列问题．
请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲
A．在图2中作线段PO和QO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图3．直接写出∠POQ的度数．
B．在图2中∠ABC内部作射线BE，过点B作射线BF⊥BE交直线L2于点M，得到∠3，如图4．直接写出∠1，∠3与∠EBC的数量关系．
【答案】（1）解：BC∥直线l1，理由如下：
∵AB⊥直线l1，
∴∠HDA=90°，
又∠B=90°，
∴∠B=∠HDA，
∴BC∥直线l1．
（2）解：∠1＋∠2＝90°．过点B作直线BN∥l1，
∵l1∥l2（已知）
∴BN∥l2（平行于同一直线的两条直线也互相平行）
∴∠1= ∠ABN ∠2=∠CBN（两直线平行，同位角相等）
∵∠ABN +∠CBN =∠ABC，∠ABC=90°
∴∠1＋∠2＝90°
解题反思：在图中“过点B作直线BN∥l1”的作用是构造平行线，找到相等的同位角．
（3）解：选A；如图，∠POQ的度数为45°，
理由如下：
由（1）得∠1+∠2=90°，
同理可知：∠EPO+∠FQO=∠POQ，
∵线段PO和QO分别平分∠1和∠2的对顶角，
∴∠EPO=∠EPB，∠FQO=∠FQB，
∴（∠EPB+∠FQB）=（∠1+∠2）=45°，
即∠POQ=45°．
故答案为：A．
选B；∠3＋∠1＝180° ∠EBC，理由如下：
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠2＝90° ∠1，
∵∠3＝∠BQM＋∠QBM，∠2＝∠BQM，
∴∠3＝∠2＋∠QBM，
∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝∠EBC＋∠QBM＝90°，
∴∠QBM＝90° ∠EBC，
∴∠3＝90° ∠1＋90° ∠EBC，
∴∠3＋∠1＝180° ∠EBC．
故答案为：B．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠HDA=90°， 再求出 ∠B=∠HDA， 最后求解即可；
（2）利用平行线的性质证明求解即可；
（3）结合所给的图形，利用对顶角的定义，计算求解即可。
29．（2022八上·乐清开学考）小明完成暑假作业后在家复习，他看到七下课本12页例4：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1﹣13，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°.”小明认为这个结论正确.你赞同他的想法吗？请说明理由.
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：
如图1，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，
①若∠2＝22°，求∠1的度数；
②试说明：2∠1﹣∠2＝90°.
（3）【拓展提高】
如图2，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系 .
【答案】（1）解：我赞同他的想法，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）解：①∵CP⊥AC，
∴∠ACP＝90°，
∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP，
∴∠ACD＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝112°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC＝56°；
②∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC，
∴2∠1+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝90°﹣∠2，
∴2∠1+90°﹣∠2＝180°，
∴2∠1﹣∠2＝90°；
（3）∠1+2∠2＝90°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∴∠BAC＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+2∠2＝90°.
故答案为：∠1+2∠2＝90°.
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，∠2＝∠ACD，然后将两式相加即可；
（2）①根据垂直的概念可得∠ACP＝90°，∠ACD＝∠ACP-∠2＝68°，根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠BAC的度数，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，据此计算；
②由平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，则2∠1+∠ACD＝180°，根据余角的性质可得∠ACD＝90°﹣∠2，代入求解即可；
（3）根据平行线的性质可得∠BAC+∠ACD＝180°，根据角平分线的概念可得∠ACD＝2∠2，易得∠BAC＝90°+∠1，代入求解即可.
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